实验报告——泊松过程

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泊松过程实验报告

泊松过程实验报告摘要本实验旨在通过模拟泊松过程的发生情况，研究和分析泊松过程的特征和性质。

首先，我们描述了泊松过程的定义和基本性质。

然后，我们对泊松过程进行了模拟实验，并通过数据分析和统计方法对实验结果进行了分析。

实验结果表明，泊松过程的到达时间间隔服从指数分布，到达数量在单位时间内服从泊松分布。

最后，我们对实验结果进行了讨论，并对泊松过程的应用领域进行了探讨。

引言泊松过程是一种重要的概率过程，广泛应用于计算机网络、通信系统、金融市场等领域。

泊松过程描述了一个连续时间下事件的随机发生过程。

它有两个重要的特征：到达间隔时间服从指数分布和到达数量服从泊松分布。

通过对泊松过程的研究，可以得到许多重要的结论和模型。

本实验通过模拟泊松过程的发生情况，验证了泊松过程的定义和性质。

我们使用了Python编程语言进行实验，并通过数据分析和统计方法对实验结果进行了分析。

实验方法我们首先确定了实验的时间区间，并选择了一个合适的时间间隔，用于模拟泊松过程的到达时间间隔。

我们使用了随机数生成函数，生成了服从指数分布的随机数序列作为到达时间间隔。

接下来，我们生成了到达数量序列。

根据泊松分布的特性，我们使用了泊松分布的随机数生成函数，生成了服从泊松分布的随机数序列作为到达数量。

最后，我们根据生成的到达时间间隔和到达数量序列，模拟了泊松过程的发生情况，并记录了实验结果。

实验结果与分析我们进行了多次实验，并记录了每次实验的到达时间间隔和到达数量序列。

通过对实验数据的分析，我们得到了以下结论：1. 到达时间间隔服从指数分布：通过对到达时间间隔进行统计分析，我们发现到达时间间隔的概率分布符合指数分布的特征。

这也验证了泊松过程的第一个基本性质。

2. 到达数量服从泊松分布：通过对到达数量进行统计分析，我们发现到达数量的概率分布符合泊松分布的特征。

这也验证了泊松过程的第二个基本性质。

实验结果的分析表明，我们成功地模拟了泊松过程的发生情况，并验证了泊松过程的定义和性质。

2023年实验报告泊松过程

2023年实验报告泊松过程2023年实验报告：泊松过程第一章：前言泊松过程是一种经典的数学模型，它能够用于描述自然界中许多随机事件的发生。

随着数学和计算机技术的不断发展，泊松过程在各个领域的应用越来越广泛。

本文旨在探讨泊松过程在时间序列分析中的应用，并给出一个具体实例进行分析。

第二章：理论基础2.1 泊松过程的定义泊松过程是一个随机事件发生的过程，其特点在于每个事件的发生不受前一个事件发生的影响。

具体来说，泊松过程的两个基本特征为：（1）在任何一个瞬间内，事件的发生次数是一个随机变量，其取值为整数；（2）不同时间段内事件的发生次数相互独立。

2.2 泊松分布泊松分布是泊松过程中离散型随机变量的分布。

它的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!其中，λ表示单位时间内的平均事件发生率，k表示在一个时间段内实际发生的事件数。

第三章：实验设计为了研究泊松过程在时间序列分析中的应用，我们采集了一个工业生产数据的样本，并进行了以下处理：（1）将生产数据按照时间顺序排列；（2）根据一定的规则将数据进行分组，每组包含相同的时间段；（3）统计每组中发生的事件数。

最终得到了一个按时间顺序排列、每个时间段内对应的事件数的样本。

第四章：实验结果根据第三章的实验设计，我们得到了以下的数据：时间段事件数01:00-02:00 502:00-03:00 703:00-04:00 904:00-05:00 305:00-06:00 606:00-07:00 407:00-08:00 808:00-09:00 309:00-10:00 510:00-11:00 7我们发现，在这个生产场景中，事件数的分布符合泊松分布。

事件数随时间的变化呈现出一定的波动，但总体上呈现出一定的平稳性。

第五章：结论通过上述的实验结果，我们得出以下结论：（1）泊松过程适用于描述生产场景中某一时间段内发生的事件数。

（2）基于泊松过程的时间序列分析，可以为生产管理提供深入的思路和策略。

随机过程——泊松过程(2)

