《23函数的单调性与最值》教案
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念,掌握判断函数单调性的方法。
2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念,掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:函数的单调性的概念及判断方法,函数最大值和最小值的求法及应用。
2. 教学难点:函数单调性的判断方法,求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法,引导学生理解函数的单调性和最值的概念。
2. 采用案例分析法,让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。
3. 采用小组讨论法,培养学生合作解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件:函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。
2. 教学案例:实际问题涉及函数单调性和最值的解答。
3. 练习题:针对本节课内容的练习题,巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入:通过复习上一节课的内容,引导学生回顾函数的概念和性质,为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解:讲解函数的单调性,通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义,介绍判断函数单调性的方法。
3. 案例分析:分析实际问题,让学生运用函数的单调性解决实际问题,体会函数单调性的重要性。
4. 讲解:讲解函数的最大值和最小值的概念,介绍求函数最大值和最小值的方法。
5. 案例分析:分析实际问题,让学生运用函数的最值解决实际问题,体会函数最值的重要性。
6. 练习:让学生独立完成练习题,巩固所学知识。
7. 总结:对本节课的内容进行总结,强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性:1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值:1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。
高中数学教案函数的单调性与最值
高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案:函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念,它描述了数值之间的关系。
而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。
本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法,帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。
具体而言,若函数在其定义域上递增,则称为函数的单调递增;若函数在其定义域上递减,则称为函数的单调递减。
2. 判断方法(1)对于函数y=f(x),当x1 < x2时,比较f(x1)与f(x2)的大小关系: - 若f(x1) < f(x2),则函数递增;- 若f(x1) > f(x2),则函数递减;- 若f(x1) = f(x2),则函数不单调。
(2)对于一阶导数存在的函数,可以通过导函数的正负性判断函数的单调性:- 若导函数f'(x) > 0,则函数递增;- 若导函数f'(x) < 0,则函数递减;- 若导函数f'(x) = 0,可以进一步分析。
3. 经典例题(1)求函数f(x)=x^2的单调性。
解:由f'(x) = 2x,当x > 0时,f'(x) > 0;当x < 0时,f'(x) < 0。
因此,函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增,在x < 0时单调递减。
(2)求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。
解:由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1),可知当x < 0时,f'(x) < 0;当0 < x < 1时,f'(x) > 0;当x > 1时,f'(x) > 0。
因此,函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减,在0 < x < 1时单调递增,在x > 1时单调递增。
函数单调性与最值教案
函数单调性与最值教案教案标题:函数单调性与最值教案教案目标:1. 了解函数的单调性及其在数学和实际问题中的应用。
2. 掌握求解函数最值的方法和技巧。
3. 能够分析和解决与函数单调性和最值相关的问题。
教案步骤:步骤一:引入概念(15分钟)1. 引导学生回顾函数概念,并解释函数的单调性。
2. 通过示例图像展示函数的单调递增和单调递减的特点。
3. 提出问题:如何判断一个函数的单调性?步骤二:函数单调性的判断(20分钟)1. 介绍函数导数的概念,并解释导数与函数单调性的关系。
2. 讲解判断函数单调性的方法:a. 对函数求导,判断导数的正负性;b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生巩固判断函数单调性的方法。
步骤三:函数最值的求解(20分钟)1. 引导学生思考如何求解函数的最值。
2. 解释求解函数最值的方法:a. 对函数求导,找出导数为零或不存在的点;b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生掌握求解函数最值的方法和技巧。
步骤四:综合应用(15分钟)1. 提供一些实际问题,要求学生分析问题并应用函数单调性和最值的概念解决问题。
2. 引导学生讨论解决问题的思路和步骤。
3. 鼓励学生展示解决问题的过程和答案,并进行讨论和评价。
步骤五:总结与拓展(10分钟)1. 总结函数单调性和最值的概念和判断方法。
2. 引导学生思考函数单调性和最值在其他学科和实际问题中的应用。
3. 提供一些拓展问题,鼓励学生继续思考和研究相关概念。
教案评估:1. 在步骤二和步骤三的练习中,检查学生对函数单调性和最值的判断和求解能力。
