带通采样定理证明
采样定理简介
关于采样定理的介绍一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
采样定理的证明与推导
采样定理的证明与推导
采样定理，⼜称⾹农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率⼤于或等于有效信号最⾼频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。
设输⼊连续信号：
采样输出信号：
采样的过程如下图所⽰，可看作⼀段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）
显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。
所以
那么理想采样为：
对上述⼏个信号作傅⾥叶变换：
对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下⾯公式Xc与S是卷积）：
由于S（t）是⼀个周期函数，可以表⽰成傅⾥叶级数
,其中
那么：
根据冲激函数的性质得到：
从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，⽽频谱幅度则为1/T，所以除去⼀个常数因⼦外，每⼀个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。
从图像上来理解会更直观⼀些
图a是输⼊信号Xc(t)在频域上的图像
图b是采样信号S(t)在频域上的图像
图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像
图d是⼀次失败的采样，由此结果⽆法还原回原信号
从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发⽣重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该⼤于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最⾼频率。
采样定理由此证毕。
带通采样(欠采样)原理以及其在adc中下变频的应用
带通采样（Under-sampling）是指在采样过程中，采样频率低于信号的最大频率的奈奎斯特频率（Nyquist rate）。
带通采样主要用于对带通信号进行采样，其原理是通过对信号带宽的压缩，实现低采样率下的信号采集。
在ADC（模拟数字转换器）中，带通采样技术可以应用于下变频（down-converting）过程，以降低采样率和系统复杂度。
带通采样原理：1. 信号带宽：信号的带宽是指信号的最高频率与最低频率之差。
对于带通信号，其带宽通常远低于信号的最高频率。
2. 奈奎斯特定理：根据奈奎斯特定理，当采样频率大于等于信号最高频率的两倍时，可以通过采样得到原始信号的完整信息。
3. 带通采样：对于带通信号，可以采用带通采样方法，即将信号带宽压缩到较窄的范围内，从而降低采样率。
带通采样定理指出，当采样频率大于信号带宽的2倍时，可以实现信号的完整重建。
4. 欠采样：带通采样是一种欠采样（under-sampling）方法，采样频率低于奈奎斯特频率。
欠采样可能导致信号失真和混叠，但通过后续的信号处理和滤波，可以降低失真和混叠的影响。
在ADC中，带通采样技术可以应用于下变频过程：1. 带通采样与下变频：在ADC中，带通采样技术可以用于降低采样率，从而降低系统复杂度和成本。
通过将信号带宽压缩到较窄的范围内，可以在较低的采样率下实现信号的采集。
2. 下变频：下变频过程是指将信号从较高的频率转换到较低的频率。
在ADC中，带通采样可以应用于下变频过程，以降低采样率和系统复杂度。
3. 数字滤波：在下变频过程中，可能需要对信号进行数字滤波，以去除混叠和失真。
数字滤波器的设计需要考虑信号的带宽和采样率等因素。
带通采样（欠采样）原理及其在ADC中下变频的应用可以帮助降低采样率和系统复杂度，从而提高ADC的性能和效率。
在实际应用中，需要根据信号特性和系统需求，选择合适的带通采样方法和下变频策略。
带通采样是一种采样率低于奈奎斯特频率的采样方法，主要用于对带通信号进行采样。
几种采样方法
带通采样编辑带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等[1]。
实际中遇到的许多信号是带通型信号?这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。
带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t),可以完全由其抽样值确定。
降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。
在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。
若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。
原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。
从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。
这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。
这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。
过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。
过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。
设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。
若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。
带通采样定理
带通采样定理
带通采样，又称为IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等。
实际中遇到的许多信号都是带通型信号，带通型信号的带宽往往远小于信号的中心频率。
带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等。
若带通信号的上截止频率为 fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。
带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小采样频率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B 的最大整数，那么m(t),可以完全由其采样值确定。
