高中数学知识点精讲精析对数

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对数及对数函数要点及解题技巧讲解

的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
人
A. 2
B．2 或12
教
B
版
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
第2章函数
高考数学总复习
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意
得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
人教
B
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数，
版
∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
第2章函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
人教
B
版
图象
第2章函数
高考数学总复习
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
人
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数；
教
B
当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
B
版
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38
＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
答案：(1)2

高一必修一对数知识点

高一必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，尤其是在数学和物理学中。

对数可以帮助我们解决指数运算中的一些问题，可以将复杂的乘法运算简化为简单的加法运算。

在数学中，对于任意正数 a 和正数 b，如果满足等式 a^x = b，则我们说 x 是以 a 为底数的对数，记作 x = log_a(b)。

其中，a 称为底数，b称为真数，x 称为对数。

以 10 为底的对数称为常用对数，常用对数的记法为 log(b)。

以 e（自然对数的底）为底的对数称为自然对数，自然对数的记法为ln(b)。

二、对数的性质1. log(a * b) = log(a) + log(b)对数的乘法性质：对数的底数相同的情况下，多个数的乘积的对数等于这些数的对数之和。

2. log(a / b) = log(a) - log(b)对数的除法性质：对数的底数相同的情况下，一个数除以另一个数的对数等于这两个数的对数之差。

3. log(a^k) = k * log(a)对数的幂次性质：对数的底数相同的情况下，一个数的幂的对数等于该数的对数乘以幂。

4. log(a) = log(b) / log(c)对数的换底公式：可以将一个对数转化为另一个底数的对数。

三、对数的应用1. 对数在指数函数中的应用对数和指数函数是互为逆运算的，可以相互转化。

通过使用对数，可以将指数函数转化为线性函数，从而更方便进行计算和分析。

2. 对数在科学计算中的应用在科学计算中，对数经常用于表示极大或极小的数值。

例如在物理学中，天文学中，对数常用于表示星等、震级、声音强度等。

3. 对数在经济学和金融学中的应用对数在经济学和金融学中广泛应用于计算复利和折现，帮助分析投资回报率和风险等。

4. 对数在数据科学中的应用对数可以用于数据的缩放和归一化，使得不同数量级的数据可以在同一个尺度上进行比较和分析。

四、对数的练习题1. 计算 log(2 * 3) + log(5) 的值。

对数知识点归纳总结高中

对数知识点归纳总结高中一、对数的基本概念1. 指数指数是用来表示一个数的乘方的指数。

对数与指数是互为逆运算的。

如果a的x次方等于b，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logab。

其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为指数。

2. 对数的性质对数的性质包括：（1）对数的基本定义：loga1=0, logaa=1（2）对数的唯一性：对于任意的a>0，且a≠1，b>0，b>0且b≠1，则a的对数是唯一的。

（3）对数的运算性质：logab+logac=loga(bc)，logab-logac=loga(b/c)，nlogab=loga(b^n)。

3. 对数的运算对数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，其中乘方运算是对数最基本的运算。

对数的运算基于对数的定义和性质。

通过对数的运算，可以简化复杂的乘方运算，进而求解各种数学问题。

4. 对数的换底公式对数的换底公式是指当对数的底不同时，如何求解两个底不同的对数之间的关系。

对数换底公式为：logab=logcb/logca。

5. 对数方程对数方程是指方程中包含对数的运算。

通过对数方程的变形和化简，可以求解出未知数的值。

对数方程在实际问题中有着广泛的应用，如生物学、物理学和经济学等领域。

6. 对数不等式对数不等式是指包含对数的不等式。

对数不等式可以通过对数的性质和运算来进行求解。

对数不等式在数学推导和应用问题中有着重要的作用。

二、常用对数1. 自然对数自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数。

自然对数在数学和物理中有着广泛的应用，如求解指数函数、微积分和概率统计等问题。

2. 常用对数常用对数是以10为底的对数。

常用对数在数学、工程和科学中常常用到，方便计算和表述。

3. 底为2的对数底为2的对数在计算机和信息技术领域有着特殊的应用，如计算机存储容量的衡量、数据压缩和信息传输等方面。

三、对数的应用1. 对数函数对数函数是指以对数形式表达的函数。

高三对数知识点总结

高三对数知识点总结在高三数学学习中，对数是一个重要的知识点。

对数的概念和性质在数学的各个领域都有广泛的应用，是解决各类问题的重要工具。

接下来我将对高三对数的知识点进行总结。

1. 对数的定义与性质对数是指数与底数的关系。

如果aᶺ = x，则称数a为底数，指数ᶺ为x的对数。

对数的定义为logₐx=ᶺ。

对数的性质有：（1）logₐ(xy)=logₐx+logₐy（2）logₐ(x/y)=logₐx-logₐy（3）logₐ(xᶺ)=ᶺlogₐx（4）logₐ1=0（5）logₐa=12. 常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，常用记作logx。

自然对数是以e （欧拉数）为底的对数，记作lnx。

常见对数和自然对数的换底公式为：（1）lnx=logₑx=log₁₀x/log₁₀e（2）logₐx=logcxa/logcab3. 对数方程与指数方程对数方程是含有对数函数的方程。

解对数方程的关键是将对数方程转化为指数方程，再进行求解。

对数方程的解还需满足底数的定义域要求。

例如，对数方程log₃(x+1)-log₃(x-2)=1，可转化为指数方程3¹=log₃(x+1)/(x-2)，解得x=0。

4. 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数。

对数函数的定义域是正实数，值域是实数；指数函数的定义域是实数，值域是正实数。

两者之间的关系可以通过对数函数和指数函数的图像进行理解。

例如，y=log₃x和y=3ˣ的图像是关于y=x对称的。

5. 指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中有广泛的应用，如复利计算、化学反应速率等。

6. 对数运算的应用对数运算可以简化复杂的计算，解决实际问题。

例如，在学习生物学中，对数运算可以用于衡量物种数量的增长和衰减。

7. 对数函数的导数对数函数的导数公式为(d/dx)logₐx=1/(xlogₐe)。

根据导数公式，对数函数的单调性可以进行推导。

当底数大于1时，对数函数是递增函数；当底数小于1时，对数函数是递减函数。

对数的知识点归纳总结

对数的知识点归纳总结一、对数的基本概念1. 对数的定义对数是指数函数的逆运算。

给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。

其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。

对数的值可以是实数，也可以是复数。

2. 基本性质（1）对数的底为正实数且不等于1。

（2）对数的真数为正实数。

（3）对数的值可以是实数，也可以是复数。

（4）对数函数为单调增函数。

二、对数的性质1. 对数的运算性质（1）对数的乘法性质：log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)（2）对数的除法性质：log_a(m) - log_a(n) = log_a(m/n)（3）对数的幂运算性质：log_a(m^n) = n*log_a(m)（4）对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)2. 对数的性质（1）log_a(a) = 1（2）log_a(1) = 0（3）log_a(m) = -log_a(1/m)（4）log_a(a^x)=x（5）a^log_a(x) = x3. 对数的常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(x)，常用于科学计算。