2. 在步骤四的综合应用中,评估学生对函数单调性和最值在实际问题中的应用能力。
3. 在课堂讨论和总结中,评估学生对函数单调性和最值概念的理解和思考能力。
教案延伸:1. 鼓励学生独立研究更复杂的函数单调性和最值问题,拓展思维能力。
2. 引导学生探索函数单调性和最值在其他数学领域的应用,如微积分、优化问题等。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标:1. 理解函数单调性的概念,能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容:1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点:1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段:1. 采用讲授法,讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法,结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法,分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程:1. 引入:通过举例,让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解:讲解函数单调性的定义与判断方法,结合图形进行分析。
3. 练习:让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解:讲解如何利用单调性求函数的最值,结合实例进行分析。
5. 练习:让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结:总结本节课的主要内容,强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置:布置一些有关函数单调性和最值的练习题,巩固所学知识。
六、教学拓展:1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系,如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用,如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析:1. 分析实际问题,引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动:1. 组织学生进行小组讨论,分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程,互相学习和交流。
九、教学评价:1. 课堂讲解:评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业:评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思:1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况,调整教学策略,提高教学效果。
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线,函数的基本性质又是函数一章的重点内容。
一方面,它是对以前所学具体函数的一次总结,又是函数知识的一次拓展,对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。
另一方面,函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。
因此,函数单调性与最大(小)值的教学,在教材体系中有着不可替代的位置,又有着重要的现实意义。
函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一,它是研究函数值与自变量变化的一种关系,既要求学生结合函数的图象(直观性)来研究函数单调性和最大(小)值,也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义(严谨性)来研究函数单调性和最大(小)值。
因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质,利用函数的性质来画函数的图象(草图),培养学生数形结合的思想和应用数学意识。
5、函数单调性和最大(小)值的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程。
培养学生的探究能力和创新精神,体验到思考与探索的乐趣,培养学生勇于探索,善于研究的精神,挖掘其非智力因素的资源,培养学生良好的思维品质。
三、教学问题诊断分析函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它。
这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫。
在函数的单调性的概念教学中,学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍,误认为“有两个”、“某两个”,而教学中利用函数的图象,举一些反例加以理解巩固。
《函数的单调性与最大值》教学设计
《函数的单调性与最大值》教学设计教学设计:函数的单调性与最值一、教学目标:1.了解函数的单调性的概念,能够判断函数在一些区间内的单调性。
2.理解函数的最值的概念,能够求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.能够运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
二、教学内容:1.函数的单调性:A.单调递增与单调递减的概念及判断方法。
B.设计一些示例,让学生观察函数图像,并判断函数在一些区间内的单调性。
2.函数的最大值和最小值:A.最大值和最小值的概念及求解方法。
B.设计一些函数并给出定义域,让学生求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.实际问题的解决:A.设计一些实际问题,例如求解函数在一些时间段内的最大速度、最小成本等,让学生运用函数的单调性和最值的概念解决问题。
三、教学过程:1.引入:通过展示一个山峰的图片,并问:“在山峰的哪个位置有最高点?在山谷的哪个位置有最低点?”引导学生思考什么是最值。
2.导入函数的单调性概念:A.讲解函数的单调递增与单调递减的定义。
