高中函数对称性性质的应用
高中数学中的函数的奇偶性与对称性
高中数学中的函数的奇偶性与对称性函数是数学中非常重要的概念，它在解决各种实际问题以及数学推导中起着关键的作用。
在高中数学中，函数的奇偶性和对称性是我们经常要研究的性质之一。
本文将就这两个性质展开讨论，并阐述它们在函数研究中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性判断是指在函数的定义域内，函数关于y轴的对称性。
对于任意实数x，如果函数f(-x) = f(x)，那么这个函数被称为偶函数；如果函数f(-x) = -f(x)，那么这个函数被称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即函数在原点的对称轴上。
典型的奇函数包括正弦函数和正切函数。
例如，y = sin(x)和y = tan(x)都是奇函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角是相反的，因此函数关于y轴对称。
偶函数的图像关于y轴对称，即函数在y轴上对称。
典型的偶函数包括余弦函数和幂函数。
例如，y = cos(x)和y = x^2都是偶函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角也是一致的，因此函数关于y轴对称。
2. 函数的对称性除了奇偶性，函数还有其他的对称性，如x轴对称和原点对称。
当函数关于x轴对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = f(x)。
当函数关于原点对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = -f(x)。
函数的对称性在研究函数的性质和图像时非常有用。
奇偶性和对称性在函数研究中起着重要的作用。
它们帮助我们简化函数的研究和计算，同时也带来了一些有趣的性质和规律。
3. 奇偶函数的性质和应用奇函数和偶函数有一些特殊的性质和规律，它们在数学推导和解决实际问题时非常有用。
首先，奇函数与奇函数的和、差、积仍然是奇函数。
例如，如果有两个奇函数f(x)和g(x)，那么它们的和f(x) + g(x)和差f(x) - g(x)仍然是奇函数。
同样地，奇函数与奇函数的乘积fg(x)也是奇函数。
其次，奇函数与偶函数的和、差、积都是一般的函数。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究一、引言数学中的函数对称性是一种重要的性质，它在实际生活中有着广泛的应用。
在高中数学课程中，我们经常会学习到关于函数的对称性的知识，并且会在各种数学问题中应用这些知识。
本文将探讨高中数学函数对称性的应用，并通过一些例题来说明函数对称性在实际问题中的应用。
二、基本概念在数学中，函数对称性是指函数图象在某个轴、平面或中心对称的性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1. 关于x轴的对称：如果函数图象关于x轴对称，那么对于任意点(x,y)，其对称点为(x,-y)。
即f(x) = f(-x)。
这些对称性在数学中有非常重要的意义，它不仅帮助我们理解函数的规律，还能够应用到各种实际问题中。
下面我们通过具体的例题来探讨函数对称性在实际问题中的应用。
三、实际问题探究1. 设有一根长为10cm的直线段，将其分成三段，使得这三段可以构成一个等边三角形。
求这三段的长度是多少？解析：设中间一段的长度为x，则另外两段的长度也为x。
根据等边三角形的性质可知，x+x+x=10，即3x=10。
解得x=10/3=3.33。
由于等边三角形的对称性，我们知道三条边的长度都是相等的。
这三段的长度分别为3.33cm，3.33cm和3.33cm。
在这个问题中，我们通过对称性的思想，将直线段分成了等长的三段，从而解决了问题。
这个问题展示了对称性在几何问题中的应用。
2. 考虑一个关于x轴对称的函数f(x)，且f(2)=3。
求f(-2)的值。
解析：根据关于x轴的对称性可知，当x=2时，f(-2)的值也等于3。
因为对称性保证了函数图象在x轴两侧的对应点的函数值相等。
f(-2)=3。
在这个问题中，我们利用了函数图象的对称性来简化计算，从而快速得出了函数值的解。
3. 有一条铁路轨道，轨道的左半部分是直线段，右半部分是一个半圆。
已知轨道的总长度为100m，且轨道的左半部分与右半部分的交点为A。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究
函数对称性是高中数学中一个重要的概念，在数学问题的解决过程中具有重要的应用价值。
本文将探究函数对称性在数学题目中的应用。
一、基本概念
函数的对称性是指函数图像在某一规则下的运动或转换后，与原图像重合或等价的性质。
常见的对称性有：轴对称、点对称、中心对称、旋转对称等。
二、应用探究
1.轴对称
轴对称是指函数图像相对于某一直线对称。
一些具有轴对称性质的函数在解题过程中能够利用这个性质简化计算方式，比如：
（1）正弦函数$f(x)=sinx$是一个偶函数，其图像关于$y$轴对称。
（2）函数$f(x)=x^2$关于$y$轴对称，因此，当$x≥0$时，$f(x)$的值等于$x^2$，当$x＜0$时，$f(x)$的值等于$f(-x)=x^2$。
2.点对称
3.中心对称
中心对称是指函数图像相对于某一点对称，其中，中心点是图像的重心。
（1）圆函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$是一个中心对称的函数，它关于坐标原点对称。
4.旋转对称
旋转对称是指函数图像相对于某一点进行旋转后与原图像重合。
（1）函数$f(x)=\frac{1}{x}$是一个旋转对称的函数，它关于点$(1,1)$进行逆时针$90$度旋转后与原图像重合。
三、总结
函数对称性是高中数学中的一个重要概念，掌握了函数的对称性质以后，可以大大简化计算过程，提高解题效率。
我们需要在学习数学的时候，加强对函数对称性的理解，在实际问题中加以运用，方能更好地掌握此类内容。
函数图像的对称性与单调性的研究与应用
函数图像的对称性与单调性的研究与应用函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
而函数图像的对称性与单调性是研究函数特性的重要内容。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数图像的对称性与单调性。
一、对称性的研究与应用1.1 点对称性在函数图像中，如果存在一点P，对于图像上任意一点Q，都有关于点P对称的点R，那么称函数图像具有点对称性。
点对称轴就是过点P的垂直线。
点对称性在数学中有广泛的应用，如求解方程、证明等。
例如，对于函数y = x^2，其图像关于y轴对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值相等，这种对称性可以简化计算。
1.2 奇偶对称性函数图像的奇偶性是指函数关于y轴或原点的对称性。
如果函数满足f(-x) =f(x)，则称其为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性在函数的积分计算、函数的性质证明等方面有重要应用。
例如，函数y = x^3是一个奇函数，其图像关于原点对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值的正负相等。
二、单调性的研究与应用2.1 单调递增性函数图像的单调递增性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)。
单调递增性在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = x^2，在定义域上是单调递增的，这意味着当x1 < x2时，x1^2 ≤ x2^2。
2.2 单调递减性函数图像的单调递减性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)。
