第一课时正弦定理
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
高中数学：11《正弦定理1》课件必修
利用正弦定理，我们可以判断给定边 长和角的三角形是否存在，以及解的 个数，从而避免出现无解或多解的情 况。
边长和角度的互换
总结词
正弦定理可以用于将三角形的边长转换为对应角的正弦值，反之亦然。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的边长与对应角的正弦值相互转换，从而方便 地求解三角形中的未知量。
引入方式三：通过三角函数定义引入
总结词
从三角函数的定义出发，通过分析函数的性质，引出正弦定理的概念。
详细描述
三角函数是描述三角形中角度和边长之间关系的函数。在锐角三角形ABC中，设角A、B、C的正弦函数分别为 sinA、sinB、sinC，根据三角函数的定义，我们有sinA = a/c、sinB = b/c、sinC = c/c。通过分析这些函数的 性质，我们可以推导出正弦定理的表达式。
pi$，求出 $B = pi - A - C$。最后代入 $sin A = sin(B + C)$，利用两角和的正弦 公式展开，得到 $sin A = frac{3sqrt{3}}{4} times frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} times
基础题
题目
在△ABC中，已知 a = 2, b = 3, B = 60°，则角 C 的 大小为 _______．
钝角三角形证明方法
通过作高线，将钝角三角形转化为两个锐角三角形 ，再利用勾股定理和三角函数性质证明正弦定理。
等边三角形证明方法
利用等边三角形的性质，通过比较边和角的正弦值之比，证明正 弦定理。
余弦定理证明方法
利用余弦定理推导正弦定理，通过比较边和角的正弦值之比，证明正弦定理。
04
习题与解析
正弦定理数学教案优秀5篇
正弦定理数学教案优秀5篇《正弦定理》教案篇一《正弦定理》教案一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。
《正弦定理》第1课时示范公开课教学课件【高中数学】
解答：（1）由题意得，△ABC有两解时需要bsin A＜a＜b，
则bsin 60°＜12＜b，
∵b＝10，c＝15，
（2）在△ABC中，若b＝10，c＝15，C＝ ，则此三角形有_______解．
Байду номын сангаас
∴c＞b，只有1解．
归纳小结
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
④a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C（△ABC的外接圆的半径为R）
新知探究
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
新知探究
两种类型：
初步应用
例1 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＋acos B＝0，则B＝______．
解答：由正弦定理可得sin Bsin A＋sin Acos B＝0，
因为A∈（0，π），所以sin A＞0，
初步应用
例2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，A＝ ，则 ＝_______．
4
初步应用
例3 （1）在△ABC中，a＝12，A＝60°，三角形有两解，则边b的取值范围为________．
问题4 （1）正弦定理及其推论有哪些？
（1）正弦定理及其推论：
2．正弦定理的证明方法：
其中2R为外接圆直径．
①三角函数的定义，②外接圆法．
归纳小结
（2）正弦定理的证明方法是什么？
（3）利用正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？
问题4 （1）正弦定理及其推论有哪些？
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：
正弦定理第一课时 优质课件
b
a
是否成立？ 是否成立？ 是否成立？
A
B
D
C
a
b
D
A
B
思考5：在任意三角形中，同理可得， , 因此有
该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
知识探究（二）：正弦定理的向量证明
思考1：在△ABC中，向量 ， ， 之间有什么关系？
C
b
a
A
B
思考2：若∠A为锐角，过点A作单位向量 i，使i⊥ ,则向量i与 , , 的 夹角分别是什么？
C
b i A
a B
思考3：由 可得什么结论？
i A
C
b
a
B
思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？
C
Hale Waihona Puke a biA
B
思考5：若证明 单位向量i？
，应如何作
C
b
A c
B
i
理论迁移 例1 在△ABC中，已知A=32.0°， B=81.8°，a=42.9cm，解三角形.
1.问题的引入:
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 高. 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
问题提出
在直角三角形中，三边a，b，c，及锐角 A，B之间有怎样的数量关系？
B
a
c
C
b
A
知识探究（一）：正弦定理的形成
思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC
分别等于什么？
正弦定理 优秀课件
7
例1:(林场失火问题)在△ABC中，已知 A=130°,B=30°,AB=10千米，求AC与BC的 长．
解：根据三角形内角和定理,
C 180 ( A B) 180 (130 30 ) 20 AC AB 由正弦定理： 得 sin B sin C C AB AC sin B 14.42千米 sin C BC AB 130° 30° 又由 得 A 10km B sin A sin C
AB BC sin A 22.39千米 sin C
8
例2:在 ABC中，已知a 3 ， 2， 45 B b
求角 A .