自然对数是以自然数e为底的对数，记作ln(x)，在微积分和概率论中有着广泛的应用。

三、对数的应用1. 对数在科学计算中的应用对数在科学计算中有着广泛的应用，特别是在大数据处理和模型拟合中。

通过对数据取对数，可以将呈指数增长或减小的数据转化为线性增长或减小的数据，方便进行线性回归分析或模型拟合。

2. 对数在工程学中的应用对数在工程学中有着重要的应用，特别是在电路设计、信号处理和控制系统中。

对数可用于描述电压、信号和控制变量的倍增和倍减关系，方便工程师进行设计和分析。

3. 对数在经济学中的应用对数在经济学中有着广泛的应用，特别是在复利计算和经济增长模型中。

对数可用于描述资金的复利增长和经济指标的增长趋势，方便经济学家进行分析和预测。

高中数学对数的知识点总结

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

4.3.1 对数的概念课件高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品

答案：(1)x=16；
(3)x=2；
(2)x= 2；
(4)x=-2.
练一练
1.求下列各式中x的值：
(1)log2x=-2 ;
(2)logx49=4 ;
(3)lg0.00001=x ;
(4)ln =-x .
1
答案：(1)x= ；
4
(3)x=-5；
(2)x= 7；
1
(4)x=- .
2
练一练
2.求下列各式的值：
（请注意书写格式： x=logaN
）
指数式与对数式的关系
指数
对数
x
a =N
x=logaNLeabharlann 真数幂底数
思考：这里的a与N各自的取值范围是什么？
2 两类重要对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数.
为了方便,N的常用对数logeN简记为lnN.
求下列各式的值：
(1) ;
(2)logaaN .
提醒：这里的a与N各自的取值范围是什么？
思维
素养
1.(1)使式子log(x-1)(3-x)有意义的x的取值范围
是
;
(2)方程4x=5×3x的解为
答案：(1)(1, 2)∪(2, 3)；
(2)x=4 5 .
3
.
2.求下列各式中x的值：
所以 a2m+n =(am)2an
=22×3
=12
方法：对数式转化为指数式
3.(1)已知函数 f(ex)=x,则 f(2)=
(2)设 f(log2x)=x,则 f(3)=
;

高一必修二对数知识点

高一必修二对数知识点对数作为数学中的一个重要概念，在高一必修二的学习中起到了至关重要的作用。

本文将介绍高一必修二中的对数知识点，包括对数的定义、性质、常用公式及应用等内容。

一、对数的定义及性质1. 对数的定义对数是指数运算的逆运算。

设a和b为正实数且a≠1，若满足a^x = b，则称x为以a为底，b为真数的对数，记作x=log_a b。

2. 对数的性质(1) 对数的底数必须是一个大于0且不等于1的正实数。

(2) 对数的真数必须是一个大于0的正实数。

(3) 同一个对数的底数不变，真数不变，对数也不变。

(4) 对数与指数之间有一些基本关系，如a^x=b等价于x=log_a b。

二、常用公式1. 换底公式对于任意的a>0，b>0，c>0且a≠1，b≠1，c≠1，有以下换底公式： log_a b = log_c b / log_c a2. 对数的乘法公式对于任意的a>0，b>0且a≠1，b≠1，有以下对数的乘法公式： log_a (b×c) = log_a b + log_a c3. 对数的除法公式对于任意的a>0，b>0且a≠1，b≠1，有以下对数的除法公式： log_a (b/c) = log_a b - log_a c4. 对数的幂的公式对于任意的a>0，b>0，n为整数且a≠1，b≠1，有以下对数的幂的公式：log_a (b^n) = n×log_a b三、对数的应用1. 简化计算对数可以简化复杂的计算过程，特别是涉及指数的计算。

通过将指数问题转化为对数问题，可以更快捷地求解。

2. 解指数方程当方程中含有指数项时，可以利用对数的性质将其转化为对数方程，从而求得未知数的值。

3. 等比数列在等比数列中，对数有着重要的应用。

通过对数的运算，可以求得等比数列的通项公式、求和公式等。

4. 科学计算在科学计算中，对数常常用于测量和表示数量级，例如天文学中的星等、地震学中的里氏震级等，都使用了对数的概念。

高一数学对数与对数函数、幂函数知识精讲

高一数学对数与对数函数、幂函数【本讲主要内容】对数与对数函数、幂函数对数定义及运算性质，对数函数的定义、图象和性质，幂函数的定义、图象和性质【知识掌握】【知识点精析】1. 对数（1）对数的定义：如果)1a 0a (N a b ≠>=，，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N log a =。

（2）指数式与对数式的关系：)0N 1a 0a (b N log N a a b >≠>-⇔-，，两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化。

（3）对数运算性质：①N log M log )MN (log a a a += ②N log M log NMlog a a a-= ③)1a 0a 0N 0M (M log n aM log a n ≠>>>=，，， ④对数换底公式：)0N 1b 0b 1a 0a (blog Nlog N log a a b >≠>≠>=，，，，2. 对数函数（1）对数函数的定义函数)1a 0a (x log y a ≠>=，叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+①定义域：（0，+∞） ②值域：R ③过点（1，0），即当x=1时，y=0④当a>1时，在（0，+∞）上是增函数；当0<a<1时，在（0，+∞）上是减函数。

3. 幂函数（1）形如)R n (x y n ∈=的函数叫做幂函数。

（2）幂函数的性质：①所有幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图象都过点（1，1）。

②如果α>0，则幂函数图象过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数。

③如果α<0，则幂函数图象在区间（0，+∞）上是减函数。

在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴。

当x 趋向于+∞时，图象在y 轴右方无限地逼近x 轴。

④当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数。

高中数学知识点全总结对数

高中数学知识点全总结对数一、对数的概念与性质对数是数学中一个重要的概念，它与指数函数有着密切的关系。

对数的定义是基于指数的逆运算，其形式为：如果 \(a^x=b\)，那么 \(x\) 就是以 \(a\) 为底 \(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)，其中\(a\) 称为对数的底数，\(b\) 称为真数。

1.1 常用对数在实际应用中，以 10 为底的对数被称为常用对数，记作 \(\log_{10} b\)，简写为 \(\log b\)。

以自然数 \(e\)（约等于 2.71828）为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。

1.2 对数的性质对数具有以下基本性质，这些性质在解决对数方程和简化对数表达式时非常有用：- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)- \(\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y\)- \(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)- \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)（换底公式）二、对数的运算法则对数的运算法则与指数的运算法则相对应，是解决高中数学问题时不可或缺的工具。

