最新力矩与平面力偶系教学提纲
静力学第3章_力矩_平面力偶系
§3-4 平面力偶系的合成与平衡§3-1 力对点之矩§3-2 力偶与力偶矩§3-3 力偶的等效【本章重点内容】力矩和力偶的概念;力偶的性质;平面力偶系的合成与平衡.§3-1 力对点之矩§3-1 力对点之矩一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .()()OO M F h M =±⋅=×r r r r F F rF（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩r F（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；r F r F解：根据力对点之矩的定义()3sin 20010N 0.4m 0.86669.2 N m O M F h Fl α=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，α=120°，试求力对O 点之矩.r F例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义()2O M F h=−⋅r F()2O M F h=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.r F第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩一、力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(),′r r FF两个要素1.大小：力与力偶臂乘积2.方向：转动方向力偶矩ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂二、力偶矩三、力偶与力偶矩的性质（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.()()()()11111,O O O M M M F d x F x Fd′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()()222,O M F d x F x F d Fd′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M()O M rF M F d=⋅第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效一、平面力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.C 二、平面力偶等效定理证明在力偶( F , F ′)作用面上，任取两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交于C 点和D 点；则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.联结C 、D 两点，在CD 连线方向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，P ′= F ′+Q ′,F ′Q=力偶的等效自由矢量，与作用点无关===三、力偶的两个推论1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.第三章力矩平面力偶系§3-4 平面力偶系的合成与平衡已知;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F dM=d F M 11=22F d M=dF M n n −=n n F d M=d F M 22==一、平面力偶系的合成=R 12n F F F F =++−L R12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M===R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1ni ii M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.二、平面力偶系的平衡平衡方程合力偶M 的表达式1234iM M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.顺时针方向转动04415N m 60N mM =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大？解：四个力偶在同一平面内，因此这四个力偶的合力偶矩为例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为多少？解：（1）以联轴器为研究对象假设四个螺栓受力均匀，每个螺栓反力四个反力组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡.1234F F F F ===（2）列平面力偶系平衡方程M =∑00M F AC F BD −×−×=而AC BD=故0 2.5kN m 8.33kN 220.15mM F AC ⋅===×例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力.