线代第一章
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数第一章
第一章 行列式(determinant)
一、二阶、三阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表
a11 a12
a 21 a 22
表 达 式 a11a 22 a12 a 21称 为 数 表 所 确 定 的 二 阶 行列式，并记作 a11 a 21 a12 a 22
该式称为数表所确定的三阶行列式.
a13
三阶行列式的计算：
对角线法则 a11 a12
a21 a31 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 行标按照从小 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 到大排列 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
线性代数的第个问题是关于解线性方程组 的问题。 历史上线性方程组理论的发展促成了作为工 具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内 容已成为我们线性代数教材的主要部分。 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家 关孝和发明的。
逆序 0 1 0 3 1 于是排列 32514 的逆序数为 讨论其奇偶性
t
t 01 0 31 5 .
t
i 1
n
i
标准排列：无逆序的排列。如：1234是4级 标准排列
对换：在一个排列中，对调了两个数码， 其他数码不变，这种变换称为一个对换。 对23154 施以（1，4）对换得到23451。 两个结论： 1）对一个排列，经过一个对换，奇偶性 改变。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
大一线性代数第一章知识点
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
线代第一章
如：31245 就是一个 5 级排列。 例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
上一页 下一页
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
线性代数第一章
a1i a2 i ani
a1n
a11
a2 n a21 ann an1
i a1 i a2 ani
a1n a2 n ann
行列式展开定理 行列式等于它的任一行(列)的
各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 按第 ii 1,2,, n 行展开：
detaij ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain detaij a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
按第 j j 1,2,, n列展开：
根据行列式展开定理，把行列式按某一行或列展 开是计算行列式最常用方法。
2
定义3 把 nn 2 阶行列式的元素 aij 所在的第 i
来相对位置不变构成的 n 1 阶行列式，称为 aij 的余 子式，记为 M ij ，且把 Aij 1 M ij 称为 aij 的代数余
i j
子式。
n 由定义3可知， 阶行列式有 n 2个元素，而每个元素都
有自己的余子式和代数余子式。因此有 n 2 个余子式，
2 7 4 7 5
1 2 2 7 0
1 5 1 6 1
c2 c1
c 4 c3
3 2 2 3 2
1
0
2
1 2 2 5 0
1 5 1 7 1
r4 r3
3 0 7 2 2 2 4 5 2 0 0 11 5
按第2列展开，得到
1 2 1 1 3 7 2 5 D 4 5 11 5 7 2 5 0 1
a11 a12 D
T n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
a1n
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
《课件：线性代数第一章》课件
基与维数
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
《线性代数》课件第1章
3
1
1 r1 6
1131
1113
1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
1 3 1 1 r3 r1 0 2 0 0
6
6
48
1 1 3 1 r4 r 1 0 0 2 0
11 1 3
0002
例1.3.4 计算
a1 a1 0 0
0
a2 a2
0 .
0 0 a3 a3
11 1 1
解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将
an1 an2
a nj
a nn
an1 an2
bn
a nn
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后 加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变，即
a11
a1n
a11
a1n
ai1
ain ri krj ai1 ka j1
ain a jn
a j1
a jn
(1.3.1.3) a1…alabb1…bmc1…cn
再作m+1次相邻对换，式(1.1.4) a1…albb1…bmac1…cn
(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) ( 1.1.5)
1.2 行列式的定义
1.2.1
定义1.2.1 由4个元素aij(i=1，2；j=1，2)排成两行两列， 并定义
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
a11 2 (3) 5 a21
a31
5a13 5a23 5a33
a12 a13 a22 a23 a32 a33
2 (3) 51 30.
例1.3.2 计算
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
《线性代数》课件第1章
则规定它们的加法与减法为（当m ≤ n时 ） f (x) ± g(x) = (a0 ± b0 ) + (am ± bm )x + + (am ± bm )xm ± bm+1xm+1 ± ± bn xn;
它们的乘法为
f (x)g (x) = c0 + c0 x + + cm+n x m+n ,
其中
ck
定义1.3：如果多项式 f (x) 和 g(x) 的同次项系数全 相等，则称 f (x)和 g(x)相等，记为 f (x) = g(x).