掌握对数的运算法则，可以帮助我们更快地解决涉及乘法、除法、幂运算的对数问题。

2.1 乘法变加法当面对两个相同底数的对数相乘时，可以将乘法转换为加法：\(\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x\)2.2 除法变减法同样地，当进行相同底数的对数相除时，可以将除法转换为减法：\(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)2.3 幂运算对于对数的幂运算，可以将幂移到对数前面：\(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)三、对数的应用对数在实际问题中有广泛的应用，特别是在处理涉及增长和衰减的问题时。

对数知识点总结高中

对数知识点总结高中一、概念对数是指数运算的逆运算，是一种用来求解指数方程的运算方法。

对数可以帮助我们快速计算复杂的指数运算，简化数学问题的求解过程。

二、对数的定义1.定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，a ≠ 1，且a≠0。

若aⁿ=x（n∈R），则称n 是以a为底x的对数，记作n=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，n称为指数。

2.对数的性质：（1）logₐa = 1（2）aⁿ=x（n∈R），则x>0（3）a>1时，n>0 <=> logₐx>0a<1时，n>0 <=> logₐx<0（4）a>1时，m>n <=> logₐm>logₐna<1时，m>n <=> logₐm<logₐn（5）logₐmn=logₐm+logₐn（6）logₐm/n=logₐm-logₐn（7）log_a(x^n)=nlog_ax（8）logₐ1=0,logₐa=1三、对数的运算1.换底公式若已知log_bx的值，要求log_ax的值时，可以利用换底公式来求解。

设log_bx=y，则x=b^y则log_ax=log_ab^y=ylog_ab2.对数的加减法logₐm+logₐn=logₐmnlogₐm-logₐn＝logₐ(m/n)3.对数的乘方法则logₐ(x^m)=mlogₐx4.对数的除法法则logₐ(x/n)=logₐx-logₐn四、对数方程对数方程是指含有对数的方程，形式为logₐx=b。

求解对数方程时，我们需要根据对数的性质和换底公式来化简方程，从而得到方程的解。

五、对数不等式对数不等式是含有对数的不等式，形式为logₐx>b。

求解对数不等式时，我们需要根据对数的性质来化简不等式，然后利用不等式的性质来解决问题。

六、对数函数对数函数是指y=logₐx（a>0且a≠1）这样的函数。

高中数学知识点精讲精析特殊对数函数的图像性质

3.5.2 特殊对数函数的图像性质
对数函数 y log2 x 的图像与性质：图像的作法：一是描点作图；二是先作出 x log2 y即y 2x 的图像，再将 x.y 轴位
置互换即可；图像：
）
y
21
x
与
y
log 1
2
x
8
6
4
2
-10
-5
A
5
10
-2
-4
-6
由图发现 y a x 与 y loga x 的图象有什么关系？
x3
x3
x3
x3
∴当 x＝4 时，ymin＝lg4.
1
例 2（2003 年北京宣武第二次模拟考试）在 f1（x）=x 2 ，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）
=log 1
2
x 四个函数中，x1＞x2＞1 时，能使 1 ［f（x1）+f（x2）］＜f（ 2
x1
x2 2
）成立的函数是
1
A.f1（x）=x 2
3, 4 , 3 , 1 A. 3 5 10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3, 4 , 1 , 3 B. 3 10 5
4 , 3, 3 , 1 C. 3 5 10
4 , 3, 1 , 3 D. 3 10 5
答案：A
例 4 求下列函数定义域
（1） y lg[lg(lg x)] （2） y lg( x2 3x 4)
y log 1 (x 1)
（2）
2
解：
（1） y log 2 t t x 1 ∴ y f (x) 在（ 1, ）
(,1) (1,)
y log 1 t
（2）
2
t x2 2x 8

