数值分析课程设计学生题目

《数值分析》课程设计

本课程设计的内容为：每个小组的同学均应完成以下五个案例； 目标：能将数值分析课程中所学的算法知识熟练应用于实际问题中。

案例1

土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。

假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。

根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH （1.1）

其中Q 是水的流量（s m /3

），U 是流速（s m /），H 是水的深度（m ）。 在水工学中应用的有关流速的公式是

3

/23

/22/1)2()(1H B BH S

n U += （1.2）

这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠

的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。

把（1.2）代入（1.1）就得到

3

/23

/52/1)2()(1H B BH S

n U += （1.3）

为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量

的水），需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。这样，就需要求解

0)

2()(1)(3

/23

/52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4）

一个具体的案例是

s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====

求出渠道中水的深度H 。

所涉及的知识——非线性方程解法。

案例2

在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应

C

D A C

B A ⇔+⇔+2

其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。反应达到平衡是有如下的平衡关系：

d a c

b

a c C C C k C C C k ==

22

1 , 其中2

24

1107.3 ,104--⨯=⨯=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。假定反应开始时各种物质的浓度为：

10 ,5 ,20 ,500,0,0,0,====d c b a C C C C

而且反应达到平衡时，由第一和第二种反应生成的C 物质浓度分别为21,x x ，于是平衡时

21,x x 满足的方程为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

--++=

--++=))((,)()2(20,20,2

10,210,2

10,210,1x C x C x x C k x C x C x x C k d a c b a c 用不同的数值方法求解上述方程。

所涉及的知识——非线性方程组解法。

案例3

湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温看成

环境工程师希望：

1） 用样条插值求出 T(x).

2） 求在什么深度处dx dT 达到最大（即02

2=dx

T

d ） 所涉及的知识——插值、数值微分。

案例4

在排污管道设计中，工程师关心管道坡度、管子直径和污水流量之间的关系。对于圆截面管道这些量之间有如下经验公式：

21αααS D Q =

其中Q 代表流量（s m

/3

），S 代表管道坡度（m/m ），D 代表圆管直径（m ），21,,ααα是三个通过实验测定的经验参数。

用适当的数值方法求出21,,ααα

所涉及的知识——最小二乘拟合。

案例5

在研究建筑物通过地板散失热量时，我们需要计算建筑物下方地基中的温度变化。假设建筑物是圆形的，其半径r=2m （如图所示）

假定： i) 室内温度恒定保持在25°C 。 ii) 室外离开建筑物2m 以外（即R≥4m ）地基温度不受室内温度影响。 iii) 地层4m 一下温度保持为10°C 。 iv) 室外地表温度随昼夜温度变化而变化，其变化规律为

)24/2cos(1010t T outer π+=

（12.1）

时间单位为小时。

我们再假设，地基是由均匀的黄土组成，其物性参数是 密度

3/880m kg =ρ 导热系数 C s m J k o ⋅⋅=/94.0

比热 C kg kJ c o ⋅=/17.1

我们要研究的是半径R=4m ，高度H=4m 的一块柱形地基中的温度变化问题。

由于几何上的对称性，我们可以沿对称轴做一个垂直剖面，并建立坐标系（如图所示） 在地基内P 温度应当满足柱坐标下的热传导方程

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2222

21z T r T r r

T a t T （12.2）

其中 ρ

c k a =

2

边界条件为

z

⎩⎨

⎧≤≤+≤=4

2 ),24/ 2cos(10102

,25),0,(r t r t r T π （12.3）

C t r T o 10),4,(= （12.4）

根据地层传热学中的傅立叶定律可以得知

24240,2cos 12exp 10),,4(22πωωωω=≤≤⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其中•z t x a z a t z T 因为随着时间的流逝，在开始一瞬间)0,,(z r T 对后来温度变化的影响逐渐消失，所以

)0,,(z r T 可以任意假设，不妨设其为10°C 。

值得指出的是我们需要知道的是足够长的时间之后（t≥T ），24小时地基温度的变化和由建

筑物内P 流失到地层中的热量。

所涉及的知识——数值微分，线性方程组求解，数值积分。 对于变量z r ,分别去等步长z r ∆∆,，令

⎩⎨

⎧=∆==∆=8,2,1,0,8

,,2,1,0, j z j z i r i r j

i 为了简便，我们可以取5.0==∆=∆h z r

这样我们构造出了逼近（12.2）式的差分方程式。

221221224(0,)[2(1,)(0,1)(0,1)](1)(0,)(12.3)

(,)[(1,)(1,)(,1)(,1)](14)(,)(12.4)

n n

n n n n n

i i n

a a T j T j T j T j T j h h T i j a m T i j n T i j T i j T i j a T i j ττλλ++⎧=+++-+-⎪⎪⎪=++-+++-⎨⎪+-⎪

⎪⎩

其中2

h τ

λ=

1

12

2

,,i i i i i i

r

r

m n r r +

-

=

=

，

这就是我们求解构造的差分方程。（要求4

1

2

≤

λa ，格式稳定）

案例6

数值分析课程中一类算法的可视化设计

包括插值或数值微分，积分或解线性方程组或非线性方程的求根或常微分方程的数值解法