人教A版数学必修一 函数与方程
函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)
专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。
人教A版高中数学必修一课件 《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-
2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+43=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程 log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).
(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解. 由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.394>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点 所在的区间为(1,2).所以k=1.
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思想方法 随堂演练
变式训练本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数解; (2)方程的一个解大于1,一个解小于1.
解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
课堂篇 探究学习
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思想方法 随堂演练
例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ( )
A.(0,2)
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在
的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为
.
分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所 在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的 符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.
函数的零点与方程的解+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
. . .
8
.
6
.
4
.
2
.
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 .
－4
－6
f (2) ln 2 2 0，f (3) ln 3 0，即f (2) f (3) 0
又 f (x)在(0, )连续
由函数零点存在定理知，f (x)在(2,3)内至少有一个零点
易证f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 所以函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
[例2]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( AD ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
(法2)ex－x－2＝0的根
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
⇔ex=x－2的根
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例3]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为___2___个.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
记载了费拉里的四 次方程 一般解法
1802～1829·挪威 阿贝尔
证明了五次以上一般方程 没有求根公式
ln x 2x 6 0
y ln x 2x 6
超越方程
零点问题
不能用代数运算求解 一种判定函数有零点的方法
必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重 点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与 方程的根的联系(重点)．
课前预习
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预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
课前预习
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续 的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标， 也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函 数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题， 这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
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题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
课前预习
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题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝ －3116<0， 所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解教学设计
4.5.1 函数的零点与方程的解教材分析：（1）函数的零点：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
这个概念是由二次函数的零点推广到一般函数f(x)得到的.（2）函数的零点与方程的解的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.从代数上看，在函数y=f(x)的解析式中，当函数值y=0时，得到方程f(x)=0，这个方程的实数解就是使f(x)=0的实数x，因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.从图形上看，函数y=f(x)的解析式可以看成关于x,y的方程，这个方程的每一组解（x,y）对应于直角坐标系平面中函数y=f(x)的图象上一个点（x,y），当函数值y=0时，对应的点为（x,0），它是函数y=f(x)的图象与x轴交点，因此，方程f(x)=0的实数解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.函数的零点与方程的解的关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.函数的零点与方程的解的关系也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解。
（3）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点。
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，意味着在区间[a,b]上，当自变量从a连续不断地变化到b时，相应的函数值从f(a)连续不断地变化到f(b).若f(a)f(b)<0，则f(a)>0且f(b)<0,或者f(a)<0且f(b)>0，意味着当函数值从f(a)连续不断地变化到f(b)时，发生了函数值由正到负，或者由负到正的连续不断的变化，而正数和负数是以0为界线的，因此，必然存在一个c∈（a,b），使得f(c)=0.函数零点存在定理是判断方程在某个区间内是否有解的具体方法，是利用函数研究方程的有利工具。
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
新课标人教A版数学必修一第三章3.1.1方程的根与函数的零点
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
y
40
.
20
. . －4 －2
－5
－3 －1 0
. .
1 2 34 5
x
－20
.－40
.
.
.－60 .
. －80
它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
y
.. 5
3. 4 .
2 1
.
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下：
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
(0,+∞)内是增函数，所以
2 0
它仅有一个零点。
－2
－4
. . . . x1
x2 x3
.a
bc
..
. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
.