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在0,H f 的基带信号的采样问题;作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号;射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限;这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率这是现实中的A/D 难以实现的;这时,低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求;带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础,下面给出定理; 带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内,如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ 2-1 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数0,1,2…,则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t ;带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号,而不允许在不同的频带同时存在信号,否则将会引起信号混叠1;如图所示,为满足这一条件的一种方案,采用跟踪滤波器的办法来解决,即在采样前先进行滤波1 ,也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时,就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上,滤出所感兴趣的带通信号()n x t ,然后再进行采样,以防止信号混叠;这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器;图 带通信号采样式2-1用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式2-2表示： 0214s n f f +=2-2 式中,()0L H f f f =+,n 取能满足2s f B ≥B 为频带宽度的最大正整数;当频带宽带B 一定时,为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率2s f B =,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=;也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍; 带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率,为后面的实时处理奠定了基础;但是从软件无线电的要求来看,带通采样的带宽应是越宽越好,这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性,在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少,有利于简化系统设计;另外,当对于一个频率很高的射频信号采样时,如果采样频率设的太低,对提高采样量化的信噪比是不利的;所以在可能的情况下,带通采样频率应该尽可能选的高一些,使瞬时采样带宽尽可能宽;但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流速率很高;因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹;实际对单信号采样时采样率是不高的;所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的;多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据;二、带通采样过程待采样信号为中频是100MHz,带宽为2MHz 的带通信号：fc0=100e6; //中频频率fc1=99e6; //信号一的频率fc2=101e6; //信号二的频率fs1=3e6; //欠采样的采样频率fs2=4e6; //临界采样采样频率fs3=6e6; //大于2倍带宽的采样速率f0=250e6 //用以模拟连续信号的离散信号采样速率远大于nyquist率t=0:1/f0:1e-6;xt0=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;待采样信号的波形和频谱如图所示：图1 原信号波形及频谱按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样,得到的三个信号及其幅度谱如图所示：1）欠采样条件下得到的采样信号：图2 欠采样信号的波形及幅度谱2 临界采样：图3 临界采样信号的波形及幅度谱3）满足采样条件的采样信号图4 正常采样信号的波形及幅度谱三、信号重建1设计通带为99～101MHz的4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器,滤波器的设计过程及幅频响应特性如图所示：fs=250e6;N=4;figure6;Wn = ;b,a=butterN,Wn,'bandpass';h,w=freqzb,a;plotw/pifs/2,absh; grid;title'Amplitude Response';xlabel'Frequency Hz'; ylabel'Amplitude';图1 滤波器的幅度响应2将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器,即上述的巴特沃兹一型滤波器,得到的结果如下：图2欠采样恢复图3 临界采样恢复图3 正常采样恢复四、结果分析从结果可见：欠采样信号进行恢复时,从信号完整角度进行观察便可以发现信号的不同,缺少了原信号的部分信息;而临界采样信号的恢复,在信号周期上有一定的变化,比原信号的信息有所丢失;正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱;但由于所选取信号长度的问题,没能恢复全部信号,但这已经能够证明带通采样定理的正确性,即采样后的信号没有丢失原信号的信息;附:%′í¨2éù¨àíμé%%′í¨DDμêafc=100MHz,Doμêaf1=99MHzoíf2=101MHz%%2éùùê·±ea3MHz4MHz6M Hz%%%%% B=2MHz,àíéμ±2éùμê′μt±′íê±￡oDoμμ×2áìμt￡%%%%clear all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6; %Do1μμêfc2=101e6; %Do2μμêfs1=3e6; %μíóút±′íμ2éùμêfs2=4e6; %áù2éùμêfs3=6e6; %′óóút±′μ2éùμê