解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.B r F A r F A r F B r F平衡方程M =∑得0cos30A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆沿ED 方向R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB得R 5540N m 156N 40.32m 40.32mCM F ×⋅===××故R R 156ND C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.2400.180.24C M F CD −+××=+0M =∑列平衡方程R D DE F F =O练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图=∑M 0sin 1=⋅−θr F M A 解得8kN O A F F ==Ar O2M A F取杆BC ，画受=∑M A F ′⋅解得28kN mM =⋅8kNB A F F ==OA F Ar O2M θA r 2M一、平面内的力对点O 之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.()OM F h=±⋅rF四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即∑=iM M 平面力偶系的平衡条件为=∑iM三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.第三章力矩平面力偶系本章结束。
最新整理高二物理教案《力矩和力偶》教学设计.docx
最新整理高二物理教案《力矩和力偶》教学设计《力矩和力偶》教学设计教学目标与要求一、知识目标1、了解力矩和力偶的概念；理解力的平移原理；2、掌握力偶性质。
二、能力目标掌握力偶性质，培养分析问题和解决问题的能力。
三、素质目标1、了解力矩和力偶的概念，掌握力偶性质；2、了解力的平移原理；并能解释生活和工程实际问题。
四、教学要求1、了解力矩和力偶的概念；2、掌握力偶性质及力的平移原理、应用。
教学重点1、力矩和力偶的概念，力偶性质；2、力的平移原理、应用。
难点分析力偶性质、力的平移原理及应用教学方法教学方法：讲练法、演示法、讨论法、归纳法。
教学安排2学时（90分钟）教学步骤：讲授与演示交叉进行、讲授中穿插讨论、讲授中穿插练习与设问，最后进行归纳。
教学过程★复习旧课（5分钟）约束类型柔体约束光滑面约束F固定铰链约束活动铰链约束★导入新课实践中人们发现，单个力对刚体除了产生移动效应外，在一定条件下力对刚体还可以产生转动效应。
★新课教学（80分钟）一、力矩1、力矩的概念力的大小F与力臂d的乘积称为力矩。
规定：力使物体绕矩心逆转为正；顺转负。
要点:☉力过矩心，力矩为零。
☉力为零，力矩为零。
☉力沿力线在刚体内移动，力矩不变。
2、合力矩定理平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各力对该点之矩的代数和。
讨论：根据合力矩定理推出：“力偶对任一点的矩等于零’,错在哪里？合力矩定理指出：“合力对点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和”，因为“力偶无合力”，所以力偶对一点之矩必等于零。
二、力偶1、力偶的概念等值、反向的两个平行力构成力偶。
2、力偶三要素力偶矩的大小、转向、力偶作用面称为力偶三要素。
说明：力、力偶为静力学两个基本物理量。
3、力偶矩规定：逆时针转向的力偶矩为正，顺转为负。
4、力偶性质☉力偶无矩心☉力偶无合力☉等效力偶可以互换讨论：图中力的单位是N，长度单位是cm。
试分析图示四个力偶，哪些是等效的？讨论：力偶等效只要满足（）A、只满足力偶矩大小相等B、只满足力偶矩转向相同C、只满足力偶作用面相同D、力偶矩大小、转向、作用面均相等三、力的平移把力F作用线向某点O平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F对点O的矩。
平面力偶系教案
项目一 1.1.2 教学设计2015年 5月日星期模块名称平面力偶系模块课时3、4模块描述理解力矩、力偶、平面力偶系。
了解求解平面力偶系合成的方法。
教学目标提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
培养学生的分析问题能力教学资源理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论教学组织按座位自然分组教学过程教学阶段（可以按照完成这一模块（任务）的步骤呈现）学习任务知识点活动设计（教师活动、学生活动）（讲解、示范、组织、指导、安排、操作等）估用时间新课引入复习巩固所学知识力的概念和平面力系合成方法教师：引导学生一起复习相关知识点。