和 初 等 代 数 一 样 , 我 们 可 以 定 义 Ω 上 的 一 元 多 项 式 的 运 算.设 f ( x ) = a0 + a1 x + + am x m , g ( x ) = b0 + b1 x + + bn x n ,
若f = 0或deg f < n,则取q = 0, r = f 即可.若f 不等于0,且次数 ≥ n,
则用g去消f 的首项,可得“商”q1
=
a b
xm−n及“余”f1
=
f
− q1g,
从而
f = q1g + f1, 若f1 = 0或deg f1 ≤ n,则取q = q1, r = f1即可.若f1不等于0,且其次数 ≥ n, 则再用g去消f1的首项,并设所得的“商”和“余”分别为q2, f2,则有
标准分解定理 Ω上的次数大于0的多项式 f (x)均有如下分解 : f (x) = ap1(x)k1 p2 (x)k2 pt (x)kt ,
其中a为Ω中的非零常数, p1(x),…, pt (x)为互异的首项系数为1的 即约多项式, k1,…, kt为自然数,它们都是由唯一确定的.
大一线代第一章知识点
大一线代第一章知识点线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间与线性变换的性质和结构。
在大一的学习中，我们首先接触到线性代数的基本概念和技巧，在第一章中，我们学习了一些重要的知识点。
本文将围绕这些知识点展开讨论。
向量在线性代数中，向量是一个基本的概念。
我们可以将向量看作有方向和大小的量。
一维向量可以表示为一个实数，二维向量可以表示为一个有序对，三维向量可以表示为一个有序三元组。
向量可以进行加法、减法和数乘等运算，这些运算规则被称为向量空间的运算规则。
向量空间向量空间是由一组具有相同性质的向量组成的集合。
这些向量满足线性组合和封闭性的性质。
线性组合指的是将向量乘以一个标量并进行加法运算，而封闭性指的是向量进行线性组合的结果仍然是属于这个向量空间的。
向量空间具有多个重要性质，比如零向量的存在性、加法逆元的存在性等。
矩阵矩阵是由数值按一定规则排列组成的矩形阵列。
在线性代数中，矩阵代表了线性变换和线性方程组。
矩阵的运算包括加法、减法和数乘。
此外，矩阵还具有乘法运算，矩阵乘法是矩阵运算中的重要操作，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
行列式行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的性质和计算矩阵的逆阵。
行列式的定义是一个递归的过程，通过将矩阵按一定规则展开并进行计算得到。
行列式有很多重要的性质，比如行列式的值为零表示矩阵不可逆，行列式的绝对值表示面积或体积的倍率。
特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵和线性变换的重要性质。
特征向量是指矩阵在某个线性变换下方向不变的向量，而特征值则表示该特征向量的缩放倍率。
通过求解特征值和特征向量，可以帮助我们理解线性变换的行为和矩阵的结构。
逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它是指存在一个矩阵与原矩阵相乘得到单位矩阵。
逆矩阵的存在性与行列式的值密切相关，只有当矩阵的行列式不为零时，才存在逆矩阵。
逆矩阵在解线性方程组、求解线性变换的逆等问题中起到关键作用。
以上就是大一线性代数第一章的一些重要知识点。
线性代数_第一章
n( n 1) -I=5*4/2-6=4 2
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
线性代数第1章
a1n
a2n =
(−1) ( p1p2
a a pn ) 1 p1 2 p2
anpn ,
ann
其中 是对 1, 2, , n 这 n个数的所有 p1 p2 pn求和.
n 阶行列式的直观分解：
1.给一个数表;
2.给一个定义(这个定义特指(1) (−1) ( p1p2
a a pn ) 1 p1 2 p2
线性代数章节内容分布如下:
第二章 矩阵 （基 础）
（
基
第 一 章
本 工 具
每
行 列 式
章 都 有 应
用
）
第三章 向量组线性相关性 （难 点）
第四章 线性方程组 （重 点）
第五章 特征值与特征向量 (也称: 矩阵的对角化)
（重点 综合性强）
第六章 二次型 （重点 注意和特征值、特征向量的联系）
第一章 行列式 第一讲 全排列与逆序数
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
的项吗？
1234偶排列 1324奇排列
第四讲 行列式的等价定义
(1) ( p1p2LpiLp jLpn ) a1 p1 a2 p2 Laipi La jp j Lanpn.