f0=250e6;%±íê-Doμ2éùμê￡±è2éùμêòêyá%%%μíí¨2éù¨àíμ2éù×÷a-￡aDo%%%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6f0;xt0=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure1;subplot2,1,1;plott,xt0;title'′y2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjw0=fftxt0,N;absy0=absyjw0;f=0:N-1f0/N;subplot2,1,2;plotf,absy0;title'′y2éùDoμ×'xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′í¨2éù¨àíμ·2éù2¨D°μ×%%%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5fs1;xts1=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure2;subplot2,1,1;plott,xts1;title'·2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws1=fftxts1,N;absys1=absyjws1;f=0:N-1fs1/N;subplot2,1,2;plotf,absys1;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'·2éùDoμ×' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′í¨2éù¨àíáù2éùμ2¨D°μ×%%%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5fs2;xts2=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure3;subplot2,1,1;plott,xts2;title'áù2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws2=fftxts2,N;absys2=absyjws2;f=0:N-1fs2/N;subplot2,1,2;plotf,absys2;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'áù2éùDoμ×'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′óóúáù2éùμêμ′í¨2éùμ2¨D°μ×%%%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5fs3;xts3=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure4;subplot2,1,1;plott,xts3;title'′óóúáù2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws3=fftxts3,N;absys3=absyjws3;f=0:N-1fs3/N;subplot2,1,2;plotf,absys3;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'′óóúáù2éùDoμ×'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fs=250e6;N=4;figure6;Wn = ;b,a=butterN,Wn,'bandpass';h,w=freqzb,a;plotw/pifs/2,absh; grid;title'Amplitude Response';xlabel'Frequency Hz'; ylabel'Amplitude';%%%·2éùDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure7;yrets1=filterb,a,xts1;plotyrets1;title'·2éù′'%%%%%áù2éùDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure8;yrets2=filterb,a,xts2;plotyrets2;xlabel't';ylabel'xt_rebuild';title'áù2éù′'%%%%%%ú×2éù¨àíDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure9;yrets3=filterb,a,xts3;plotyrets3;xlabel't';ylabel'xt_rebuild'; title'y3￡2éù′'。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
带通抽样定理
《信号与系统A（2）》课程自学报告实施报告题目：带通采样定理与软件无线电带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率f，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延） 3.1-11）综合式（3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。
但是m 有一个上限，因为mf f Ls 2≤，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。
因此3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数为1-N ，故有10-≤≤N m综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足mff m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） ffLf Hf H f -Lf -Lf Hf H f -Lf -图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
带通抽样定理带通抽样定理
均匀分布信号通过均匀量化器
• 有一M电平的量化器，输入信号区间(-a,a)，信号为 均匀分布。求Sq/Nq
S q (qi ) 2
i 1 M mi
m i 1
f ( x )dx ( qi ) 2
i 1
M
mi
m i 1
D dx 2a
q i a iD
1 D 2 ( M 2 1)D2 Sq 12
Nq
( x q
i 1 m i 1 mi
M
mi
i
) 2 f ( x )dx
M
i 1
M
pi
m i 1