5新课讲解学习力对点之矩1、力对点之矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。
现以板手拧螺母为例来说明。
如图1-1-4所示，在板手的A点施加一力F，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。
实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点O到力作用线的垂直距离d有关。
当d保持不变时，力10F越大，转动越快。
当力F不变时，d值越大，转动也越快。
若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即dFFM⋅±=)(OO点称为转动中心，简称矩心。
矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。
学生：思考力矩在下列两种情况下等于零？教师：引导学生回答（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
教师：绘制图形，要求分别计算下图所示的F1、F2对O点的力矩。
学习合力矩2、合力矩教师：我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。
这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。
教案2-2 力矩和力偶
《机械基础》教案项目二构件的静力分析教案首页况下等于零：①力等于零；②力的作用线通过矩心，即力臂等于零,力矩的值也为零。
2）力沿其作用线滑动时，由于没有改变力、力臂的大小及力矩的转向，故力矩值不变应用举例求如图所示的力对Ａ点之矩。
二、合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对于平面内任何一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代数和。
数学表达式为M0(FR )=M0(F1)+M0(F2)+…+M0(Fn)三、力偶和力偶矩定义：偶：作用在同一物体上的两个力大小相等、方向相反且作用线平行的一对力。
偶的作用平面：两力作用线所在的平面。
力偶臂：两力作用线间的垂直距离d。
讲解：力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，产生转动效应。
力偶的转动效应用力偶矩M 表示，它等于力偶中任何一个力教师讲解教师讲解教师展示图片，提问学生思考、记忆学生观察课件、认真思考、记忆学生认真思考，积极回答。
用点B的矩。
证明：图2-19a中力作用于刚体的点A。
在刚体上任取一点B，d为点B至力F作用线的垂直距离，在点B加上两个等值反向的力F´和F"，并F = F´= F"，显然三个力F、F´、F"、组成的新力系与原力等效，如图2-19b所示。
此时可将F´看作是力F平移到点B后的力，而 F、F〃构成一力偶。
该力偶就是所需的附加力偶。
如图2-19c所示，附加力偶矩为M = F × d = MB(F)2.应用应用举例：由力的平移定理可知，可以将一个力替换成同平面内的一个力和一个力偶；反之，同一平面内的一个力和一个力偶也可以用一个力来等效替换。
力生物平移定理不仅是力系向一点简化的依据，也可以解释一些实际问题。
【三】归纳总结回顾本次课程所学知识，强调本节课的重点与难点，加深理解与记忆。
【四】布置作业完成讲堂练习和课后作业。
第三章_力矩和平面力偶系
机械基础CAI课件
故力偶（ F , F ‘ ）对矩心 O 的矩为 Mo ( F ) + Mo ( F ' ）=F ( d + x ）一 Fx = Fd 上式右边为正值，说明两力矩的代数和使刚体逆时针转动，与 该力偶驱使刚体转动的转向一致。上式说明：力偶对其作用面内任 意一点的矩为一恒定代数量，该量称为力偶矩，它表示力偶对物体 转动的作用效果。 由上述可知:力偶矩是代数量，其绝对值等于力偶中的一力的 大小与力偶臂的乘积，其正负号确定如下：力偶使物体逆时针转动 为正，反之为负。力偶对其作用平面内任意 一点的矩恒等于力偶 矩。用 M 表示力偶矩，可得 M =士 Fd (3-3) 力偶矩的单位与力矩的单位相同。
图 3-4
汽 车 学 院 汽 车教 研 室
机械基础CAI课件
由式（ 3 -2 ）可得 Mo ( F ) = MO ( Fx ) + MO ( Fy ) = Fxb + Fya = F ( bsina + acosa ) ( 2 ）求力 F 对点 B 的矩。同理可得（注意分力 Fx 通过 B 点） MB ( F ) = MB ( Fx ) + MB ( Fy ) = 0 + (-Fyc）= -Fccos a
图3-5
图3-6
汽 车 学 院 汽 车教 研 室
图3-7
机械基础CAI课件
二、力偶矩 由上节已知，力使物体绕某点转动的效果用力矩来度量。同理， 力偶使物体转动的作用效果，可由组成力偶的两力对某一点的矩的 代数和来度量。 设刚体上作用有力偶（ F , F ‘ ) ，如图 3- 9 所示。在图面内任 取一点 O 为矩心，由图可见 MO ( F ) = F ( d + x ) F MO ( F ‘ ) ＝- F ′ x A 式中 d 为力偶臂。 F′ B 因 F 二 F ‘ ，可得 d MO ( F ‘ ) ＝-F , x =一 Fx O x