B.给出函数图像,让学生判断函数在一些区间内的单调性。
C.给出一些判断函数单调性的例题,让学生独立完成并讲解思路和答案。
3.引入函数的最值概念:A.讲解函数的最大值和最小值的定义。
B.给出一个函数图像,让学生找出函数在一些区间上的最大值和最小值。
C.给出一些求解函数最值的例题,让学生独立完成并讲解思路和答案。
4.实际问题的解决:A.给出一个实际问题,例如一辆汽车的速度随时间的变化函数,让学生运用函数的单调性和最值的概念求解汽车在一些时间段内的最大速度。
B.设计几个类似的实际问题,让学生分组讨论解决方法,并展示解决过程和答案。
5.小结与拓展:A.总结函数的单调性与最值的概念。
B.引导学生思考函数单调性与最值的应用领域,例如应用于经济学、物理学等领域。
C.布置相关的作业,要求学生运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
四、教学评价与反思:1.对于函数的单调性的判断,可以通过让学生观察函数图像,找出函数的增减规律,提高学生的图形观察能力。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解函数单调性的概念,能够判断函数的单调性;(2)掌握利用导数研究函数的单调性,能够求解函数的单调区间;(3)了解函数的最大最小值的概念,能够利用导数求解函数的最大最小值。
2. 过程与方法:(1)通过实例引导学生理解函数单调性的概念,培养学生的抽象思维能力;(2)利用导数研究函数的单调性,培养学生的逻辑推理能力;(3)通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值,提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观:(1)培养学生对数学的兴趣,激发学生学习函数的积极性;(2)培养学生克服困难的意志,提高学生解决问题的能力;(3)培养学生团队合作的精神,提高学生的沟通能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念;2. 利用导数研究函数的单调性;3. 函数的最大最小值的概念;4. 利用导数求解函数的最大最小值。
三、教学重点与难点1. 教学重点:(1)函数单调性的判断;(2)利用导数研究函数的单调性;(3)利用导数求解函数的最大最小值。
2. 教学难点:(1)函数单调性的证明;(2)利用导数求解函数的最大最小值的过程。
四、教学过程1. 导入:通过生活中的实例,引导学生理解函数单调性的概念,激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入:讲解函数单调性的定义,引导学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 实例分析:利用导数研究函数的单调性,让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。
4. 方法讲解:讲解如何利用导数求解函数的最大最小值,让学生掌握求解方法。
5. 练习与讨论:布置练习题,让学生巩固所学知识,并通过讨论培养学生的团队合作精神。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容,整理笔记;2. 完成课后练习题,加深对函数单调性和最大最小值的理解;3. 准备下一节课的内容,提前预习。
六、教学评价1. 知识与技能:(1)学生能准确判断函数的单调性;(2)学生能利用导数研究函数的单调性;(3)学生能利用导数求解函数的最大最小值。
《函数的单调性与极值》教案(优质课)
《函数的单调性与极值》教案【教学目标】:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 【教学重点】:利用导数判断函数单调性; 【教学难点】:利用导数判断函数单调性 【教学过程】: 一 引入:以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下,比较f(x 1)<f(x 2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二 新课讲授 1 函数单调性我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到:在区间(2,∞+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大,即/y >0时,函数y=f(x) 在区间(2,∞+)内为增函数;在区间(∞-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小,即/y <0时,函数y=f(x) 在区间(∞-,2)内为减函数.定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内/y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地,设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标:1. 知识与技能:(1)理解函数的单调性的概念,掌握判断函数单调性的方法;(2)了解函数的最值概念,学会求解函数的最值;(3)能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法:(1)通过实例分析,引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系;(2)利用数形结合,让学生掌握函数单调性和最值的求解方法;(3)培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观:(1)激发学生对函数单调性和最值的兴趣,提高学习数学的积极性;(2)培养学生勇于探索、合作学习的良好品质;(3)使学生感受到数学在生活中的应用,培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点:1. 教学重点:(1)函数单调性的判断方法;(2)函数最值的求解方法;(3)单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点:(1)函数单调性在复杂函数中的判断;(2)多变量函数最值的求解;(3)实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备:1. 教师准备:(1)熟练掌握函数单调性和最值的相关知识;(2)准备典型的例题和习题;(3)制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备:(1)预习函数单调性和最值的相关内容;(2)掌握基本函数的单调性和最值;(3)准备笔记本,做好笔记。
