优质课《231平面向量基本定理》教案
高中数学 231平面向量基本定理教案 新人教A版必修4 教案
课题2.3.1 平面向量基本定理教学目标知识与技能理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义过程与方法在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量情感态度价值观启发引导，讲练结合重点会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题难点同上教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量AB→，CD→，EF→，GH→，HG→，a.通过观察，可得：AB→＝_________，CD→＝_________，EF→＝_________，GH→＝_____________，HG→＝___________，a＝______.(2)平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？平面向量基本定理的证明教学内容教学环节与活动设计(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)探究点三向量的夹角(1)已知a、b是两个非零向量，过点O作出它们的夹角θ.(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？(3)在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角：a．〈AB→，AC→〉＝；b．〈AB→，CA→〉＝；c．〈BA→，CA→〉＝；d．〈AB→，BA→〉＝ .【典型例题】例1已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解∵a，b不共线，∴可设c＝x a＋y b，则x a＋y b＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1⎩⎪⎨⎪⎧选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何知识．要注意将教学设计教学内容教学环节与活动设计例2如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试用a、b表示DC→、BC→、MN→.解如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形则DC→＝AN→＝12AB→＝12a，BC→＝NC→－NB→＝AD→－12AB→＝b－12a，MN→＝CN→－CM→＝－AD→－12CD→＝－AD→－12⎝⎛⎭⎪⎫－12AB→＝14a－b.例3在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a，b用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几教学小结平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的课后反思。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《2.2.1平面向量基本定理》优秀教案
主备人：蒋静 审核人：吴哲 使用时间： 课题：&2.2.1平面向量基本定理【教学目标】1了解平面向量基本定理及其意义，会利用向量基本定理解决简单问题2掌握线段中点的向量表达式 3会用基底表示平面内任一向量【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理的应用． 难点：平面向量基本定理的理解． 基本知识点梳理复习：（1）向量加法的运算法则（2）平行向量基本定理内容是什么？1．平面向量基本定理： 如果e 1和e 2是平面内的两个的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在惟一的一对实数，使我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的2．直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线上的任意两点，O 是外一点如图所示，则对于直线上任一点op2.2.12 C a ＋n b ，要使a 、b 、c 的终点在一条直线上设a ，b ，c 有公共起点，m ，nm ，n ∈R 需满足的条件是A ．m ＋n ＝－1B ．m ＋n ＝0C ．m－n ＝1D ．m ＋n ＝13．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么A ．若实数λ1、λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1、λ2是实数C ．对实数λ1、λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2的实数λ1、λ2有无数对4．已知向量e 1、e 2不共线，实数，满足－e 1＋2＋e 2＝6e 1＋3e 2，则－的值等于A ．3B ．－3C ．6D ．－65．设一直线上三点A ，B ，为BC 的中点，则错误!与BN 相交于点P ，试用a 、b 表示向量错误!N。
平面向量基本定理教案
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
在教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点二.学习目标1）知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底 来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识三、教学重点及难点教学重点：对平面向量基本定理的探究教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用四、课堂结构设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学结构设计为以下阶段：五、教学过程设计1、复习旧知，做好铺垫复习旧知做好铺垫 问题驱动 探究新知 思考交流 构建概念 例题练习 巩固新知 归纳小结 深化认识 布置作业 巩固提高（1）向量的加法（2）向量的减法（向量的减法：向量的终点连接，箭头指向被减向量）（3）共线定理若b a a 与)0(≠共线)0(≠=a a b λ2.问题驱动、探究新知问题（1 ）已知21,e e （如图），做出2123e e +.解：做212,3e OB e OA ==,然后以为边做、OB OA OACB ,则2123e e OB OA AC OA OC +=+=+=，如下图所示：[设计意图]： 复习向量的加减法及数乘，为向量的线性表示打下基础．同时强调OC 可以沿着21,e e 分解，为学习平面向量基本定理起好铺垫作用。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量的基本定理教案数学教案
2.3 .1 平面向量基本定理知识讲解1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？存在夹角，不一样．1. 夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图2－3－1所示)．图2－3－1(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.例1.如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试以a、b为基底表示DE→、BF→.学生阅读课本。
学生自己动手尝试。
图2－3－2平面向量基本定理→基底不共线→向量共线定理→线性表示【自主解答】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE → ＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .学生自己动手尝试。
课堂训练1．下列关于基底的说法正确的是( ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③【解析】 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确． 【答案】 C学生合作交流。
平面向量基本定理(教案)
《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。
2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。
因此本节知识在本章中起承上启下的作用。
3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。
它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。
【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。
过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。
情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。
【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 必修4
