基于满应力设计和最大应力最小化的渐进优化

基于满应力设计和最大应力最小化的渐进优化李锟LI KUN(湖南大学,长沙410006)1摘要满应力设计和最大应力最小化设计是工程设计中结构优化追求的两个方面，对其的研究具有很重要的现实意义。

本文基于满应力设计和最大应力最小化思想，结合渐进结构优化法，介绍了一种新的方法，并从理论层面对该方法的合理性、在工程问题中的应用，以及计算机软件的具体实现，进行了阐述及算例演示。

算例结果证明了该方法解决实际工程优化设计问题的有效性。

关键字：满应力设计最大应力最小化渐进结构优化拓扑布局优化ESO based on fully stressd Design and maximum Stress Minimization Abstract Fully stressd design and maximum stress minimization are the two aspects of pursuit in engineering structural optimization and design, which have very important practical significance.This paper，based on full stress design and maximum stress minimization ideas, associated with the evolutionary structural optimization, introduces a new method. The rationality of this approach and application in the engineering problems, as well as the concrete implementation of computer software are expounded and demonstrated. Two classical examples show that the proposed method is valid and effective.Key words：Fully stressed design maximum stress minimization Evolutionary Structural Optimization Topology Optimization1李锟：男，汉，湖南邵阳人，湖南大学硕士研究生，从事结构轻量化研究0引言上个世纪60年代以来，优化设计技术随着电子计算机的广泛使用迅速发展，并得到持续的改进与突破，如今已然成为了一个不可或缺的实用工具。

优化设计，是指在规定的约束条件下，将实际问题首先转化为最优化问题，然后运用相关最优化理论和方法，在计算机上进行自动调优运算，从满足各种设计要求及约束条件的可行方案中，选出最优设计方案［1,2］。

结构的形状优化和尺寸优化由于受到给定的拓扑布局的限制，具有较大的盲目性，只能取得局部最优解，而结构拓扑优化，允许设计者对结构的拓扑布局进行优化，在结构初始形式未知的情况下，寻求结构最优的拓扑关系，能够有效地解决形状优化和尺寸优化时的盲目性问题［3］。

目前，结构拓扑优化设计比较成熟的方法主要有：1）均匀化方法；2）变密度方法；3）基于ICM方法的结构拓扑优化；4）渐进结构优化法。

均匀化方法或变密度方法[4]，以单元几何尺寸或材料物理参数等连续变量为拓扑变量，如单元厚度、微结构孔洞尺寸、材料弹性模量等，通过对单元的几何尺寸或材料物理参数等取下限值，变更结构拓扑。

然而，该类方法产生的材料结构常常带有一些无限小孔，使得结构不可制造，且数值不稳定也使得设计对载荷的变化非常敏感。

ICM(独立、连续和映射)方法[5,6]，以一种独立于单元具体物理参数的变量来表征单元的“有”和“无”，同时通过构造过滤函数和磨光函数，把本质上是0、1离散变量的独立拓扑变量映射为区间[0，l]上的连续变量，在按连续变量求解之后再把拓扑变量反演成离散变量。

然而该方法仅对简单二、三维结构进行了应用，对复杂结构和大规模有限单元模型的拓扑优化设计问题仍需进一步开展研究。

渐进结构优化法(Evolutionary Structural Optimization)，简称ESO 法[7]．，基于从结构中逐步删除无效或者低效的材料，使保留结构进化到一个最佳结构的简单概念，克服了与传统技术相关联的大部分问题，为结构优化提供了一种新的途径。

然而，传统的ESO方法仅允许单向删除单元，被误删的单元无法在后继迭代中恢复，相对来说影响了方法总体最优的可信性及其应用推广，其进化方式限制了它的应用。

Querin基于应力对ESO方法的另一个突破，双方向进化方法[8-10]，开展了详细研究。

其原理是：删除低应力单元的同时在高应力单元周围增加单元。

然而，Querin 提出的双方向渐进结构优化法并没有考虑删除或增加单元对结构最大应力的影响，而满应力设计和结构最大应力最小化是工程设计中结构优化追求的两个方面，设计的最佳拓扑结构同时具有较均匀的应力水平和较小的最大应力具有很重要的现实意义。

1基于满应力设计和最大应力最小化的渐进结构设计渐进结构优化法（ESO 法），采用固定的有限元网格，通过对材料单元的材料数编号实现结构拓扑优化。

该方法采用已有的通用有限元分析软件，通过迭代过程在计算机上实现，通用性好，既可以解决尺寸优化，还可以同时实现形状与拓扑优化，而且允许结构的单元数规模成千上万[11-13]．。

由于每一次ESO 迭代，都会有一定数量的单元被删除“死”去，随着结构逐渐接近最佳拓扑，大量单元被删除，结构特性参数分析和重分析的方程求解数大大减少。

这保证了结构特性参数分析的精度和大规模结构优化设计的实现[14]。

1.1基本算法基于满应力设计和最大应力最小化思想，本文方法在每次迭代前对当前拓扑结构进行一次预先处理，将其转化成一个新的拓扑结构，其包括上一个迭代步保留下来的材料结构和沿上一次迭代后高应力区域边界和孔洞周围附加的人工材料单元。