四、教学过程:1. 导入新课:(1)复习上节课的内容,回顾函数的性质;(2)提问:同学们认为函数有哪些重要的性质呢?(3)引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解:(1)讲解函数单调性的定义和判断方法;(2)通过实例分析,让学生理解函数单调性与最值之间的关系;(3)讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动:(1)让学生举例说明函数的单调性;(2)分组讨论:如何求解函数的最值;(3)教师点评并总结。
4. 巩固练习:(1)出示典型习题,让学生独立解答;(2)讲解习题,分析解答过程;(3)让学生上台板演,互相评价。
5. 课堂小结:(1)回顾本节课所学内容,总结函数单调性和最值的关系;(2)强调单调性和最值在实际问题中的应用;(3)提醒学生做好课后复习。
【教案】《函数的单调性与最值》公开课教学设计
公开课《函数的单调性与最值》教学设计(建阳一中市级公开周)函数的单调性是函数应用中最基本、最重要的知识点,求函数的最值都离不开单调性,而单调性的基础数形结合,这类题型是历年高考的热点,也是难点,针对这类基础薄弱的学生,起点不宜太高,只能从最基础的部分拾起,以题目贯穿内容,逐级而上.教学方法:提示练习探讨法教学过程一、复习引入1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的最值前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(3)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ; (4)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论M 为最大值M 为最小值二、新课讲授典例讲解问题一:不含参数的函数的单调性例1.求函数 12-=x y 在区间[2,6]上的最大值和最小值..求函数 []10,2,16)(∈+=x xx x f 的最大值.例2.求下列函数的最值. (1)2)(x x f =(2)[)3,0,12)(2∈--=x x x x f2(3)()21[1,1]f x x ax =---求函数在上的最小值。
【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值? 确定二次函数的对称轴,如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论; 结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.][)[][).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2t g x f t t x x f x x f x x x f x的最小值时,求)当(的最值;时,求)当(的最值;时,求当已知二次函数+∈-∈-∈+-=课堂小结利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1. 利用图象求函数的最大(小)值2.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 (1)如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ;(2)如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递减,在区间[b ,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b);若函数f(x)=ax2-(2a+1)x+a+1对于x∈[-1,1]时恒有f(x)≥0,则实数a的取值范围是________.。
高考数学一轮复习 2.3 函数的单调性与最值教案 新课标
高考数学一轮复习 2.3 函数的单调性与最值教案 新课标一、知识梳理: 1、 函数的单调性(1) 函数的单调区间必须在定义域内。
分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并.如:求函数xy 1=的单调区间。
(2)定义:设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);(3)函数单调性的证明、判断和求单调区间:定义法,导数法。
定义法:对任意的()b a x x ,,21∈,21x x <,判断()()21x f x f -的符号,两法因式分解和配方法,以()R x x x f y ∈==,3说明之(4)初等函数的单调性:一次函数,反比例函数,二次函数,指数函数,对数函数,幂函数,三角函数等函数的单调区间。
具体说明。
(5)设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数。
如求函数21x y =的单调递增区间为 ,单调递减区间为 。
(6)简单性质:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
2、函数的最值 (1)定义:最大值:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M 。
函数的单调性和最值教案
6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为:
增+增=增,增—减=增,减+减=减,减—增=减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f[g(x)]是增函数;
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时,复合函数y=f[g(x)]是减函数。
作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________
备注
家长或学生阅读签字:
A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(-3)D.f(2)<f(3)
10. ,当 时递增,当 时递减,则 的值等于()
A. 13 B.1 C. 21 D.
11.若奇函数 的图象过点 ,则必过点()