2．3.1 平面向量基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量．(2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．2．过程与方法由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间的相互联系和相互转化．(2)通过例题及练习，体会向量语言及运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．●重点难点重点：平面向量基本定理及其意义．难点：平面向量基本定理的应用.(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量基本定理教学教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．2．关于应用平面向量基本定理的教学教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入平面向量基本定理，并引导学生初步理解定理及其作用.⇒引导学生结合向量共线等知识，理解基底概念及向量的正交分解的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生进一步正确理解平面向量基本定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用基底表示向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解平面向量基本定理及其意义．(难点)2.了解基底的含义．3.会用任意一组基底表示指定的向量．4.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(重点)平面向量基本定理【问题导思】已知▱ABCD 的对角线交点为O ，AB →＝a ，AD →＝b ，如何用a ，b 表示AO →？ 【提示】 AO →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(a ＋b)＝12a ＋12b.(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量的正交分解【问题导思】一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？ 【提示】 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a ＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe1＋λe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 【思路探究】 运用基底概念与平面向量基本定理进行判断． 【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定． (3)正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．下列两个命题(1)若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a ，b ，c ，d ∈R)，则a ＝c ，b ＝d. (2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．其中正确的是________．【解析】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立． (2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为一组基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来． 【答案】 (2)用基底表示向量图2－3－1如图2－3－1所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【思路探究】 OM →＝OB →＋BM →，ON →＝OC →＋CN →，MN →＝ON →－OM →，再将各量转化为OA →，OB →. 【自主解答】 BA →＝OA →－OB →＝a －b. ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b.又OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b. 1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解． 图2－3－2(2013·南通高一检测)如图2－3－2，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.【解】 如图所示，连结CN ，则四边形ANCD 是平行四边形，即DC →＝AN →＝12AB →＝12a ，BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12(－12AB →)＝14a －b.平面向量基本定理的应用图2－3－3如图2－3－3，已知在△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点(靠近B 点)，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ， (1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【思路探究】 (1)由题意可知A 是BC 的中点，利用平行四边形法则求OC →，利用三角形法则求DC →；(2)利用C ，D ，E 三点共线，结合共线向量定理求解． 【自主解答】 (1)∵A 为BC 中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b.(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa－2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b. ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m(－2a ＋53b)，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m)b＝0.∵a ，b 不共线且为非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．此类问题要结合图形条件与所求证问题，寻求解题思路．本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算．2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题． 图2－3－4如图2－3－4，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD.求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】 ∵M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD ， ∴MB →＝12AB →，BN →＝13BD →，∴MN →＝MB →＋BN →＝12AB →＋13BD →＝12AB →＋13(AD →－AB →)＝16AB →＋13AD →，又MC →＝MB →＋BC →＝12AB →＋AD →＝3(16AB →＋13AD →)＝3MN →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M ，N ，C 三点共线.用待定系数法确定向量的表示 图2－3－5(14分)如图2－3－5，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值． 【思路点拨】 可先从已知图形中选出两个简单向量作为一组基底建立起数学模型，由图形特征可知选择BM →与CN →作为基向量较好． 【规范解答】 设BM →＝e1，CN →＝e2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2. 4分 ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe1－3λe2， BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2. 故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 8分 而BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →.即AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2. 14分基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系．可用方程思想，利用待定系数法确定向量． 1．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．2．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0. (3)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．1．下列关于基底的说法正确的是________．(填序号) ①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的． 【解析】 作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确．【答案】 ①③2．已知向量e1，e2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，则x －y 的值为________．【解析】 ∵(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝6－3＝3.【答案】 3 图2－3－63．在如图2－3－6所示的平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC →＝12b －14(a ＋b)＝－14a ＋14b.【答案】 －14a ＋14b4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，求λ的值．