单调递减性也在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = -x^2，在定义域上是单调递减的，这意味着当x1 < x2时，-x1^2 ≥ -x2^2。
三、对称性与单调性的应用举例3.1 函数图像的变换对称性与单调性的研究可以帮助我们理解函数图像的变换规律。
例如，对于函数y = x^2，我们知道它关于y轴对称，那么当我们对其进行平移、缩放等变换时，可以利用对称性来简化计算。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究函数对称性是高中数学中一个重要且实用的概念，具有广泛的应用。
在日常学习和实际生活中，我们经常使用对称性来解决问题，比如在平面几何中，对称性用于求解图形对称中心和对称轴等；在画画中，对称性被用来制作对称图案；在物理学和工程等科学领域，对称性则被用来研究各种自然现象和物理规律。
因此，学习和掌握函数对称性的应用是非常有必要的。
一：奇偶性奇偶性是最为常见的函数对称性。
奇函数具有轴对称性，即其图像关于原点对称；而偶函数则具有中心对称性，即其图像关于纵坐标轴对称。
在计算奇偶函数值时，我们只需要验证函数值在 $-x$ 和 $x$ 处是否相等。
有些函数同时具有奇偶性，例如正弦函数，因为 $\sin (-x)=-\sin x$，又有 $\sin (\pi-x)=\sin x$，所以整个正弦函数的图像关于原点对称。
奇偶性的应用很广泛，通过奇偶性我们可以简化计算，化简式子。
例如，设$y=f(x)$ 为偶函数，那么有：$$f(x)-f(-x)=0, f(x)+f(-x)=2f(x)$$利用此关系，我们可以快速求解不等式或者将更复杂的式子化简为简单的形式。
此外，通过奇偶性，我们还可以得到一些有用的结论，例如奇函数之积为偶函数，偶函数之积为偶函数。
在实际问题中，奇偶性也经常发挥作用，例如在分析随机变量概率分布时，对于对称分布的情况，我们可以根据奇偶性简单地计算一些统计指标，进而做出更为准确的判断。
二：周期性周期性是指存在一个正数 $T$，使得对于所有 $x$，都有 $f(x+T)=f(x)$。
具有周期性的函数在图像上呈重复性，其图像会在一定的距离内一遍一遍地重复，因此有时也称为周期函数。
著名的周期函数有三角函数、指数函数等。
周期性在信号处理、电路设计、波动现象等方面有广泛的应用。
例如在声音处理中，频率$f$与周期$T$的关系为 $f=1/T$，通过周期性可以进行声音的合成和分解。
在电路设计中，通过选择不同的周期函数可实现不同类型的振荡器；在物理学中，周期性被用来描述波动现象，如光波和声波。
对称性在高中数学中的应用举例
对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中有着广泛的应用，它不仅能帮助我们解决数学问题，还能帮助我们理解数学知识。
在数学中，对称性是一个重要的概念，它经常出现在几何、代数和数学分析等不同领域中。
本文将通过几个具体的例子，来介绍对称性在高中数学中的应用。
在几何中，对称性是一个十分重要的概念。
我们知道，对称形状具有特定的对称轴或中心，这些对称轴或中心可以帮助我们简化几何问题的解决过程。
我们常常用到的正方形、矩形和圆形等几何形状都具有对称性。
对称性能够帮助我们寻找到图形的对称轴或对称中心，从而简化问题并找到解决方法。
一个简单的例子就是讨论正方形的对称性。
正方形具有4条对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。
利用正方形的对称性，我们可以很容易地发现正方形的性质和关系。
我们知道正方形的对角线相等，利用对称性我们可以很容易地证明这个定理。
又如，我们知道正方形的每条边都相等，也可以利用对称性来证明这一性质。
这些都是利用对称性来简化问题、思考和解决问题的典型例子。
在代数中，对称性也有着重要的应用。
在解代数方程的时候，我们经常会利用方程的对称性来简化问题的解决过程。
一个常见的例子就是求解一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
我们常常会利用一元二次方程的对称性来推导出解的公式或者判断解的性质。
根据一元二次方程的对称性，我们可以得出表达式b^2-4ac的含义，从而判断方程的解的性质。
又如，在利用配方法解一元二次方程时，我们也可以利用对称性来简化解题的过程。
另一个典型的例子是讨论函数的奇偶性。
在代数分析中，我们经常会用到奇函数和偶函数的概念。
奇函数的图像具有中心对称性，而偶函数的图像具有轴对称性。
这些对称性不仅可以帮助我们画出函数的图像，还可以帮助我们判断函数的性质。
我们知道奇函数的积分区间对称性，在求解奇函数的定积分时可以利用对称性简化计算过程。
又如，在讨论函数的奇偶性时，我们可以利用函数图像的对称性来判断函数的奇偶性，从而简化问题的解决过程。
函数的对称性与单调性的应用
函数的对称性与单调性的应用在数学中，对称性与单调性是一些重要的概念，并且在函数的研究和应用中具有广泛的用途。
通过对函数的对称性和单调性的研究，我们可以更深入地了解函数的性质，进而应用于问题的求解和证明中。
本文将重点探讨函数的对称性与单调性在数学中的应用，并通过几个具体的例子来加深我们对这些概念的理解。
一、函数的对称性的应用1. 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在对称性研究中的两个重要概念。
奇函数的特点是在原点对称，即满足f(-x) = -f(x)；而偶函数则在y轴上对称，即满足f(-x) = f(x)。
我们可以通过对奇函数和偶函数的研究，来解决一些对称性相关的问题。
举个例子，如果我们需要求解一个方程f(x) = 0的根，而该方程对应的函数是奇函数，那么我们只需要找到其中一个根x1，就可以确定其对称的根为-x1。
同样地，如果方程对应的函数是偶函数，那么我们只需要找到其中一个根x1，就可以确定其对称的根也为x1。
2. 对称轴对称轴也是函数对称性研究中常见的概念。
对称轴是函数图像中具有对称性的一条直线。
通过研究对称轴的性质，我们可以解决一些与对称性相关的问题。
例如，在一元二次函数y = ax^2 + bx + c中，如果a为非零常数且对称轴为直线x = p，那么我们可以通过对称性来确定另外一个对称点。
设对称轴上的点为(p, q)，那么我们可以得到一个关于x的方程a(x-p)^2 + q = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到另外一个对称点(p, -q)。
二、函数的单调性的应用1. 单调递增和单调递减在函数的单调性研究中，单调递增和单调递减是两个重要的概念。
如果函数在定义域的任意两个不同的点x1和x2上，满足f(x1) < f(x2)，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果满足f(x1) > f(x2)，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。
通过研究函数的单调性，我们可以解决一些与最值、零点和图像的整体形态等相关的问题。
函数对称性与周期性关系的应用
函数对称性与周期性关系的应用
简介
函数对称性和周期性是数学中常见的概念。
对称性指的是函数在某个轴线上的图像与轴线两侧的部分完全一致。
周期性则是指函数在某个特定的间隔内重复出现相同的图像。
函数对称性的应用
函数对称性在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些例子：
1. 对称函数的性质分析：通过研究函数的对称性，可以得到一些关于函数性质的重要信息。
例如，对称函数的奇偶性决定了函数的对称轴是不是原点，从而可以简化函数的分析和计算。
2. 对称性的图像处理：在图像处理中，往往需要分析和处理对称图像。
通过利用图像中的对称性，可以实现图像的压缩、重建和去噪等操作。
函数周期性的应用
函数周期性在信号处理和物理学中具有重要意义。
以下是一些
例子：
1. 周期信号的分析：周期函数可以用来描述许多信号，如周期
性震荡信号和周期运动。
