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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
5.2.1环节四+简单复合函数的导数课件(人教版)
答案：
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
复合函数的导数(PPT)4-4
一、复习与引入：
1. 函数的导Leabharlann 的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
一方。 【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。 【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩， 英］ 【爱窝窝】?同“艾窝窝”。 【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。 【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护； 四川高考补习班 四川高考复读学校 高考全日制补习学校； 珍惜：～时间｜～国家财物。 【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。 【爱小】〈方〉形好占小便宜。 【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。 【爱欲】名爱 的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。 【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。 【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。 【僾尼】名部分哈尼族人的自称。 【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。 【隘口】名狭隘的山口。 【隘路】名狭窄而险要的路。 【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。 【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。 【碍口】∥形怕难 为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。 【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。 【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照 办｜～从命。②〈方〉形为难。 【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重； 大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。 【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。 【碍眼】∥形①不顺眼：东 西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！ 【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。 【嗌】
1. 函数的导Leabharlann 的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
一方。 【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。 【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩， 英］ 【爱窝窝】?同“艾窝窝”。 【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。 【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护； 四川高考补习班 四川高考复读学校 高考全日制补习学校； 珍惜：～时间｜～国家财物。 【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。 【爱小】〈方〉形好占小便宜。 【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。 【爱欲】名爱 的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。 【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。 【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。 【僾尼】名部分哈尼族人的自称。 【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。 【隘口】名狭隘的山口。 【隘路】名狭窄而险要的路。 【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。 【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。 【碍口】∥形怕难 为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。 【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。 【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照 办｜～从命。②〈方〉形为难。 【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重； 大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。 【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。 【碍眼】∥形①不顺眼：东 西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！ 【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。 【嗌】
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
高三数学 优秀教学《复合函数的导数》课件
2.复合函数的导数:
设函数 u ( x ) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 yu f (u) ,则复合函数 y f [ ( x )] f [ ( x )] f ( u) ( x ). 在点x处也有导数,且 yx y u u x ; 或记 x 在书写时不要把 f x[ ( x)]写成 f [ ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 ( x ) 的求导.
sin x ) 解: y 3(tan x) (tan x) 3 tan x ( cos x sin x 3 cos x cos x sin x( sin x) 3( ) cos x cos 2 x sin x 2 1 2 4 3( ) 3sin x sec x. 2 cos x cos x
ln x; ' x x 1 y e ln x e x
x
6 y x 2 2 cos x;
y 2 x 2 sin x
x 8 y ; 1 x
1 y 2 (1 x)
'
前课复习
3.例如求函数y=(3x-2)2的导数？
2
2
y 'x y ' [ 3x 2 ]' 9 x 12 x 4 ' 18 x 12
12 . 5 (1 3 x ) 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x .
简单复合函数的导数 课件
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根
据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ −. + ′ = −. = −. −.+
（3）函数 = ln(2 − 1) 可以看作函数 = ln 和 = 2 − 1 的复合函数.根据
(2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u，
ex＋2x
1 x 2
1
x
y′x＝y'u·u′x＝u·(e ＋x )′＝ x
·
(e
＋2x)＝ x
.
2
2
e ＋x
e ＋x
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：
s）的函数满足关系式为 = (
− ) . 求函数y在t=3s 时的导数，并解
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 ˊ = ˊ · ˊ .
复
合
函
数
求
导
分层——选择中间变量，写出
构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对
应变量的导数
代回——把中间变量回代
相乘——把上述求导的结果相乘
课后提升
3
1．下列求导运算正确的是（ B）A．( + )′ = +
5.2 导数的运算
思 考
=
(1
+
)
的导数呢？
如何求函数 = (1 + ) 的导数呢？
3
= (1 + )3 = 3 + 3 2 + 3 + 1
复合函数的导数 PPT
分解——求导——相乘——回代 .
(10)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3
谢谢大家9;u u'x
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我
们求 y 'x 时，就可以转化为求 y 'u 和 u 'x
的成绩，关键是找中间变量，随着中间变量的 不同，难易程度不同 .