【解】 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点， 若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.一、填空题1．若O 是▱ABCD 的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________． ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.【解析】 只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，AD →与AB →是有公共点的不共线向量，CA →与DC →也是有公共点的不共线向量．【答案】 ①③ 2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________． ①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2. 【解析】 因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线． 【答案】 ③ 图2－3－73．如图2－3－7，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________.【解析】 AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a.【答案】 b ＋12a4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则nm ＝________.【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 25．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →表示为________．【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m(OB →－OP →)， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB →1＋m .【答案】 OP →＝OA →＋mOB→1＋m6．如图2－3－8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，若CE →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 图2－3－8【解析】 由E 是AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)＝－12AC →＋14CB →＝－12AC →＋14(AB →－AC →)＝14AB →－34AC →，则r ＋s ＝－12.【答案】 －127．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BD →＝DC →，AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，则2AD →＋3BF →＋3CE →＝________.【解析】 由BD →＝DC →，易知AD →＝12(AB →＋AC →)，所以2AD →＝AB →＋AC →，再由AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，可知3BF →＝BA →，3CE →＝CA →，所以2AD →＋3BF →＋3CE →＝0. 【答案】 08．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝(λ＋μ2)b －(λ2＋μ)a，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 43二、解答题9．(2013·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a ＝－e1＋3e2，b ＝4e1＋2e2，c ＝－3e1＋12e2，试用b ，c 为基底表示向量a. 【解】 设a ＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R 则， －e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c.10．平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 为BC 的中点，设AB →＝b ，AD →＝d ，AM →＝m ，AN →＝n.(1)以b ，d 为基底，表示MN →； (2)以m ，n 为基底，表示AB →. 【解】 如图所示．(1)MN →＝AN →－AM →＝(AB →＋BN →)－(AD →＋DM →)＝(b ＋12d)－(d ＋12b)＝12b －12d.(2)m ＝AD →＋DM →＝d ＋12AB →，①n ＝AB →＋BN →＝AB →＋12d ，所以2n ＝2AB →＋d ，② 由①②消去d ，得AB →＝43n －23m.图2－3－911．如图2－3－9所示，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP →＝4PM →.【证明】 记BM →＝e1，CN →＝e2，所以AC →＝－3e2，CM →＝－e1，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2.因为A ，P ，M 共线，且B ，P ，N 共线，所以存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－3λe2－λe1，BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2， 所以BA →＝BP →＋PA →＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1，即AP →＝4PM →.(教师用书独具)用向量法证明三角形的三条中线交于同一点．【思路探究】 令△ABC 的中线AD 与中线BE 交于点G1，中线AD 与CF 交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点．【自主解答】 如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线．令AC →＝a ，BC →＝b ，则AB →＝CB →－CA →＝AC →－BC →＝a －b ，AD →＝AC →＋CD →＝a －12b ，BE →＝BC →＋CE →＝－12a＋b.令AD 与BE 交于点G1，并假设AG1→＝λAD →，BG1→＝μBE →，则有AG1→＝λa－λ2b ，BG1→＝－μ2a ＋μb.∴AG1→＝AB →＋BG1→＝(1－μ2)a ＋(μ－1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1.由此可得λ＝μ＝23，∴AG1→＝23AD →.再令AD 与CF 相交于G2，同样的方法可得AG2→＝23AD.∴G1与G2重合，即AD ，BE ，CF 相交于同一点． ∴三角形三条中线交于一点．向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示惟一，如证AG1→＝AG2→，则得G1，G2重合．在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点.AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.求证：B ，E ，F 三点共线．【证明】 因为D 是BC 的中点，所以有AD →＝12(a ＋b)．又因为AE →＝23AD →＝13(a ＋b)，AF →＝12AC →＝12b ， 所以BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a)． 所以BE →＝23BF →. 又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.1 平面向量基本定理》
平面向量的基本定理、正交分解及坐标表示一、教学目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角概念；（2）会用基底表示平面内任一向量，能简单的应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解坐标表示。
2、过程与方法（1）通过对平面向量基本定理的探究以及用坐标表示平面向量的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（2）培养学生观察、发现问题的能力，加强学生思维能力的训练，通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力工具。
3、情感态度与价值观通过本节课的教学，引导学生经历定理的产生过程，学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探索活动中形成锲而不舍的钻研精神，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．二、教学重点与难点重点：平面向量基本定理的探究；平面向量的坐标表示。
难点：平面向量基本定理的理解及其应用。
三、教学方法探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，由向量的合成引出向量分解，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．四、教学过程一、复习旧知，引入课题：1．向量的加法运算法则？2．两个非零向量共线的条件是什么？3．给定向量 1e 2e ，作向量→a =1232e e + 采用平行四边形法则构图求得，反问：给定向量 1e ，2e 和→a 向量，如何确定三者之间的关系，上述关系式还成立吗？教师：（1）提问学生回答，多媒体展示三角形法则、平行四边形法则； （2）两非零向量共线的条件，并补充问题两向量方向有何关系？ （3）提问学生口述向量合成的过程，引导学生思考反问，板书课题。