通过分析周期信号的周期和幅值等特征，
可以获得信号的重要信息，如频率、振幅和相位等。
2. 周期性的运动预测：许多物理过程都可以用周期函数来描述，如天体运动和机械振动。
通过研究周期函数的周期和振幅，可以预
测物理过程的未来状态和行为。
结论
函数的对称性和周期性是数学中一些基本且重要的概念。
它们
在各个领域都有着广泛的应用，包括函数性质分析、图像处理、信
号处理和物理学等。
通过深入理解函数对称性和周期性的原理和应用，可以更好地应用于实际问题的解决中。
高三对称函数知识点
高三对称函数知识点函数是数学中的重要概念，而对称函数则是函数中的一种特殊形式。
在高三数学学习中，对称函数是一个重要的知识点。
它具有独特的性质和应用，对于理解和解决数学问题有着重要的作用。
本文将介绍高三数学中对称函数的概念、性质和常见应用。
一、对称函数的概念对称函数是指在数学中，对于自变量的某种变化，函数值也发生相应的对应变化，呈现某种对称性质的函数。
简而言之，就是函数图像关于某一轴线对称。
二、对称函数的性质1. 关于y轴对称：若有函数f(x) = f(-x)，则可以得出函数图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2就是一个关于y轴对称的函数。
2. 关于x轴对称：若有函数f(x) = -f(-x)，则可以得出函数图像关于x轴对称。
例如，f(x) = sin(x)就是一个关于x轴对称的函数。
3. 关于原点对称：若有函数f(x) = -f(x)，则可以得出函数图像关于原点对称。
例如，f(x) = x^3就是一个关于原点对称的函数。
4. 其他对称形式：还有一些函数的对称性不仅仅表现在对称轴上，具体形式可以是折线对称、旋转对称等。
三、对称函数的应用1. 图像对称性的判断：通过对称性，我们可以判断一个函数的图像是否对称于某一轴。
这在解析几何或图像处理等领域中，具有重要的应用意义。
2. 函数性质的分析：对称函数的性质能够帮助我们更好地理解函数本身的特点。
比如，通过观察对称函数的导数，可以判断函数的凸凹性质。
3. 函数的求解：对称函数在解决一些数学问题时也起到了关键作用。
比如，通过对称性，我们可以简化函数的求导过程，从而快速求得函数的极值点。
四、对称函数的例子1. 指数函数：f(x) = 2^x是一个关于y轴对称的函数。
2. 正弦函数：f(x) = sin(x)是一个关于x轴对称的函数。
3. 偶数次多项式函数：例如f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。
4. 奇数次多项式函数：例如f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。
函数的对称性在高考题中的应用
一
函 数 的 对 称 性 在 ＝ 考 题 中 的 应 用 同 【 ＝ Ｉ
陈 守俊
（ 至 县第 中学 ， 徽 东 至 东 安 ２７０ ） ４ ２０
函数 的 对 称 性 是 函 数 的 一 个 重 要性 质 ，也 是 高 考 考 查 的 重点 与 热 点 。 像 的 对称 关 系允 分 体 现 了数 学 之美 ， 用 对 称 图 利 性 往 往 能 简 捷 地 解 决 一 些 数 学 问 题 。 下 面 以 ２ ０ 年 的 高 考 试 ０９ 题为 例 ， 介绍 有 关 题 型 。
（ＩＩ ０ 中 心对 称 ， 么 ＩＩ 一＇ Ｌ￣ ） － 那 的最 小 值 为 （
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｛，｝￣ｆｘ 的图像关于直线ｘ ； 对称， ｌ４，ｌ（） Ｊ ＝ 从而排除Ｂ 若解集 ；
２
） 。
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— —
Ａ． ６
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命 题 立 意 ： 小 题 ｌ 的 函 数 ｙ ３ｏ （ｘ ６） 对 称 中 心 是 本 ｆ Ｉ ＝ ｃｓ ２ ＋ 的
其 图 像 与ｘ 的所 有 交 点 ． 由此 可 得 出 关 于 击的 方 程 ．进 而 确 轴 定 的最 小 值 。
１
于ｘ 的方 程ｍＩ（ ） ｎ （ ） ｐ ０ ｆｘ ］ ｆｘ ＋ ＝ 的解 集 不 可 能是 （ ＋ ） ． Ａ｛ ，｝ Ｂ｛，１ Ｃ｛， ，，｝ Ｄ． ， ，６ ６ ｝ ． ２ ｌ ． ４ １ ． ２ ３４ １ ｆ ４ １ ，４ １ 命题 立 意 ： 本题 主要 考 查 函数 的对称 性与 方程 的根 的 内容 。
函数对称性的探究及应用
推论 ： 函数 ＝ － 的 图像 与 － ｌ ） ＝厂 ） ＝（ ｚ —ｆ ｙ 的图像关于
直线 ｚ ｙ 一．成轴对称． 三、 函数对称性应用举例 【 １ 定义在 Ｒ上 的非 常数 函数满足 ： （Ｏ ） 例 】 ＿ １ ＋ 厂 为偶 函 数 ， ｆ（ —３ ＝ ｆ ５ 且 ５ ７ ） （ ＋ ） 则 ｆ（ ） 定 是 ， ７ ３ 一 （ ） ｉ４ ．ｇ 十二届希望杯高二第二试题 ） Ａ 是偶 函数 ， ． 也是周期 函数
ｙ ＝ｆ ３ ） 记点 Ｐ（ ，） 于直 线 ～ ｏ （ ｏ． ７ ７ ， ３ ｊ关 一口的轴 对 称 点 为 Ｐ ｉ １ｙ ） 则 ． 一ｎ ｙ ，１ ３ －ａ ．． —ｎ ． ， ｘ ，１ ， ７ Ｃ １ ＋ ０ｙ — ７ ｏ ， ７ ．ｏ 十 ） ２ ， １
Ｙ —ｚ 一ａ 代入 一ｆ ｘ ） 中得 ． －ａ ｏ １ ， ｉｏ之 ７ Ｃ ｌ 一厂 口 １． （ ＋Ｙ ）
定理 ３ ①若函数 ｙ － （ ） ． ：ｆ ｘ 图像 同时关 于点 Ａ（ ，） ａｆ 和点 Ｂ（，） 中心 对称 （ ≠６ ， ｙ ＝厂 ） 周期 函 ｂｃ 成 ｎ ）则 ＝－ ＝（ 是
数 ， ２ ｎ ６是 其 一个 周期 ． 且 Ｉ一 ｌ
于直线 ． ｚ — 一。的轴 对称点也 在 函数 Ｙ 一厂 － 的 图像 （） ｚ
对 称 有 关 的性 质 ．
一
① ② 的证 明 留给 读 者 ， 以下 给 出③ 的证 明 ：
证明：‘ ‘函数 一 ． ） 图像关于点 Ａ（， 成中心对称， ａｆ ）
’ ． ．
， ｚ ＋ｆ ２ －ｘ ＝２ ， ２ 一ｚ代 ｚ得 ： （ ） （ａ ） ｃ用 ６
ｆ ２ －ｘ ＋尢２ 一（ｂ ｘ ］ ｃ ０ （ｂ ） 口 ２ － ） 一２ ，
专题05 函数的对称性、周期性及其应用-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
对称性在高中数学中的应用举例
对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中具有十分重要的应用，下面我们来举几个具体的例子。
1.图形的对称性在几何学中，对称性是指在某些变换下，图形保持不变。
如在平面上，如果一个点绕固定点旋转180°后落在自己所在的位置上，那么这个点就具有对称性；如果一图形绕自己的对称中心旋转一定角度后与原图形完全重合，那么这个图形就具有对称性。
在学习几何的时候，我们经常需要利用图形的对称性来求解问题。
例如，已知一个等边三角形的一条边上有一点P，求P到另外两边的距离，我们可以在三角形的对称中心O处画出一条垂线，将三角形对垂线做一个轴对称，得到一个与原图形相似的三角形，然后利用相似关系求出P到另外两边的距离。
2.代数式的对称性在代数学中，对称性是指一个代数式在某些变换下保持不变。
例如，一个多项式f(x)具有奇偶对称性，当且仅当f(x)=f(-x)，称f(x)为偶函数；当且仅当f(x)=-f(-x)，称f(x)为奇函数。
利用函数的对称性，可以简化许多计算，如当我们需要求一奇函数在[-a,a]区间内的积分时，由于奇函数的积分在[-a,a]区间内相当于在[-a,0]和[0,a]上的积分之和，而由于f(x)=-f(-x)，因此在[-a,0]上的积分等于在[0,a]上的积分，因此该积分可以简化为对[0,a]上的积分进行计算。
在学习函数图像时，我们经常需要运用函数的对称性来快速绘制图像。
例如，已知f(x)具有奇偶对称性，那么在绘制f(x)的图像时，只需要绘制[-1,1]区间内的半个图像，然后将其对y轴或者原点进行对称就可以得到整个图像。