3)能否用方法2)解决(2)教科书P16思考题: 如何求函数 y ln(x 1) 的导数? (6)自学教科书P17例4
(7)例4:求 y sin2(2x ) 的导数
3
(8) 课堂练习：
1)y=(5x－3)4 2)y=(2+3x)5
3)y=(2－x2)3
4)y=(2x3+x)2
(9)课堂小结
⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构， 引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的 函数，然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：
2.y sin x2
3.y cos( x) 4.y ln sin(3x 1)
4
例2写出由下列函数复合而成的函数
1.y cosu,u 1 x2
2.y ln u,u ln x
例3.求函数 y (3x 2)2 的导数
思考：1.能否用学过四则运算解决问题？ 2.新思路：将函数 y (3x 2)2看作是函数y u2 和函数 u 3x 2 复合后的函数，并分别求对应 的导数如下：yu (u2 ) 2u ，ux (3x 2) 3 两个导数相乘，得 yuux 2u 3 2(3x 2) 3 18x 12
(ax )' ax ln a,(ex )' ex,
(loga
x)'
1 x ln
(10)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3
谢谢大家9;u u'x
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我
们求 y 'x 时，就可以转化为求 y 'u 和 u 'x
的成绩，关键是找中间变量，随着中间变量的 不同，难易程度不同 .
3)能否用方法2)解决(2)教科书P16思考题: 如何求函数 y ln(x 1) 的导数? (6)自学教科书P17例4
(7)例4:求 y sin2(2x ) 的导数
3
(8) 课堂练习：
1)y=(5x－3)4 2)y=(2+3x)5
3)y=(2－x2)3
4)y=(2x3+x)2
(9)课堂小结
⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构， 引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的 函数，然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：
2.y sin x2
3.y cos( x) 4.y ln sin(3x 1)
4
例2写出由下列函数复合而成的函数
1.y cosu,u 1 x2
2.y ln u,u ln x
例3.求函数 y (3x 2)2 的导数
思考：1.能否用学过四则运算解决问题？ 2.新思路：将函数 y (3x 2)2看作是函数y u2 和函数 u 3x 2 复合后的函数，并分别求对应 的导数如下：yu (u2 ) 2u ，ux (3x 2) 3 两个导数相乘，得 yuux 2u 3 2(3x 2) 3 18x 12
(ax )' ax ln a,(ex )' ex,
(loga
x)'
1 x ln
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
复合函数的导数 课件
题型二 复合函数的导数
例 2 求下列函数的导数： (1)y＝(－2x＋1)2; (2)y＝ex－1；
π (3)y＝log2(2x＋1); (4)y＝2sin(3x－ 6 )；
(5)y＝ 1 . 1－2x
【思路分析】 复合函数求导的关键是选择中间变量，必须 正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合 而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当 作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中 间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意中间变量 的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
探究 3 本题不要将函数 y＝ x21－3x看做是由 y＝u1，u＝ v， v＝x2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．
思考题 3 (1)曲线 y＝ 3x2＋1在点(1，2)处的切线方程为 __________________．
【答案】 3x－2y＋1＝0
(2)y＝ 1 的水平切线方程是________． 1－x2
思考题 2 求下列函数的导数： (1)y＝ 1 ； (2)y＝esinx；
1－2x2 (3)y＝sin2x; (4)y＝5log2(2x＋1)．
【解析】 (1)解法一：y＝u－12，u＝1－2x2，则
y′x＝y′u·u′x＝(－12u－32)·(－4x)＝－21(1－2x2)－32(－4x)
＝2x(1－2x2)－32＝（1－2x22）x 1－2x2.
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－21(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－23·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－21(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156.∴曲线在点 (4，21)处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x＋16y－28＝0.
高中数学苏教版选修2-2第一章1.2.3复合函数的导数课件(共16张PPT)
1.2.3 复合函数的导数
苏教版选修2-2 高中数学
一、学习目标： 1、了解简单复合函数的求导法则; 2、会运用上述法则求简单复合函数的导数。
二、学习重点： 简单复合函数的求导法则的应用。
三、 学习难点： 将复合函数分解为两个简单函数。
知识回顾：
求 下 列 函 数 的 导 数 ：
1fxx29x3x
和 函 数 u2x复 合 而 成 .
