DVD在线租赁DVD在线租赁数学建模

DVD在线租赁
一、问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、模型假设
1.一个月的天数按30天计算；
2.1000名会员的样本足以反映10万名会员的特点；
3.严格按照60%的会员每月租赁两次DVD，40%会员每月租赁一次，且对DVD
没有损坏；
4.会员提交的订单的时间是随机的；
5.会员连续两次借的DVD没有重复的；
6.会员每个月必须至少租赁一次；
7.会员对他所偏爱的DVD的偏爱度不会改变。

三、符号说明
四、问题分析
五、模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1悲观情况估计 ①一个月的情况
假设DVDj 其购买量为j x ,从表1中可以认为是想看DVDj 的人数，而会员一个月借1次或借2次是随机的，这就可能出现极端的情况，即第一次分配时正好所有1类会员都分配到了DVDj ，我们把这种情况称为悲观情况。

则j x 的一部分首先被会员总数40%的1类会员借走了,而且在该月不会归还。

那么,为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD,则DVDj 总的购买量应满足：
j j j j p p x p 100000%502)100000%40(100000%40⨯≥⨯⨯-+⨯
其中 5,4,3,2,1=j
表3
②三个月的情况
从“一月情况”，我们可以推广到“三月情况”。

如果 j j p x 100000%40⨯<，则每次分配都将只能由每月借一次的会员的到DVD ，这样三个月中DVDj 的流动量就仅为3j x ，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD ，那么此时DVDj 总的购买量应该满足:
j j p x 100000%953⨯≥⨯
其中 5,4,3,2,1=j
表4
5.1.2均值情况估计:
现实中，每天都会有订单提交，也有DVD 归还，而且都是服从参数为λ的泊松分布。

考虑平均情况，认为：60%的会员15天归还DVD ，40%的会员一个月归还，即对于每张DVD 有60%的可能15天流通一次，40%的可能30天流动一次。

假设所有会员在每个月的某天（不妨为1号）提交订单，那些2类会员也集中在15号归还并提交下一份订单，则可以发现上述的简化是泊松分布的平均情况。

因此，在处理时可以不考虑每个会员的具体租赁、归还的时间，而只考虑每个月两次的分配方案，即1号和15号的分配方案。

同时，在DV D 租赁出去后，对于某种DVD ，是均匀的分布在1类会员和2类会员中，即在15号，该DVD 将有60%归还。

我们用下图表示租赁情况，每块代表长度为15天的时段，上方的箭头表示该时刻借出的数量，下方表示归还的数量。

则初始时刻DVD 有j x 1张可用于分配。

图1
①一个月的情况：
对于“一月情况”，仅观察上图中的前两段。

在分配时，每张DVD 都有60%的可能被分配给每月借2次的会员，40%的可能分配给每月借1次的。

在初始时刻会将所有DVD 借出，因此j x 1表示网站对DVDj 的购买量，而问题目标则是要求出j x 1的最小值，以达到效益的最优。

因为，第1个月月中有60%×j x 1的DVDj 归还，另外40%仍在会员中，这时网站可将60%×j x 1的DVDj 借出。

则j x 2=0.6j x 1。

这样就可以计算 DVDj 在一个月中的流通量为j x 1+j x 2＝1.6j x 1，即一个月内DVD 的流通量为月初购买量的1.6倍，称这个“1.6”为“一月流通系数”。

那么DVD 一个月最小购买量可通过以下公式来计算：
∑==5
11min i i x S
i i p x ⨯⨯≥100000%506.11
其中5,4,3,2,1=i
由表1
表5
总的购买量12033min =S 。

②三个月的情况：
由图1可以得到各个时间节点的DVD 数量的关系式从而建立模型如下：
j j x x 126.0= j i j i
j i x x x 214.06.0--+=
j i j
i
p x
100000%956
1
⨯≥∑=
其中6,5,4,3,2,16,5,4,3==j i
所以，各种表6
购买量之和8147max =S 。

由j
x 2＝0.6j
x 1，j
i x ＝0.6j
i x 1-+0.4j
i x 2-（i=3,4,5,6）得到“三月情况”中DVD 流通量
∑=6
1
i i x ＝4.49j
x
1。

5.1.3中心极限模型
中心极限定理的客观背景：在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量是近似地服从正态分布。