在三角形、四边形等平面图形中，如果其中一个顶点到图形的另一条边的垂线中点，与垂线的交点处于中点，那么这个图形就具有中心对称性。
利用这一性质，可以求出很多三角形的面积、周长等。
例如，已知一个三角形的三条边长分别为a，b，c，利用海伦公式可以求出三角形的面积S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，如果此三角形具有中心对称性，那么可以利用垂线中点定理求出三角形的高，然后再求出三角形的面积。
函数的对称性及应用
函数的对称性及应用对称性是和谐的表现形式，对称性充分体现了数学的和谐美，给人以审美的愉悦感。
在函数中，函数的对称性是函数的一个基本性质，不仅表现出形式美、结构美，应用到一些数学问题中，更有方法美与思路美。
对称性对于简捷地解决某些函数问题至关重要，它可以帮助我们快速找到突破口。
1、函数内部的对称性（自对称）1.1 关于点对称函数y=f（x）关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b，也可以写成f（x）+f（2a-x）=2b。
若写成f（a+x）+f（b-x）=c，则函数f（x）关于点（，）对称。
1.2 关于直线对称函数y=f（x）关于x=a对称？圳f（a+x）+f（a-x），也可以写成f（x）=f （2a-x）。
若写成f（a+x）+f（b-x），则函数f（x）关于直线x= = 对称。
2、函数之间的对称性（互对称）2.1 关于点对称y=f（x）与y=g（x）关于点（a，b）对称？圳f（x）+g（2a-x）=2b或f（a+x）+g（a-x）=2b。
2.2 关于直线对称y=f（a+mx）与y=f（b+mx）（m≠0）关于直线x= 对称。
特别地，y=f（x）与y=f（2a-x）关于直线x=a对称。
3、函数对称性应用举例例1 设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（-x+2），且其图像与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 ，求f（x）的解析式。
解：f（x）关于x=2对称，可设f（x）=a（x-2）2+b。
由4a+b=1，再由x1-x2=2 ？圯2 =2 ，解得a= ，b=-1。
f（x）= （x-2）2-1例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1？燮x？燮0时，f（x）=- 则f（8.6）= 。
解：f（x）因是定义在R上的偶函数，所以x=0是f（x）对称轴；又f（1+x）=f（1-x）所以x=1也是f（x）对称轴。
故f（x）是以2为周期的周期函数，所以。
函数对称性在高考中的应用
函数对称性在高考中的应用标签：函数对称性高考奇函数偶函数应用函数是高中数学的主线，是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数的奇偶性要研究函数的对称性一定要先研究函数的奇偶性，因为奇函数是最典型的点对称，偶函数是最典型的轴对称。
奇函数：f（x）+f（-x）=0或f（x）=-f（-x），关于原点（0，0）对称；偶函数：f（x）-f（-x）=0或f（x）=f（-x）关于y轴对称。
在对称区间上奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。
二、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f （2a-x）=2b.证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y =f（x）图像上，∴2b-y=f （2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a -x）=2b，必要性得证。
（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0 = f（x0），∵f （x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。
故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得征。
推论：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0.定理2. 函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（证明留给读者）推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.定理3. ①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
函数对称性周期性的应用知识点总结练习题及答案解析
专题 函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. （一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可.例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可.例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称. ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性1、定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等3、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数()f x C = 5、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a =分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：()()2f x a f x a +=-+ 所以有：()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=，即周期2T a =注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = 分析：()()()()1121f x a f x f x a f x +===+ （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =分析：()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=，两式相减可得：()()2f x a f x += （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =（6）双对称出周期：若一个函数()f x 存在两个对称关系，则()f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a >）① 若()f x 的图像关于,x a x b ==轴对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- 分析：()f x 关于x a =轴对称()()2f x f a x ⇒-=+ ()f x 关于x b =轴对称()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+ ()f x ∴的周期为()222T b a b a =-=-② 若()f x 的图像关于()(),0,,0a b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =-③ 若()f x 的图像关于x a =轴对称，且关于(),0b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质. （1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔()kT k Z ∈的函数图象相同，所以若()f x 在()(),a b b a T -≤上单调增（减），则()f x 在()(),a kT b kT k Z ++∈上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为T 的函数()f x 存在一条对称轴x a = （或对称中心），则()f x 存在无数条对称轴，其通式为()2kTx a k Z =+∈ 证明：()f x 关于x a =轴对称 ()()2f x f a x ∴=-函数()f x 的周期为T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=- ()f x ∴关于2kTx a =+轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.