解：依题意得,由正弦定理
C
a b sin A sin B
3
452o2 Nhomakorabea60
o
120
B
A
o
A
sin B sin 45 3 得 sin A a 3 2 b 2
§1.1.1正弦定理
（第一课时）
教材：人教A版
1
北 东
C
·
· A
130°
30°
10km
2
· B
问题情境
在 △ ABC 中 ， 已 知 A=130°,B=30° ， AB=10千米，求AC与BC的长．
C
130° 30° A 10km
B
3
三角形的边角之间的关系
三角形的内角和是180
两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边
A 60 或A=120
o
o
9
归纳提升
a b c ★正弦定理： sin A sin B sin C
★主要应用： 1. 已知两角及一边，可以求出另外两边 和另一角 2. 已知两边一对角 ，可以求出另外两角 和另一边
正弦定理1
§1．1．1正弦定理（第一课时）教材：人教A版一、教学目标a、知识与技能1、掌握正弦定理的内容，及推证正弦定理的过程；2、简单运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．b、过程与方法1、在已有知识的基础上通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养的创新意识和观察与逻辑思维能力；2、通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的知识的应用能力、协作能力和数学交流能力．c、情感态度价值观1、面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生自主探索、合作交流，调动学生的主动性和积极性，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣；2、培养合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过平面几何、三角形函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一;3、利用几何画板软件演示正弦定理，用观察到的事实说话，从而受到辩证唯物主义观的教育，培养学生的学习数学的兴趣．二、教学重难点教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用．教学难点：正弦定理的探索及猜想提出过程．三、教辅手段板书、运用多媒体辅助教学．四、教学模式采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生探索学习．五、 教学过程一、创设情境[PPT 展示]问题一：人人都知道，世界上最高的山峰是喜玛拉雅山脉的珠穆朗玛峰，也被称为神女峰，被测得是8848米?科学家们是怎样测出来的呢？设计意图：众所周知兴趣是最好的老师，如果一节课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半，因此我设计一个学生比较感兴趣的问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！问题二：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[师] 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具．设计意图：我通过从学生日常生活中的实际问题引入，与问题一形成对照，思维既有延续性又产生在强烈的意识冲突，造成学生用已有知识不能解决的问题冲突，激发学生思维，激发了解决问题的迫切愿望，激发学生的求知欲二、发现定理[师] 初中时我们已经学过解直角三角形，那么现在请同学回忆一下直角三角行的边角关系．[生]如图在Rt ABC ∆中有222a b c +=，sin a c A =，sin b c B =，90A B ︒∠+∠=．[师]对！那也就是说利用直角三角形中的这些边角关系对任意的直角三角形A B C cb a的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边和其他角．[师]在直角三角形中，你能用其他的边和角表示斜边吗？[生]能．在Rt ABC ∆中，因为sin a c A =，sin b c B =，所以sin a c A =，sin bc B =．[师]我们观察这两个式子可知c 边能用a 边与其所对角的正弦的比值来表示，也可以用b 边与其所对角的正弦的比值来表示，那么c 边能否用c 边与其所对角的正弦的比值来表示呢？[生]能．因为sin sin901C ︒==，所以sin c c C =．[师]那么由上面的三个式子我们就可以得出sin sin sin a b c c A B C ===． 从而在Rt ABC ∆中，有sin sin sin a b c c A B C ===．思考：那么对于任意的三角形，以上的关系式是否仍然成立？设计意图：爱因斯坦说过发现问题比解决问题更重要，这样设计是为了让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的直角三角形的的边角关系的知识内容入手，观察发现转化到一般的三角形，然后产生猜想，进而完成一般性证明，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力．[师]请同学们和老师一起看看用几何画板是怎样演示这一般的三角形的边角关系，看看任意的三角形是否有sin sin sin a b c c A B C ===成立呢？[师]同学们观察到了什么？[生] ,,sin sin sin a b c c c c A B C ≠≠≠，但是sin sin sin a b c A B C==． 设计意图：通过几何画板就可以让学生从直观上进一步猜测正弦定理，并且可以看到在一一般的三角形中ｃ不等于边比对角的正弦值，用观察到的事实说话，从而是学生受到辩证唯物主义观的教育，也明白现代科技的重要性．三、证明定理[师] 我们虽然有了多媒体技术的支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明sin sin sin a b c A B C==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论． [师]（引导）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图所示，当ABC ∆是锐角三角形时，作AB 上的高是CD,根椐三角形的定义,得到sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin b c B C =，从而sin sin sin a b c A B C ==．类似的可推出，当ABC ∆是钝角三角形时，以上的关系式仍然成立．