力对点的矩和平面力偶系
第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为()Fd F M O ±=（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2．力偶的基本理论（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：Fd M ±=（3）力偶的性质力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
第3章 力矩与平面力偶系
F2′)作用在 ，
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否
O
建筑力学电子教案
思考题 3-2 如图所示，在物体上作用有两力偶 ( F1, F1) 和 ( F2, F2), 其力
多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？
F1 F2′ F1
′
F1 F2 F2′ F1′ F2
图3-17
§3-2 力偶的概念
1. 力偶和力偶矩 (1) 力偶的概念 由大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 组成的力系叫做力偶，记作（F，F′）。 例如：方向盘等
F
力偶臂 d F′ 力偶作用面 图 3-4 F1 A D F 图3-5 B F1′ C F′
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力偶中两力所在的平面——力偶作用面。 两力作用线间的垂直距离——力偶臂，计为d 。
力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转为正，
顺时针转为负。M单位：N · m；kN · m
M (F ,
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
F ) F d 或 M F d
注意：M与矩心位置无关。例如： M O ( F ) M O ( F )
F
d O x
图3-7
- F x - F (d - x) -F d
作用线必通过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 (4) 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意点取矩。
F2 F O F1 图 3-2 (b) 图 3-2 (c)
o
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2. 合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有 各分力对于该点之矩的代数和，即：
的转动效应
M
A B A M
力矩和平面力偶系
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
03--第三章 力矩与平面力偶系(修订)
例3-5 ：
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M2 8kNm
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，Fi R FRd1 2ABD
M
F,
Fi
Fd
2ABC
=
=
=
=
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
得 h 2l 3
例3-4
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M F d
MO1 F
F,
d
F
x1
MO1 F M
工程力学第三章 力矩与平面力偶系
偶矩M0=5kN· m，试求每个螺栓所受的力。
3.4 图3-15所示的简支梁AB，A处为固定铰链支座，B处为滚 动支座，其自重不计。几何尺寸如图所示，求A、B处的支座约
束力。
第三章 力矩与平面力偶系 3.5 图3-16所示结构，受一力偶m的作用，试求支座A的约束反 力。 3.6 图3-17所示结构，杆AB和CD上各作用有一力偶，使机构 处于平衡状态，已知m1=2N· m，CD=0.4m，AB=0.6m，不计各 杆自重，试求作用在AB杆上的力偶m2及杆BC所受的力。
图 3-1
3.1 力对点之矩与合力矩定理
图 3-2
3.1.2 合力矩定理 3.1.3 力对点之矩的解析表达式
3.1 力对点之矩与合力矩定理
图 3-3
3.2 力偶及其基本性质
3.2.1 力偶和力偶矩
0.tif
图 3-4
3.2 力偶及其基本性质
图 3-5
3.2.2 力偶的基本性质
3.2 力偶及其基本性质
0.tif
3-16.TIF
3.6 图3-17所示结构，杆AB和CD上各作用有一力偶，使机构 处于平衡状态，已知m1=2N· m，CD=0.4m，AB=0.6m，不计各 杆自重，试求作用在AB杆上的力偶m2及杆BC所受的力。