会员每月借一次的人的概率和借两次的概率服从独立同分布。

为使想看该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到，即要
j n
i i
p ⨯⨯≥∑=100000%501
ξ
其中5,4,3,2,1=j
为使它成立的概率尽可能的大，不妨取：
%95)100000%50(1≥⨯⨯≥∑=j n
i i p P ξ
当n 充分大时，可以通过)(x Φ给出其近似分布，这样就可以利用正态分布对
∑=n
i i
1
ξ
作理论分析或作实际计算，其好处是明显的。

95.0)6
.04.06.1100000%506
.04.06.1(
1
≥⨯⨯-⨯⨯≥
⨯⨯+∑=n n
p n n
P j n
i i
ξ
将j p 的数值依次带入经查表知，均值模型成立。

我们把模型推广到范围更广的现实经济生活中。

假设通过问卷调查分析推算出任意客户群体的借阅分布情况，
b p 为会员每月借两次的人的概率；j p 会员喜
欢看第j 种DVD 人的概率;n 为所考虑月份数，N 为会员总数，则可得到下面更一般的带约束的线性规划模型（这里人设DVD 种类为k 种）：
Min S=∑=k
j j i
x
1
j b j x p x 12⨯=
j
i b j i b j i x p x p x 21)1(--⨯-+⨯=
j n
i j i p N x ⨯>∑=21
其中k j n i ,,3,2,12,,4,3 ==
5.2问题二
问题二是在现有一定数量DVD 的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大。

这与“分配问题”或“指派问题”有很多相同点。

我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题。

我们把问题二中“1000个会员对DVD 的需求” 理解为“需要完成的1000项任务”，“100种DVD 数量”理解为“有 100个人可以承担这些任务”，“会员对于不同DVD 的偏爱度”理解为“不同人去完成不同工作的效率”，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了。

分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。

在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD 的偏爱度转化为满意度。

因为我们的目标是总体满意度最大。

从表1.2中可以看到：会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。

我们想到了，用一个对于9的固定数字减去偏爱数，但存在一定的不合理性。

比如，当看到了最想看的DVD 时，心理上满足是非常大的 ，但当仅仅得到了次想看的DVD ，那满足感会大打折扣，而如果仅得到了第三想看得DVD ，满足感会更低，但与仅获得第二想看的DVD 相比，也许失落感并不会如没有获得第一想看的DVD 那么大。

所以，如果只是简单得把会员订单中的DVD 进行了相同差别的处理，无法表示出会员的真实满意度差别。

所以我们想到了用偏爱数的倒数来表示会员的满意度，对满意度矩阵F 的元素
ij f 来定义：
ij
ij b f 1
= 0≠ij b
ij f ＝0 0＝ij b
1） 表2中的数字0意义特殊，不直接与满意度产生关系。

0代表该DVD 没有出现在订单中，即会员不需要看该DVD 。

从分配费用考虑，避免把该DVD 分配给会员。

根据
ij a 的定义，不妨认为：≤ij a ij b ，则 ij b =0时，ij a 也就等于0
了，从而避免了上述情况的发生。

2）于一次最多只能借3张，但，如果会员没被分配到3张DVD ，那么他们的需求就没被满足，会导致客源流失，那么就必须有
1000,,2,13100
1
==∑=i a
j ij
又DVDj 分配给各会员的数量肯定不超过现有数量
j e ，所以,
≤∑=1000
1
i ij
a
j e 。

3）有上述可表示所有会员的满意度的总和为ij
i j ij a
f ∑∑==10001100
1
综上，建立的模型如下：
ij i j ij a f Z ∑∑===10001100
1
max
≤ij a ij b
3100
1
=∑=j ij
a
≤∑=10001
i ij
a
j e
ij a =0或1
其中i ＝1，2，3，···，1000；j ＝1，2，3，···，100
我们利用Lingo 软件进行模型的求解发现，上述模型无解，经分析知，是由于≤ij
a ij
b ，3100
1
=∑=j ij a 其中i =1,2,3,…,1000约束条件加强了的原因。

