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30
如弦振动方程: utt a2uxx 0
其初始条件为: 同一时刻( t 0 )情况
u ut
t0 (x) t0 (x)
初始位移 初始速度
注意：( a）初始条件应是整个系统的初始
状态，而不是系统中个别点的初始状态。
31
如：一根长为 l 的两端固定的弦，用手把它的 中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（ 初始时该就为放手的时刻），则初始条件应为：
质点即每个小段可应用 F ma.
方法：将连续分布的介质离散化为多质点 系统，再取内部任一代表性的点进行研究。将 弦细分为许多极小的小段，取区间上 (x, x dx) 小段为代表。无质量且柔软，故该段仅受到相 邻两段的拉力 T1 和 T2 .
16
④ 对弦的每一小段dx,沿x方向（纵向） 没有运动，沿 x方向所受合外力为零。任一 小段弦在振动过程中只受到相邻段对它的张 力和施加在弦上的外力。
5!
1 tan1
sin 2
2
3 2
3!
5 2
5!
2 tan2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx
∵
ux
u x
tan
dx
tan 1 ux xdx
20
小振动近似：x dx与 x 两点间任一时刻横
27
二、定解条件的提出 1、必要性。导出方程后，就得对方程进行
求解。但是只有泛定方程不足以完全确定方程 的解，即不足以完全确定具体的物理过程，因 为具体的物理过程还与其初始状态及边界所受 的外界作用有关，因而必须找一些补充条件， 用以确定该物理过程。
28
从物理角度看：泛定方程仅表示一般性（共 性），要为物体的运动个性化附加条件。
F (t) T sin 1 T sin 2 0 sin 1 tan 1 ux (x0 0, t) sin2 tan2 ux (x0 0, t)
Tux (x0 0,t) Tux (x0 0,t) F (t) ②
①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。
y Βιβλιοθήκη Baidu Axl
47
三、三类定解问题
泛定方程 定解问题
定解条件
初始条件 边界条件+衔接条件
但并非所有的定解问题中，都一定同
时具有初始条件和边界条件。
48
（1）初值问题(Cauchy问题）：定解问 题中仅初始条件而无边界条件 ,如无界弦的 振动:
utt a2uxx , x
5
3.寻找（猜测）物理过程所遵守的 物理定律或物理公理;
4.写出物理定律的表达式，即数学 模型。
6
1.1 弦振动方程
一、弦的横振动方程 二、定解条件的提出 三、三类定解问题
7
一、 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动） 演奏弦乐（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回
拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引 起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦， 弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？
则上式为:
T[ux (x dx,t) T1ux (x,t)] Fdx dxutt
22
应用微积分中值定理:
ux (x dx,t) T1ux (x,t) uxxdx
dy f ' (x)dx ux (x dx,t) T1ux (x,t) uxxdx x Fdx dxutt
设单位长度上受到的横向外力为F (x,t).
17
沿 x 方向（纵向）： T1 cos1 T2 cos2 沿 y 方向（纵向）： T2 sin2 T1 sin1
于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小
段弦有:
T2 cos2 T1 cos1 0
①
T2 sin2 T1 sin1 Fds (ds)utt ②
物理学专业必修课程
数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
1
第一章 波动方程和行波法
2
引言 1.1 弦振动方程 1.2 行波法
3
基本步骤：
物理模型
定量化
数学模型
1.建立坐标系（时间，空间）
2.选择表征所研究过程的物理量 u 表征物理量的选择常常是建立一个新 方程的起点。 （一个或几个）。
u
F T2
2 1 s
T1
0 A x x x B x
14
② 弦离开平衡位置的位移记为 u(x,t),
为表征物理量。 ③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 F ma
对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许 多极小的小段，每个小段可以抽象为质点。
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
34
第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直 接规定所研究的物理量在边界上的数值
u f
u(x, y, z, t) (x0 ,y0 ,z0 ) f (x0 , y0 , z0 , t)
其中 f (x0 , y0 , z0 , t) 为已知函数。
42
再如，不同材料组成的杆的振动，在
衔接处的位移和能量相等，即：
u u 1 x x0
2 x x0
E1u1x xx0 E1u2 x xx0
u1(x,t), u2 (x,t) ：杆的两部分位移. E1 , E2 ：两部分的杨氏模量.