图3-16 习题3.5图
图3-17 习题3.6图
1.熟练掌握力对点之矩与合力矩定理。
2.熟练掌握平面力偶系的合成与平衡。
3.能熟练运用平面力偶系平衡方程求解相关问题。
3.1 力对点之矩与合力矩定理
3.1.1 平面力对点之矩(力矩) 1)力的大小(F)。 2)选定的转动中心(点O)与力作用线间的垂直距离(h)。 3)力的方向(决定物体的转向)。
图3-8 例3-1图
第三章：力矩、力偶与平面力偶系
力矩、力偶与平面力偶系
例3.2:三角形分布载荷作用在水平 梁AB上，最大载荷集度为q，梁 长l。试求该力系的合力。 解： 求每点集度的大小
q x qx / l
求合力的大小
FR
l 0
qx d x
l
l
q
0
x l
dx
1 2
ql
求分布力对点A的力矩
l 0
qx x d x q
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分 力对该点之矩的代数和。
如何证明
力矩、力偶与平面力偶系
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力
对该点之矩的代数和。
证：
设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、F2、…、 Fn的合力，即： FR = F1 + F2 +…+ Fn 可得： MO (FR) = r× FR = r×( F1 + F2 +…+ Fn ) = r× F1 + r× F2 + … + r× Fn = MO (F1) + MO (F2) + … + MO (F n ) n 也就是：
B d F A
F’ C
将平面力偶系的力偶记作 M (F, F’)，简称 M 。力偶 矩为代数量 即： M = ±F d = ±2△ ACB 一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。
力矩、力偶与平面力偶系
三 . 平面力偶的性质
1.在同一平面内，力偶矩相等的两力偶等效
力矩、力偶与平面力偶系
2. 力偶不能与一个力相平衡。
例3.3:如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和
BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位
理工大学 工程力学教程第03章 力矩与平面力偶系
M 0 F F h
力对点之矩可看作是代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正， 反之为负。常用单位 N m 或 kN m
B
o
d A
F
由图可知： Mo ( F ) 2OAB的面积
说明：
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。
5
合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩，等于 力系中各分力对同一点的矩的代数和。 已知：力系（F1， F2， F3，…… ， Fn ）可以合成为一个合力FR
FR Fi
则：
FR F1 F2 Fn
Fi Fx i Fy j
平面力系： M O ( FR )
B
C C
E
B
m 0 : M N A AD 0
由几何关系：
AD (2 R ) 2 R 2 3R
A
M
D
ND
所以： N M M 3M N A D AD 3R 3R
NA
ND
y
再以轮C为研究对象，受力 如图，建立如图坐标。
3 1 其中： cos cos , sin sin 2 2
A d B F
M3
M1
M2
F2
B M 2 F2 d
F2 F3
A
A
F
d
M 3 2 F3 )d M1 M 2 M 3
推广得：
M M 1 M 2 M n M
结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称 为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩 的代数和。
理论力学精品课程 第三章 力矩与平面力偶理论
一,平面中力矩的概念
3.1 力 矩 的 概
y
二),平面汇交力系的合力矩定理 ),平面汇交力系的合力矩定理 定理: 定理:平面汇交力系的合力对平面内任意 一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代 数和. 数和.即
mo ( R ) = ∑ mo ( Fi )
Y
y
F
X
A
o
x
x
利用合力矩定理, 利用合力矩定理,可以 写出力对坐标原点的矩的解 析表达式, 析表达式,即
B
C
E B
ND
∑ m = 0 : M N A AD = 0
M
D
A AD = (2 R) 2 R 2 = 3R NA M M 3M 所以: N A = = = = ND 3R AD 3R
例6
3.3 平 面 力 偶 系 的 合 成 与 平 衡 再以轮C为研究对象,受力 如图,建立如图坐标.
′ ND
及