因为约束条
件中规定了不能分配给会员不要的DVD ，而会员每次都被分到3张，所以其中会产生矛盾，所以会无解。

模型进一步改进得：
Z max = ij i j ij a f ∑∑==10001100
1
3100
1
=∑=j ij
a
≤∑=10001
i ij
a
j e
ij a =0或1
其中100,,2,11000,,2,1 ==j i
前30
表7
5.3问题三 由表（2）中数据可统计得到20种DVD 下不为0的订单数字分别对应的会员人数，由假设得出即为愿意观看这种DVD 的人数j n 如下：
90;93;100;87;87;78;99;87;92;8410987654321==========n n n n n n n n n n ....
....51;48;601009998===n n n
对于解决DVD 购买量的问题，我们用均值情况估计法，即与问题一中的方法2相同，所以模型及求解方法也相同。

通过问题一中的均值模型 ： %95%)40%602(⨯=+⨯i i n d
求得在满足可靠度为95%条件下每种DVD 的购买量i d 如下表。

表3.1每种DVD 购买量统计表
同样处理分配问题我们可参考第二问的方法全局求其最优，会员得到DVD 的分配情况矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100,10002,10001,1000100,22,21,2100,12,11
,1x x x x x x x x x X
由表2中的已知数据，可以得到各会员对100种DVD 的偏爱程度矩为：
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=100,10002
,10001,1000100,22,21,2100,12,11
,1a a a a a a a a a A
会员的满意度矩阵为：
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=100,10002
,10001,1000100,22,21,2100,12,11
,1b b b b b b b b b B
其中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0
,00,
1ij ij ij
ij a a a b ，
为使会员获得最大满意度，我们可列一个规划模型如下：
∑∑==10001100
1
min
i j ij
ij
b
x
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧====≤∑∑==101000,,2,1,3100,,2,1,..1001
1000
1或ij j ij i j ij x i x j d x t s 其中100,,2,1;1000,2,1 ==j i
用Lingo 求解前三十位会员的分配情况如下表。

表3.2前
5.45.4.1.1灰关联分析
对于 DVD 需求预测的分析：考虑影响 DVD 需求量及购买量的各因素不光包括会员总数，偏爱程度，保留数，库存 DVD 总量，流通 DVD 总量，还应包括每种 DVD 的价格，DVD 的损率等各因素。

这些因素的影响有些是明确的，有些是不明确的，因此可以把它成是一个灰色系统，利用灰色系统理论和方法来解释和预测 。

1）数据变换
以前若干月 DVD 需求总量组成参考序列，n k k x ,...,3,2,1)(0=，由各影响
因素组成参考序列 m i n k k x i ,...,3,2,1;,...,3,2,1)
(==•
，数为了保证建模的质量
与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换处理，使其消除量纲和具有可比性。

将其进行均值变换
x
k x k x i i )()(•=
∑=•
=n k i k x n x 1
)
(1n k ,...,3,2,1=
2）灰关联度模型建立
min max
00max
((),())()i i r x k x k k ρρ∆+∆=
∆+∆
为灰关联系数。

其中00()()()i i k x k x k ∆=-为绝对差，min 0min min ()i i
k
k ∆=∆为两极最小差，max 0max max ()i i
k
k ∆=∆为两极最大差，(0,1)ρ∈为分辨系数。

实际应用时，采用求关联系数平均值的方法，其表达式
∑==n
k i i k x k x r n k x k x R 1
00))(),((1))(),((式中 i ＝1，2，3，···，m
))(),((0k x k x R i 为比较序列 )(k x i 对参考数列)(0k x 的关联度，关联度越大 ，表示
两个数列的关联性越大，即比较数列对参考数列的影响越大。

5.4.1.2灰色模型建立
灰色系统理论的实质是将无规律的原始数据进行累加生成，得到规律性较强的生成数列后再重新建模。

由生成模型得到的数据再通过累加生成的逆运算——累减生成得到还原模型，再还原模型作为预测模型。

灰色模型是预测工作的基础模型。

记))(),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =为原始序列，))(),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =为由)
0(x
经过一次累加生成的序列，其中∑==k
i i x k x 1
)0()
1()()(，n k ,2,1=，
))(),2(),1(()1()1()1()1(n z z z z =表示)1(x 的均值生成序列，
))()1((2
1)()1()
1()1(k x k x k z +-=
，n k ,3,2= 命题1： 序列)0(x 的GM （1,1）模型定义为
b k az k x =+)()()1()0( n k ,3,2=
则参数b a ,的表达式为
1()T T
a B B B Y
b -⎛⎫= ⎪⎝⎭
(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎛⎫- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，(0)(0)(0)(2)(3)()x x Y x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
若令∑==n k k z C 2)
1()(，∑==n k k x D 2)
0()(，)()()
0(2)
1(k x k z E n k ∑==，22
)1())((∑==n
k k z F ，则参
数b a ,的表达式为2)1()1(C F n E n CD a ----=
2)1(C F n CE
DF b ---=
即
=
)()0(k x 2)1(C F n CE DF ---)
()1()1()1(2
k z C F n E n CD -----
最后，进行精度检验，修正模型 。