43
静电场中，两种电介质的交界面 s
上电势应相等（连续），电位移矢量的法 向分量也应相等（连续）,其衔接条件是:
a ：振动的传播速度 a
T
它与弦的张力的平方根成正比，与弦的
线密度的平方根成反比。
25
对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大； 弦的质料越密，波速越小。
上式 utt a2uxx f 中,外力 f 消失，即 f 0 则得弦的自由横振动方程：
utt a2uxx
26
注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。 不仅弦振动，一维波动方程，如弹性杆的横振 动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管 道中小振动的传播，理想传输线的电报方程等 均可用上述波动方程描述。故称为一类方程， 即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大） 可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导 三维波动方程，这里不再一一推导。
要求解为单值、有限，就提出自然边界条件， 这些条件通常都不是要研究的问题直接给出， 而是根据解的特性要求自然加上去，故称为自 然边界条件，如：
46
x2 y 2xy l(l 1) y 0 通解为： y Ax l Bx (l1)
在区间 0, a 上要求解有限，故
y x0 有限，从而在 0, a 中的解为:
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n上的
方向导数的数值.
u f n
u
，
n
( x0 , y0 ,z0 )
f (x0, y0, z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其 外法向导数的线性组合在边界上的值
f
t 0
tt
xx
ut t0 (x)
ut Du f u t0 (x)
33
3、边界条件 求解方程时还需考虑边界状况（周边“环
境”）（边界状况将通过逐点影响所讨论的 整个区域），称物理过程边界状况的表达式 为边界条件，或称为边值条件。
边界条件在数学上分为三类：
10
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它 的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个 小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传 播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力 的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全 可以略去。
11
① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没 有质量”的弦）
② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直 线，取为 x 轴。
从数学角度看：微分方程解的任意性也需附 加条件。通解中含任意函数（解不能唯一确定 ）。通过附加条件确定任意函数（常数），从 而确定解。这些附加条件就是前面所谈的问题 的“历史”与“环境”，即初始条件和边界条 件，统称为定解条件。
29
2、初始条件 在求解含时间t变量的数理方程时，往往要追
溯到早些某个所谓“初始”时间的状况（“历 史” ），于是称物理过程初始状况的数学表达 式为初始条件。
u
t 0
(
2h l
)
x
x
l 2
2h l
(l
x) l 2
x
l
ut t0 0
若 ut t0 h 就错了。
32
(b) 时间 t 的 n 阶方程需 n个初始条件，
n 个常数。
如：
u (x)
u a2u
u Hun (x0 ,y0 ,z0 ) f (x0 , y0 , z0 , t)
u u f H :常系数
n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
38
4、其它条件 ⑴ 衔接条件
由于一些原因，在所研究的区域里出
现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如
波动方程（弦），如果有横向力F (t )集中地
作用于 x0 点，这就成了弦的折点。在点 x0
斜率 u x的左极限 ux (x0 0,t) 不同于右极限
ux (x0 0,t)，因而 u xx不存在,
39
utt a2 u xx 0 在这一点无意义.如果,将 l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
③ 将弦上个点的横向位移记为 u u(x, t)
12
④ 已知：线密度 (x,t) (t), 重量不计，
张力 T (x,t) 沿切线方向，不随x变化，弦中 各点的张力相等（小振动下T 与t 也无关）.
⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想， 任意性。
13
3. 研究建立方程 ① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴
u1 s u1 s
1
u1 n
s
2
u2 n
s
44
其中 u1, u2 代表两种电介质的电势，
1, 2 代表两种电介质的介电常数，（设电
位移矢量分别为
D1, D2
,
则
D1n s D2n s
D E u
45
⑵ 自然边界条件 某些情况下，出于物理上的合理性等原因，
8
1. 物理模型 实际问题：设有一根细长而柔软的弦,紧绷
于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极 为微小的横振动（以某种方式激发，在同一平 面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波 的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上 各点的运动规律。
9
2. 分析 弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦
弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后， 相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的 张力，张力沿线的切线方向。
18
其中: 是弦的线密度，即单位长度的
质量，ds 为 dx 对应弧长，u 为弦的横向
位移， utt 为弦的横向加速度。
近似：考虑小的振动，1， 2 为小量。
cos1
1
12
2!
14
4!
1
19
cos2
1
2 2
2!
24
4!
1
sin 1
1
13
3!
15
Tuxxdx Fdx dxutt
utt Tuxx F
23
即
utt a2uxx f
—— 弦的强迫横振动方程
其中:
a2 T
，
f F
量纲分析：T : MLT 2 ， : ML1
24
∴
T
:
MLT 2 ML1
L2T 2
即 a2 : L2T 2
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的
振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
α1
α2
x
41
x x0 虽是折点，但它们连续，即
u(x0 0,t) u(x0 0,t)
①
在 x0 ，力 F(t) 应和张力平衡，即
向位移之差 u(x dx,t) u(x,t) 与 dx 相比是一
个小量，即
u 1 x
于是①、②化简为：
T2ux xdx T1ux x Fdx dxutt
21
即
T2ux (x dx,t) T1ux (x,t) Fdx dxutt
令
T2 T1 T
如弦振动方程: utt a2uxx 0
其初始条件为: 同一时刻( t 0 )情况
u ut
t0 (x) t0 (x)
初始位移 初始速度
注意：( a）初始条件应是整个系统的初始
状态，而不是系统中个别点的初始状态。
31
如：一根长为 l 的两端固定的弦，用手把它的 中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（ 初始时该就为放手的时刻），则初始条件应为：
质点即每个小段可应用 F ma.