x4 x de
－6
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； 有 没有
（2）2x(x－2)＝－3； 有 没有
. －1
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
－2
＋∞）上的增函数，所以在
.－3
－4
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
3 4x
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析
高中数学必修第一册人教A版《二次函数与一元二次方程、不等式》教材分析2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、本节知识结构框图二、重点、难点重点、难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式.三、教科书编写意图及教学建议本节引入了一元二次不等式，研究它的解法和应用.在探索一元二次不等式的解法时，教科书首先从二次函数的观点看一元二次方程、不等式，然后从一元二次不等式与相应函数、方程的联系中推导出求解一元二次不等式的一般性方法，进一步发展了用函数理解方程、不等式的思想方法.1.一元二次不等式的定义本节从一元二次不等式的定义讲起，为了体现一元二次不等式的现实意义，教科书设计了一个实际问题——求花圃的矩形栅栏的边长，为了解决这个问题，需要把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来，再解数学模型.学生在初中学过了用一元一次不等式表示不等关系，在本章的第一节又练习了用不等式或不等式组表示不等关系，因此教科书在这里直接利用不等关系“围成的矩形区域的面积要大于20”建立了一个不等式“”.这就是一个一元二次不等式，教科书接下来给出了一般的一元二次不等式的定义和一般形式.要回答上述问题，就需解这个不等式，这就引出了对一元二次不等式解法的研究.2.借助二次函数与一元二次方程、不等式的联系，获得求解一元二次不等式的一般性方法求解一元二次不等式通常有两种基本方法，一种是代数方法，即先对二次三项式进行因式分解，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，再通过求解一元一次不等式组得到一元二次不等式的解集.但这种方法不适用于判别式的情况.另一种是函数方法，即借助二次函数图象，得到求解一元二次不等式的通性通法.教科书介绍的是后一种方法.在初中，学生学过了从一元一次函数观点看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程可以归结为在一次函数的函数值为0时，求自变量的值，解一元一次不等式或相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围，这种解法利用的三者的关系是：一次函数的图象与轴的交点就是一元一次方程对应的点，在轴上方或下方的点的集合就组成了一元一次不等式或的图象.为了将这种思想方法迁移到“二次”，在探索求解一元二次不等式的方法之前，教科书设计了一个思考栏目，先让学生回顾初中学过的从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，再从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法.在解答这个思考栏目时，教科书借助具体的一元二次不等式，阐述了二次函数与一元二次方程、不等式的联系：二次函数的图象与轴有两个交点，，这两个点满足解析式，且，所以交点的横坐标是一元二次方程的两个根，而图象位于轴下方的点都满足解析式，且，所以这些点的横坐标的取值范围就是不等式的解集.这样，教科书不仅借助具体的一元二次不等式回答了如何从二次函数的观点看一元一次方程、不等式，而且获得了这个不等式的解集.接下来，教科书对上述方法进行了归纳、概括，获得了求解一般一元二次不等式的解法.教学中可以引导学生发现，上述解法的关键是利用二次函数的图象与轴的相关位置确定不等式的图象对应的的取值范围，而确定的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根.于是，借助二次函数图象求解一元二次不等式的方法是：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.教科书接下来分，和三种情况，总结了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，利用这个对应关系就可以求解任意一元二次不等式了.需要说明的是，由于一般函数的零点的概念和性质在本书的“4.5函数的应用（二）”中才会有比较深入的介绍，所以教科书在这里只介绍了什么是二次函数的零点，而且没有推广这个概念.3.归纳用二次函数求解一元二次不等式的程序接下来，教科书安排了三道例题，示范如何用二次函数解一元二次不等式.这三道例题分别对应了与所求解的不等式相应的二次函数的图象与轴有两个交点、有一个交点和没有交点的情况，例3还代表了不等式的二次项系数的情况.通过解例1～例3中的不等式，教师可以引导学生总结用二次函数解一元二次不等式或的一般步骤：（1）检查二次项系数的符号，对于的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数.（2）计算判别式的值，如果，求方程的根；如果，说明方程无实数根.（3）画出二次函数的图象，结合图象得出不等式的解集.教师在教学中还需要注意，不要让学生通过记忆不同情况下不等式的解集的方式来解不等式，而是让学生画出相应二次函数的草图，数形结合地解不等式.在三道例题之后，教科书设计了一个框图，目的是更清晰地描绘出用二次函数求解一元二次不等式的程序.教学时可以让学生尝试在总结上述步骤的基础上，自己画出这个框图.4.应用一元二次不等式解决实际问题在本节的最后，教科书安排了两道例题来示范如何用一元二次不等式解决实际问题.实际上，用一元二次不等式解决实际问题时，难点在于建立一元二次不等式表示实际问题中的不等关系，但学生在本章的开始阶段已经重点学习了这个内容，而本节的重点是一元二次不等式的解法.因此，教科书在例4，例5中都直接给出了描述实际问题的二次函数，为建立不等式提供了方便.例如，在例4中，某条摩托车流水线生产的摩托车数量与创造的价值之间的关系表示为二次函数__ ，那么要求这条流水线创收60 000元以上需要生产的摩托车的数量，实际上就是求一元二次不等式的解集.接下来，教科书按照前面介绍的求解一元二次不等式的步骤求出了不等式的解集，并根据实际情况解答了问题.本节的练习和习题2.3中也安排了应用一元二次不等式解实际问题的题目，除了习题2.3中“拓广探索”的题目，其他的题都比较容易列出一元二次不等式.教学中要注意把握本部分内容的重点，把重点放在解一元二次不等式上.。
人教版A版必修一第三章函数的应用 函数与方程1
探要点·究所然
答
方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0
在区间[2,4]上有零点3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)· f(4)＜0.