( x q i ) dx
2 i 1
1 Dv 3 pi 12
语音信号通过均匀量化器
• 设计量化器的量化范围（-V，V）使过载幅度 2V 所占的概率较小 D M • 未过载量化噪声为：
采用二进制编码
量化器过载问题
• 理想情况，量化器没有过载
mmin mmax
x(t ) mmax maxx(t ) mmin mi n
• 权衡编码速率、动态范围等因素，设计量化器的上下 限如（-V，V），对于随机分布的输入信号，会引起 过载。过载噪声功率为：
N qO ( x V )2 f ( x )dx ( x V )2 f ( x )dx
t
ωs 2ωH
fs 2 fH
m s (t )
t
M S ( )
若fS<2fH（T>1/2fH）会产生混 叠失真。 T=1/2fH是的最大间 隔，被称为奈奎斯特间隔。
H H
2 T
抽样定理（频谱混叠）
采样定理报告
1）采样率的确定，以哪个频率为基础？采样定理：带通采样定理：当连续信号的频带限在ωL到ωH之间，而且ωL≥W=ωH-ωL 时，称为带通信号。
此时并不一定需要采样频率高于两倍最高频率，对于窄带高频信号(W/ωH <<1) ，其采样速率近似等于2W。
这就使我们可以大大降低采样速率，为高频带通信号的数字化传输提供了有利条件。
低通采样定理：对一个低通带限信号进行均匀理想采样，如果采样频率大于等于信号最高频率的两倍，采样后的信号可以精确地重建原信号，可以表示为fs≥2fmax或Ts≤1/2fmax，式中fs=1/Ts，fmax是信号的最高频率。
当f=2fmax 时的采样频率为临界采样频率或称为“奈奎斯特率”。
低通采样定理是带通采样的特殊形式。
采样率的确定：带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
一般来说，根据奈奎斯特采样定理，仪器的采样率必须不低于信号带宽的两倍。
而实际上，要还原波形，采样频率仅仅满足采样定理是不够的，采样频率要“大于”信号带宽2倍，才可以得到信号的完整信息。
采样定理是避免信号在频域出现混叠失真的最基本条件，而不是时域信号不失真的条件。
所以，要恢复原信号，采样率是“大于”而非“等于”信号带宽的两倍。
理论上，采样率越高，越能反应原信号的真实情况，但是采样率越高，需要存储和处理的资源也就越大，所以，为了综合考虑，一般选取采样率为信号带宽的3到5倍。
2）采样率太低，会产生假频、混叠效应、波形失真。
进行理论分析数学推导和仿真。
有限带宽信号的数学分析：根据奈奎斯特采样定理，当对一个最高频率为fmax的带限信号进行采样时，采样频率fs必须大于fmax的两倍以上才能确保从采样值完全重构原来的信号。
带通信号取样定理
带通信号取样定理一个连续带通信号受限于[]H L f f ,，其信号带宽为L H f f B -=，且有kB mB f H += （1）其中，()[]k f f f m L H H --=，k 为不超过()L H H f f f -的最大正整数，由此可知，必有10<≤m 。
则最低不失真取样频率min s f 为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==k m B k kB mB k f f H s 1222min（2）证明：取样不失真的基本要求是样值序列的频谱各个谱块不重叠。
这样就可以采用带通滤波器恢复原来的带通信号。
可见从频域分析，证明直观、清晰。
以下，分两步来证明。
（1）先证明当0=m 时的情况。
由公式（1）和（2），有kB f H =Bf s 2min = （3）分析一个带通信号()t x ，其频谱为()f X ，如图1所示。
sf -sf 2-s f 5.2-s f 3-sf 4-sf s f 2s f 5.2sf 3sf 4()f X 0fL f Hf Lf -H f -I II ss s s s s s sfsf -s f 2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 3sf 4f()f X s sf 2-s f 20fs f 5.2-sf 5.2()f H sf 2-s f 5.2-s f 2sf 5.2()f X 0fIII（a ）（b ）（c ）（d ）（e ）图1 带通信号kB f H =时的频谱图其中图（a ）表示()t x 的带通信号频谱，其特点是最高频率H f 为带宽的整数倍k ，这里5=k ，图（b ）表示采用()t sT δ对带通信号()t x 取样，而取样频率()L H s f f B f -==22，其中()t sT δ的频谱为()f sf δ。
图（c ）表示()()()f f X f Xsf sδ*=，其中实线表示频谱I ，虚线部分表示频谱II ，由图可见，在这种情况下恰好使得()f X s 中的I 、II 频谱不重叠。
带通采样定理 matlab
带通采样定理一、引言1.1 背景在数字信号处理和通信系统中，采样是将连续时间信号转化为离散时间信号的过程，是数字信号处理中的重要环节。
然而，采样过程中可能会出现混叠现象，即高频信号被混叠到了低频信号中，影响了采样信号的质量。
1.2 问题为了消除混叠现象，需要理解并正确应用带通采样定理。
带通采样定理是说当信号的带宽小于采样频率的一半时，能够完美重构原始信号。
在本文中，我们将介绍带通采样定理以及如何在Matlab中使用它。
二、带通采样定理概述2.1 什么是带通采样定理带通采样定理，也称为奈奎斯特采样定理，是Shannon在1949年提出的一个重要定理。
它指出，对于连续时间信号，如果信号的带宽不超过采样频率的一半，那么我们可以通过离散时间采样来完美重构原始信号。
2.2 带通采样定理的数学表示数学上，带通采样定理可以用下面的公式表示： [f_s 2f_m] 其中，(f_s) 是采样频率，(f_m) 是信号的最高频率成分。
2.3 带通采样定理的原理带通采样定理的基本原理是通过进行足够高的采样频率，能够保留原始信号的重要信息，从而恢复原始信号。
当信号的带宽超过采样频率的一半时，采样结果会发生混叠，导致原始信号无法完美重构。
三、Matlab中的带通采样定理实现3.1 生成信号首先，我们需要生成一个连续时间信号。
在Matlab中，我们可以使用sin函数来生成一个正弦信号。
例如，我们生成一个频率为5Hz的正弦信号，并设定采样频率为20Hz。
fs = 20; % 采样频率fm = 5; % 信号频率t = 0:1/fs:1; % 时间段x = sin(2*pi*fm*t); % 生成正弦信号3.2 进行带通采样接下来，我们可以使用Matlab中的resample函数来进行带通采样。
resample函数可以将信号的采样频率转变为我们需要的频率，同时进行插值和抽样操作。
我们可以将采样频率设置为满足带通采样定理的条件。
fs_new = 2*fm; % 新的采样频率t_new = 0:1/fs_new:1; % 新的时间段x_new = resample(x, fs_new, fs); % 带通采样3.3 重构信号最后，我们可以使用插值方法来重构信号。
低通和带通抽样定理验证
低通和带通抽样定理验证【实验目的】通过本次实验，旨在达到以下目的：1. 验证低通抽样定理；2. 验证带通抽样定理；3. 加强对模拟信号数字化传输相关知识点的掌握。