A. B. C. D.
12.函数 在 , 上都是增函数,则 的取值范围()
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内()
A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根
6.函数 的递增区间依次是()A. B. C. D
7.已知函数 在区间 上是减函数,则实数 的取值范围是()
A.a≤3B.a≥-3C.a≤5D.a≥3
学生姓名
年级
高一
性别
教学课题
函数的单调性与最大(小)值
教学
目标
1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用。
2.启发学生学会分析问题,认识问题和创造性的解决问题。
重难点
函数单调性的证明和函数最大值(最小值)求法
高中数学_函数的单调性与最值教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的单调性与最值--教学设计1.首先通过ppt引导学生一起回顾前面学习的函数的单调性与最值,强调掌握函数的思维特征,即函数单调性的代数特征和几何特征,也就是函数单调性与最值图象表达和代数式表达形式。
通过小题快练,巩固知识。
2.其次针对学案中出现的问题讨论几个问题,小组有些可以自行解决,有些需要老师讲解,如例2和例6对于其它学生的易错题目,学生在黑板板演,进行讲解,教师进行点评。
4.最后进行巩固练习,和小结整理。
同学们会常规的方法,分段讨论,这是一种计算的思维!引导学生思考能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢?教师给出分析,然后给学生几分钟时间整理。
函数的单调性与最值---学情分析学生在高一的学习中,学生已经掌握了函数的单调性,奇偶性,周期性,对称性的基础上来复习函数单调性与最值的应用这一节课的,高二学生已经具备了一定的认知水平,但是一定的综合能力还要慢慢地的培养和提升。
在函数中的化归思想和数形结合的思想还要通过一轮复习慢慢体会,并学以致用。
函数的单调性与最值----效果分析本节课是一节专题课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论学生也能接受。
可学生只能进行简单的模仿应用,为了达到比较好的复习效果,应该突出知识的发生过程。
本节课,从授课效果上看达到了预期目标,取得了不错的教学效果,学生反应很积极,重难点把握恰当。
函数的单调性与最值——教材分析本节课是在学生已经学习了函数的单调性,奇偶性,周期性,对称性的基础上来进一步复习函数单调性与最值应用的一节课,本节课主要是分考点进行讲解的,主要分为两个考点:1.函数的单调性及几何意义.2.函数的最值及几何意义.函数的单调性与最值—评测练习1.下列四个函数中,在(0,)+∞上为增函数的是( )A.()3f x x=-B。
2()3f x x x=-C.1()1f xx=-+D。
()||f x x=-2.已知函数()f x=,则该函数的单调递增区间为( )A.(,1]-∞ B. [3,)+∞ C. (,1]-∞- D. [1,)+∞3.已知函数2(),[2,6]1f x xx=∈-,则()f x的最大值为_____, 最小值为______.函数的单调性与最值----课后反思本节课是一节专题课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论学生也能接受。
高中数学教案函数的单调性与最值(二)
高中数学教案函数的单调性与最值(二)高中数学教案:函数的单调性与最值(二)一、引言在上一节课中,我们学习了函数的单调性和最值的概念,并通过图像来了解了这些概念。
本节课我们将进一步深入探讨函数的单调性和最值的相关性质,并通过例题巩固所学知识。
二、单调性的判定1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体地说,如果对于定义域上的任意两个不同的实数x₁和x₂,都有f(x₁)≤f(x₂)(或者f(x₁)≥f(x₂)),那么函数f(x)就是递增(递减)函数。
2. 利用导数判断函数的单调性a) 函数f(x)在开区间(a, b)上连续且可导,当f'(x) > 0(或者f'(x) < 0)时,函数f(x)在(a, b)上是递增(递减)的。
b) 函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,且在开区间(a, b)上可导,当f'(x) ≥ 0(或者f'(x) ≤ 0)时,函数f(x)在[a, b]上是递增(递减)的。
三、最值的求解1. 极值点与最值a) 极大值点与极小值点函数f(x)在定义域内某点x₀处的函数值f(x₀)称为f(x)的极大值(或极小值)。
b) 最大值与最小值函数f(x)在定义域内具有的最大函数值f(x)的值称为f(x)的最大值,简称最大值。
同理,函数f(x)在定义域内具有的最小函数值f(x)的值称为f(x)的最小值,简称最小值。
2. 求解最值的方法a) 图像法通过绘制函数图像,并观察图像的高点和低点,可以初步判断函数的最值所在位置。
b) 导数法考察函数f(x)在定义域的内部和端点处的导数值,可以判断函数的最值所在位置。
c) 区间划分法将定义域分成几个子区间,在每个子区间内分别求函数的函数值,比较得出最值。
四、练习题1. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1,求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。
2. 设函数f(x) = x⁴ - 2x²,求f(x)的极值点和最值。
《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《函数的单调性与最大(小)值》教学设计第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征,形成增(减)函数的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调性的定义。
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】1、结合具体函数,了解函数的单调性及其几何意义;2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质;3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程,领会数形结合的思想,运用定义进行判断推理,养成细心观察,严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念,通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】函数单调性的概念。