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
探要点·究所然
答
函数零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间
[a ， b] 上的图象是连续不断的一条曲线 ，并且有
f(a)· f(b)<0，那么函数 y ＝ f(x) 在区间 (a， by＝lg(x＋1); ③y＝2x；
④y＝2x－2的零点. 答 ①y＝lg x的零点是1；
②y＝lg(x＋1)的零点是0；
③y＝2x没有零点； ④y＝2x－2的零点是1.
探要点·究所然
例1
已知函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ，若 ac ＜ 0 ，则函数 f(x) 的零
a 1 令 bx －ax＝0，得 x＝0 或 x＝ ＝－ . 2 b
2
答案 A
探要点·究所然
探究点二 函数零点存在性定理
思考1 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3 的图象，发现这个二次函数在区间 [－2,1]上有零点－1，而f(－2)＞0， f(1)＜0，即f(－2)· f(1)＜0.二次函数
连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，
f(a)· f(b)<0是否一定成立？
答 不一定成立，由下图可知.
探要点·究所然
人教A版数学必修一教案：§3.1.1方程的根与函数的零点
第三章 函数的应用一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业 1课时小结 1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
人教A版数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点
小结
函数的零点定义
三个等价关系
函数零点存在性原理
数学思想方法
函
数
化
数
形
归
结
与
方
合
转
程
思
化
思
想
思
想
想
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图像连续方可行 。
注意：零点指的是一个实数，而不是一个点！
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的零点
数
函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标
形
例1、求下列函数的零点：（注意格式）
(1) y x2 x; (2) y log2 x; (3) y 3x 1;
解： (1)令y=0,即x2-x=0； 解得x1=0，x2=1
∴所求函数的零点是0和1 (2) 1 (3) 0
例2：已知函数 f (x) 是定义域为Ｒ的奇函数，且 f (x)
在(0, )上有一个零点，则f (x) 的零点个数为(A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
提升：这三个零点的和是多少？
思考
方程 ln x 2x 6 0 是否有实根？有几个实根
合作探究二
某地0--12时气温变化如图，中间一部分看不清 楚，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图像，这段时间内，是否一定有某时刻 的气温为0°C?为什么？
气温
8
0
12 时间
-4
判断二次函数 f (x) x2 2x 2 在区间 (2,3) 上是否存在零点.
数的角度— 求根法 形的角度— 你会从数来刻画这一图形特征吗？ y
人教A版高中数学必修一课件 《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式(第1课时)
即不等
式的解集的端点值是相应方程的根．
32
【例 3】 已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}，求 关于 x 的不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
[思路点拨]
由给定不等式 的解集形式
→
确定a<0及关于 a，b，c的方程组
→
用a表示b，c
→
代入所求 不等式
→
求解cx2＋bx＋a<0 的解集
25
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0. 当－2<a<0时，2a≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1；
26
当a<－2时，－1≤x≤2a. 综上所述，
当－2<a<0时，解集为x2a≤x≤－1
40
已知以 a，b，c 为参数的不等式如 ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他 不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
人教A版必修一课件第二章一元二次函数、方程和不等式(知识整合)
(1)求k的值；
[分析] (1)根据题意，比例系数为 k，设燃料费为 W1＝kv2，将 v＝ 10 时 W1＝96 代入即可算出 k 的值．
(2)算出航行 100 海里的时间为1v00小时，燃料费为 96v，其余航行运 作费用为15 v000元，由此可得航行 100 海里的总费用为 W＝96v＋15 v000， 再运用基本不等式求最值即可．
解得 m∈R，
所以 m<0，符合题意．
综上所述，实数 m 的取值范围是mm<16
.