（证明过程由学生课后自己推导） （法二片段教学中省略）法二：当ABC ∆为钝角三角形时，过A 作单位向量垂直于， +=AB 两边同乘以单位向量，j ⋅ (+)=j ⋅则：⋅+⋅=⋅，∴|j |⋅||cos90 +|j |⋅||cos(90)C -= |j |⋅||cos(90)A - ， ∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c A C =，同理：若过C 作j 垂直于CB 得：sin sin b c B C = ∴sin sin sin a b c A B C ==，当ABC ∆为钝角三角形时， 设90A ∠> ，过A 作单位向量j 垂直于向量，同样可证得：A C B j A C Bjsin sin sin a b c A B C ==．从上面的研究探讨过程，可得以下定理：解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程四、及时体验（PPT 展示）例：在ABC ∆中，，解三角形． 解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+ 066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．[师]小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习，[师]现在我们来回答一下上课前老师提问的问题：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[生]可以．如图所示，利用正弦定理可得到 0032.0,81.8,42.9A B a cm ===bsin βAB =sin(α+β)设计意图：利用正弦定理，让学生体会用新的知识，新的定理，可以解决之前不能解决的问题，激发学生不断探索新知识的欲望．五、归纳提升 正弦定理： sin sin sin a b c A B C ==主要应用：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生在一次对把所学内容进行当堂总结，有利于学生将新知识内化成自己的知识．六、课后探究（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）知道三角形的两个条边和任何一角，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素吗？（3）sin sin sin a b c kA B C ===那么这个k 值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗? 设计意图：通过（１）让学生对正弦定理进行再深入的探究，让学生从多角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识；通过（2）ABC αβb c让学生更深入的研究正弦定理；通过（3）可以让学生将正弦定理和所学的圆的知识联系在一起，培养学生用联系的观点看问题．七、作业设计作业：第10页[习题1．1]A 组第1、2题．提高作业：(1)在ABC ∆中，已知a =b =45A =︒，解三角形．(2)b =b =b =并解三角形，观察解的情况．设计意图：人的发发展不可能整齐划一的，我们必须承认差异、尊重差异，不同的人在数学上得到不同的发展，所以请所有同学完成书面作业，每个学生都需要掌握，提高作业留给学有余力的学生，让学生的此基础上提升自我．。
正弦定理
正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。
本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。
解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。
本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。
教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。
二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。
因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。
若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。
三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
第一课时 正弦定理
第一课时 正弦定理一、教材预知：１．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即Aa sin =Bb sin =Cc sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）证明方法：1）．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb ， sinC=1即 c=A a sin ， c=Bb sin ， c=Cc sin ．∴Aa sin =Bb sin =Cc sin2）．斜三角形中证明一：（等高法）sin sin A D c B b C ==sin sin b c BC=，同理可得sin sin a bAB=证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中111sin sin sin 222A B C S ab C ac B bc A ∆===两边同除以abc21即得：Aa sin =Bbsin =Ccsin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da Aa 2sin sin ===，同理Bb sin =2R ，Cc sin ＝2R证明四：（向量法）过A 作单位向量j垂直于A C 由 A C +C B =AB两边同乘以单位向量j 得 j •(A C +C B )=j •AB则j •AC +j •CB =j •AB∴|j |•|A C |cos90︒+|j |•|C B |cos(90︒-C)=| j|•|AB |cos(90︒-A)∴Ac C a sin sin= ∴sin a A=Cc sin ，同理，若过C 作j垂直于C B 得：Cc sin =Bb sin ∴Aa sin =Bb sin =Cc sina bcOB CADABCD２．正弦定理的常见变形变形：灵活运用1）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；2）sin sin a B b A =，sin sin c C c B =，sin sin a C c A =； 3）::sin :sin :sin a b c A B C =． ３．解三角形1）把三角形的三边和它的对角叫做三角形的元素．2）已知三角形的几个元素（通常是3个）求其他元素的过程叫做解三角形． ４．