高中数学知识点精讲精析 对数

3.4对数

3·4·1 对数及其运算

1.对数及其运算：

①对数：一般地，如果的b 次幂等于N ，即，那么数b 就叫作以a 为底的N 的对数，记作：

其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.

通常将以10为底的对数称为常用对数，N 的常用对数记作：lgN ；

将以自然常数e=2.71828…… 为底的对数称为自然对数，N 的自然对数记作：lnN. ②对数的运算性质：

如果则 1）

；

2）

； 3）

2

3.

重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a

N

a =log 例1 计算

（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×5

2）， （4）lg 5100

解：（1）5log 25= 5log 25（2）4.0log （3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 5

2

(0,1)a a a >≠N a b

=b N log a =0,1,0,0,a a N M >≠>>()log log log a a a MN M N

=+)(log log R n M n M a n

a ∈⋅=log log log a a a M M N N ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

= 2log 7

22

⨯+ 2log 5

2 = 2×

（4）lg 5100=

5

2lg1052log10512==例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：

3

2log )2(;

(1)log z

y

x z

xy

a

a 解：（1）z

xy

a log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）3

2log z

y

x a

=a log （2

x

3log )z y a -

= a log 2

x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 3

1log 2

1-例4计算： (1)lg14-2lg

37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2

.1lg 10

lg 38lg 27lg -+ 说明：此例题可讲练结合. (1)解法一：lg14-2lg

3

7

+lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2

3×2)

解法二： lg14-2lg

37+lg7-lg18=lg14-lg 2

)3

7(+lg7-lg18

=lg

01lg 18)3

7(7

142

==⨯⨯评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.

253lg 23lg 53

lg 3lg 9lg 243lg )2(2

5===10

23lg

)

10lg(32lg )3lg(2.1lg 10lg 38lg 27lg )

3(2

2

13

2

13

⨯=+=

-+2

3

12lg 23lg )

12lg 23(lg 23

=-+-+=

评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子.分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.

例 5求下列各式的值：

（１）2log ６－2log （２）lg ５＋lg （３）5log ３＋5

log 3

1（４）3log ５－3log 解：（１）2log ６－2log ３＝2

log =3

6

2log （２）lg ５＋lg ２＝lg （５×２）＝lg (3) 5log ３＋5

log 31＝5log (３×3

1

)＝5log (4) 3log ５－3log 15＝3log 15

5

＝3log 31＝－3log ３＝－１.

例 6 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：

(1) lg （xyz ）； （２）lg z xy 2； （３）z

xy 3lg ； （４）z y x

2lg

解：(1) lg （xyz ）＝lg ｘ＋lg ｙ＋lg ｚ；

(2) lg z

xy 2

＝lg ｘ2y －lg ｚ＝lg ｘ＋lg 2y －lg ｚ

＝lg ｘ＋２lg ｙ－lg ｚ；

(3) z

xy 3lg

＝lg ｘ3y －lg z ＝lg ｘ＋lg 3y －

2

1

lg ｚ ＝lg ｘ＋３lg ｙ－

2

1

lg ｚ； (4)z y x z y x 2

2

lg lg lg

-=)lg (lg lg 212z y x +-= z y x lg lg 2lg 2

1

--=