由此可见, 由此可见,两力偶的等效条件是力偶矩 相等. 相等. 在平面问题中, 在平面问题中,决定力偶作用效果的因 素为:矩的大小和转向. 素为:矩的大小和转向.所以力偶矩是代数 量. 力偶可表示为: 力偶可表示为:
m
m
一,力偶的性质
3.2 力 偶 及 其
3,力偶在作用面内任一轴上的投 , 影均为零. 4,力偶对其作用面内任一点之矩 , 与矩心的位置无关, 与矩心的位置无关,恒等于力偶矩.
mo (F ) = mo (Y ) + mo ( X ) = Y x X y
例1
3.1 力 矩 的 概
dA
支架如图所示,已知F=100N, AB=AC=30cm,CD=15cm, α = 30
dC
A
汽车机械基础(高教版)教案：第二章 力矩与平面力偶系 吴建蓉 编.doc
教师授课教案20 /20 学年第学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.三角形法则、多边形法则。
2.力在坐标轴上的投影。
3. 平面汇交力系的平衡。
讲授新课：第二章力矩与平面力偶系第1节力矩、力偶与力偶矩一、力矩力除了能使物体移动外，还能使物体绕某一点转动。
把力的大小与力臂的乘积称为力矩，用MO（F）表示，即MO（F）= F d式中，点O称为力矩中心，简称矩心。
矩心O到F的作用线的垂直距离d称为力臂，力矩的单位为N·m。
正负符号表示力矩的转向。
一般规定：力使物体作逆时针转动的力矩为正，反之为负。
二、合力矩平面汇交力系的合力对平面内任一的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和，这就是合力矩定理。
即MO （F）= MO（F1）MO+（F2）+…+MO（Fn）= MO（Fi）三、力偶1. 力偶的概念对物体施加一对大小相等、方向相反、作用线平行但不在同一条直线上的两个力，使物体产生纯转动，称这对力为力偶。
力偶中两个力之间的垂直距离d称为力偶臂。
2. 力偶的特性（1）力偶是大小相等、方向相反、作用线平行的两个力，没有合力；力偶在任何坐标轴的投影的代数和等于零。
（2）力偶不能与一个力平衡，必须用力偶来平衡。
（3）大小、作用面、转向三要素相同的力偶都是等效力偶。
（4）力偶与力矩的共同点是能改变物体的转动状态，不同点是力矩使物体的转动效应与矩心有关，而力偶对作用面内任何一点的矩为一常数。
3.力偶矩力偶对物体产生的转动效果取决于这两个力的大小和两个力之间的垂直距离的乘积，称为力偶矩，用m（F、F＇）表示，即m（F、F＇）= F d式中，F——力的大小，N；d——力偶臂，m。
注意：与力矩相似，力偶矩也有方向。
一般规定：使物体作逆时针转动的力偶矩为正，反之为负。
课堂练习小结：1.力矩、合力矩、力偶的概念。
2.力偶的特性。
教师授课教案20 /20 学年第学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.力矩、合力矩、力偶的概念。
大学本科理论力学课程第3章力矩与平面力偶理论
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O2
第三章 力矩与平面力偶理论
A D
FB B
O1
E
F
H
FC AC
C
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第A三章 力矩与平面力偶理论
O
O1
FD 沿O1DO2
F
E
D
H
FE AC
O2 A
FA 沿AO2， AC
FD 沿O2DO1 D
D
FB B
A
FA 沿AO2， AC
O2
FB
B
E
F
D
FD
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第三章 力矩与平面力偶理论
思考题 不计自重的三杆组成系统，判断固定铰支座B和C处约 束反力方向（即画整体受力图）
A
a D
a B
E
F
H
C
a
a
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第三章 力矩与平面力偶理论
A O1
D
E
F
H
O2
FB B
C
（1）分析整体，FC的作用点为C，故无论其方向如何FC与F二者的 力的作用线必交于C点，利用三力平衡汇交原理判断固定铰支座对 DB处提供的约束反力合力的方位（沿BC）指向待定，FC的方向待 定。
H
FC AC
C
O1
E FE AC FC A
C
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第三章 力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
§3－1力矩的概念与计算 §3－2力偶及平面力偶系
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第三章 力矩与平面力偶理论
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。 力的移动效应取决于力的大小和方向； 为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。
建筑力学课件 第四章 力矩与平面力偶系
4.1力对点之矩、合力矩定理
3.力矩的性质 综上所述，得出如下力矩性质：