方法：将连续分布的介质离散化为多质点 系统，再取内部任一代表性的点进行研究。将 弦细分为许多极小的小段，取区间上 (x, x dx) 小段为代表。无质量且柔软，故该段仅受到相 邻两段的拉力 T1 和 T2 .
16
④ 对弦的每一小段dx,沿x方向（纵向） 没有运动，沿 x方向所受合外力为零。任一 小段弦在振动过程中只受到相邻段对它的张 力和施加在弦上的外力。
5!
1 tan1
sin 2
2
3 2
3!
5 2
5!
2 tan2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx
∵
ux
u x
tan
dx
tan 1 ux xdx
20
小振动近似：x dx与 x 两点间任一时刻横
27
二、定解条件的提出 1、必要性。导出方程后，就得对方程进行
求解。但是只有泛定方程不足以完全确定方程 的解，即不足以完全确定具体的物理过程，因 为具体的物理过程还与其初始状态及边界所受 的外界作用有关，因而必须找一些补充条件， 用以确定该物理过程。
28
从物理角度看：泛定方程仅表示一般性（共 性），要为物体的运动个性化附加条件。
F (t) T sin 1 T sin 2 0 sin 1 tan 1 ux (x0 0, t) sin2 tan2 ux (x0 0, t)
Tux (x0 0,t) Tux (x0 0,t) F (t) ②
①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。
y Βιβλιοθήκη Baidu Axl
47
三、三类定解问题
泛定方程 定解问题
定解条件
初始条件 边界条件+衔接条件
但并非所有的定解问题中，都一定同
时具有初始条件和边界条件。
48
（1）初值问题(Cauchy问题）：定解问 题中仅初始条件而无边界条件 ,如无界弦的 振动:
utt a2uxx , x
5
3.寻找（猜测）物理过程所遵守的 物理定律或物理公理;
4.写出物理定律的表达式，即数学 模型。
6
1.1 弦振动方程
一、弦的横振动方程 二、定解条件的提出 三、三类定解问题
7
一、 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动） 演奏弦乐（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回
拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引 起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦， 弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？
则上式为:
T[ux (x dx,t) T1ux (x,t)] Fdx dxutt
22
应用微积分中值定理:
ux (x dx,t) T1ux (x,t) uxxdx
dy f ' (x)dx ux (x dx,t) T1ux (x,t) uxxdx x Fdx dxutt
设单位长度上受到的横向外力为F (x,t).
17
沿 x 方向（纵向）： T1 cos1 T2 cos2 沿 y 方向（纵向）： T2 sin2 T1 sin1
于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小
段弦有:
T2 cos2 T1 cos1 0
①
T2 sin2 T1 sin1 Fds (ds)utt ②
物理学专业必修课程
数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
1
第一章 波动方程和行波法
2
引言 1.1 弦振动方程 1.2 行波法
3
基本步骤：
物理模型
定量化
数学模型
1.建立坐标系（时间，空间）
2.选择表征所研究过程的物理量 u 表征物理量的选择常常是建立一个新 方程的起点。 （一个或几个）。
u
F T2
2 1 s
T1
0 A x x x B x
14
② 弦离开平衡位置的位移记为 u(x,t),
为表征物理量。 ③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 F ma
对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许 多极小的小段，每个小段可以抽象为质点。
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
34
第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直 接规定所研究的物理量在边界上的数值
u f
u(x, y, z, t) (x0 ,y0 ,z0 ) f (x0 , y0 , z0 , t)
其中 f (x0 , y0 , z0 , t) 为已知函数。
42
再如，不同材料组成的杆的振动，在
衔接处的位移和能量相等，即：
u u 1 x x0
2 x x0
E1u1x xx0 E1u2 x xx0
u1(x,t), u2 (x,t) ：杆的两部分位移. E1 , E2 ：两部分的杨氏模量.