求导
相乘
回代
复合函数的求导法则：
一般地，若 yfu,uaxb，则
函数 f22fxx的 f导 x数是？
对于一般的复合函数，结论也成立 。
例题讲解
课堂练习 1、求下列函数的导数：
课堂练习 1、求下列函数的导数：
课堂练习 1、求下列函数的导数：
课堂练习
2 、 求 曲 线 y s in 2 x 6 在 x 1 2 处 的 切 线 方 程 .
解 ： ysinu,u2x.
切 y 线 的 sin 斜 u 率 ku 2 6c o c o ss u 2 1 2 2 2 6 c o s 1 2 .x 6 .
而切点坐标为12，23，
切 线 的 方 程 为 y 2 3 1 x 1 2 ,即 y x 2 3 1 2 .
小结 ： • ⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结 构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的 函数，然后再用复合函数的求导法则求导； • ⑵复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度； 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让，讨一分便 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚，言宜实， 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如得意不宜重 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界证明自己而 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产为零、诚实 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能！ 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而是你遇错了 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落亦是如此。 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠诚的人，荣 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指望遇到一个 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好好努力。彩 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态，才铸就了他 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就好。雄鹰， 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。努力到无能 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去实现自我， 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设，当下即是 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想，都有一个微 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗。一个最困 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人，分开了， 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了开的更加灿 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定坚持一件事 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不忘初心，方 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨别人，痛苦 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无法选择自己 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正的朋友；岁 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是漠然。走过 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。
苏教版选修2-2 高中数学
一、学习目标： 1、了解简单复合函数的求导法则; 2、会运用上述法则求简单复合函数的导数。
二、学习重点： 简单复合函数的求导法则的应用。
三、 学习难点： 将复合函数分解为两个简单函数。
知识回顾：
求 下 列 函 数 的 导 数 ：
1fxx29x3x
和 函 数 u2x复 合 而 成 .
求导
相乘
回代
复合函数的求导法则：
一般地，若 yfu,uaxb，则
函数 f22fxx的 f导 x数是？
对于一般的复合函数，结论也成立 。
例题讲解
课堂练习 1、求下列函数的导数：
课堂练习 1、求下列函数的导数：
课堂练习 1、求下列函数的导数：
课堂练习
2 、 求 曲 线 y s in 2 x 6 在 x 1 2 处 的 切 线 方 程 .
解 ： ysinu,u2x.
切 y 线 的 sin 斜 u 率 ku 2 6c o c o ss u 2 1 2 2 2 6 c o s 1 2 .x 6 .
而切点坐标为12，23，
切 线 的 方 程 为 y 2 3 1 x 1 2 ,即 y x 2 3 1 2 .
小结 ： • ⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结 构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的 函数，然后再用复合函数的求导法则求导； • ⑵复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度； 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让，讨一分便 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚，言宜实， 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如得意不宜重 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界证明自己而 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产为零、诚实 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能！ 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而是你遇错了 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落亦是如此。 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠诚的人，荣 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指望遇到一个 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好好努力。