高中对数知识点总结

高中对数知识点总结一、对数的定义及性质1. 对数的定义对数的定义是指数的逆运算。

对数是以一个固定的底数作为基数的。

一个数 x 是以 a 为底的对数，记作loga x = y，其中 a 称为对数的基数，x 称为真数，y 称为对数。

对数的定义可以表示为指数运算的逆运算。

根据对数的定义，我们可以得出对数的性质：① 对数是指数的逆运算。

如果 x 是以 a 为底的 y 的对数那么 a^y = x。

② 对数的底数和真数必须是正数，并且底数不等于1且不等于0。

③ 如果 a^y = x ，则 loga x = y。

④ 以10为底的对数是以10为底的通用对数，记作log x；以e(自然对数)为底的对数是自然对数，记作ln x。

⑤ 对数有唯一性，即同一个数只能有一个对数。

对数的定义及性质是学习对数的基础，我们需要牢固掌握这些定义和性质，以便能够运用到具体问题中。

二、对数的运算对数的运算主要有加法、减法、乘法、除法四种形式。

对数的运算需要根据对数的性质来进行。

1. 对数的加法对数的加法规则是loga (x*y) = loga x + loga y。

对于加法规则，我们首先将真数进行乘法运算，然后再对结果取对数，并且将对数进行加法运算。

2. 对数的减法对数的减法规则是loga (x/y) = loga x - loga y。

对于减法规则，我们首先将真数进行除法运算，然后再对结果取对数，并且将对数进行减法运算。

3. 对数的乘法对数的乘法规则是loga (x^m) = m*loga x。

对于乘法规则，我们首先将指数 m 从真数中提出来，然后再对结果取对数。

4. 对数的除法对数的除法规则是loga (x^m/y) = loga x^m - loga y = m*loga x - loga y。

对于除法规则，我们首先将指数 m 从真数中提出来，然后再对结果取对数，并且将对数进行减法运算。

对数的运算是解决实际问题中常用到的技能，同时也能够帮助我们简化数学运算，因此对数的运算也是需要我们掌握的重要技能。

对数知识点总结归纳

对数知识点总结归纳一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是指数运算的逆运算。

设a是一个正数且a≠1，b是一个正数，那么指数运算y=a^x可以表示为对数运算x=loga b。

其中，a称为底数，b称为真数，x称为指数，loga b称为以a为底b的对数。

因此，对数运算可以简单表示为loga b=x，其中a为底数，b 为真数，x为指数。

2. 对数的性质对数有以下几个重要性质：（1）对数的定义域：对数的定义域是正实数集合。

（2）对数的值域：对数的值域是实数集合。

（3）对数的底数：对数的底数a必须是正数且a≠1。

（4）对数的特性：loga a=1，loga 1=0。

（5）对数的运算法则：loga (mn)=loga m+loga n，loga (m/n)=loga m-loga n，loga(m^k)=kloga m。

（6）换底公式：loga b=logc b/logc a。

以上是对数的定义和性质，了解对数的这些基本知识对于深入学习对数运算非常重要。

二、对数的应用对数在数学和实际生活中有着广泛的应用。

在数学中，对数可以解决指数方程、指数不等式和指数函数的性质等问题。

在实际生活中，对数也有着广泛的应用，如音乐、声音等领域。

以下是对数的一些应用：1. 指数方程对数可以用来解决指数方程。

指数方程是一种以未知数或变量为指数的方程。

常见的指数方程如2^x=8，3^x=27等。

对数可以通过转化指数方程为对数方程来求解未知数。

2. 指数不等式对数也可以用来解决指数不等式。

指数不等式是一种以未知数或变量为指数的不等式。

对数可以通过转化指数不等式为对数不等式来求解未知数。

3. 指数函数的性质对数还可以用来研究指数函数的性质。

指数函数是以某个正数为底数的函数，如f(x)=2^x，g(x)=3^x等。

对数可以帮助我们研究指数函数的增减性、最值、单调性等性质。

4. 音乐和声音对数在音乐和声音中也有着广泛的应用。

音乐和声音的频率通常以对数形式表示，即音阶的每个音符的频率之间的比例是对数的。

高中高一数学知识点对数

高中高一数学知识点对数高中高一数学知识点：对数对数作为数学中的重要概念，是高中数学中必学的内容之一。

掌握对数的基本概念和相关的运算性质对于进一步学习数学以及应用数学都具有重要的意义。

本文将介绍对数的定义、性质和一些常见的运用。

一、对数的定义对数是指数运算的逆运算。

在给定一个底数和一个真数的情况下，对数可以表示为幂的指数。

用符号记作log_a x，其中 a 表示底数，x 表示真数。

对数的定义可以表示为以下等式：x = a^p 等价于 p = log_a x其中，x 为正数，a 为正数且不等于 1 ，p 为实数。

二、常见的对数在实际应用中，以 10 和自然对数（底数为 e）为底的对数比较常见。

分别记作 log x 和 ln x。

1. 以 10 为底的对数，常用符号为 log x。

底数为 10 的对数运算就是在数的左上角加上 log，例如 log 100 = 2，表示底数为 10，真数为 100 时的对数等于 2。

2. 自然对数，常用符号为 ln x，其中底数为e ≈ 2.718。

自然对数与以 10 为底的对数之间可以互相转换，常用的换底公式为：log x = ln x / ln 10 或者 ln x = log x / log e三、对数的性质对数具有一些重要的性质，通过这些性质我们可以进行对数的运算。

下面是对数的一些基本性质：1. 对数的乘法性质：log_a (x * y) = log_a x + log_a y这个性质表明，对数运算中的真数相乘，等价于对数运算中的底数相加。

2. 对数的除法性质：log_a (x / y) = log_a x - log_a y对数运算中的真数相除，等价于对数运算中的底数相减。

3. 对数的幂运算性质：log_a (x^m) = m * log_a x这个性质指出，对数运算中的真数进行幂运算，等价于对数运算中的指数与底数相乘。

4. 对数的换底公式：log_b x = log_a x / log_a b这个公式可以用于不同底数的对数之间的转换，方便进行计算。

高一数学对数所有知识点

高一数学对数所有知识点1. 引言数学是一门重要的学科，对数是数学中的一个重要概念。

在高一阶段，学习对数是建立数学基础的重要一步。

本文将全面讲解高一数学对数的所有知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

2. 什么是对数对数是指数运算的逆运算。

给定一个底数a和一个正数x，对数的运算可以表示为loga(x)=n，其中a为底数，x为真数，n为对数。

对数可以帮助我们求解指数方程，简化计算。

3. 对数的基本性质对数具有以下基本性质：- loga(1) = 0：任何数的以其自身为底的对数都等于1。

- loga(a) = 1：任何数以其自身为底的对数都等于1。

- loga(MN) = loga(M) + loga(N)：对数的乘法法则，对数的底数相同则可以将两个数相乘转化为对数相加。

- loga(M/N) = loga(M) - loga(N)：对数的除法法则，对数的底数相同则可以将两个数相除转化为对数相减。

- loga(M^r) = r * loga(M)：对数的幂法则，对数的幂次可以提到对数的前面。

4. 定律与换底公式在对数运算中，我们经常使用常见的定律来简化计算。

其中包括： - 对数的倒数定律：loga(1/x) = -loga(x)。

- 对数的分数定律：loga(M^1/n) = 1/n * loga(M)。

- 对数的乘积定律：loga(MN) = loga(M) + loga(N)。

- 对数的商定律：loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。

此外，当我们需要将对数的底数转换时，可以使用换底公式。

换底公式可以将对数的底数转换为我们熟悉的底数，即loga(b) =logc(b)/logc(a)。

5. 常见对数和自然对数常见的对数是以10为底的对数，通常表示为log(x)。

自然对数是以自然数e≈2.71828为底的对数，通常表示为ln(x)。

常见对数和自然对数是我们常用的对数类型，其中常见对数常用于科学计算，自然对数常用于对数函数的运算。

高一数学对数知识点

高一数学对数知识点在高中数学中，对数是一个非常重要的概念。

它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也经常被用到。

那么，什么是对数？对数有什么特点和性质呢？本文将对高中数学中的对数知识点进行详细讲解。

一、对数的定义和性质对数是指某个数在指定底数下的幂值。

以底数b为底，真数为x的对数记作logb x，读作“以b为底x的对数”。

对数的定义可以表示为：x = logb y ⟺ b^x = y其中，b被称作底数，y被称作真数，x为对数。

对数的定义可以帮助我们从幂运算的角度来理解对数的概念。

对数有以下几个重要性质：1. logb 1 = 0：任何数的底数为1的对数都等于0。

2. logb b = 1：任何数的底数为自己的对数都等于1。

3. logb (xy) = logb x + logb y：对数的乘法法则，两个数的乘积的对数等于这两个数分别的对数之和。

4. logb (x/y) = logb x - logb y：对数的除法法则，两个数的商的对数等于这两个数分别的对数之差。

5. logb (x^n) = nlogb x：对数的幂法则，一个数的指数幂的对数等于这个指数乘以这个数的对数。

这些性质是对数运算中常用的运算法则，可以根据这些法则简化问题，进行对数运算。

二、常见对数和自然对数常见对数是指以10为底的对数，通常表示为log x。

自然对数是指以常数e（约等于2.71828）为底的对数，通常表示为ln x。

常见对数和自然对数有着特殊的关系：log x = ln x / ln 10也就是说，常见对数和自然对数之间是可以相互转化的。

常见对数和自然对数在实际应用中都有着重要的作用。

通常，常见对数用于计算底数为10的对数问题，而自然对数则常用于计算指数增长和衰减问题。

三、对数方程和对数不等式对数在方程和不等式中也有重要的应用。

对数方程和对数不等式的解题过程主要包含以下几个步骤：1. 将等式或不等式转化为对数的形式；2. 根据对数的性质化简方程或不等式；3. 解方程或不等式，找出满足条件的解。