（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大 小，同时与矩心的位置有关。矩心的位 置不同，力矩随之而异。
（2）力F对任一点的矩，不因为F的作用 点沿其作用线移动而改变，因为力和力 臂的大小均未改变。
2.力矩的计算
在平面问题中,我们把乘积Fd加上适当的正负号,
作为力F使物体绕点O转动效应的度量,并称为
力F对点O的矩,简称力矩,用Mo(F) 或MO表示
即 MO (F)=± Fd
（4-1）
点O称为矩心，力作用线到矩心的垂直距离d称
为力臂。正负号通常用来区别力使物体矩心
转动的方向，并规定：若力使物体绕矩心作
4.1力对点之矩、合力矩定理
（3）力的大小等于零或力的作用线通过 矩心，即公式（4-1）中的F=0或者d = 0,则 力矩等于零。
（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的 代数和等于零。（相互抵消）
4.关于力矩的量纲单位：
在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（ N·m）或千牛·米（kN·m）。
4.1力对点之矩、合力矩定理
M1 = F1 d1 M2 = F2 d2 M3 = －F3d3
4.3 平面力偶系
在力偶作用面内取任意线段AB = d，在保持力偶 矩不改变的条件下将各力偶的臂都化为d，于是 各力偶的力的大小应改变为
4.3 平面力偶系
然后移转各力偶,使它们的臂都 与AB重合,则原平面力偶系变换 为作用在点A及B的两个共线力 系。
在同一平面内的两个力偶，只要两力 偶的力偶矩（包括大小和转向）相等 ，则此两力偶的效应相等。这就是平 面力偶的等效条件。
3力矩 平面力偶系(一)
将式（1）代入得
Mo(FR)＝Mo(F1)＋Mo(F2)＋…＋Mo(Fn)
即Mo(FR)＝ΣMo(F)
上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。
例题3-2：试计算图3-4中力对A点之矩。
由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积不作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号Mo(F)表示，记为
（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
例题3-1：简支刚架如图3-2所示，荷载F=15kN，α=45。,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。
图3-2
解：1、力F对A点的力矩
2、力F对B点的力矩
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
练习：求图（a）、（b）中荷载对A、B两点之矩
图3-4
解：本题有两种解法。
（1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。
先求力臂d。由图中几何关系有：
d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctgα)sinα
=(l-bctgα)sinα=lsinα-bcosα
所以MA(F)=F•d=F(lsinα-bcosα)
（2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。
教案
执教者
科目
工程力学
班级
课题
3力矩平面力偶系（一）
课型
讲授
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本章研究力矩和力偶的概念、力偶的 性质、平面力偶系的合成与平衡。本 章与第二章的理论是研究平面一般力 系的基础。
§3-1 力矩的概念和计算
一般情况下，力对物体作用时可以产 生移动和转动两种外效应。力的移动 效应取决于力的大小和方向。为了度 量力的转动效应，需要引入力矩的概 念。
它们可合成为一个合力偶，其合力偶矩为：
ＭR= Ｍ１＋Ｍ2＋．．． ＋Ｍn=∑ Ｍi
即平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于 力偶系中各力偶矩的代数和。
二. 平面力偶系的平衡条件
一. 力对点之矩
用扳手拧一螺母，
扳手连同螺母绕一
定点Ｏ转动。由经
验可知，力越大， 螺母拧得越紧；力
F d
的作用线离螺母中
心愈远，拧紧螺母
O
愈省力。
经验表明：力Ｆ使物体绕定点Ｏ的转动效应，
不仅与力的大小有关，而且与Ｏ点到力的作用 线的垂直距离d有关。
用乘积Ｆd来度量力的转动效应。
将力的这种转动效应称为作用于物体上的力 F对空间任意一点O的矩。简称力矩，用符
设物体上作用有一 力偶臂为d的力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点的矩之大小恒等于力偶中 一力的大小和力偶臂的乘积，而与矩心的位置无关。
力偶对物体的转动效应可用力与力偶臂的乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