(3)令 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2 的一切 m 的值不等式恒成立，则只需gg2－<20<，0，
即－2x22－x2－x－x－1<10<，0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3 .
因此，航行 100 海里的总费用为 W＝0.96v2·1v00＋15 v000＝96v＋15 v000(0<v≤15)， 因为 96v＋15 v000≥2 1 440 000＝2 400， 所以当且仅当 96v＝15 v000时，即 v＝ 1590600＝12.5<15 时，航行 100 海里的总费用最小，且这个最值为 2 400 元．
所以实数 x 的取值范围是x1－2
3 1＋ <x< 2
3
.
[归纳提升] 不等式恒成立求参数范围的方法 1．变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变 量看作主元．
2．分离参数法 若f(a)<g(x)恒成立，则f(a)<g(x)min. 若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max. 3．数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
人教A版2003课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点(共22张PPT)
探究三：零点存在性定理
探究三：零点存在性定理
（若不成立，利用图象举出反例）
23:27
学会了吗?
.
.
23:27
探究四：零点存在性定理的拓展
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0， 且是单调函数 那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零唯点一.的一个零点.
择决定命运，环境造就人生！
从特殊到一般性的归纳
判别式△
方程ax2 +bx +c =0(a>0)的 根
△＞0
△=0
Байду номын сангаас
△< 0
这个结论对于一般的二次方程和对应函数成立吗？
上述结一论元：二一次元方程二的次实方数程根的实数二次根函就数是图相象应与函x轴数的图交象点的 横坐标(方程与实x轴数根交的点个的数横就坐是标对应. 函数图象与x轴的交点的个数）
记忆口诀： 零点不是点； 等价三相连． 上下不间断； 零点可呈现．
㈡数学思想方法
体会函数与方程和数形结合的数学思想
课后作业
⑴完成学案; ⑵ (选做)教材88页课后练习第2题.
小测试
①函数 f (x) (x2 2)( x2 3x 2) 的零点的个数是 （ ）
A .1 B.2
C. 3
D.4
②函数 f (x) 图象在[a,b]上是一条连续不断的曲线，
且 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 在[a,b]上
（）
A .一定没有零点 B.至少有一个零点 C. 只有一个零点 D.零点情况不确定
③函数 f (x) 2x 3x 的零点所在的大致区间是 （ ）
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函数与方程
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
2．已知)(x f 唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下面命题错误的是
（ ）
A ．函数)(x f 在（1，2）或[2，3]内有零点
B ．函数)(x f 在（3，5）内无零点
C ．函数)(x f 在（2，5）内有零点
D ．函数)(x f 在（2，4）内不一定有零点 3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是
（ ）
A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到
B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点
C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点
D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解 4．通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是
（ ）
5．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求.
那么所取误差限ξ是 （ ）
A ．0.05
B ．0.005
C ．0.0005
D ．0.00005
6． 求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f
（ ）
A ．有且仅有一个根
B ．至多有一个根
C ．至少有一个根
D ．以上结论都不对
8．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是
（ ）
A ．ε越大，零点的精确度越高
B ．ε越大，零点的精确度越低
C ．重复计算次数就是ε
D ．重复计算次数与ε无关
9．已知1x 是方程lgx +x =3的解，2x 是310=+x x
的解，求21x x +
（ ）
A ．
2
3
B ．
3
2
C ．3
D ．3
1 10．方程0lg =-x x 根的个数
（ ）
A ．无穷多
B ．3
C ．1
D ．0
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．设函数)(x f y =的图象在[a ,b ]上连续，若满足 ，方程0)(=x f 在[a ,b ]
上有实根.