正弦定理解斜三角形的类型 1）已知两角与一边（AAS ），有一解或无解 2）已知两边和其一边对角（ASS ），存在多解情形：两解、一解或无解 若A 为锐角时：babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a二、典型例题：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆． 解：030,45,10===C A c ∴0105)(180=+-=C A B由C c A a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 0=⨯==CA c a由Cc Bb sin sin =得25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 0+=+⨯==⨯==CB c b例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=bB cC Cc Bb0090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=cb a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C Cc Aa12060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,756000+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴CB c b BC 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例4 在A B C ∆中，根据下列条件指出解的个数． (1)2a =，2b =，30A =︒；(2)2a =，2b =，45A =︒；(3)5a =，2b =，120B =︒． 解:2;1;0例5 A B C ∆中，如果lg lg lg sin lg2a c B -==-，并且B 为锐角，试判断三角形形状．解：由2lg lg lg sin lg 2lg 2a c B -==-=，得2sin 2B =．因为B 为锐角，所以45B =︒，135A C +=︒．2sin 2sin a A c C==，将135A C =︒-代入得()2sin 2sin 135C C =︒-，化简得cos 0C =0180,90C C ︒<<︒∴=︒ ，所以A B C ∆为等腰直角三角形．三、及时突破：1．已知在045,30,10ABC A B c b ∆===中，已知求．2．在A B C ∆中，根据下列条件指出解的个数． (1)4a =，5b =，30A =︒； (2)5a =，4b =，60A =︒； (3)3a =，2b =，120B =︒；(4)3a =，6b =，60A =︒．3．在A B C ∆中，若222sin 2sin cos ,sin sin sin A B C A B C ==+，试判断三角形的形状． 4．在A B C ∆中，若::1:2:5a b c =，求代数式在2sin sin sin A BC -的值．5．在A B C ∆中，求证：2222112cos 2cos babB aA -=-．四、课后作业：1．在A B C ∆中，若sin sin A B ab=，则B ∠的值为 （ ）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒2．在A B C ∆中，若32sin a b A =，则B 的值为 （ ）A.3π B.6π C.3π或23π D.6π或56π3．在A B C ∆中，若::4:1:1A B C =，则::a b c 的值为 （ ） A.3:1:1 B.2:1:1C.2:1:1D.3:1:14．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是 （ ） A.在A B C ∆中，::sin :sin :sin a b c A B C = B.在A B C ∆中，sin 2sin 2a b A B =⇔=C.在A B C ∆中，sin sin sin a b c AB C+=+D.在A B C ∆中，正弦值较大的角所对的边也较大5．三角形的两边长为3cm 、5cm ，其夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的面积是（ ）A.26 cm B.215 cm 2C.28 cmD.210 cm6．在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则()()sin sin sin sin a C B b A C -+-()s i n s i n c B A +-=．7．在A B C ∆中，()()lg sin sin 2lg sin lg sin sin A C B C A +=--，则三角形的形状是 ． 8．在A B C ∆中，45A ∠=︒，2a =，6c =，解此三角形．9．在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos cos 2B b Ca c=-+，求B ∠的值．10．在A B C ∆中，已知内角3A π=，边23BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．。
正弦定理PPT课件
定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.
课件3：9.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理的概念
解这个三角形．
解：由正弦定理及已知条件有sin3A＝sin 425°，
得
sin
A＝
3 2.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isnin457°5°＝
6＋ 2
2；
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
AC＝BCs×insAin B＝5× 1245＝133， 13
∴S△ABC＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.
探究二 已知两角及一边解三角形
例 2.在△ABC 中，A＝30°，C＝105°，a＝10， 求 b，c，B. 解：因为 A＝30°，C＝105°，所以 B＝45°. 因为sina A＝sinb B＝sinc C，
知识点二 正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的 正弦 的比相
等，即sina
b
c
A＝__s_in__B_＝__s_in__C__.
知识点三 正弦定理的变形公式
1.a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C . 2.asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.
【答案】59
3．在△ABC 中，若 A＝60°，B＝45°，BC＝3 2， 则 AC＝________.
【解析】由正弦定理可知，sAinCB＝sBinCA，
2
所以 AC＝BCsisninAB＝3
2× 2 3
＝2
3.