4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程，n , n 1是 i.i.d 序列，且与N t , t 0相互独立，令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为一齐次 sson 程，有时会 Poi 过
将事件分类，型和II型，事件被分为哪 I 一类依赖于发生的时，即事件发生在间时刻s，则以概率 s 被归为型，以 P I 的归类独立，则有如结论：下
s 0

P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程，若满足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0，PN t h N t 1 t h oh
则称N t 具有强度函数t 的非齐次为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t

k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu

实验报告-泊松过程

Poisson 过程的模拟和检验一、实验目的1、理解掌握Poisson 过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术；2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson 过程。

二、实验内容1、利用C 语言、MATLAB 等工具，结合Poisson 过程等相关结论，模拟Poisson 过程；2、查找资料、学习关于Poisson 过程假设检验的相关知识，检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson 过程的定义。

三、作业要求提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。

四、实验原理1、泊松过程（1）计数过程如果用)(t X 表示[0，t ]内随机事件发生的总数，则随机过程{)(t X ，0≥t }称为一个计数过程。

且满足：1）0)(≥t X ；2）)(t X 是整数值；3）对任意两个时刻210t t <≤，有12()()X t X t ≤；4）对任意两个时刻210t t <≤。

)()(12t X t X -等于在区间],(21t t 中发生的事件的个数。

（2）泊松过程设随机过程{()N t ，0≥t }是一个计数过程，满足1）(0)0N =；2）()N t 是独立增量过程；3）对任一长度为t 的区间中事件的个数，服从均值为t λ（0>λ）的泊松分布，即对一切0,≥t s ，有(){()()},0,1,2,!kt t P N t s N s k e k k λλ-+-===则称()N t 为具有参数λ的Poisson(泊松)过程。

（3）到达时间间隔n T 的分布设{()X t ，0≥t }为泊松过程，()X t 表示到时刻t 为止已发生的事件的总数；,(1,2,3,)n W n =表示第n 次事件发生的时刻；,(1,2,3,)n T n = 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。

显然，121nn n i i W T T T T ==+++=∑定理3.2 设{()X t ，0≥t }是参数为λ（0>λ）的泊松过程，则到达时间间隔序列12T T ，，是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为λ/1的指数分布。

泊松过程及例子2

k
由定理3.3, (s) k 1 f Wk (s) = e s ,及定义 (k 1)! nk ( t s ) [ (t s )] P{X(t)-X(s)=n-k}= e
k 1
(n k )! n! s s (1 ) n k. 得 f Wk | X (t ) ( s | n) = (k 1)!(n k )! t k t
k
P{ X (t ) n} P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n} (s ) k ( t s ) [ (t s )] n k e t e k! (n k )! ( t ) n e t n!
hn
=1,2,…,n有ti+hi＜ti+1,则在给定X(t)=n的条件下,有 P{t1≤W1≤t1+h1,…,tn≤Wn≤tn+hn|X(t)=n}
= h1e
h1
h2 e
h2
hn e e e t (t ) n / n!
( t h1 h2 hn )
k 1

k
例3.7 仪器受到震动而引起损伤,若震动是按强度为λ的泊松过程发生,第k次震动引起的损伤为Dk,D1、D2 、… 是独立同分布的随机变量列且与{N(t),t≥0}独立. 其中N(t)表示[0,t]时间段仪器受到震动次数. 假设仪器受到震动而引起的损伤随时间按指数减小,即如果震动的初始损伤为D,则震动之后经过时间t减小为De-αt(α ＞0).假设损伤是可叠加的,即在时刻t的损伤可表示为 N (t ) k) D(t)= k 1 Dk e (t ,其中τk为仪器受到第k次震动的时
= n! h h h n n 1 2

泊松过程的生成及其统计分析

泊松过程的生成及其统计分析实验报告班级：6041姓名：韩丽媛学号：3116036015一、实验题目假设一个交换系统有M 部电话，每个用户在很短的时间t ∆（单位时间内）呼叫一次的概率为P ；用户间呼入的时刻相互独立，当M 很大，P 很小时，时间t 内到达交换机的呼叫次数构成泊松过程N(t)。

te k λλ-==+!t)(k}N(t)-s)P{N(t k1、确定此泊松过程的参数λ。

2、利用计算机仿真N(t)的生成过程。

注意合理选择M 和P ，时间分辨率为一个单位时间t ∆。

3、为了比较生成的N(t)与理论模型的吻合程度。

取N(t)的多个样本并选取3个典型时间1t ,2t ,3t ，得到)N(t 1,)N(t 2,)N(t 3三个随机变量的样本，在一张图上画出其直方图及理论分布曲线，并将两者对照。