【教学难点】判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入,直观认识增减函数,利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈,巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景,揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。
他经过测试,得到了以下一些数据:以上数据表明,记忆量y 是时间间隔t 的函数。
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图:思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势?通过这个 试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释? (二)研探新知观察下列各个函数的图像,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:○1随x的增大,y的值有什么变化?○2能否看出函数的最大、最小值?○3函数图像是否具有某种对称性?画出下列函数的图像,观察其变化规律:(1)f(x) = x (2)f(x) = x2思考1:这两个函数的图像分别是什么?二者有何共同特征?思考2:如果一个函数的图像从左至右逐渐上升,那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的变化情况如何?思考3:如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像,对于该区间上任意两个自变量x1和x2,当x1<x2时, f(x1)与f(x2)的大小关系如何?思考4: 我们把具有上述特点的函数称为增函数,那么怎样定义“函数f(x)在区间D 上是增函数”?1、函数单调性定义(1)增函数一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function)。
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时)教学设计一、 教学内容解析:(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点;本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章3.1节。
函数的单调性是研究当自变量x 不断增大时,它的函数y 增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x 增大,y 也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x 成为相反数时,y 是否也成为相反数,即函数的对称性质.函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质.函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画.函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位.教学的重点是:引导学生对函数定义域I 的给定区间D 上“随着x 增大,y 也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D 上任意取x 1,x 2,当x 1<x 2时,有f(x 1)<f(x 2)(或f(x 1)>f(x 2)),则称函数f (x )在区间D 上是增函数(或减函数).(2)教学内容的知识类型;在本课教学内容中,包含了四种知识类型。
函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识.(3)教学内容的上位知识与下位知识;在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.(4)思维教学资源与价值观教育资源;生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= 0.001x+1和函数1y x x =+,能引发提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观.二、教学目标设置:本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标:1. 理解函数的单调性的概念,能够判断函数的单调性。
2. 掌握函数最大值和最小值的求法,能够运用单调性求解函数的最值。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容:1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 函数最大值和最小值的求法。
3. 运用单调性求解函数的最值。
三、教学重点与难点:1. 函数单调性的判断方法。
2. 运用单调性求解函数的最值。
四、教学方法:1. 采用讲授法,讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 采用案例分析法,分析具体函数的单调性。
3. 采用练习法,让学生通过练习求解函数的最值。
五、教学准备:1. 教案、PPT、黑板。
2. 相关数学教材、辅导资料。
3. 函数图像展示软件。
4. 练习题。
一、函数单调性的定义与判断方法:1. 引入单调性的概念,通过具体例子讲解单调递增和单调递减的定义。
2. 讲解单调性的判断方法,如何利用导数或图像判断函数的单调性。
二、函数最大值和最小值的求法:1. 引入函数最值的概念,讲解局部最大值和全局最大值的求法。
2. 讲解利用导数求解函数最值的方法,包括一阶导数法和二阶导数法。
三、运用单调性求解函数的最值:1. 讲解如何利用单调性求解函数的最值,给出求解步骤。
2. 通过具体例子,演示如何运用单调性求解函数的最值。
四、函数单调性的应用:1. 讲解函数单调性在实际问题中的应用,如最优化问题、经济问题等。
2. 通过案例分析,让学生学会如何运用函数单调性解决问题。
2. 提出拓展问题,激发学生的学习兴趣,进一步深入研究函数的性质。
3. 布置作业,巩固所学知识。
六、实例分析与练习:1. 分析具体函数的单调性,通过例题展示如何判断函数的单调递增或单调递减。
2. 提供一组练习题,让学生独立判断给定函数的单调性,并解释判断过程。
七、利用导数找函数的临界点:1. 回顾导数的基本概念,解释导数如何帮助我们研究函数的单调性。
2. 展示如何利用导数找到函数的临界点,即可能的极值点。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标知识与技能:1. 理解函数的单调性的概念,能够判断函数的单调性;2. 掌握函数的最值的概念,能够求出函数的最值;3. 学会运用函数的单调性和最值解决实际问题。