2
【答案】2 3
4．在△ABC 中，若sina A＝cobs B，则 B 的值为
正弦定理(第一课时)教学设计
《正弦定理》（第一课时）教学设计点明课题本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。
下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：1.教材地位分析2.学生现实分析一、教学背景分析3.教学目标分析1.教学重点、难点分析二、教学展开分析2.教学策略与学法指导3.教学媒体选择4.教学过程实施三、教学结果分析一、教学背景分析1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。
《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。
正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。
2.学生现实分析(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：2b2c2①勾股定理：②三角函数式，如：a(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：sinAaccosAbc①C②大边对大角，小边对小角AB③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型3.教学目标分析知识目标：(1)正弦定理的发现(2)证明正弦定理的几何法和向量法(3)正弦定理的简单应用能力目标：(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力情感目标：(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣(2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思二、教学展开分析1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。
9.1.1正弦定理(第一课时)课件(人教B版)
（第一课时）
学习目标
•1.学生通过对任意三角形中边与角的关系的探
索，能发现并证明正弦定理；
•2.学生会运用正弦定理解斜三角形的两类基本
问题.
德育目标
•1.通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇
心理，使其主动参与双边交流活动；
•2.通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、
自立的良好心理品质；
3 :1
课堂小结
a
b
c
一个 定理 ——正弦定理
sin A sinB sinC
二种 方法 ——作高法（化斜为直）
面积法
二个 应用 —— 已知两角和一边（只有一解）
已知两边和其中一边的对角
（有一解，两解，无解）
课后探究:
（1）你还可以用其它方法证明
正弦定理吗？
a
b
c
k
（2） sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业：
P5 练习A，练习B
谢谢
C
c
sinC
定理探究
问题2：能否推广到斜三角形呢？
当∆ABC是锐角三角形时，设BC=a，AC=b，AB=c
C
E
a
b
B
A
c D
请同学们完成到钝角三角形的推导
B
c
a
A
b
C
正弦定理
•
=
=
（1）文字叙述
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等.
（2）方程的观点
求B和c。
第一课时 正弦定理
第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.asin A＝bsin B＝c sin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R∴csin C＝2R同理可得asin A＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝c sin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题， 会利用正弦定理求解简 单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、 向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点：正弦定理证明及应用• 教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路 教学过程：I .课题导入在初中，我们已经会解直角三角形•就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系a b csinA — si nB — si nC那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？这也是我们这一节课将要研究的问题n •讲授新课对于咼 =-^这一关系的证明，我们一起来看下面的证法sinA si nB si nC 如图，在△ ABC 中，已知 BC = a , AC = b , AB = 5作厶ABC 的外接圆，O 为圆心，连接BO 并延长交圆于B '，设BB '= 2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以 得到：/ BAB '= 90°,/ C =Z B '.a b c • .2Rsi nA sinBsi nC这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立•因此，我们得到下面的定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即 a _ b _ csinA si nB si nC说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证， 此证法在巩固平面几何知识的同时， 易于被学生理解和接受， 并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解 •既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理•从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢？向量的数量积的定义式：a •b =| a || b | cos B ,其中0为两向量的夹角•但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢 ？可以通过三角函数的诱导公式/• si nC = sinB ' c 2R同理可得孟 b =2R贏=2Rsin B = cos(90° — 0)进行转化.这一转化产生了新角 90°— 0,这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的 运算，辅助向量选取了单位向量j ,而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90° — 0这一形式，这是作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因•在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得 AC + C B = A B.而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB AC 、CB 的数量积，而在上面 向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算，也就在情理之中了 .下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程， 并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前 提，以及两向量垂直的充要条件的运用(2) 要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用 向量法证明过程：为了与图中有关角的三角函数建立联系， 我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数 量积运算，得到：j • (AC + CB )= j • A B由分配律可得：j • AC + j • CB =j • AB•••I j | | A C I cos90°+| j | | CB | cos(90°— C) =| j | | AB | cos(90°— A)/• asi nC = csinA • = c si nA = sinC90°+ C，j 与AB 的夹角为9。