【实验内容】分别构造低通型信号和带通型信号、两种抽样后的信号及对滤波重建信号进行时域和频域观察和分析，验证低通抽样定理与带通抽样定理。
【实验原理】抽样定理实质上研究的是随时间连续变化的模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列值重建原始模拟信号的问题。
对于低通型和带通型模拟信号，分别对应不同的抽样定理，抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。
对上限频率为f H 的低通型信号，低通抽样定理要求抽样频率应满足：f s ≥2f H 。
对下限频率为f L 、上限频率为f H 的带通型信号，带通抽样定理要求抽样频率满足：其中，B=f H -f L 为信号带宽，n 为正整数，0≤k ＜1。
应该注意的是，当 时，无论带通型信号的f L 和f H 为何值，只需将抽样频率设定在2B ，理论上就不会发生抽样后的频谱重叠，而不像低通抽样定理要求的必须为上限频率的2倍以上。
仿真分析系统将按照图2-4-1所示结构创建。
其中，对于恒定频谱的冲激函数，通过低通滤波产生低通型信号，再进行低通抽样；通过带通滤波产生带通型信号，再进行带通滤波产生带通抽样，最后分别滤波重建原始信号。
仿真分析时，设低通滤波器的上限频率为10Hz ，带通滤波器下限频率为100Hz 、上限频率为120Hz ，低通抽样频率选为30Hz ；带通型信号上限频率f H = 6×20=120Hz （B=20Hz ，n=6），带通抽样频率至少应取40Hz ，现取60 Hz 的带通抽样频率。
1. 低通抽样和带通抽样仿真电路图]1[2nk B f s +⋅≥nBf H =图2-4-1 仿真分析系统结构2.观测低通信号波形、低通抽样信号波形、重建的低通信号波形、带通信号波形、带通抽样信号波形、重建的带通信号波形；3.对比低通信号波形和重建的低通信号波形，以及带通信号波形和重建的带通信号波形，并对结果进行分析；4.对比低通信号波形、低通抽样信号波形和重建的低通信号波形的功率谱，并对比较结果进行分析；5.对比带通信号波形、带通抽样信号波形和重建的带通信号波形的功率谱，并对比较结果进行分析；。
第1章 绪论-采样定理证明
一个连续时间信号f(t)，设其频带宽度是有限的，其最高 频率为ωmax(或fmax)，如果在等间隔点上对该信号f(t)进行连续
采样，为了使采样后的离散信号f*(t)能包含原信号f(t)的全部
信息量。则采样角频率只有满足下面的关系： ωs≥2ωmax 采样后的离散信号f*(t)才能够无失真地复现f(t)。否则不能 从f*(t)中恢复f(t)。其中，ωmax是最高角频率，ωs是采样角频 率。它与采样频率fs、采样周期T的关系为：
2 s 2f s T
卷积
卷积定理
设
则
x(t ) X ( )
h(t ) H ( )
x(t )* h(t ) X () H ()
时域中两个函数的卷积与频域中对应的两个函数的乘积构成傅里叶变换对
[ x(t )* h(t )]e
jwt
dt [ x( ) h(t )d ]e jwt dt
x( )[ h(t )e jwt dt ]d
令 t ，并代入上式，得到
x( )[ h( )e
j ( )
d ]d
j
x( )[e
j
h( )e j d ]d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x( )e
d h( )e j d X () H ()
脉冲函数的傅里叶变换
( ) (t )e jt dt e jt
t 0
1
(t ) 频谱均匀地分布在整个频率轴上
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带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。
作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。
射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。
这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。
如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1] ，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
图2.3 带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2）式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。
当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。
也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。
但是从软件无线电的要求来看，带通采样的带宽应是越宽越好，这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性，在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少，有利于简化系统设计。
另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。
所以在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。
但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流速率很高。
因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹。
实际对单信号采样时采样率是不高的。
所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的。
多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据。