例2.（2015·广东高考真题（文））下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+ D ．sin 2y x x =+【答案】A 【解析】A ． f （﹣x ）＝（﹣x ）2+sin （﹣x ）＝x 2﹣sin x ，则f （﹣x ）≠﹣f （x ）且f （﹣x ）≠f （x ），则函数f（x ）为非奇非偶函数；B ．f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣cos （﹣x ）＝x 2﹣cos x ＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数；C ．f （﹣x ）122xx --=+=2x12x+=f （x ），则函数f （x ）是偶函数； D ．f （﹣x ）＝﹣x +sin2（﹣x ）＝﹣x ﹣sin2x ＝﹣f （x ），则函数f （x ）是奇函数，故选：A ．例3.（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= （ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D 【解析】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()e1xf x f x -=--=--，得()e 1x f x -=-+．故选D ．例4.（2019·全国高考真题（理））函数3222x xxy-=+在[]6,6-的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设32()22x xxy f x-==+，则332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，所以()f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又34424(4)0,22f-⨯=>+排除选项D；36626(6)722f-⨯=≈+，排除选项A，故选B．例5.（2018·全国高考真题（理））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.例6.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．例7．（2019·吉林长春市实验中学高三期末（理））设函数()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的实数x ，恒有()()f 0.x f x --=13()()22f x f x -=+，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(3,5)B ．[4,6]C ．[3,5]D ．(4,6)【答案】A 【解析】∵f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，∴f （x ）＝f （﹣x ），∴f （x ）是偶函数， ∴131222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令12x t -=，则x=t+12，∴有()()2f t f t +=成立，∴f （x ）是的周期为2， 根据函数的周期和奇偶性作出f （x ）的图象如图所示：∵g （x ）＝f （x ）﹣log a x 在x ∈（0，+∞）上有且仅有三个零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝log a x 的图象在（0，+∞）上只有三个交点，∴31511a a log log a ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞＞，解得3＜a ＜5． 故选：A ．例8.（2019·厦门市第三中学高三期中（理））已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[]1,1x ∈-时，()21xf x =-，则函数()()lg F x f x x =-的零点个数是__________【答案】10 【解析】函数()()lg F x f x x =-的零点，转化为函数()21xf x =-与y lg x =的交点，()[]0,1f x ∈.当x 10,=，时()()1000f f ==,lg101=，当x 10>时lg 1x >，两函数无交点.所以当x 10<-时，也无交点.所以交点在[]10,10-范围内，由函数图像可知，有10个交点. 【总结提升】对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解．（1）若分离参数后得到()a f x =（a 为参数）的形式，则作出函数()f x 的图象后，根据直线y a =和函数()f x 的图象的相对位置得到参数的取值范围．（2）若不能分离参数，则可由条件化为()()f x g x =的形式，在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数()y g x =的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围．【精选精练】1．（2019·江西师大附中高考模拟（文））若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a =-∴本题正确选项：B2. （2018·浙江高考真题）函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C ，选D.3．（2018届山东省枣庄市第三中学高三一调）已知定义在R 上的函数()f x 满足条件：①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]12,0,2x x ∈且12x x <，都()()12f x f x <有；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A. ()()()7 6.5 4.5f f f <<B. ()()()7 4.5 6.5f f f <<C. ()()()4.57 6.5f f f <<D. ()()()4.5 6.57f f f << 【答案】C【解析】∵对任意的x ∈R,都有f(x+4)=f(x)； ∴函数是4为周期的周期函数， ∵函数f(x+2)的关于y 轴对称 ∴函数函数f(x)的关于x=2对称，∵对任意的[]12,0,2x x ∈,且12x x <,都有()()12f x f x <. ∴此时函数在[0,2]上为增函数， 则函数在[2,4]上为减函数， 则f(7)=f(3)， f(6.5)=f(2,5)， f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)， 则f(3.5)<f(3)<f(2.5)， 即f(4.5)<f(7)<f(6.5)， 故选：C.4．