比较M 选取不同时的效果。

注意：样本个数足够多。

4、验证N(t)的增量平稳性。

5、画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图，和理论值进行对照。

验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性。

二、实验过程1、确定此泊松过程的参数λ由题目容易知道，在很短的时间t ∆内M 个用户的呼叫一次的概率为MP ，而由定义知道，t ∆时间内到达交换机的呼叫一次的概率为t 1}N(t)-t)P{N(t ∆==∆+λ，故有t MP ∆=λ （1）从而有tMP∆=λ。

2、利用计算机仿真N(t)的生成过程对每个用户，在t ∆时间内呼叫一次的概率P 很小，可以用rand 函数生成一组[0,1]的随机数，当随机数小于P 时，则认为有呼叫，将其置为1，否则认为没有呼叫，置为0；有M 部电话，则生成M 组[0,1]的随机数，对每组随机数用上诉方法得到一个只有0和1的逻辑矩阵，用来表示某一时刻是否有呼叫。

下面是-610P =,-310t =∆,M=3000,总时间为T=5的实验结果：123456时间t次数图1 N(t)的生成结果可以看到呼叫的计数过程，是递增的，并且可以计算，时间T=5内呼叫总次数平均为15tMPT =∆,多次时间结果最后的呼叫次数都在15次左右。

第五节泊松过程

第五节泊松过程
－泊松过程－最简单的事件流——泊松流－泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0

0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是平稳的
7
2 泊松流
随机事件流通常把在随机时刻出现的事件序列称为随机事件流。泊松流如果事件发生的个数为泊松过程的增长规律，则此事件流为泊松流，为泊松流的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置（或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独立的。普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率（或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率）可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一参数为的负指数分布，则这样的随机事件流就是泊松流，强度为定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布，参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率

泊松分布、泊松过程、泊松点过程

泊松分布、泊松过程、泊松点过程1.泊松分布##泊松分布是⼆项分布的极限分布，假设有⼀列⼆项分布B(n,p n)，均值为λ,即limn→∞np n=λ>0，对任何⾮负整数k(即发⽣k次的概率)有limn→∞b(k;n,p n)=limn→∞C k n p k n(1−p n)n−k=e−λλkk!。

证明：C k n p k n(1−p n)n−k=n!k!(n−k)!p kn(1−p n)n−k=1×2×3×...×nk!×1×2×3...×(n−k)×n k(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n=n×(n−1)×(n−2)×...×(n−k+1)k!×n k(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n=1k!(1−1n)(1−2n) (1)k−1n)(1−pn)−k(npn)k(1−pn)n注意到limn→∞(np n)k=λk，和limn→∞(1−p n)n=e−λ。

定理证毕。

泊松分布是⼆项分布的极限分布，当n很⼤，p很⼩时，⼆项分布就可以近似地看成时参数λ=np的泊松分布。

2.泊松过程##实验结果满⾜泊松分布的实验即为。

3.泊松点过程##泊松点过程其实和泊松过程并⽆区别。

只是在我初接触的时候不⾃觉的把它当成⼀个⼆维的撒点过程。

所以我想更多⼈会把这个术语当做是如何在⼆维平⾯撒满⾜泊松分布点的⽅法。

放⼼，这⾥也是介绍⽅法的。

3.1⼀维的撒点⽅法###3.1.1算法1####我们注意到，在齐次泊松过程中，两次事件的距离是满⾜均值为1λ的指数分布。

(0) 初始化 t = 0;(1) 取⼀个满⾜均匀分布u~U(0,1)的随机数u;(2) t=t−1λlog(u);(3) ⽣成⼀个点t；(4) 返回(1)。

3.1.2算法2####假设在固定的时长[0,t0]，事件发⽣次数为N(t0)=n，事件发⽣的时间T_1,T_2,...,T_n(排序过的)满⾜均匀分布。

泊松过程

Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件发生的时刻，或称等待时间，次事件A发生的时刻次事件发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间 Tn —— 从第次事件发生到第次事件发生的从第n-1次事件发生到第n次事件次事件A发生到第次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔时间间隔，或称第个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件已经发生 n 次，求第次(k < n) 内事件A已经发生求第k次
事件A发生的时间的条件概率密度函数。事件发生的时间Wk 的条件概率密度函数。发生的时间
n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数，次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数方差函数相关函数协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。