43
静电场中，两种电介质的交界面 s
上电势应相等（连续），电位移矢量的法 向分量也应相等（连续）,其衔接条件是:
a ：振动的传播速度 a
T
它与弦的张力的平方根成正比，与弦的
线密度的平方根成反比。
25
对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大； 弦的质料越密，波速越小。
上式 utt a2uxx f 中,外力 f 消失，即 f 0 则得弦的自由横振动方程：
utt a2uxx
26
注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。 不仅弦振动，一维波动方程，如弹性杆的横振 动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管 道中小振动的传播，理想传输线的电报方程等 均可用上述波动方程描述。故称为一类方程， 即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大） 可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导 三维波动方程，这里不再一一推导。
要求解为单值、有限，就提出自然边界条件， 这些条件通常都不是要研究的问题直接给出， 而是根据解的特性要求自然加上去，故称为自 然边界条件，如：
46
x2 y 2xy l(l 1) y 0 通解为： y Ax l Bx (l1)
在区间 0, a 上要求解有限，故
y x0 有限，从而在 0, a 中的解为:
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n上的
方向导数的数值.
u f n
u
，
n
( x0 , y0 ,z0 )
f (x0, y0, z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其 外法向导数的线性组合在边界上的值
f
t 0
tt
xx
ut t0 (x)
ut Du f u t0 (x)
33
3、边界条件 求解方程时还需考虑边界状况（周边“环
境”）（边界状况将通过逐点影响所讨论的 整个区域），称物理过程边界状况的表达式 为边界条件，或称为边值条件。
边界条件在数学上分为三类：
10
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它 的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个 小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传 播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力 的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全 可以略去。
11
① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没 有质量”的弦）
② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直 线，取为 x 轴。
从数学角度看：微分方程解的任意性也需附 加条件。通解中含任意函数（解不能唯一确定 ）。通过附加条件确定任意函数（常数），从 而确定解。这些附加条件就是前面所谈的问题 的“历史”与“环境”，即初始条件和边界条 件，统称为定解条件。
29
2、初始条件 在求解含时间t变量的数理方程时，往往要追
溯到早些某个所谓“初始”时间的状况（“历 史” ），于是称物理过程初始状况的数学表达 式为初始条件。
u
t 0
(
2h l
)
x
x
l 2
2h l
(l
x) l 2
x
l
ut t0 0
若 ut t0 h 就错了。
32
(b) 时间 t 的 n 阶方程需 n个初始条件，
n 个常数。
如：
u (x)
u a2u
u Hun (x0 ,y0 ,z0 ) f (x0 , y0 , z0 , t)
u u f H :常系数
n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
38
4、其它条件 ⑴ 衔接条件
由于一些原因，在所研究的区域里出
现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如
波动方程（弦），如果有横向力F (t )集中地
作用于 x0 点，这就成了弦的折点。在点 x0
斜率 u x的左极限 ux (x0 0,t) 不同于右极限
ux (x0 0,t)，因而 u xx不存在,
39
utt a2 u xx 0 在这一点无意义.如果,将 l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
③ 将弦上个点的横向位移记为 u u(x, t)
12
④ 已知：线密度 (x,t) (t), 重量不计，
张力 T (x,t) 沿切线方向，不随x变化，弦中 各点的张力相等（小振动下T 与t 也无关）.
⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想， 任意性。
13
3. 研究建立方程 ① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴
u1 s u1 s
1
u1 n
s
2
u2 n
s
44
其中 u1, u2 代表两种电介质的电势，
1, 2 代表两种电介质的介电常数，（设电
位移矢量分别为
D1, D2
,
则
D1n s D2n s
D E u
45
⑵ 自然边界条件 某些情况下，出于物理上的合理性等原因，
8
1. 物理模型 实际问题：设有一根细长而柔软的弦,紧绷
于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极 为微小的横振动（以某种方式激发，在同一平 面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波 的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上 各点的运动规律。
9
2. 分析 弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦
弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后， 相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的 张力，张力沿线的切线方向。
18
其中: 是弦的线密度，即单位长度的
质量，ds 为 dx 对应弧长，u 为弦的横向
位移， utt 为弦的横向加速度。
近似：考虑小的振动，1， 2 为小量。
cos1
1
12
2!
14
4!
1
19
cos2
1
2 2
2!
24
4!
1
sin 1
1
13
3!
15
Tuxxdx Fdx dxutt
utt Tuxx F
23
即
utt a2uxx f
—— 弦的强迫横振动方程
其中:
a2 T
，
f F
量纲分析：T : MLT 2 ， : ML1
24
∴
T
:
MLT 2 ML1
L2T 2
即 a2 : L2T 2
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的
振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
α1
α2
x
41
x x0 虽是折点，但它们连续，即
u(x0 0,t) u(x0 0,t)
①
在 x0 ，力 F(t) 应和张力平衡，即
向位移之差 u(x dx,t) u(x,t) 与 dx 相比是一
个小量，即
u 1 x
于是①、②化简为：
T2ux xdx T1ux x Fdx dxutt
21
即
T2ux (x dx,t) T1ux (x,t) Fdx dxutt
令
T2 T1 T