学生：思考并进行回答，设计意图：回顾平面向量线性运算及向量共线定理，提问学生由向量的合成问题反问其分解问题——引出课题二、探究归纳，讲授新课： 1、平面向量基本定理假设1e ，2e 是平面内两个不共线向量，a 是平面内任一向量，能否用向量1e 2e 表示向量→a （引导学生构造平行四边形）OA =1e ，OM =λ12e ，OC =a =OM ON =λ11e λ22e ， OB =2e ，ON =λ22e ．教师：引入几何画板，引导学生通过向量动态变化深刻认识定理的关键点，并设置以下问题引导学生进行思考：（1）向量→a 是平面中的任意一个向量吗？如果向量→a 与向量1e 或者2e 共线，还能否用其表示？（板书：向量→a 的任意性）（2）向量1e 2e 可否共线？向量→a 只能用向量1e 2e 进行表示吗？（板书：基底是平面内任意两个不共线向量,用来表示向量→a 的1e 2e 可以有无数组）（3）基底确定,对于向量→a ,有且只有一对实数λ1 λ2,使得a ＝λ11e λ22e （板书：λ1λ2的唯一确定性）教师引导学生归纳总结得出平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有1e2eaNBC一对实数λ1 ，λ2使a ＝λ11e λ22e ．不共线的向量1e 2e 叫做表示平面内所有向量的一组基底设计意图：通过问题的设置，引导学生观察几何画板中向量分解所构造的平行四边形动态变化，归纳总结平面向量基本定理的关键点，掌握其定理本质含义，加深学生对定理的认识。
数学：2.2.1《平面向量基本定理(一)》教案(新人教B版必修4)
2.2.1平面向量基本定理(人大附中 乜全力)
一、教学目标 1。
知识与技能
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解； （2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
2。
过程与方法
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
3。
情感态度与价值观
通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质． 二、教学重点与难点
重点：平面向量基本定理的应用；
难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性． 三、教学方法
探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础． 四、教学过程
点出发，以初速度υ
2. OC s s =+
2s 和为水平方向和
、e 是同一平面内两e 、e 是同一平面内两个不共14EF -=e 2GH =-e 2. 自主探索作图的方法. 总结作图步骤，CM //OB 与直线OA 交于M ，过C
11
a =e ,
11a =+a e 设存在实数如果（课本P97
例1） 11
教师提问：能否用a,b 成过程，培养学生分析问.tOB
根据平面向量基本定
()t OB OA +- (1)t OA tOB -+OM P。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案教案标题：平面向量基本定理教案教学目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3. 理解平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理；4. 能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：学生课本、笔记本、作业本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念，通过实例让学生了解向量的定义和表示方法；2. 引发学生对平面向量的兴趣，提出一个与向量相关的问题，引导学生思考。
二、讲解（15分钟）1. 通过教学PPT，向学生讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则，并给出实例进行演示；2. 介绍平面向量的基本定理，包括平行四边形定理和三角形定理，给出相关的几何解释和证明过程。
三、练习（20分钟）1. 学生个人练习：在黑板上出示一些平面向量的练习题，让学生个人完成，并互相交流讨论；2. 学生小组练习：将学生分成小组，给每个小组分发一套练习题，让他们共同合作解决问题；3. 教师巡回指导，解答学生疑惑。
四、展示与总结（10分钟）1. 随机选择几位学生上台展示解题过程，让其他学生评价和提出改进意见；2. 教师进行总结，强调平面向量基本定理的重要性和应用范围；3. 布置作业：要求学生完成课后习题，巩固所学知识。
五、拓展与应用（5分钟）1. 引导学生思考平面向量在实际生活中的应用，如力的合成、速度的合成等；2. 提供一些相关的拓展问题，让学生进行探究和解决。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面向量的概念和基本性质，掌握平面向量的运算规则，并能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
在教学过程中，通过多种练习形式，激发了学生的学习兴趣和合作意识。
同时，通过展示和总结环节，提高了学生的表达能力和思维能力。
在今后的教学中，可以加强与实际生活的联系，提供更多的应用案例，增加学生的实践操作。
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）第一篇：《平面向量基本定理》教学设计《平面向量基本定理》教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。
内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。
从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。
（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。
）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。
二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。
2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。
3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。
4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。
5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。
三、教学问题诊断分析1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。
高中数学优质教案1：2.3.1 平面向量基本定理教学设计
必修四第二章平面向量2．3.1平面向量基本定理教学目的：知识目标：掌握平面向量基本定理通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：平面向量基本定理教学难点：平面向量基本定理教学过程：导入新课Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.Ⅱ.讲授新课平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一；(5)一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解。
当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
应用示例 例1 已知向量1e ,2e , 求作向量-2.51e +32e .作法：（1）取点O ，作OA =-2.51e ,OB =32e . （2）作Y OACB ，OC 即为所求-251e +32e例2 如图ABCD Y 的对角线交于M,且AB =a ρ,AD =b ρ,用a ρ,b ρ表示MA ,MB ,MC 和MD .解：在ABCD Y 中 ，∵AC =AB +AD =a ρ+b ρ ，DB =AB -AD =a ρ-b ρ∴MA =-21AC =-21(a ρ+b ρ)=-21a ρ-21b ρ， MB =21DB =21(a ρ-b ρ)=21a ρ-21b ρ,MC =21AC =21a ρ+21b ρ,MD =12-DB =-21a ρ+21b ρ. 例3如图，OA ，OB 不共线,AP =t AB (t ∈R),用OA ,OB 表示OP .解：∵AP =t AB ∴OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA =(1-t)OA + tOB .四、课堂练习：1.已知矢量12122,2a e e b e e =-=+r r r r r r ,其中1e 、2e 不共线,则a b +r r 与1262c e e =-r r r 的关系是( B )A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2.已知向量1e 、2e 不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )1e +(2x -3y )2e =61e +32e ,则x -y 的值等于( A )A.3B.-3C. 0D.23.若a ρ、b r 不共线,且0a b λμ+=r r r (λ,μ∈R ),则λ= 0 ,μ= 0 。
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《2.3.1平面向量基本定理》教案
参赛号：70
一、教材分析
本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以，本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标
知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.