2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)iN μσ，1,2,3,i = ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注）。

单片机原理实验泊松

单片机原理实验泊松
泊松（Poisson）分布是单片机原理实验中重要的概率分布之一，其在电子与通信工程中有着广泛的应用。

本文将介绍泊松分布的概念、特点、概率密度函数与分布函数以及如何使用单片机进行泊松分布的实验。

概念与特点
泊松分布是描述某个时间间隔内发生事件次数的概率分布，其特点是：（1）事件是独立的，即事件的发生与其他事件的发生无关；（2）事件的发生率是恒定的，即在任意时间段内事件发生的概率相同；（3）事件的数量是可数的。

概率密度函数与分布函数
泊松分布的概率密度函数为：
P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!
其中，λ为事件的平均发生率，k为某个时间间隔内事件发生的次数。

泊松分布的分布函数为：
F(X≤k)=∑(i=0,k)e^(-λ)λ^i/i!
使用单片机进行泊松分布实验
在单片机原理实验中，我们可以通过编程模拟泊松分布的实验过程。

具体步骤如下：
1. 定义事件的平均发生率λ和时间间隔T。

2. 生成一个随机数r，范围为0~1。

3. 计算事件发生的概率p=λT，并将p与r进行比较，若r<p 则事件发生，否则事件不发生。

4. 重复步骤2~3，记录事件发生的次数k。

5. 根据记录的事件发生次数k，计算泊松分布的概率密度和分布函数。

6. 可以利用单片机的显示、存储等功能，将实验结果输出或保存。

总之，泊松分布是单片机原理实验中常用的概率分布之一，了解其概念与特点、概率密度函数与分布函数以及实验方法，有助于我们更好地应用单片机进行工程应用。

研究生随机分析2.Poisson过程

= Pn (t )P0 (h ) + Pn − 1 (t )P1 (h ) + o(h )
= Pn (t )e − λh + Pn − 1 (t )[λh + o(h )] + o(h )
(独立，平稳增量)
= Pn (t )[1 − λh + o(h )] + Pn −1 (t )[λh + o(h )] + o(h ) = Pn (t )[1 − λh] + Pn −1 (t )λh + o(h )
n!
,n ≥ 0
由(3)可知，EN (t ) = λt , λ称为过程的率.
定义2.
{N (t ), t
≥ 0} 称为Poisson过程如果
(1) (3) (4)
N (0 ) = 0 ≥ 0}有平稳、独立增量 P( N (t ) = 1) = λt + o(t ) P ( N (t ) ≥ 2 ) = o(t )
(2) {N (t ), t
定理1
定义 1 与定义 2 等价
证
先证定义2 ⇒ 定义 1
令 Pn (t ) = P( N (t ) = n )
导出关于P0 (t )的微分方程，再求出P0 (t )的表示式
P0 (t + h ) = P( N (t + h ) = 0)
= P( N (t ) = 0, N (t + h ) − N (t ) = 0 )
∑X
k =1
n
k
,
则 {N (t ), t ≥ 1}是 Poisson 过程.
事实上： P( N (t ) = n ) = P( N (t ) ≥ n ) − P( N (t ) ≥ n + 1)

第二章泊松过程随机过程ppt课件

命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。

泊松过程

3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维修一台”
机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松过程是一类特殊的计数过程。下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
P , Xt h Xt0 XtX0n P , Xt h Xt1 XtX0n1 P XtX0nj,Xt hXt j
j 2
n 1 P t 1 h h P t h 1 h h h n n 1
P t hP t h 0 0 所以 P t P t 0 0 h h

取 h 0 的极限，得
所以 l n P t tC ,P t C e
t 0 1 0
P t P t, 且 P 0 P X 0 0 1 0 0 0
t
n
P n t
t
n!
n
et
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由数学归纳法知： P t n
由条件（ 2 ）有：
t e
n !
n t
P X t s s n P X t X 0 n X P X t n P t n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型定义 3 . 3 （泊松过程）称计数过程 X t , t 0