二、带通采样过程待采样信号为中频是100MHz ，带宽为2MHz 的带通信号：fc0=100e6; //中频频率 fc1=99e6; //信号一的频率 fc2=101e6; //信号二的频率 fs1=3e6; //欠采样的采样频率 fs2=4e6; //临界采样采样频率 fs3=6e6; //大于2倍带宽的采样速率f0=250e6 //用以模拟连续信号的离散信号采样速率（远大于nyquist 率）t=0:1/f0:1e-6;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采样信号的波形和频谱如图所示：图1 原信号波形及频谱按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样，得到的三个信号及其幅度谱如图所示：1）欠采样条件下得到的采样信号：图2 欠采样信号的波形及幅度谱2) 临界采样：图3 临界采样信号的波形及幅度谱3）满足采样条件的采样信号图4 正常采样信号的波形及幅度谱三、信号重建1）设计通带为99～101MHz的4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器，滤波器的设计过程及幅频响应特性如图所示：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = [0.792 0.808];[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');[h,w]=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h)); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');图1 滤波器的幅度响应2）将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器，即上述的巴特沃兹一型滤波器，得到的结果如下：图2欠采样恢复图3 临界采样恢复图3 正常采样恢复四、结果分析从结果可见：欠采样信号进行恢复时，从信号完整角度进行观察便可以发现信号的不同，缺少了原信号的部分信息。
而临界采样信号的恢复，在信号周期上有一定的变化，比原信号的信息有所丢失。
正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱。
但由于所选取信号长度的问题，没能恢复全部信号，但这已经能够证明带通采样定理的正确性，即采样后的信号没有丢失原信号的信息。
附:%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíµÄÑéÖ¤%%´øͨÖÐÐÄƵÂÊΪfc=100MHz,ÐźÅƵÂÊΪf1=99MHzºÍf2=101MHz%%²ÉÑùËÙÂÊ·Ö±ðΪ3MHz¡¢4MHz¡¢6MHz%%%%% B=2MHz,ÀíÂÛÉϵ±²ÉÑùƵÂÊ´ïµ½¶þ±¶´ø¿íʱ£ºÐźŵÄƵÆײ»»á»ìµþ¡£%%%% clear all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6; %ÐźÅ1µÄƵÂÊfc2=101e6; %ÐźÅ2µÄƵÂÊfs1=3e6; %µÍÓÚ¶þ±¶´ø¿íµÄ²ÉÑùƵÂÊfs2=4e6; %ÁÙ½ç²ÉÑùƵÂÊfs3=6e6; %´óÓÚ¶þ±¶´û¿îµÄ²ÉÑùƵÂÊf0=250e6;%±íʾÔ-ÐźŵIJÉÑùƵÂÊ£¬±ÈÆä²ÉÑùƵÂʸßÒ»¸öÊýÁ¿¼¶%%%µÍͨ²ÉÑù¶¨ÀíµÄ²ÉÑù×÷ΪÔ-Ä£ÄâÐźÅ%%%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt0);title('´ý²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjw0=fft(xt0,N);absy0=abs(yjw0);f=(0:N-1)*f0/N;subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title('´ý²ÉÑùÐźÅƵÆ×')xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíϵÄÇ·²ÉÑù²¨Ðμ°ÆµÆ×%%%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;xts1=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,xts1);title('Ç·²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws1=fft(xts1,N);absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys1);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('Ç·²ÉÑùÐźÅƵÆ×') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíÏÂÁÙ½ç²ÉÑùµÄ²¨Ðμ°ÆµÆ×%%%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐźÅƵÆ×'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùƵÂʵĴøͨ²ÉÑùµÄ²¨Ðμ°ÆµÆ×%%%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,xts3);title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws3=fft(xts3,N);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N;subplot(2,1,2);plot(f,absys3);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐźÅƵÆ×');%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = [0.792 0.808];[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');[h,w]=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h)); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');%%%Ç·²ÉÑùÐźŵĻָ´%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(7);yrets1=filter(b,a,xts1);plot(yrets1);title('Ç·²ÉÑù»Ö¸´')%%%%%ÁÙ½ç²ÉÑùÐźŵĻָ´%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(8);yrets2=filter(b,a,xts2);plot(yrets2);xlabel('t');ylabel('xt_rebuild');title('ÁÙ½ç²ÉÑù»Ö¸´')%%%%%%Âú×ã²ÉÑù¶¨ÀíÐźŵĻָ´%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(9);yrets3=filter(b,a,xts3);plot(yrets3);xlabel('t');ylabel('xt_rebuild');带通采样定理证明title('Õý³£²ÉÑù»Ö¸´')11 / 11。