（2019·山东高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x y f x +==+，为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1219ln 22f e f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1219ln 22f f f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】 ()()6f x f x +=，()f x ∴的周期为6，又()3y f x =+为偶函数，()()33f x f x ∴-+=+，1977115633222222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 122,10ln 21e <<<<,1253ln 202e ∴>>>>， 又()f x 在()0,3内单调递减，125(ln 2)2f f e f ⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2119ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 5．（2019·山东高三期末（理））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()11f x f x +=-，若()11f =，则()()()()1232019f f f f +++⋯+=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】 ()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-且()00f =， ()()11f x f x +=-，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x ∴是周期为4的函数，()11f =，()()111f f ∴-=-=-，()()()33411f f f ∴=-=-=-，()()()2242f f f -=-+=且()()22f f -=-，()20f ∴=，又()()()44400f f f =-==，()()()()12340f f f f ∴+++=，()()()()123...+2019f f f f ∴+++()()()()()50512342020f f f f f ⎡⎤=+++-⎣⎦()()()()()50512344f f f f f ⎡⎤=+++-⎣⎦505000=⨯-=，故选B.6．（2018·荆门市龙泉中学高三月考（理））设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．20【答案】B【解析】因为函数()f x 为定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=- ，又因为()()2f x f x =-，所以()()2f x f x --=-，可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，且()y f x = 图像关于直线1x =对称.故()()()cos g x x f x π=-在区间[]3,5-上的零点，即方程()()cos x f x π= 的根，分别画出()cos y x π=与()y f x =的函数图像，因为两个函数图像都关于直线1x =对称，因此方程()()cos x f x π=的零点关于直线1x =对称， 由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1625342x x x x x x +=+=+=，所以所有零点和为8,故选B.7.（2019·黑龙江高考模拟（文））定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意的x ∈R 都有(1)()f x f x +=；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若函数()()log a g x f x x =-（0a >且1a ≠）恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]1,2C ．(]2,3D ．(]3,4 【答案】C【解析】由题意得方程()log a f x x =（0a >且1a ≠）有三个解，所以函数()y f x =和log a y x =的图象有三个交点．因为对任意的x R ∈都有()()1f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为1的函数．又当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，画出函数()y f x =的图象，如下图所示．又由题意可得，若函数log a y x =的图象与函数()y f x =的图象有交点，则需满足1a >．结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足2131a alog log <⎧⎨≥⎩，解得23a <≤， 所以实数a 的取值范围是(2,3]．故选C ．8．（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．9．（2018·江苏高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为____． 【答案】【解析】 由得函数的周期为4，所以因此10．（2019·广东高考模拟（理））已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log 3f x x x =-，则()1f -=__________.【答案】3【解析】因为()1f 2log 133=-=-，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()1f -=()1 3.f -=11．（2019·辽宁高考模拟（文））已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，则()2.5f -=______．【答案】0.25-【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴ ()()()()2.5 2.520.50.5f f f f -=-+=-=-. 当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，∴()()0.50.510.50.25f =⨯-= ，∴()2.50.25f -=-. 故答案为：0.25-12．（2019·吉林长春市实验中学高三期末（文））已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02x <<时，()4x f x =，则17()(2)2f f -+=（______）． 【答案】2-【解析】 ∵f （x ）是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f （172-）＝f （﹣812-）＝f （12-）＝﹣f （12） ∵x ∈（0，2）时，f （x ）＝4x ，∴f （172-）＝﹣2， ∵f （x ）是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f （-2）＝f （﹣2+4）＝f （2），同时f （﹣2）＝﹣f （2），∴f （2）＝0，∴f （172-）+f （2）＝﹣2． 故答案为：﹣2。
函数的对称性与奇偶性的应用
