优质课《231平面向量基本定理》教案

《2.3.1平面向量基本定理》教案

参赛号：70

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.

过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.

情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的探究；

教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.

三、教学过程

1、情景创设

七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！ 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？

问题1 给定一个非零向量a r

，允许做线性运算，你能写出多少个向量？

a r a λr

问题2 给定两个非零向量12 ,e e u r u u r

，允许做线性运算，写出尽量多的向量？ 1、12 //e e u r u u r 通过线性运算会得到11221122 +e e e e λλλλu r u u r u r u u r

的形式，本质上它

们表示的都是1e u r

的数乘。

2、12 e e u r u u r ，不共线 通过线性运算会得到1122+e e λλu r u u r ，它表示的是什么向量？ 1e 2e

不妨我们作出几个向量12+e e u r u u r ，122+e e u r u u r ， 12-e e u r u u r

， 12-2e e u r u u r 来看看。只要

给定1λ和2λ的值，我们就可以作出向量1122+e e λλu r u u r ，本质上是1e u r 的数乘和2e u u r

的数乘的合成。随着1λ和2λ取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。

问题3 那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由1e u r 和2e u u r 来合成呢？

我们在平面上任取一个向量a r ，看看它能否由1e u r 和2e u u r

来合成，也就是能否找

到这样的1e u r 和2e u u r ，使1122+a e e λλ=r u r u u r

？

这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量1e u r 和2e u u r

，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示？

思考探究： 根据探寻的目标1122+a e e λλ=r u r u u r

，结合上面向量合成的做法，显然a r 就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是1e u r 和2e u u r

所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。

1e 2e a ρ

如图所示，在平面内任取点O ，作=1e ,=2e ,=. 作平行四边形

ONCM. 则ON +=.由向量共线定理可得，存在唯一的实数1λ，使

=OM 1λ1e ;存在唯一的实数2λ，使=ON 2λ2e .即存在唯一的实数对1λ，2λ，

使得a =1λ1e +2λ2e .

强调：向量的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ，2λ的存在性与唯一性。 2、定理剖析

讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？

如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意

向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a =1λ1e +2λ2e

这里我们发现平面内的任意两个不共线向量1e 、2e 就类似于音乐中的7个音符，类似于英文中的26个字母。

我们把任意两个不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组

基底。 定理说明：

（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？ 不共线的两个向量

（2）一个平面的基底是唯一的吗？ 不唯一，可以有无数多个

（3）当平面的基底给定时，任意向量的分解形式唯一的吗？ 由共线向量定理可知：1λ，2λ唯一确定 3、例题分析

例1 已知向量1e 、2e ，求作向量-2.51e +32e . 1e 2e

例2 如图平行四边形ABCD 两条对角线相交于M ，且a AB =，b AD =，用b a ,表示向量MD MC MB MA ,,,.

变式：在上述平行四边形中，若已知 , , .AC m BD n m n AB AD ==u u u r u r u u u r r u r r u u u r u u u r 试用基底，表示和 4、课堂检测

1、已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足(3x -4y ) 1e +(2x -3y ) 2e =61e +32e ，则x -y 的值等于( )

A.3 B .-3 C.0 D.2

2、如图，已知梯形ABCD ，AB//CD ，且AB= 2DC,M,N 分别是DC,AB 的中点.记向

量a AB =b AD =,试用a ，b ρ

表示向量MN .

5、课堂小结

（1）平面向量基本定理；

（2）该定理研究了向量哪方面的知识 2.3.1平面向量基本定理

问题引入

平面向量基本定理

定理说明

例1，

例2

变式训练

小结

7、作业

A

N

M

C

D

B