4.4 对数函数(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a >0，且a ≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >10<a <1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0<x <1时，y <0，当x >1时，y >0当0<x <1时，y >0，当x >1时，y <0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三．对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.一．对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y ＝log a f (x )型函数性质1.定义域：由f (x )>0解得x 的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f (x )>0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值.6.log a f (x )<log a g (x )型不等式的解法(1)讨论a 与1的关系，确定单调性；(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式.①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x ).(2)形如log a f (x )<b 的不等式可变形为log a f (x )<b ＝log a a b .①当0<a <1时，可转化为f (x )>a b ；②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .考点一对数函数的概念【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x =D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x =C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A2．（2023秋·高一课前预习）在()()231log 4a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．()1,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．122,,2333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子()()231log 4a b a -=-有意义，则231031140a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或223a <<.故A ，C ，D 错误.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数()()()22log 51a y a x -⎡⎤=-+⎣⎦中，实数a 的取值可能是（）A ．52B ．3C ．4D ．5【答案】AC【解析】因为210x +>，所以根据对数函数的定义得：202150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即：235a a a >⎧⎪≠⎨⎪<⎩，所以23a <<或35a <<，故选：AC.考点二对数函数的定义域【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数()2log f x x x=-的定义域为（）A ．(]0,2B ．(),2∞-C ．()(],00,2∞-⋃D ．[)2,∞+【答案】A【解析】由题意得：2000x x x -≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤，()f x \定义域为(]0,2.故选：A.【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为.【答案】()(]2,33,5⋃【解析】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，所以[]1,2x ∈，[]212,5x +∈，所以函数()f x 的定义域为[]2,5，又20x ->，且21x -≠，解得2x >，且3x ≠，所以()g x 定义域为()(]2,33,5⋃.故答案为：()(]2,33,5⋃.【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f (x )＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得210x mx -+>在R 上恒成立，所以240m ∆=-<，解得22m -<<.故答案为：()2,2-.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数2y =）A ．{02}xx <<∣B ．{01xx <<∣或12}x <<C ．{02}xx <≤∣D ．{01xx <<∣或12}x <≤【答案】D【解析】由题意得2200log 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，∴01x <<或12x <≤，故定义域为{01xx <<∣或12}x <≤，故选：D.2．（2023秋·宁夏银川）函数()2log 21xf x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题意得0210x x >⎧⎨-≠⎩，解得110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D3．（2023春·浙江温州）函数2()ln x f x x+=的定义域为（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()()0,11,+∞ 【答案】D【解析】因为2()ln x f x x +=，所以0ln 0x x ≥⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()0,11,+∞ .故选：D.考点三对数函数图像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函数()1y a x =-与log a y x =（其中1a >）的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A ，因为1a >，故()1y a x =-为R 上的减函数，其图象应下降，A 错误；对于B ，1a >时，()1y a x =-为R 上的减函数，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象符合题意；对于C ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；对于D ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；故选：B【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若01b a <<<，则函数()log b y x a =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】01b a <<< ，log b y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移a 个单位，得到log ()b y x a =+，故函数log ()b y x a =+的图象不经过第一象限，故选：A ．【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数()log (0,a y x b c a =++>且1)a ≠的图象恒过定点()3,2，则实数b =，c =．【答案】－22【解析】】∵函数的图象恒过定点()3,2，∴将()3,2代入()log a y x b c =++，得()2log 3a b c =++．又当0a >，且1a ≠时，log 10a =恒成立，2,31c b ∴=+=，2,2b c ∴=-=．故答案为：2-；2【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．2．（2023·广西）若函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则实数a 的取值范围为．【答案】[)1,+∞【解析】函数()2log f x a x =+的图象关于x a =-对称，其定义域为{}x x a ≠-，作出函数()2log f x a x =+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则()000f a ⎧≥⎨-<⎩，即2log 00a a ⎧≥⎨-<⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知0a >，且1a ≠，则函数x y a =与log a y x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】若01a <<，则函数x y a =的图象单调递减且过点()0,1，函数log a y x =的图象单调递减且过点()1,0；若1a >，则函数x y a =的图象单调递增且过点()0,1，而函数log a y x =的图象单调递增且过点()1,0，只有A,C 的图象符合．故选：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点．【答案】()1,2【解析】令321x -=，解得1x =，此时log 122a y =+=，故()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,2.故答案为：()1,2考点四比较对数值的大小【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①33log 1.99log 2，.②34log 0.2log 0.2，.③20.3log log 2，3.④log πlog 3.14a a ，(0a >且1)a ≠.【答案】答案见解析【解析】①因为()3log f x x =在(0,)+∞上是增函数，且1.992<，则(1.99)(2)f f <，所以33log 1.99log 2<②作出3log y x =和4log y x =的图象如下图．由图象知34log 0.2log 0.2<.③因为22log 3log 10>=，0.30.3log 2log 10<=,所以20.3log 3log 2>.④当1a >时，函数log a y x =在定义域上是增函数，则有log πlog 3.14a a >；当01a <<时，函数log a y x =在定义域上是减函数，则有log π<log 3.14a a .综上所述，当1a >时，log πlog 3.14a a >；当01a <<时，log π<log 3.14a a .【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数1232log 4,log 5,3a b c -===的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<【答案】B【解析】由于333221log 3log 4log 92,log 5log 42=<<=>=，12(0,1)33c -==，故12323log 4log 5c a b -<=<==，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若3log 6a =，2b =，0.25log 0.125c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为23142413log log 8log 282c ====，3333log log 6log 922a ==<=，所以b ac >>．故选：D2．（2023秋·湖北武汉）已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a b c<<【答案】A【解析】由0.3log y x =在()0,∞+上单调递减可知，0.30.30.3log 1log 0.7log <<即102a <<；由对数函数7log y x =在()0,∞+上单调递增可知，777log log 3log 7<，即112c <<；又可知0.3010.70.7b -==>，即1b >；所以可得a c b <<.故选：A3．（2023秋·广西南宁）设8log 27a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【答案】C【解析】8221log 27log 27log 33a ===，0.522log 0.2log 0.2log 5b ==-=，4221log 24log 24log 2c ===因为2log y x =在定义域上是增函数，且35<<，故a c b <<.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川）函数() f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，1212311log ,log ,523a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c>>D ．c b a>>【答案】D【解析】】因为函数() f x 是定义在R 上的偶函数，可得133311(log )(log )(log 2)22a f f f ==-=，2221(log )(log 3)(log 3)3b f f f ==-=，由对数的运算性质，可得33log 2log 31<=，2221log 2log 3log 42=<<=，又由2<，所以32log 2log 3<又因为() f x 在[0,)+∞上单调递增，所以32(log 2)(log 3)f f f <<，即c b a >>.故选：D.考点五对数型函数的单调性及应用【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数()212log 45y x x =--的递减区间为.【答案】()5,+∞【解析】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞【例5-2】（2023·河南）设函数()()2ln 4f x x x =-+在(),1a a +上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．[0,2]C ．(0,2)D ．[0,1]【答案】D【解析】由函数240-+>x x ，得04x <<，即函数()f x 的定义域为()0,4，令()()24,0,4g x x x x =-+∈，由函数()g x 的对称轴为：2x =，开口向下，所以()g x 在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以当函数()f x 在(),1a a +上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故选：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函数212y log x 2x 1)=-++（单调(1－2，1)减区间.【答案】(1－2，1)【解析】函数212y log x 2x 1)=-++（的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图象知1－2<x <1＋ 2.∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上是增加的，而在(1，1＋2)上是减少的，而y ＝12y log t =为减函数.