彩 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态，才铸就了他 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就好。雄鹰， 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。努力到无能 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去实现自我， 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设，当下即是 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想，都有一个微 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗。一个最困 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人，分开了， 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了开的更加灿 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定坚持一件事 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不忘初心，方 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨别人，痛苦 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无法选择自己 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正的朋友；岁 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是漠然。走过 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。
高中数学选择性必修二 5 2 3简单复合函数的导数课件(共27张)
5.2.3
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
复合函数的导数(PPT)4-1
表明，黑木耳多糖组小鼠的血清甘油三酯、总胆固醇和低密度脂蛋白均不同程度地低于对照组，而高密度脂蛋白却显著高于对照组，说明黑木耳多糖有降血 脂作用。 [] 降血糖作用 宗灿华等对黑木耳多糖降低糖尿病小鼠的血糖作用进行了试验分析， 黑木耳 黑木耳 结果表明，与模型对照组比较，给药天后，黑木 耳多糖各剂量组小鼠血糖均显著降低。韩春然等用纤维素酶和蛋白酶从黑木耳中提取多糖并研究其降血糖功能，结果发现，当给药剂量在mg/kg以上时，黑 木耳多糖能明显降低糖尿病小鼠的血糖值，但对正常小鼠的血糖值没有影响，说明黑木耳多糖对糖尿病有良好的
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
1 (2) y (1 3x)4
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
瘤作用。将黑木耳多糖以腹腔注射给药可抑制小鼠实体瘤S8的生长，静脉注射给药对抑制Lewis肺瘤、B黑素瘤和H肝癌变有效，最适有效剂量为μg/kg。宗 灿华等试验研究发现，黑木耳多糖可增高H小鼠血清NO含量，促进肿瘤细胞凋亡。 [] 抗衰老作用 黑木耳多糖对机体损伤有保护作用，可延缓组织衰老，被 认为是较理想的抗衰老保； 学习心得 / 学习心得 ；健品。吴宪瑞等报道，黑木耳多糖能显著增强果蝇的飞翔能力、小鼠游泳耐 力，能使小鼠心肌组织脂褐质含量明显下降，并提高小鼠脑和肝中SOD的活力。周慧萍等报道，黑木耳多糖能延长果蝇寿命，增加老年小鼠对有害刺激的非 特异性抵抗力，降低动物血浆中过氧化脂质含量，减少脂褐素的生成。 [] 抗辐射作用 陈志强等给小鼠腹腔注射木耳多糖mg/只，连续7天，以Coγ射线照射， 总剂量达8伦琴，结果表明，小鼠存活时间比对照组长天，存活率是其.倍，表明黑木耳多糖对放射性细胞损伤有保护作用。樊黎生等研究发现，采用中、高 剂量黑木耳多糖溶液对小鼠进行灌胃，经.GyCoγ射线照射，小鼠的骨髓微核率和精子畸变率明显降低，存活率提高，存活时间延长，表明黑木耳多糖具有较 好的抗辐射作用。 [] 抗凝血作用 黑木耳多糖有抑制血小板凝集的作用，其机制主要是抑制凝血酶的活性。国内有研究表明，体外试验以μmol/L多糖液.mL 与兔血.mL混合，凝血时间可延长倍。给小鼠分组静脉注射、腹腔注射和灌胃mg/kg，凝血时间较对照组分别延长.、.和.倍。 [] 降血脂作用 有研究报道， 以每天mg/kg黑木耳多糖对高脂血症小鼠连续给药周，经测定，可明显降低小鼠血清总胆固醇含量和动脉粥样硬化指数，并提高血清和肝脏抗氧化能力。蔡 小玲等每天为高脂血症小鼠注射黑木耳多糖，一周后小鼠血清中的胆固醇含量明显降低。周国华等采用不同浓度黑木耳多糖对高脂模型小鼠进行试验，结果
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
1 (2) y (1 3x)4
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
瘤作用。将黑木耳多糖以腹腔注射给药可抑制小鼠实体瘤S8的生长，静脉注射给药对抑制Lewis肺瘤、B黑素瘤和H肝癌变有效，最适有效剂量为μg/kg。宗 灿华等试验研究发现，黑木耳多糖可增高H小鼠血清NO含量，促进肿瘤细胞凋亡。 [] 抗衰老作用 黑木耳多糖对机体损伤有保护作用，可延缓组织衰老，被 认为是较理想的抗衰老保； 学习心得 / 学习心得 ；健品。吴宪瑞等报道，黑木耳多糖能显著增强果蝇的飞翔能力、小鼠游泳耐 力，能使小鼠心肌组织脂褐质含量明显下降，并提高小鼠脑和肝中SOD的活力。周慧萍等报道，黑木耳多糖能延长果蝇寿命，增加老年小鼠对有害刺激的非 特异性抵抗力，降低动物血浆中过氧化脂质含量，减少脂褐素的生成。 [] 抗辐射作用 陈志强等给小鼠腹腔注射木耳多糖mg/只，连续7天，以Coγ射线照射， 总剂量达8伦琴，结果表明，小鼠存活时间比对照组长天，存活率是其.倍，表明黑木耳多糖对放射性细胞损伤有保护作用。樊黎生等研究发现，采用中、高 剂量黑木耳多糖溶液对小鼠进行灌胃，经.GyCoγ射线照射，小鼠的骨髓微核率和精子畸变率明显降低，存活率提高，存活时间延长，表明黑木耳多糖具有较 好的抗辐射作用。 [] 抗凝血作用 黑木耳多糖有抑制血小板凝集的作用，其机制主要是抑制凝血酶的活性。国内有研究表明，体外试验以μmol/L多糖液.mL 与兔血.mL混合，凝血时间可延长倍。给小鼠分组静脉注射、腹腔注射和灌胃mg/kg，凝血时间较对照组分别延长.、.和.倍。 [] 降血脂作用 有研究报道， 以每天mg/kg黑木耳多糖对高脂血症小鼠连续给药周，经测定，可明显降低小鼠血清总胆固醇含量和动脉粥样硬化指数，并提高血清和肝脏抗氧化能力。蔡 小玲等每天为高脂血症小鼠注射黑木耳多糖，一周后小鼠血清中的胆固醇含量明显降低。周国华等采用不同浓度黑木耳多糖对高脂模型小鼠进行试验，结果
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解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u 和u x 的复合函数。
根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
10
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
解
yx
1 2
(
x
e
x
)
1 2
(
x
e
பைடு நூலகம்
x
)
x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
1
(x
ex
1
) 2 (1
ex
).