首先定义结构初始设计，即包含最佳拓扑的足够大区域，并将该区域划分为设计域和非设计域。

设计域内的固定单元可分为：（1）暂时保留单元，（2）暂时删除单元和（3）人工材料单元；非设计域内的材料不能被删除，但是对于定义与布置边界约束和载荷十分重要[15]。

在约束、载荷和材料属性以及分析类型确定了之后，对整个区域进行离散化。

通过对线弹性有限单元进行应力分析，求出每个有限单元的等效应力e eq σ或最大主应力e pr σ（为了方便，之后统一称为应力水平，并记作e evo σ），然后确定保留材料的单元。

为了使结构的应力水平趋于均匀，最大应力在给定的应力限内，对暂时保留的单元，按应力水平高低，凡满足条件e evo σ < ratre *σmax evo （1）的应力绝对小单元将被删除， ratre 是拒绝率。

对人工材料单元，按应力水平高低，凡满足条件ratre *max evo σ < e evo σ < ratac *max evo σ （2）的应力相对适中的单元将被恢复保留，其余单元转换成暂时被删除单元，ratac是添加率。

依次迭代，更多的结构单元被删除或增加，结构进化。

对于给定的拒绝率，如果稳定情形发生了或者迭代中只有很少的单元被删除，则给拒绝率加上一个进化率ratev，ratre i+1 = ratre i + ratev , i = 0, 1, 2,3 (3)如此反复，直到结构收敛，所有保留单元都达到某个特定应力水平。

1.2 单元删除准则每次迭代，在计算出每个单元的应力水平并排序之后，部分单元按照应力水平被删除，每个迭代步删除单元的数目应遵循以下几个准则，以保证进化过程顺利实现：1、最小删除率；比如，有效单元数的0.1%，这个准则为每次迭代单元删除数提供了下限；2、最大删除率；比如，有效单元数的2.0%，这个标准为每次迭代单元删除数提供了上限；3、截止应力水平，在式（1）中给出。

前两个准则给出了每次迭代单元删除数的范围，这是为了避免1）、进化过程受到阻塞；2）、剩余结构的应力发生急剧变化，第三个准则是给出了迭代终止条件。

如果当前拒绝率引起的单元删除数小于最小删除数，就给拒绝率加一个增量（进化率）以提高应力删除水平进而确保有至少最小删除数的单元被删除。

1.3 单元增加准则迭代中，在附加的人工材料单元区可能会出现某些单元的应力水平过大，导致结构的整体最大应力水平急剧增高，甚至可能超出给定的限值，因此需设定一个单元添加率ratac，确保每一步接收的人工材料单元应力水平相对适中，然后逐步实现结构的优化。

1.4 附加准则在进化过程中，有可能会出现孤立的被已删除的无效单元包围的有效单元。

这类单元多出现在主要受剪应力的区域，往往会导致棋盘格式拓扑结构的出现，是设计人员不愿看到的。

强制删除这些孤立单元可以有效地抑制棋盘格拓扑的产生。

1.5 收敛准则单元的增删迭代过程在达到以下给定的三个收敛准则之一后终止：1、所有保留单元的应力水平都大于或等于结构最大应力水平的某个百分比，比如，都达到最大应力水平的70.0%，这就意味着取得了一个满应力设计，材料被充分利用。

2、保留材料的单元数小于总单元数的某个百分比，比如，剩余单元数只占到总单元数的30%。

对于均一划分网格，这个标准等效于最终设计与初始设计的面积或体积比。

3、迭代步中，添加的单元数大于被删除的单元数。

2算例接下来，将结合本文方法，给出几个算例，算例结果充分证明了本文方法的正确性与有效性。

算例选用各项同性材料，相关参数取为：弹性模量E=210N/mm2，泊松比ν= 0.3，受平面应力。

算例的参考区域主要由设计域覆盖，在载荷和约束施加的地方使用非设计域以避免引入过高的应力集中。

初始区域被精密地划分网格。

进化选用的参数设置为：拒绝率ratre=1.0%，进化率ratev=1.0%，最小单元删除率取0.05%，最大单元删除率取 2.0%，添加率ratac=90%，当剩余单元的应力水平都达到最大应力水平的70%或者剩余单元数为总单元数的30%时，迭代终止。

算例1 受集中载荷的短悬臂梁短悬臂梁（如图1）一端固定，另一端的右上角受一集中载荷，网格划分如图2，进化过程如图3所示（间隔为十迭代步）非设计域图1图2图3算例2 C形夹结构C形夹结构（如图4）开口A和B处各受到一个大小相同方向相反的集中载荷，网格划分如图5，进化过程如图6所示（间隔为十迭代步）非设计域图4图5图63结论本文较为详细地阐述了基于满应力设计和最大应力最小化的渐进结构优化方法，并且给出了相关算例。