过程与方法:1. 通过观察函数图象,探究函数的单调性和最值;2. 利用数学软件或图形计算器,验证函数的单调性和最值的计算结果。
情感态度价值观:1. 培养学生的数学思维能力,提高学生对函数学科的兴趣;2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容第一课时:函数的单调性1. 引入单调性的概念,讲解单调性的定义和判断方法;2. 通过举例,让学生理解单调性的性质和应用。
第二课时:函数的最值1. 引入最值的概念,讲解最值的定义和求法;2. 通过举例,让学生理解最值的性质和应用。
第三课时:函数的单调性和最值的综合应用1. 通过实例,让学生学会运用单调性和最值解决实际问题;三、教学重点与难点重点:1. 函数的单调性的判断和应用;2. 函数的最值的求法和应用。
难点:1. 函数的单调性的证明;2. 函数的最值的计算方法。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究函数的单调性和最值;2. 利用数学软件或图形计算器,进行函数图象的演示和验证;3. 通过实例,让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂问答:通过提问,了解学生对函数单调性和最值的理解程度;2. 课后作业:布置有关函数单调性和最值的练习题,检验学生的掌握情况;3. 实践应用:让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题,评价学生的应用能力。
六、教学准备1. 教学PPT:制作包含函数单调性和最值概念、判断方法和求法的内容;2. 教学素材:收集一些有关函数单调性和最值的实例;3. 数学软件或图形计算器:用于演示和验证函数图象及单调性和最值的计算。
七、教学过程1. 导入新课:回顾上一节课的内容,引入本节课的学习主题——函数的单调性与最值;2. 讲解与演示:通过PPT和教学素材,讲解函数的单调性和最值的概念、判断方法和求法;3. 实践操作:让学生利用数学软件或图形计算器,进行函数图象的演示和验证;4. 例题解析:分析实例,引导学生学会运用函数的单调性和最值解决实际问题;5. 课堂互动:组织学生进行小组讨论,分享各自的学习心得和解题方法;八、教学反思在课后,教师应反思本节课的教学效果,包括:1. 学生对函数单调性和最值概念的理解程度;2. 学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力;3. 教学方法的适用性和改进措施;4. 学生课堂参与度和反馈意见。
函数的单调性与最值教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数的单调性与最值
教学重点1、理解并掌握函数的单调性所涉及的知识点,并可以灵活运用所学知识解题
2、理解并掌握函数的最值所涉及的知识点,并可以灵活运用所学知识解题
教学难点1、证明一个函数的单调性
2、求解分段函数的最值
教学目标1、掌握函数的单调性的知识点,并能灵活解题
2、掌握函数最值的知识点,并能灵活解题
教学步骤及教学内容一、教学衔接:
1、检查学生的作业,及时指点;
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解:
知识点一:函数的单调性
知识点二:函数的最值
拓展提升:高考真题
三、课堂总结与反思:
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置:
复习教案所讲知识点,完成教案上的作业
管理人员签字:日期:年月日
作业布置1、学生上次作业评价:○好○较好○一般○差
备注:
2、本次课后作业:
见教案
课
堂
小
结
家长签字:日期:年月日。
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教学过程一、课堂导入问题1:大家一起来举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语(蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏)问题2:请你根据上述的成语分别给出一个函数,并在直角坐标系中绘制相应的函数图象.二、复习预习1、函数的概念2、函数的三要素3、函数的表示方法三、知识讲解考点1 函数的单调性(1)单调函数的定义:(2)如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在区间D具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.考点2 函数的最值四、例题精析【例题1】【题干】讨论函数f(x)=axx2-1(a>0)的单调性【解析】由x 2-1≠0,得x ≠±1,即定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).①当x ∈(-1,1)时,设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2(x 21-1)(x 22-1)=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0.又a >0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,函数f (x )在(-1,1)上为减函数.②设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1), ∵1<x 1<x 2,∴x 21-1>0,x 22-1>0,x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0.∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在(1,+∞)上为减函数.又函数f (x )是奇函数,∴f (x )在(-∞,-1)上是减函数.【例题2】【题干】求函数y=x2+x-6的单调区间【解析】令u=x2+x-6,y=x2+x-6可以看作有y=u与u=x2+x-6的复合函数.由u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.∵u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y=u在(0,+∞)上是增函数.∴y=x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞)【例题3】【题干】已知f(x)=xx-a(x≠a),若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.【解析】]任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立.∴a ≤1.综上所述,a 的取值范围是(0,1].