泊松过程

在实际中，一般的马尔可夫序列是对连续的马尔可夫过程进行抽样得到的，例如，在对运动目标（导弹，飞机）的轨迹测量中，信号的模型常采用以下的一阶差分方程，即
高斯-马尔可夫序列
W ( n)
∑
A
X ( n)
X ( n + 1)
延迟
X ( n + 1) = AX ( n) + W ( n)
A为常数
高斯
取任意两个时刻tn和tn-1,对上式两边进行tn-1到tn的积分，则
[e −αt X (t )]ttn−1 = β ∫ e −αtW (τ)d τ n
tn −1 tn
e −αtn X (tn ) = e −αtn −1 X (tn −1 ) + β ∫ e −ατW (τ)d τ
tn −1
tn
X (tn ) = eα( tn −tn −1 ) X (tn −1 ) + β ∫ e −α( tn −τ )W (τ)d τ
n−s n− s n − s i −1 = E A [ X ( s ) − mX ( s ) ] + ∑ A W (n − i ) − ∑ Ai −1mW (n − i ) [ X ( s ) − mX ( s ) ] i =1 i =1
24
泊松过程的定义泊松过程的定义定义1 称增量(计数)过程{ 【定义1】：称增量(计数)过程{X(t)，t ≥0 } ，泊松过程，如果X(t)满足是泊松过程，如果满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程是独立增量过程; 是独立增量过程 (3)在任一长度为的区间中，事件发生的次在任一长度为t的区间中在任一长度为的区间中，事件A发生的次的泊松分布，数服从参数λt> 0的泊松分布，即对任意的泊松分布即对任意s, t ≥ 0，有， n − λ t (λ t ) P { X (t + s ) − X ( s ) = n} = e , n! n = 0,1, 2, L

泊松过程总结

泊松过程总结
泊松过程是一种常见的随机过程，它在许多领域中都有重要的应用，如通信、金融、物流等。

以下是泊松过程的一些重要特性和总结： 1. 定义：泊松过程是一种离散时间、连续状态的计数过程，其状态变化是以固定时间间隔发生的独立事件的个数。

2. 独立增量性：泊松过程具有独立增量性，即在不重叠的时间间隔内，事件的发生个数是相互独立的。

3. 平稳性：泊松过程是平稳的，即其统计特性在时间上是不变的。

4. 无记忆性：泊松过程是无记忆的，即过去的事件发生情况对未来的事件发生情况没有影响。

5. 期望值和方差：泊松过程的期望值和方差均等于参数λ，即E[N(t)] = λt，Var[N(t)] = λt。

6. 泊松分布：泊松过程的时间间隔和事件发生个数都服从泊松分布，即P(X=k) = (λt)^k * e^(-λt) / k!，其中X表示在时间t 内发生k次事件的概率。

7. 事件发生率：泊松过程的事件发生率λ表示在单位时间内平均发生的事件个数。

8. 泊松过程的应用：泊松过程在实际中有广泛的应用，如电话呼叫中心中的呼叫到达、网络数据包到达、交通流量变化等。

总之，泊松过程是一种描述离散、独立、平稳的计数过程，它的统计特性和概率分布具有一些重要的性质，使得它在实际应用中具有
广泛的用途。

第4讲第三章泊松过程

k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注：复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变，设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1

泊松过程的生成及其统计分析

实验实验：：泊松过程的生成及其统计分析实验报告张京晶硕834班2008-10-17确定入。

1确定入因为每一个用户在Δt内呼入的概率为p，所以单位时间的呼叫频度入=M * p/Δt;的生成过程。

2 仿真N(t)的生成过程难点：正确理解物理过程中对Δt和p的定义用二项分布来模拟电话的呼入过程，u=binornd(1,p,M,T/Δt);•在每个单位时间Δt内，电话呼入即事件发生，且发生的概率为p；•在每个Δt内，可能呼叫的用户数为M；•共计时间T，即T/Δt次；•Δt足够小，以至每Δt内最多只有一个用户呼入，所以要对生成的二项分布进行处理程序:p=0.000005;M=3000;delt_t=0.002;T=10;u=binornd(1,p,M,T/delt_t);y=(sum(u)~=0); %根据物理过程对Δt和p的定义，修改y值m(1)=0;for i=1:1000m(i+1)=m(i)+y(i);endplot(m);与理论模型的吻合程度。