过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.
情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的探究；
教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.
三、教学过程
1、情景创设
七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！ 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？
问题1 给定一个非零向量a r
，允许做线性运算，你能写出多少个向量？
a r a λr
问题2 给定两个非零向量12 ,e e u r u u r
，允许做线性运算，写出尽量多的向量？ 1、12 //e e u r u u r 通过线性运算会得到11221122 +e e e e λλλλu r u u r u r u u r
的形式，本质上它
们表示的都是1e u r
的数乘。
2、12 e e u r u u r ，不共线 通过线性运算会得到1122+e e λλu r u u r ，它表示的是什么向量？ 1e 2e
不妨我们作出几个向量12+e e u r u u r ，122+e e u r u u r ， 12-e e u r u u r
， 12-2e e u r u u r 来看看。
只要
给定1λ和2λ的值，我们就可以作出向量1122+e e λλu r u u r ，本质上是1e u r 的数乘和2e u u r
的数乘的合成。
随着1λ和2λ取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。
问题3 那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由1e u r 和2e u u r 来合成呢？
我们在平面上任取一个向量a r ，看看它能否由1e u r 和2e u u r
来合成，也就是能否找
到这样的1e u r 和2e u u r ，使1122+a e e λλ=r u r u u r
？
这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量1e u r 和2e u u r
，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示？
思考探究： 根据探寻的目标1122+a e e λλ=r u r u u r
，结合上面向量合成的做法，显然a r 就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是1e u r 和2e u u r
所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。
1e 2e a ρ
如图所示，在平面内任取点O ，作=1e ,=2e ,=. 作平行四边形
ONCM. 则ON +=.由向量共线定理可得，存在唯一的实数1λ，使
=OM 1λ1e ;存在唯一的实数2λ，使=ON 2λ2e .即存在唯一的实数对1λ，2λ，
使得a =1λ1e +2λ2e .
强调：向量的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ，2λ的存在性与唯一性。
2、定理剖析
讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？
如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意
向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a =1λ1e +2λ2e
这里我们发现平面内的任意两个不共线向量1e 、2e 就类似于音乐中的7个音符，类似于英文中的26个字母。
我们把任意两个不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底。
定理说明：
（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？ 不共线的两个向量
（2）一个平面的基底是唯一的吗？ 不唯一，可以有无数多个
（3）当平面的基底给定时，任意向量的分解形式唯一的吗？ 由共线向量定理可知：1λ，2λ唯一确定 3、例题分析
例1 已知向量1e 、2e ，求作向量-2.51e +32e . 1e 2e
例2 如图平行四边形ABCD 两条对角线相交于M ，且a AB =，b AD =，用b a ,表示向量MD MC MB MA ,,,.
变式：在上述平行四边形中，若已知 , , .AC m BD n m n AB AD ==u u u r u r u u u r r u r r u u u r u u u r 试用基底，表示和 4、课堂检测
1、已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足(3x -4y ) 1e +(2x -3y ) 2e =61e +32e ，则x -y 的值等于( )
A.3 B .-3 C.0 D.2
2、如图，已知梯形ABCD ，AB//CD ，且AB= 2DC,M,N 分别是DC,AB 的中点.记向
量a AB =b AD =,试用a ，b ρ
表示向量MN .
5、课堂小结
（1）平面向量基本定理；
（2）该定理研究了向量哪方面的知识 2.3.1平面向量基本定理
问题引入
平面向量基本定理
定理说明
例1，
例2
变式训练
小结
7、作业
A
N
M
C
D
B。