实践中,常见到两个大小相等,方向相 反的平行力作用于物体的情形。
这样的两个力不满足二力平衡条件。
将这种大小相等、方向相反、作用线 平行的两个力叫做力偶。
记作：（F，F‘）
力偶中两力作用线之间的垂直距离d叫力 偶臂。
力偶所在平面叫力偶作用面。
２．力偶的性质
y
⑴力偶在任何坐标轴 上的投影等于零。
⑵力偶不能合成一个
作用在物体上同一平面内的若干力偶， 总称为平面力偶系。
一. 平面力偶系的合成
设同一平面内作用有两个力偶 （Ｆ１，Ｆ１’）和 （Ｆ２，Ｆ ２’）。
力偶臂为d1,d2 力偶矩为：
Ｍ１＝＋Ｆ１d1 Ｍ2＝-Ｆ2d2
取力偶(F11,F11’)和(F22,F22’)
且:＋Ｆ１1d＝Ｍ１ -Ｆ22d＝Ｍ2
ＦR＝F11-F22 ＦR’＝ F11’-F22’ ＭR=ＦRd=(F11-F22)d
Mo (F)=x Fy-yFx
y
Ｆy
Ｆ
x Ａa
r
Ｆx
q
y
Ｏ
x
d
Mo (F1)=x F1y-yF1x Mo (F2)=x F1y-yF1x Mo (F3)=x F1y-yF1x
∑Mo(Fi)=x∑Fy-y∑Fx F1, F2, F3的合力为FＲ。
FＲ在x,y轴方向的分力为FＲx , FＲy
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx
力偶矩用符号M（F，F’）或M表示；即 M（F，F’）=±Fd
规定：逆时针转动时，力偶矩取正号； 顺时针转动时，力偶矩取负号。
力偶矩单位与力矩单位相同。
力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和 力偶的作用面。
二. 同一平面内力偶的等效定理
作用在刚体上同一平面的两个力偶相互
等效的条件是两力偶的力偶矩的代数值
力，即力偶没有合力，它
不能与一个力等效，因而
Ｏ
x
也不能被一个力平衡。
⑶力偶对物体不产生 移动效应，只产生转动效 应，即它可以改变而且只 能改变物体的转动状态。
２．力偶矩
力偶对物体产生转动的效应怎样度 量？
力对物体转动的效应用力矩来度量， 因此力偶对物体转动的效应可用力偶 中的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
号Ｍo (F)表示。即：
Ｍo (F)=±Ｆd
Ｏ点称为力矩中心，简称矩心；
Ｏ点到力Ｆ作用线的垂直距离h称为力臂。
力矩的正负号用于区别力Ｆ使物体绕Ｏ点转 动的两种转向。规定:力使物体绕矩心逆时 针转动时为正,反之为负。
力对点之矩只取决于力矩的大小和旋转方向 （力矩的正负），是一个代数量。
力矩的单位：N ·m（牛顿·米) 或 kN ·m（千牛顿·米)
相等。
称为同一平面内力偶的等
效定理。
推论1. 力偶可在其作用面内任意移动 和转动而不改变它对刚体的转动效应。
推论2. 在保持力偶矩的大小和转向不
变的条件下，可以任意改变力偶中力
和力偶臂的大小,这不会改变力偶对刚
体的转动效应。
等效力偶
注:以上两个推论只对刚体适用！
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
力矩的三要素是：大小、方向和矩心。
对三角形△OAB，F的大
小为底边长，d为高，即三
Ｂ
角形的面积为：
Ｆ
S△OAB =Fd/2 Ｍo =Fd=2 S△OAB
Ａ
Ｏ
d
即力对Ｏ点的矩的大小
等于△OAB面积的２倍。
力对任一已知点的矩，不会因该力沿作 用线移动而改变。
力的作用线如通过矩心，则力矩为零； 反之，如一个大小不为零的力对一点之 矩为零，则此力的作用线必通过该点。
=Ｆ１1d-Ｆ22d= Ｍ１-Ｍ2
F1
F2
d1
d2
F1’
F2’
F22
F11’
d
பைடு நூலகம்
F11
F22’
d
FR’
FR
ＭR为合力ＦＲ，ＦＲ’组成的力偶（ＦＲ，ＦＲ’ ）(称 为合力偶)的力偶矩，称为合力偶矩；也是原来两个力 偶的力偶矩的和。
ＭR= Ｍ１-Ｍ2
同理，当平面力偶系由n个力偶组成时，其力偶矩
分别为M１,M２ , ….Mn
互成平衡的二力对同一点的力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点的 作用引出。实际上，作用于物体上的力 可以对任意点取矩，即矩心可是空间中 的任意点。
二．力对轴的矩
力对轴的矩用来度量力对 所作用的刚体绕某一固定轴转 动的效应。
该固定轴称为矩轴，通常 标识为Z轴。
三．合力矩定理
Mo (F)= Fd = Fr sin (a-q) = Fr (sin a cos q –sin q cos a) Fx= F cos a, Fy=F sina; x=r cosq, y=r sinq。 即：
由于：FＲx ＝∑Fx
FＲy ＝∑Fy
y Ｆ2
ＦR Ｆ1
xＡ
Ｆ3
q
y
Ｏ
x
d
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx= x∑Fy-y∑Fx= ∑Mo(Fi)
Mo (FＲ)=∑Mo(Fi)
即平面汇交力系的合力对作用面内任一 点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代 数和——平面汇交力系的合力矩定理。
一.力偶与力偶矩 1．力偶