函数的对称性与奇偶性的应用函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，它们在不同领域的数学问题中有广泛的应用。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念及其应用，并通过一些例子来进一步说明。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下具有不变性。
常见的对称性包括以下几种：1. 奇偶对称性：如果对于函数的每一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称函数具有奇对称性；如果对于函数的每一个实数x，都有f(-x) =f(x)，则称函数具有偶对称性。
2. x轴对称：如果对于函数的每一个实数x，都有f(x) = f(-x)，则称函数具有x轴对称性。
3. y轴对称：如果对于函数的每一个实数x，都有f(x) = -f(-x)，则称函数具有y轴对称性。
二、奇偶性的应用奇偶性在数学中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用情况。
1. 确定函数的对称性：通过对函数f(x)进行变换，可以判断函数是否具有对称性。
如果f(x)与-f(x)完全相同，那么函数是偶对称的；如果f(x)与-f(x)相差一个负号，那么函数是奇对称的；如果f(x)与f(-x)完全相同，那么函数具有x轴对称性；如果f(x)与-f(-x)相差一个负号，那么函数具有y轴对称性。
2. 简化函数的求解：奇偶性可用来简化函数的求解过程。
如果函数f(x)是偶对称的，则在求解某些积分和方程时，可以利用对称性简化计算。
同样，如果函数f(x)是奇对称的，也可以利用对称性简化计算。
3. 求解函数的零点：根据函数的奇偶性，可以得到函数的零点的一些性质。
对于偶对称的函数，如果f(x)=0，则-f(x)=0，也是函数的零点；对于奇对称的函数，如果f(x)=0，则-f(x)=0是函数的零点。
4. 确定函数图像的性质：根据函数的对称性，可以推断出函数图像的一些性质。
例如，如果函数是偶对称的，则函数的图像关于y轴对称；如果函数是奇对称的，则函数的图像关于原点对称。
三、例子分析为了更好地理解函数的对称性和奇偶性的应用，下面以一些具体函数为例进行分析。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学中，函数的对称性是一个重要的概念。
函数的对称性可以帮助我们简化问题
的解决过程，从而更好地理解和应用数学知识。
函数的对称性与图形的对称性密切相关。
通过对函数的图像进行观察，我们可以发现
一些常见的对称形状，如中心对称、轴对称等。
对于中心对称的函数，其图像可以通过绕
某一点旋转180度后与原图完全重合；对于轴对称的函数，则可以通过绕某一条直线镜像
翻转后与原图完全重合。
在实际应用中，函数的对称性可以帮助我们简化计算。
以奇偶函数为例，奇函数指的
是满足f(-x) = -f(x)的函数，而偶函数指的是满足f(-x) = f(x)的函数。
对于奇函数，
如果我们已经知道了函数在某个点的取值，那么通过奇函数的特性，我们可以推算出该点
对称位置的取值。
同理，对于偶函数，如果我们已经知道了函数在某个点的取值，那么通
过偶函数的特性，我们可以推算出该点关于y轴对称位置的取值。
函数的对称性还可以帮助我们解决一些特殊问题。
如果我们要证明一个函数恒等于零，可以通过构造一个满足对称性的函数来证明。
又对称性还可以帮助我们证明一些定理，如
中值定理、拉格朗日中值定理等。
函数的对称性在高中数学中具有重要的意义。
它可以帮助我们简化问题和计算过程，
提高解题的效率，同时也可以帮助我们理解和应用数学知识。
在学习和应用函数的过程中，我们应该重视对称性的概念，并学会灵活运用对称性来解决各种问题。
函数对称性、周期性的应用(含解析)
函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期 分析： （4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称 【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-， 结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=， 则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确； 无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤， 即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象； 再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确； 因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数， 且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数． 方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-， 设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有 ， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减， 又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5）， 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5） 即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称， 作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)， 由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。
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脑袋走进课堂，对于数学他们有着属于自己 的 、个 性 化 的 理 解 ，也 许 他 们 的 想 法 有 时 不 是 纯 数 学 的 ，甚 至 经 不 起 推 敲 ，然 而 正 是 这 些 鲜 活的想法，暴露了他们最真实、最原始的思 维，展现了他们真实而生动的认识视界。教学 中 ，我 们 面 对 不 期 而 遇 的 问 题 ，不 能 不 分 青 红 皂白一棍子将其打死，而是要用积极的眼光 去关注，用聪慧的心灵去呵护。
（作者单位：山西省中阳县宁乡中心校钢城 小学）
·66·
四 、开 展 有 效 的 数 学 活 动 ，引 导 学 生 主 动 获 取 知 识 。《数 学 课 程 标 准》强 调 ：“ 数 学 教 学 活动必须建立在学生的认知发展水平和已有 的知识经验基础之上，向学生提供充分从事 数 学 活 动 的 交 谈 会 ”，“ 动 手 实 践 、自 主 探 索 与 合作交流是学生学习数学的重要方式，数学 学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和 富有个性的过程”。
A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（a≠b），则 y = f
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数
函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个
(x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。
(C) f(x)=f(x+2)
(D) f(x+3) 是奇函数
不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=_____.
