第一课时正弦定理

第一课时正弦定理

教学目标：

掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题， 会利用正弦定理求解简 单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、 向量数量积等多

处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点：

正弦定理证明及应用• 教学难点：

正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路 教学过程：

I .课题导入

在初中，我们已经会解直角三角形

•就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出

未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系

a b c

sinA — si nB — si nC

那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢

？这也是我们这一节课将要研究的问题

n •讲授新课

对于咼 =-^这一关系的证明，我们一起来看下面的证法

sinA si nB si nC 如图，在△ ABC 中，已知 BC = a , AC = b , AB = 5作厶ABC 的外接圆，O 为圆心，连接BO 并延长交圆于B '，设BB '= 2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以 得到：

/ BAB '= 90°,/ C =Z B '

.a b c • .

2R

si nA sinB

si nC

这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立

•因此，我们得到下面的定理

正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即 a _ b _ c

sinA si nB si nC

说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，

将任意三角形通过外接圆性质转化为

直角三角形进而求证， 此证法在巩固平面几何知识的同时， 易于被学生理解和接受， 并且消

除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解 •既拓宽了学生的解题思路，

又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫

接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理

•从定理内容可以看出，

定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢

？

向量的数量积的定义式：

a •

b =| a || b | cos B ,其中0为两向量的夹角•

但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢 ？

可以通过三角函数的诱导公式

/• si nC = sinB ' c 2R

同理可得孟 b =2R

贏=2R

sin B = cos(90° — 0)进行转化.

这一转化产生了新角 90°— 0,这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的 运算，辅助向量选取了单位向量

j ,而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了

90° — 0

这一形式，这是作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因•

在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得 AC + C B = A B.

而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB AC 、CB 的数量积，而在上面 向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算，也就在情理之中了 .

下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程， 并注意总结在证明过程

中所用到的向量知识点.

说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前 提，以及两向量垂直的充要条件的运用

(2) 要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用 向量法证明过程：

为了与图中有关角的三角函数建立联系， 我们在上面

向量等式的两边同取与向量

j 的数 量积运算，得到：j • (AC + CB )= j • A B

由分配律可得：j • AC + j • CB =j • AB

•••I j | | A C I cos90°+| j | | CB | cos(90°— C) =| j | | AB | cos(90°— A)

/• asi nC = csinA • = c si nA = sinC

90°+ C

，j 与AB 的夹角为9。°+ B ，可得孟 (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为

—C ，j 与AB 的夹角为90 ° — B)

• a b c si nA = sinB = si nC

.

⑵△ ABC 为钝角三角形，不妨设 A > 90°过点A 作与AC 垂直

(1)△ ABC 为锐角三角形，过点 A 作单位向量 则j 与AB 的夹角为90°— A ，j 与CB 的夹角为90°

由向量的加法原则可得：AC + CB = AB 另外，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，则j 与AC 的夹角为 b si nB

的单位向量j ，则j 与AB 的夹角为 A

— 90

°, j 与CB 的夹角 为 90°— C.

由AC + CB = AB 得：j

• AC + j • CB = j • AB 即 a • cos(90°— C)= c • cos(A — 90° ) /• asi nC = csinA • a _ c si nA sinC

另外，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，则j 与AC 夹角为90°+ C , j 与AB 夹角为90 a b c

sinA — si nB — sinC

综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立 在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用 •利用正弦定理，可以解决

以下两类有关三角形问题•

(1) 已知两角和任一边，求其他两边和一角

这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易 (2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 •此类问题变化较多。

(1)A 为锐角

(2)A 为直角或钝角

接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结 分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题， 直接应用正弦定理可求出边 a ,若求边b ，则需通过三角形

内角和为180 °，求出角B ，再利用正弦定理求出边 b.

+ B ，同理可得

b

si nB

c si nC

两解

［例门在厶ABC 中，已知c = 10, A = 45 ,C = 30°,求b(保留两个有效数字). 一解