第二讲 二阶行列式和三阶行列式
行列式最先由日本数学家关孝和和德国数学家莱布尼茨各自以 不同的方式独立提出,它的起源与线性方程组的求解息息相关.
关孝和
莱布Байду номын сангаас兹
例 用消元法求解二元线性方程组
aa2111xx11
+ +
a12 x2 a22 x2
= =
b1, b2 .
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aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
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则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
如：2 4 3 1（逆序数为 4，偶排列） 2 1 3 4（逆序数为 1，奇排列）
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定理 2 全部 n 级排列中，偶排列与奇排列各
占一半，都是 n!（n ≥ 2）个。 2
如果全部 n 级排列中奇排列有 p 个，偶 排列有 q 个，所有的排列都经过一次同样的 对换（对换相同的两个数），则奇排列变成 了偶排列（即 p ≥ q ），偶排列变成了奇排列 （即 q ≥ p ），所以 p = q。
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
还有其他阶 的行列式吗
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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第二节 行列式的 一般规律是什么 构成 项数
t 23218
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定义 4 把一个排列中的某两个元素位置对调， 而其它的元素不动，就得到了另一个排列，这 种变换就称为一个对换。
如：排列 3 5 4 2 1 中的 5 与 2 对换，就得 到新排列 3 2 4 5 1。 定理 1 任何一个排列经过一次对换，排列改 变奇偶性。即奇排列经过一次对换变成偶排列， 偶排列经过一次对换变成奇排列。
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由x2 5x 6 0 解得 x 2 或 x 3.
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三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
线性代数
教 材:徐爱华(同济大学出版社) 参考书:同济大学数学系(高等教育出版社)
线性代数学习辅导与习题祥解(同上) 戴斌祥(北京邮电大学出版社)
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线性方程组的概念
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 称为线性方程组
找个记公式 的好办法
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定义1 由四个数排成二行二列（横排称行、竖 排称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
例如 a a a 13 21 32 列标排列 3 1 2 的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列 正号
a a a 11 23 32
列标排列 1 3 2 的逆序数为
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(1)t ( p1 p2 p3 ) a1p1 a2 p2 a3 p3 .
记作
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
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其中 p1 p2 pn 为自然数 1，2，，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22,
2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12,
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
4、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1 ; t( p1, p2 ,pn )
5、 一阶行列式 | a | = a 不要与绝对值相混淆。
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三、计算几个特殊的行列式
例3 计算对角行列式
1
（1） D
2
12 n
（2） D
n
1
2
?
n
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解
设
a i
i ,ni 1
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
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(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。
amn xn bm
若常数项b1,b2, ,bm不全为零, 称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2, ,bm 全为零,
称方程组为齐次线性方程组.
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第一章 行列式 第二章 矩阵 第三章 向量与线性方程组 第四章 矩阵的特征值与特征向量 第五章 二次型 第六章 用软件解线性代数问题
ann
1 a a t p1 p2 pn 1 p1 2 p2
anpn
( p1 p2 pn )
表示对所有的 n 级排列求和 。
( p1 p2 pn )
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说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要 而定义的； 2、n 阶行列式是 n! 项的代数和； 3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积；
如：排列 2 4 3 1 中，21，41，31，43 均为 逆序，则排列的逆序数为4。（依次与其他数比大小）
定义 3 逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序 数是偶数或 0 的排列称为偶排列。
如：2 4 3 1 是偶排列；3 1 4 2 5 中有 3 个 逆序，是奇排列。
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逆序数的求法为：
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1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
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二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
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aa1211xx11
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
这个解 能当公式用吗
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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第一章
解决代数问题 的一种工具
行列式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 二阶与三阶行列式
第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行(列)展开
第五节 克莱姆法则
用行列式表达 的求解公式
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式 二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a a a 31
32
33
a a a 13 22 31 a a a 11 23 32 a a a 12 21 33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项。
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积（每行出一个、每列出一个）。
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（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列。
，则
1
2
a1n a2,n1
n
an1
(1)t a1na2,n1 an1 (1)t 12 n
a31 a32 a33
( p1 p2 p3 )
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由此，我们可以推广到 n 阶行列式情形。
定义5 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积