12．用“二分法”求方程0523
=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，
那么下一个有根的区间是 .
13．借助计算器用“二分法”求出方程x x f x --=23)(在区间（0，1）内的零点 .
14．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
①01272
=++x x ；②0)2lg(2
=--x x ；
③0133=--x x ；④0ln 31
=--x x 。
x
y
o
A
x
o
y
B
x
o
y
C
D
o。
x
y。
16．（12分）已知函数)(x f 图象是连续的，有如下表格，判断函数在那几个区间上有零点.
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x )
－3.51 1.02 2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
17．（12分）借助计算器，用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间（1，2）内的近似解（精
确到0.1）.
18．（12分）已知222)(x x x f -+=. ①如果)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的解析式； ②借助计算器，画出函数)(x g 的图象；
③求出函数)(x g 的零点（精确到0.1）.
19．（14分）国家购买某种农产品的价格为120元/担，其征税标准为100元征8元，计划可购m
万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点. ①写出税收)(x f （万元）与x 的函数关系式；
②要是此项税收在税率调节后达到计划的78%，求此时x 的值.
20．（14分）某电器公司生产A 种型号的家庭电脑。
1996年平均每台电脑的成本5000元，
并以纯利润2%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台电脑出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率. ①2000年的每台电脑成本；
②以1996年的生产成本为基数，用“二分法”求1996年至2000年生产成本平均每年降 低的百分率（精确到0.01）.
参考答案（10）
一、CCDAC CBBCD
二、11．
0)()(≤b f a f ； 12．[2，2.5]； 13．0.3； 14．0122=++x x ；
三、15． 解： （注这是草图，应该标明刻度）
16． 解：在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. 17．解：原方程即023
)62ln(=+-+x
x .
令23)62ln()(+-+=x x x f ，
用计算器做出如下对应值表
x －2 －1 0 1 2 f(x)
2.5820
3.0530
27918
1.0794
－4.6974
观察上表，可知零点在（1，2）内 取区间中点1x =1.5，且
00.1)5.1(-≈f ，从而，可知零点在（1，1.5）内；
再取区间中点2x =1.25，且
20.0)25.1(≈f ，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；
同理取区间中点3x =1.375，且
0)375.1(<f ，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；
由于区间（1.25，1.375）内任一值 精确到0.1后都是1.3. 故结果是
1.3
18．解： 4222)(x x x g -+=；
图象如右图
零点为7.1±（过程略）
19．解：①调节税率后税率为（8－x ）%,预计可收购m (1+2x%)万担，总金额为120m (1+2x%)万元，所以
)%8%)(21(120)(x x m x f -+=，即)80)(40042(125
3)(2≤<-+-=x x x m x f .
②计划税收为%78%8120⨯⨯m 即)80(088422
≤<=-+x x x
，解得x =2（求根公式）.
试用函数图象指出方程)80(088422
≤<=-+x x x 的根大致所在的区间.
20．解：
①设2000年每台电脑的成本为p 元，根据题意得%80%)201(5000%)501(⨯+=+p ，得p=3200元. ②设1996年至2000年平均每年降低的百分率为x ，根据题意得
o
x
y
2个
x o
y
2个
o
x
y
3个
没有
o
x
y
o
x
y
2个
)10(3200)1(50004<<=-x x 令)10(3200)1(5000
)(4<<--=x x x f 作出对应值表
x
0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 f (x
)
1800
－590
－2000
－2742
－3072
－3180
－3200
－3200
观察上表，可知零点在（0，0.15）内，取其中点为1x =0.075，且460)075.0(≈f ，
再取区间（0.075，0.15）的中点，2x =0.1125，且
98)1125.0(-≈f ，
同理可取区间（0.075，0.1125），中点3x =0.103125，且
0)103125.0(>f ，
依此类推（0.103125，0.1125），（0.103125，0.1078125），（0.10546875，0.1078125）内有零点. （0.10546875，0.1078125）内任一值的满足精确度0.01，且近似解为0.11.。