∴函数212y log x 2x 1)=-++（的减区间为(1－2，1).2.（2023安徽）已知函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[22，2(2＋1)【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )∞，a2上是减函数，∵0<12<1，∴y ＝12y log x =是减函数，而已知复合函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上是减少的，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)恒成立，2≤a2，（2）＝（2）2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].3．（2023秋·江苏南通）设函数()()2ln 2f x ax x =-在区间()3,4上单调递减，则a 的取值范围是【答案】[]2,3【解析】ln y t =在()0,∞+单调递增，故22t ax x =-在()3,4单调递减，则3a ≤，又∵220t ax x =->在()3,4恒成立，则8160a -≥，故2a ≥，∴23a ≤≤，考点六解对数不等式【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数()()2log 31f x x =-，则使得2()(2)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．43,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题设222log (31)log (35)x x ->+，即222log (31)log (35)x x ->+，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以()23135310350x x x x ⎧->+⎪->⎨⎪+>⎩，解得43x >.故选：B【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式log (23)log (56),(1)a a x x a +>->的解集为．【答案】6(,3)5【解析】因为1a >，可得对数函数log a y x =为单调递增函数，则原不等式等价于2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<，即原不等式的解集为6(,3)5.故答案为：6(,3)5.【例6-3】（2023秋·陕西渭南）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式()()31128log 23log 56x x +<-的解集是.【答案】6,35⎛⎫⎪⎝⎭【解析】易知()()()333111822log 56log 56log 56x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-=-，由()()31128log 23log 56x x +<-可得()()1122log 23log 56x x +<-；又函数12log x 在()0,∞+为单调递减，所以可得2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<.故答案为：6,35⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x 的不等式．(1)1177log log (4)x x >-；(2)()()log 25log 1a a x x ->-；(3)1log 12x>．【答案】(1){}02x x <<(2)答案见解析(3)112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意可得0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-⎩解得02x <<，所以原不等式的解集为{}02x x <<．（2）当1a >时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得>4x ，当01a <<时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得542x <<综上所述，当1a >时，原不等式的解集为{}4x x >；当01a <<时，原不等式的解集为542x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（3）当1x >时，由1log log 2x x x >，可得12x <，此时无解；当01x <<时，由1log log 2xx x >，可得112x <<．综上，原不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.考点七对数型函数的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数12log y x =在区间[1,2]上的值域是（）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】A【解析】12log y x = 在[1,2]上是减函数，121log 0x ∴-≤≤，即值域为[1,0]-.故选：A.【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数()212log 617y x x =-+的值域.【答案】(],3-∞-【解析】因为函数()212log 617y x x =-+的定义域为：26170x x -+>，而方程26170x x -+=的()2Δ6417320=--⨯=-<，所以26170x x -+>对R x ∀∈恒成立，令：()22617388t x x x =-+=-+≥12log y t =在[)8,+∞上是减函数，所以12log 83y ≤=-，即原函数的值域为(],3-∞-故答案为：(],3-∞-【例7-3】（2023秋·江苏南通）已知函数()22236log log y x x =-+，在[]24x ∈，上的值域为（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]46，C ．1564⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为函数()22236log log y x x =-+，[]24x ∈，，令2log t x =，则[]12t ∈，.所以原函数转化为223153624y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,又对称轴为32t =，所以当32t =时，函数取得最小值154，当1t =或2t =时，函数取得最大值为4，所以所求函数的值域为15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ．【例7-4】（2023春·重庆北碚）已知函数2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A ．(][)218-∞⋃∞,,+B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞ D ．[][)0,218,+∞ 【答案】D【解析】由2(6)2y ax a x =+-+，a 不等于0时，()226422036a a a a ∆=--⨯=-+,当20,20360a a a >∆=-+<得218a <<，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360a a a >∆=-+≥得18a ≥，02a <≤，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，(][)0,218,a ∴∈+∞ 当20,20360a a a <∆=-+≥得a<0，二次函数2(6)2y ax a x =+-+有最大值，没有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦有最大值，没有最小值，不合题意.当20,20360a a a <∆=-+<无解.当0a =,2(6)262y ax a x x =+-+=-+既没有最大值，也没有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，0a ∴=.[][)0,218,a ∴∈+∞ 故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()52log 1y x x =+≥的值域为（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由1x ≥知5log 0x ≥，2y ≥，值域是[)2,+∞．故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-3．（2023·全国·高一专题练习）已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x f x =+，则函数()y g x =的值域为．【答案】[2,7]【解析】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x f x f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]4．（2023·全国·高一假期作业）函数()()2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x时，有()min 14f x =-.故答案为：14-5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设0a >且1a ≠，若函数()7,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是[)5,+∞，则a 的取值范围是【答案】(【解析】由于函数7,2()(03log ,2a x x f x a x x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的值域是[5,)+∞，故当2x ≤时，满足()75f x x =-≥.若1,()3log a a f x x >=+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 5a f x x =+≥，log 2,log 22,1a a x a ∴≥∴≥∴<≤若01,()3log a a f x x <<=+在它的定义域上单调递减，()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[5,)+∞.综上可得，1a <≤考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0,1)a g x x a a =->≠且．(1)求函数()()f x g x +的定义域；(2)判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数()()f x g x +的值域．【答案】(1)()1,1-(2)偶函数，理由见解析(3)答案见解析【解析】（1）10x +>且10x ->，得11x -<<，即定义域为()1,1-.（2）因为定义域关于原点对称，且()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，所以函数为偶函数.（3）()()2log (1)log (1)log (1)a a a f x g x x x x +=++-=-，令21t x =-，由11x -<<，得01t <≤，则log a y t =，(0,1]t ∈，当1a >时，log 0a y t =≤，所以原函数的值域为(,0]-∞；当01a <<时，log 0a y t =≥，所以原函数的值域为[0,)+∞.【一隅三反】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数()()()33log 9log 3f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求3f （）的值；（2）若令3log t x =，求实数t 的取值范围；（3）将()y f x =表示成以()3log t t x =为自变量的函数，并由此求函数()y f x =的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【答案】（1）6；（2）[]22-，；（3）1()4min f x =-，此时9x =-；()12max f x =，此时9x =．【解析】（1）333log 27log 9326f =⋅=⨯=（）；（2）3log t x =，又199x ≤≤ ，32log 2x ∴-≤≤，22t ∴-≤≤，所以t 的取值范围为[]22-，；（3）由()()()223333log 2log 1(log )2log 232f x x x x x t t =++=++=++，令()223132()24g t t t t =++=+-，[]22t ∈-，，①当32t =-时，1()4min g t =-，即33log 2x =-，解得9x =，所以1()4min f x =-，此时x =；②当2t =时，()212max g t g ==（），即3log 29x x =⇒=，()12max f x ∴=，此时9x =．2（2023·湖北随州）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠).（1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，a =.【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.（1）由题意可得30ax ->，即3ax <，因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2，所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<<，所以131,22a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以存在实数12a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.3．（2023江苏淮安）已知()lg(f x ax =是定义在R 上的奇函数，其中0a >．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并证明；（3）若对于任意的x R ∈都有()f x mx >-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）02m ≤≤.【解析】（1）()()((lg lg f x f x ax ax -+=-+()222lg 10x a x =+-=，得21a =，0a > ，1a ∴=；（2）()(lg f x x =，设()t x x =120x x ≤<，()()1212t x t x x x -=()221212x x x x =-+=-+()121x x ⎛⎫ =- ⎝120x x ≤< ，()()12t x t x ∴<()t x ∴单调递增，根据复合函数的单调性可知()(lg f x x =单调递增；（3） ))()lg lg mx mx f mx --==+=，(()f x f mx ∴>，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在[)0,∞+单调递增，所以函数在R 上单调递增，x mx ∴>，当0x >时，1m <=min1m ⎛< ⎝，因为12>，则2m ≤，当0x <时，1m >=max1m ⎛> ⎝，因为10<，则0m ≥，当0x =时，m R ∈，综上可知，对x ∀∈R 恒成立，即02m ≤≤.。