周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。
∴ 函数 f(x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，函 数,所以函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由
③若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函数.∴f(-x- f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周
一、函数自身的对称性 定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)
②函数 y = f (x)与 a－x = f (a－y)的图像关于 直线 x +y = a 成轴对称。
③函数 y = f (x)与 x－a = f (y + a)的图像关 于直线 x－y = a 成轴对称。
推论：函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图 像关于直线 x = y 成轴对称。
②若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x =
解: ∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数，
【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足 f
a 和直线 x = b 成轴对称（a≠b），则 y = f (x)是
∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),
(x-4)=-f(x),所以 f(x-4)=f(-x),所以,由 f(x)为奇函
题：
数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所 示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个 不同的根x1,x2,x3,x4, 不妨设x1＜x2＜x3＜x4 由对称性
定理 4. 函数 y = f (x)与 y = 2b－f (2a－x)的 图像关于点 A (a ,b)成中心对称。
杨补连
在新课程理念下，有效的数学教学要以 学生的进步和发展为宗旨，教师必须具有一切 为学生发展的思想，运用科学的教学策略，使学 生乐学、学会、会学，促进学生的全面发展、主动 发展和个性发展。那么怎样才能“为了学生的发 展而教”?怎样才能在小学数学教学中杜绝那些 将无效的教学当做有效的现象呢?
一、联系学生的生活实际，激发学生求知 欲。数学源于生活，又服务于生活。教学中，我 们 着 力 探 索 与 构 建 生 活 数 学 的 教 学 体 系 ，引 导学生把数学课堂上所学的知识和方法运用 到生活实践中，鼓励他们把生活中碰到的问 题带进课堂，尝试着用数学方法来解决。
成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称（a≠b）， 1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3），即 （f x+3）是奇 期的周期函数,又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函
则 y = f (x)是周期函数，且 4| a－b|是其一个周 期。
二、不同函数对称性的探究
函数。故选 D 例 3. （2010 江西理数）9． 给出下列三个命
充要条件是 f (x) = f (－x)
例 2：（2009 全国卷Ⅰ理）函数的定义域为 R，
例 4.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇
定理 3. ①若函数 y = f (x) 图像同时关于点 若 f(x+1)与（f x-1）都是奇函数，则( D )
函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增
·教 育 教 学 研 究
2012 第 6 期（总第 66 期）
高中函数对称性性质的应用
初洪志
高中函数的对称性是函数的一个基本性 图像关于直线 x = a 成轴对称。
②若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像关于直线
质，而对称关系在教材中没有直接给出，但在高 考题中却经常出现。所以补充这个性质对解答 高考题具有十分优越的条件，本文就对称性在 高考中的应用简单概述。
f (a +x) = f (a－x) 即 f (x) = f (2a－x)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
得 f(-x)=-f(x)，所以 f（x）是周期为 2 的周期函
推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的
显然答案为 D
数，选择 C。
二 、创 设 生 动 有 趣 的 情 境 ，提 高 学 生 参 与 度。“情境”与学生的数学学习直接相关。“让 学 生 在 生 动 具 体 的 情 境 中 学 习 数 学 ”是《数 学 课程标准》 提倡的重要理念之一。我们都知 道，现行教材为学生设计了富有童趣的学习
素材和活动情境，有生动的童话、有学生熟悉的 活动情境，美丽的图画中蕴含着许多奇妙的知 识。我们在教学中注意结合实际，创造性地把静 态的文本资源加工成动态的数学学习资源。如 教学“找规律”时，充分利用主题图创设动物园 开庆祝大会的情境。美丽的画面、生动的情节吸 引学生走进情境：有几只小兔？几只蘑菇？它们 是怎么排列的？有几块手帕？几个夹子？它们是 怎么排列的？篱笆和木桩呢？学生在饶有兴趣的 观察比较、充分交流的活动中，感悟“两种物体 一一间隔排列，当两端物体相同时，两端物体的 个数比中间物体的个数多 1”这一规律，这样，学 生的数学学习过程变得生动有趣，他们在获取 数学知识的同时还获得了积极的情感体验。
例 1：（2006 年全国卷 II）函数 y＝f(x)的图像
与函数 g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点
对称，则 f(x)的表达式为 ( )
(A)f(x)＝
1 log2x
(x＞0)
(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
② 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、
周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除 A、 B，验证③, f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x),又通过奇函数
①函数y=1Fra bibliotek21n
1-cosx 1+cosx
与 y=1n
tan
x 2
是同
知 x1+x2=-12 4=-8
x3+x4=4 所 以 x1+x2+x3+x4=-12 +
定理 5. ①函数 y = f (x)与 y = f (2a－x)的 一函数；
（作者单位：黑龙江省巴彦县高级中学）
小学数学有效性教学的思考与实践
y=x
对称，则函数
y=f(2x)与
y=
1 2
g(x)的图像也关
于直线 y=x 对称；
③若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)
=f(2-x)，则 f(x)为周期函数。
其中真命题是
对称的充要条件是
三、函数对称性应用举例
A. ①② B. ①③
C.②③
D.
f (x) + f (2a－x) = 2b 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称 的充要条件是 f (x) + f (－x) = 0 定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是