2
15
练习4. 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
3
)
（3） y e2x2 3
（4） y log3(2x 1)
y' 25(5x 3)4
y' 2cos(2x )
复合函数的求导法则
1
复习:1.基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
6
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
1
3
(1 x2 )2
.
16
练习5. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
7
例1 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2 可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2 x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
8
(2) y e0.05x1
18
小结：
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
19
作业：求下列函数的导数
（1） y (5x 3)5
（2） y
sin(2x
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.
11
例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
2
新课
1.复合函数现象
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) ' eu 0.05 0.05e0.05x1
9
(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
练习2. 计算(x x2 1)'. 解 (x x2 1)' x2 1 x 1 2x 2 x2 1 2x2 1. x2 1
14
练习3. 设 y x ex , 求 y .
y=u2 , u=2x+1 ① y (2x 1)2
y ln u, u x 2 ② y ln(x 2) y sin u,u 3v 1, v ex
③ y=sin(3ex 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
3
2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f (u) 和u g(x)如果
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
12
例4 设 y ln tan 2 x 求 y
解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
13
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
17
练习6. 计算(sinn x sin nx)'. 解 (sinn x sin nx)' nsin n1 x cos x sin nx sin n x cos nx n
nsin n1 x(cos x sin nx sin x cos nx)
n sin n1 x sin(n 1)x.
通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个
函数为函数y= f (u) 和u g(x) 的复合函数，
记作 : y f [g(x)].
4
练习：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y sin(ln x 1)
解 (1) y 2u , u x 1. (2) y sin u,u v 1,v ln x.
根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
10
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
解
yx
1 2
(
x
e
x
)
1 2
(
x
e
பைடு நூலகம்
x
)
x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
1
(x
ex
1
) 2 (1
ex
).
2
15
练习4. 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
3
)
（3） y e2x2 3
（4） y log3(2x 1)
y' 25(5x 3)4
y' 2cos(2x )
复合函数的求导法则
1
复习:1.基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
6
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
1
3
(1 x2 )2
.
16
练习5. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
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例1 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2 可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2 x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
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(2) y e0.05x1
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小结：
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
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作业：求下列函数的导数
（1） y (5x 3)5
（2） y
sin(2x
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.
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例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
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新课
1.复合函数现象
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) ' eu 0.05 0.05e0.05x1
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(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
练习2. 计算(x x2 1)'. 解 (x x2 1)' x2 1 x 1 2x 2 x2 1 2x2 1. x2 1
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练习3. 设 y x ex , 求 y .
y=u2 , u=2x+1 ① y (2x 1)2
y ln u, u x 2 ② y ln(x 2) y sin u,u 3v 1, v ex
③ y=sin(3ex 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
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2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f (u) 和u g(x)如果
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
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例4 设 y ln tan 2 x 求 y
解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
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若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
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练习6. 计算(sinn x sin nx)'. 解 (sinn x sin nx)' nsin n1 x cos x sin nx sin n x cos nx n
nsin n1 x(cos x sin nx sin x cos nx)
n sin n1 x sin(n 1)x.
通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个
函数为函数y= f (u) 和u g(x) 的复合函数，
记作 : y f [g(x)].
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练习：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y sin(ln x 1)
解 (1) y 2u , u x 1. (2) y sin u,u v 1,v ln x.