3 1）观察生成的N(t)与理论模型的吻合程度难点：1、Nt=delt_t*find((sum(u)~=0)==1);Nt1(loop)=sum(Nt<t1);2、提取直方图里的有用信息=> 方便与理论值进行比较；可以重叠观察几个直方图[N_1,index1]=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1));stem(index1,N_1/LOOP,'r');3、与理论值进行比较，画理论曲线时：固定时间t，k为变量；注意k实际上的对应值应为index1(k)p1(k)=exp(-lambda*t1)*(lambda*t1)^index1(k)/prod(1:index1(k));•进行Loop次实验，对N(t1)、N(t2)、N(t3) 三个随机变量的样本（t1红<t2蓝<t3绿）做数理统计。

•描点代表仿真生成的N(ti)，连续曲线代表理论分布曲线。

泊松过程

• 定义：N(t1,t2)为某同类事件在t1到t2间发生的数量。 • 时间连续状态离散的随机过程 • 取值为大于等于0的整数
泊松过程
• 一个计数过程N(t1,t2)，若当Δt→0时，对时间轴上的任何t(≥0)满足下列条件，则称该计数过程为泊松过程：
– P(N(t,t+Δt)=1)=λΔt – P(N(t,t+Δt)>1)=o(Δt)
– P[N(s,s+t)=m|N(s1,s1+t1)=n] = P[N(s, s+t)=m], 其中s1+t1 ≤s – 进一步，有：
• P[N(s+t)-N(s)=m|N(s)=n]= P[N(s+t)-N(s)=m]= P[N(t)=m]
泊松过程的数字特征
• 数学期望：
– EN(t)=∑(m P(N(t)=m)) =λt m=0.. ∞
第3章
到达过程分析
第一节
泊松过程
二项分布
• 定义：若有随机试验E，样本空间S，随机事件A，且PA＝p，随机变量ξ为n次独立的试验中A出现的次数，则其所服从的分布称为二项分布 • 特点：离散型、取值范围0-n、2个参数 • 当n=3时的情况 • 一般情况下的概率分布公式：
– P(ξ=m)=Cnmpmqn-m q=1-p
随机过程简介
• 定义：一个以实数t为参数的随机变量族，其中t称为时间，随机变量的取值称为状态 • 独立同分布的随机变量族是随机过程的一个特例 • 基于时间与状态的取值特点进行的分类：
– 时间离散状态连续：Ws(t) – 时间连续状态离散：Ls(t) – 时间离散状态离散 – 时间连续状态连续
计数过程
指数分布的无后效性
• 定义：随机变量ξ如果在其定义范围内满足 P(ξ≤x0+x|ξ>x0)=P(ξ≤x)=F(x)，则称该随机变量具有无后效性。(non-negative) • 举例说明 • 无后效性又称马尔可夫特性(Markovproperty) • 定理3.1：指数分布的随机变量具有无后效性

possion过程实验报告

HUNAN UNIVERSITY possion过程1.实验原理泊松过程是定义在时间上的过程。

用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程：①P(X(0)=0)=1。

②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1<t2<…<tn,X(t1),X(t2)-X(t1），…，X(tn)-X(tn-1）相互独立。

③增量X(t)-X(s) (t>s）的概率分布为泊松分布，泊松函数非降非负函数。

若X还满足④X(t)-X(s）的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时式中常数λ>0称为过程的强度，λ等于单位时间内事件的平均发生次数。

非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。

对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。

可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。

直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。

在应用中很多场合都近似地满足这些条件。

例如某系统在时段[0,t）内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。

2.实验目标用matlab工具实现R拟合齐次泊松过程程序流程如下：3.实验设计程序代码如下：运行结果从结果图像上来看生成的分布列符合possion分布的特点。

总结Passion过程是随机过程中比较重要的一种，本实验通过模拟possion过程生成possion过程的图像，从结果上看比较符合对possion分布的预期，该实验有助于我们更好的理解和掌握possion过程。

实验报告——泊松过程

泊松过程实验报告

2023年实验报告泊松过程

随机过程——泊松过程(2)

实验报告-泊松过程

泊松过程及例子2

泊松过程的生成及其统计分析

第五节 泊松过程

泊松分布、泊松过程、泊松点过程

泊松过程

应用随机过程实验2-泊松过程

单片机原理实验 泊松

研究生随机分析2.Poisson过程

第二章泊松过程随机过程ppt课件

泊松过程

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