°+ B ，可得孟 (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为—C ，j 与AB 的夹角为90 ° — B)• a b c si nA = sinB = si nC.⑵△ ABC 为钝角三角形，不妨设 A > 90°过点A 作与AC 垂直(1)△ ABC 为锐角三角形，过点 A 作单位向量 则j 与AB 的夹角为90°— A ，j 与CB 的夹角为90°由向量的加法原则可得：AC + CB = AB 另外，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，则j 与AC 的夹角为 b si nB的单位向量j ，则j 与AB 的夹角为 A— 90°, j 与CB 的夹角 为 90°— C.由AC + CB = AB 得：j• AC + j • CB = j • AB 即 a • cos(90°— C)= c • cos(A — 90° ) /• asi nC = csinA • a _ c si nA sinC另外，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，则j 与AC 夹角为90°+ C , j 与AB 夹角为90 a b csinA — si nB — sinC综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立 在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用 •利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题•(1) 已知两角和任一边，求其他两边和一角这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易 (2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 •此类问题变化较多。
(1)A 为锐角(2)A 为直角或钝角接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结 分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题， 直接应用正弦定理可求出边 a ,若求边b ，则需通过三角形内角和为180 °，求出角B ，再利用正弦定理求出边 b.+ B ，同理可得bsi nBc si nC两解［例门在厶ABC 中，已知c = 10, A = 45 ,C = 30°,求b(保留两个有效数字). 一解解：••• B = 180°— (A + C)= 180° — (45° + 30° )= 105° , sinB — sinC '.,c sinB 10 sin 105° …b = =° 〜19si nC sin3019评述：（1）此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也 是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理 •（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果 为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时， 号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号［例2］在厶ABC 中，已知 a = 20, b = 28, A = 40°，求 B （精确到 有效数字）.分析：此例题属于bsinA v a v b 的情形，故有两解•这样在求解之后呢， 步的检验，使学生在运用正弦定理求边、 角时，感到目的很明确，性•、［/丄一律使用等 ）和C （保留两个 可以无需作进- 同时体会分析问题的重要b sinA 28 sin40 解：• sinB = = = 0.8999,a 20 ',B 2= 116° 时，C = 180 ° — (B + A) ••• B 1 =64°当 B 1 = 64=180° —a sinC 1 20 sin 760…c 1= sinA = sin 40。
当 B 2= 116° 时， C 2 = 180°=180°— (116° + 40° )= a sinC 220 sin 240•-c2= sinA =sin 400评述：通过此例题可使学生明确， 利用正弦定理所求角有两种可能， 但是都不符合题意， 可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形 当然对于不符题意的解的取舍， 也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.［例3］在厶ABC 中，已知a = 60, b = 50, A = 38°，求B （精确到1° ）和c （保留两个 有效数字）.分析：此例题属于 a >b 这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对 小边这一性质来排除解：已知b v a , b sinA • sinB =a• B = 31 °,• C = 180°— （A + B ）= 180°— （38° + 31° ） = 111°a sinC 60 sin 111°…c ==〜91sinA si n38 -评述：同样是已知两边和一边对角， 活性.对于例3,如果没有考虑到角 B 也可利用三角形内两边之和大于第三边，B 为钝角的情形• 所以B v A ，因此B 也是锐角•50 sin38°=60 =°5131，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵 所受限制而求出角 B 的两个解，进而求出边 c 两解,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除O〜30. 〜13.—(B 2+ A) 24°,(64°+ 40° )= 76° ,(2) 综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中 一边的对角•(3) 对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解 为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习川•课堂练习1•在△ ABC 中(结果保留两个有效数字)• (1) 已知 c = 3 , A = 45°, B = 60°，求 b ; (2) 已知 b = 12, A = 30°, B = 120°,求 a.解：(1) •/ C = 180 ° — (A + B) = 180°— (45°+ 60° )= 75°… a b ⑵• sinA = sinBb si nA 12 sin30° _ _…a = = 0 〜6 9sinB sin120评述：此题为正弦定理的直接应用， 意在使学生熟悉正弦定理的内容， 可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心 •2•根据下列条件解三角形(角度精确到1 °,边长精确到1):(1) b = 11, (2) a = 28, (3) c = 54, (4) a = 20,解：⑴• sinA =sinB ・ sinA =誉=20^ =0£091b11不符题意的解•［例4］在厶ABC 中，已知a = 28, b = 20, 有效数字)•分析：此例题属于A 为钝角且a > b 的情形, 用三角形内角和为180°排除角B 为钝角情形•b si nA 20 sin 120°解：••• si nB = == 0.6187a 28 ••• B 1 = 38°, B 2= 142° (舍)••• C = 180°— (A + B)= 22° a si nC 20 sin220sinA si n1208.7评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性形小角对小边性质而得到•A = 120。