5.4.2在需求预测，购买和分配中需要进一步研究的
在实际的网站的会员往往是等级制度，VIP 会员与普通的会员相比，贡献更大，利于网站的生存，网站应当给予更多的优惠的政策。

在问题二的分配中往往会在会员没有差别的情况下，牺牲一部分会员的利益，对于会员不同的资质同等的对待是不科学的，在实际的操作过程中是不允许出现这种问题的。

不利于取得最大利益。

在资源分配过程中引入VIP 会员后的模型
将VIP 机制引入到问题二建立的优化模型，从而解决在会员等级制度的情况下DVD 的分配问题。

对现有的资源最大化的利用，带来更多的经济效益，和维护会员的利益。

假设我们将会员分为3个级别，VIP*会员、VIP 会员、普通会员。

我们按照会员租赁的次数从大到小依次编号，假如前r 的会员为VIP*会员，前r+1到t 名的会员为VIP 会员，t+1到最后的为普通会员。

我们对优惠是：VIP*会员的每次都可以组到喜欢的前4种DVD ；VIP 会员每次都可租到喜欢的前6种DVD 。

将问题二模型改为
)max (1000001100
1
11001
1100
1∑∑∑∑∑∑+==+====+
+
t i j ij ij
t r i j ij ij
r i j ij ij x b
x b
x b
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=≥=≥===≤∑∑==100
,,2,1,1000,2,1,10,...,3,2,1,61,...,3,2,1,411000,,2,1,3100,,2,1,..100110001
j i x t r r r i b r i b i x j N x t s ij ij ij j ij i j ij 或， （）
就可得到会员的跟好的分配。

六、模型评价
6.1优点
(1)综合运用Lingo 11.0、Matlab 7.0和Excel 三个软件，大大提高了求解的速度及效率；
(2)模型的分析和求解的结果能够比较准确的解决这个实际问题； (3)本文采用了合理的模型使问题得到简化 6.2缺点
(1)由于题目所给的数据有限，本文一些运算都是在假设的条件下进行的，必然会带来偏差。

(2)在模型的建立过程中忽略了一些次要影响而且主要影响由于人为的原因势必考虑不甚完善，对结果也造成一些影响。

(3)题目中并未提及有关租金等方面的条件，模型中也未涉及，对优化问题肯定也有影响。

七、参考文献
[1] 赵静,但琦.数学建模与数学实验(第二版) [M].北京:高等教育出版社,2003,6. [2] 吴祈宗.运筹学与最优化方法[M].北京：机械工业出版社,2003,6.
[3] 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材(第一版)[M].湖南：湖南教育出版社, 1997,6.
八、附录
附录1
表1 对1000个会员调查的部分结果
表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。

附录2
1、问题二的程序
model:
sets:
hang/1..1000/;
lie/1..100/:d;
hanglie(hang,lie):x,b;
endsets
data:
b=@ole('D:\book2.xls');
d=@ole('D:\book1.xls');
@ole('D:\book3.xls')=x;
enddata
max=@sum(hang(i):@sum(lie(j):b(i,j)*x(i,j)));
@for(hang(i):@sum(lie(j):x(i,j))<3);
@for(lie(j):@sum(hang(i):x(i,j))<d(j));
@for(hanglie(i,j):@bin(x(i,j)));
end
2、问题三的程序
model:
sets:
hang/1..1000/;
lie/1..100/:d;
hanglie(hang,lie):x,b;
endsets
data:
b=@ole('D:\book2.xls');
d=@ole('D:\Book4.xls');
@ole('D:\book3.xls')=x;
enddata
max=@sum(hang(i):@sum(lie(j):b(i,j)*x(i,j))); @for(hang(i):@sum(lie(j):x(i,j))<3);
@for(lie(j):@sum(hang(i):x(i,j))<d(j));
@for(hanglie(i,j):@bin(x(i,j)));
end。