【例题4】【题干】设函数f (x )=x 2-1,对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m -4m 2f (x )≤f (x -1)+4f (m )恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】由题意知,x 2m 2-1-4m 2(x 2-1)≤(x -1)2-1+4(m 2-1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞上恒成立, 即1m 2-4m 2≤-3x 2-2x +1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞上恒成立,当x =32时,函数y =-3x 2-2x +1取得最小值-53,所以1m 2-4m 2≤-53,即(3m 2+1)(4m 2-3)≥0,解得m ≤-32或m ≥32.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞.五、课堂运用【基础】1.(2012·广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A .y =ln(x +2) B .y =-x +1C .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D .y =x +1x解析:选A选项A的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.2.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]解析:选D ∵函数f (x )=-x 2+2ax 在区间[1,2]上是减函数,∴a ≤1.又∵函数g (x )=ax +1在区间[1,2]上也是减函数,∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1].3.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞C .(0,+∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12解析:选D 令g (x )=2x 2+x >0,得x >0或x <-12,所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(0,+∞).易知函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上单调递增,所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上,0<g (x )<1.又因为f (x )>0恒成立,故0<a <1,故函数y =log a x 在其定义域上为减函数.而g (x )=2x 2+x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12上是单调递减的,所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12.【巩固】4.函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.解析:由于y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.答案:35.已知函数f (x )=⎩⎨⎧ e -x -2,x ≤0,2ax -1,x >0(a 是常数且a >0).对于下列命题:①函数f (x )的最小值是-1; ②函数f (x )在R 上是单调函数; ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞上恒成立,则a 的取值范围是a >1; ④对任意的x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2,恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<f (x 1)+f (x 2)2.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号).解析:根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数f (x )在R 上不是单调函数,故②错误;若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞上恒成立,则2a ×12-1>0,a >1,故③正确;由图象可知在(-∞,0)上对任意的x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2,恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<f (x 1)+f (x 2)2成立,故④正确.答案:①③④【拔高】6.讨论函数f (x )=mx x -2(m <0)的单调性.解:函数定义域为{x|x≠2},不妨设x1,x2∈(-∞,2)且x1<x2,f(x2)-f(x1)=mx2x2-2-mx1x1-2=mx2(x1-2)-mx1(x2-2)(x1-2)(x2-2)=2m(x1-x2)(x1-2)(x2-2).∵m<0,x1,x2∈(-∞,2),且x1<x2,∴x1-x2<0,(x2-2)(x1-2)>0.∴m(x1-x2)(x2-2)(x1-2)>0,即f(x2)>f(x1),故函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数.同理可得函数f(x)在区间(2,+∞)上也是增函数.综上,函数f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上为增函数.7.已知函数f(x)对任意的a,b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.解:(1)证明:任取x1,x2∈R, 且x1<x2,∵f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,又x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.(2)令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)-1=2f(2)-1,∴f(2)=3.而f(3m2-m-2)<3,∴f(3m2-m-2)<f(2).又f(x)在R上是单调递增函数,∴3m2-m-2<2,解得-1<m<43.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫-1,43.课程小结函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.。