人教版高中数学精讲精练必修一4.3 对数运算(精讲)(解析版)

4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lg N自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…log e N记为ln N二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则a x＝N⇒log a N＝x.(2)对数恒等式：a log a N＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(2)log a a＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R).拓展：log am M n ＝nm log a M (n ∈R ，m ≠0).2.换底公式对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1).特别地：（1）log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1(a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c ≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若()1log 11x x ++=，则x 的取值范围是.【答案】()()1,00,-⋃+∞【解析】对于等式()1log 11x x ++=，有1011x x +>⎧⎨+≠⎩，解得1x >-且0x ≠，因此，x 的取值范围是()()1,00,-⋃+∞.故答案为：()()1,00,-⋃+∞.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式()23log 34x x -++有意义，则实数x 的取值范围是.【答案】()1,4-【解析】根据真数大于0得2340x x -++>，解得14x -<<，故答案为：()1,4-.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式()22log 12x -有意义的x 范围是．【答案】2222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】式子()22log 12x -要有意义，则2120x ->，解得2222x -<<，所以x 范围是22⎛ ⎝⎭.故答案为：2222⎛ ⎝⎭.考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)125-=(2)44=(3)lg 0.0013=-.(4)2139-=；(5)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(6)13log 273=-；(7)646=-.【答案】(1)51log2=-(2)44=(3)3100.001-=(4)31log 29=-；（5)14log 162=-；(6)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(7)664-=.【解析】（1）由125-=可得1log 2=-.（2）由44=，可得44=.（3）由lg 0.0013=-，可得3100.001-=.（4）由2139-=，可得31log 29=-；（5）由21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得14log 162=-；（6）由13log 273=-，可得31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（7）由6=-，可得664-=.【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)2log 164=；(2)6x =；(3)3464=；(4)31327-=.(5)2log 64=6；(6)31log 481=-；(7)3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(8)21636-=．(9)210100=；(10)ln a b =；(11)37343=；(12)61log 236=-．【答案】(1)4216=(2)6x =(3)4log 643=(4)31log 327=-(5)6264=(6)41381-=(7)12log 83=-(8)61log 236=-(9)lg1002=(10)e b a =(11)7log 3433=(12)21636-=【解析】（1）因为2log 164=，所以4216=；（2）因为6x =，所以6x =；（3）因为3464=，所以4log 643=；（4）因为31327-=，所以31log 327=-.（5）2log 64=6，可得6264=.（6）31log 481=-，可得41381-=.（7）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得12log 83=-.（8）21636-=，可得61log 236=-.（9）lg1002=（10）e b a =（11）7log 3433=（12）21636-=考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x 的值．(1)()25log log 0x =；(2)()3log lg 1=x ；(3)()()345l 0log lo og g x =.【答案】(1)5；(2)1000；(3)625.【解析】（1）∵()25log log 0x =，∴501log 2x ==，∴155x ==；（2）∵()3log lg 1=x ，∴1lg 33x ==，∴3101000x ==；（3）由()()345l 0log lo og g x =可得，()45log log 1x =，故5log 4x =，所以45625x ==.【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)7524log 2⨯（）；(2)(3)7lg142lg lg 7lg183-+-；(4)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+.【答案】(1)19；(2)25；(3)0；(4)3.【解析】（1）()757522222424log 27log 45log 2725119log log =⨯=⨯+⨯+==＋；（2）15112lg100lg1002555===⨯=；（3）7lg142lg lg 7lg183-+-()()()2lg 272lg 7lg 3lg 7lg 23=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg7lg 22lg3=+-++--0=（4）()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23++⋅+()()22lg52lg 2lg52lg 2lg5lg 2=++⋅++()22lg10lg 5lg 2=++21=+3=【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)1324lg lg lg 2493-(2)(21lg 2lg 52+⋅(3)(2lg 5lg 400lg ⋅+；(4)21230.2551log 3log 9log 4⎛⎫++ ⎪⎝⎭(5)3log 21233lg5log 2lg2log 3+-⨯⨯．【答案】(1)12(2)()211lg 24-(3)2(4)234（5）3【解析】（1）解法一：原式()()315222214lg 2lg 7lg 2lg 7523=--+⨯51lg 2lg 72lg 2lg 7lg 522=--++()11lg 2lg 522=+=.解法二：原式1lglg 4lg lg lg 72=-+=.（2）原式()()221111lg 2lg 2lg5lg 2lg 2lg512242⎛⎫=+⋅=+⋅- ⎪⎝⎭()()21111lg 2lg 2lg 5lg 21lg 2lg 22lg 5214224=+⋅-+=+-+()()211lg 2lg 50211lg 244=-+=-.（3）原式2lg 522lg 2()2g )⋅=＋＋()22lg52lg 2lg52lg 2⋅＝＋＋()2lg52lg 2lg5lg 2⋅＝＋＋2lg 52lg 2＝＋2＝．（4）原式2125119log 502⎛⎫=++- ⎪⎝⎭19231424=++=（5）原式2lg5lg21lg103=++=+=．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或x 的值）：(1)log 83x =(2)()lg 211035x -=(3)()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦(4)2log 321lg22log ln1162++++【答案】(1)2x =(2)18x =(3)64x =(4)12-【解析】（1）由log 83x =，得38x =，所以2x =；（2）由()lg 211035x -=两边取以10为底对数，得lg(21g 3)l 5x -=，即2351x -=，解得18x =；（3）由()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦，得()34log log 1x =，所以4log 3x =，即64x =；（4）2log 321lg212log ln134011622+++=+-+=-=-.2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)()722222632log 3log log 77log 28-+-；(2)()322log lg 25lg 4log log 16+-．(3)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+；(4)lg 2lg 3lg 10lg1.8-．(5)12038110.25()lg162lg 5()2722--+--+.(6)()()2lg1112log432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭.；(8)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭(9)2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(10)419log 8log 34--(11))32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(12)()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23+++,【答案】(1)1(2)12(3)3(4)12(5)332(6)2(7)4-(8)1(9)11(10)2-(11)1918-(12)3【解析】（1）原式可化为：()722222263log 3log log 77log 28-+-222632log 977log 2log 8232187⎛⎫=÷⨯-⨯=-=-= ⎪⎝⎭（2）原式可化为：()()222111log lg 25lg 4log log 16lg 254log 422222+-=+⨯-=+-=（3()()()2222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 22lg 52lg 2lg 52lg 2lg 5lg 23++⋅+=++⋅++()()22lg 5lg 2lg 5lg 2213=+++=+=.（4）11lg 2lg 3lg10lg 3lg 22lg 3lg10lg 2lg 9lg1022lg1.8lg1.82lg1.82lg1.8+--+-+-===18lg lg1.81102lg1.82lg1.82===.（5）10328110.25lg162lg52722--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()13322222lg2lg513---⎡⎤⎛⎫+-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝1422213-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝31612+-＝332（6）()()2lg1112log 432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭()13239201g 142l log 21)162log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13lg101144=++-+1111=+-+=2（71128125lg25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（8）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．（9）2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+ln 92361log 3log 64log 2e2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（10）419log 8log 34--2331log 2log 34log22=---314222=+-=-.（11）)32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())3233log 2323lg 1013--⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭143129=+-+1918=-（12）原式为:()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23+++()()()22lg 52lg 21lg 21lg 2lg 2=++-++()2lg5lg 21=++3=考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知8215,log 3==a b，则32a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】B【解析】由题意可得2215log 15aa =⇒=，38221log 3log 3log 33b ===，所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫-=-⨯=-==⎪⎝⎭，所以2log 53225a b -==.故选：B.【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知,a b 均为正实数，若5log log 2b aa b b a a b +==，则a b＝（）A ．12或2B ．2CD ．2或12【答案】D【解析】令log a t b =，则152t t +=，所以22520t t -+=，解得12t =或2t =，所以1log 2a b =或log 2a b =，所以12a b =或2a b =，因为b a a b =，所以()22bb a b b b ==或2b a a a =，所以2b a =或2b a =，所以2a b =或12a b =，故选：D【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a ，b ，c 均为正数，且346a b c ==，求证：212a b c+=；【答案】证明见解析【解析】设346a b c k ===，则1k >.∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k +=+=+=+==，而6222log 6log k c k ==，∴212a b c+=，得证.【一隅三反】1．（2023春·天津）已知326x y ==，则()222x y x y +的值（）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】C【解析】因为326x y ==，所以32log 6,log 6x y ==，所以()()222666221111log 3,log 2,log 61x y x y x y x y +⎛⎫===+== ⎪⎝⎭，故选：C 2．（2023秋·广东）已知436a b ==，则2a b ab +=.【答案】2【解析】由题意可得4log 6a =，3log 6b =，则61log 4a =，61log 3b =，故66212log 42log 3a b ab a b+=+=+=666log 4log 9log 362+==.故答案为：2.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知7.23x =，0.83y =，则11x y -的值为．【答案】2【解析】因为7.23x =，0.83y =，所以7.2log 3x =，0.8log 3y =，所以33337.20.811117.2log 7.2log 0.8log log 92log 3log 30.8x y -=-=-===．故答案为：24．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A ．()2log 2log a a x x =B ．log log ()log a a a xx y y-=C ．log log log ()a a a x y x y -=-D．10103log log 5x =【答案】D【解析】因为()222log log log a a a x x x =≠，所以A 不对；因为log log log ()log a y a a x x x y y =≠-，所以B 不对；因为log log log log ()a a aa x x y x y y -=≠-，所以C 不对；因为351010103log log log 5x x ==，D 正确.故选D.考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对21p -（p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在257p ≤的素数中，当2p =，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，21p -是素数，其它都是合数.除了67p =和257p =两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在21p -型素数研究中所做的开创性工作，就把21p -型的素数称为“梅森素数”，记为21p Mp =-.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数191921M =-，第8个梅森素数313121M =-，则131lg 119M M ++约等于（参考数据：lg50.7≈）（）A ．17.1B ．8.4C ．6.6D ．3.6【答案】D 【解析】由已知可得()3112191312lg lg lg 212lg 2121lg 5 3.61192M M +====⨯-≈+.故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的15，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：1lg 2 3.3219-≈（）），则m 的值为（）A ．12302B ．13304C ．23004D ．24034【答案】B【解析】设原始量为x ，每年衰变率为a ，573012xa x =∴，157301()2a ∴=，57301(2)15m ma ==∴，()1221lg511log log 5lg10lg 21 2.321957305lg2lg2lg2m ∴====-=-≈，5730 2.321913304m ∴≈⨯≈.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）（lg 20.301≈，lg 30.477≈）A ．11710万年B ．11810万年C ．11910万年D ．20010万年【答案】A【解析】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则()44144115152lg lg lg2lg3lg10441lg2lg315310x ==-+=--⨯4410.3010.47715117,≈⨯--≈即11710x ≈万年，故选：A3．（2023秋·江苏南通）已知声强级（单位：分贝）010lg I L I =，其中常数()000I I >是能够引起听觉的最弱的声强，I 是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（）A ．110倍B ．11010倍C ．1010-倍D ．11010-倍【答案】D【解析】121L L -=，则120010lg 10lg 1I I I I -=，所以1110210I I =，∴1102110I I -=.故选：D.。