矩阵的三角分解
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵论中不同形式的三角分解的优缺点
矩阵论是数学领域中的一个重要分支，它研究的是矩阵和线性方程组的理论和方法。
在矩阵论中，三角分解是一种常见的矩阵分解方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为一个或多个简单的三角形矩阵的乘积。
不同形式的三角分解有着各自的优缺点，本文将从几种不同的角度来讨论这些优缺点。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解的优点是计算简单，因为它只需要进行一次分解即可得到L和U两个矩阵，后续的线性方程求解可以直接使用LU 分解后的矩阵进行计算。
然而，LU分解的缺点是当原始矩阵A的某些主对角线元素接近于零时，LU分解可能会失效，需要采取一些特殊的技巧来解决这个问题。
二、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解的优点是计算量较小，而且分解出的L矩阵的元素都是实数，因此在存储和计算上都有一定的优势。
然而，Cholesky分解的缺点是它只适用于对称正定矩阵，对于非对称矩阵或不正定矩阵是无法进行Cholesky分解的。
三、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
QR分解的优点是适用范围广，对于任意矩阵都可以进行QR分解，并且分解出的Q和R矩阵都具有一些良好的性质，比如Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然而，QR分解的缺点是计算量较大，尤其是对于大型矩阵来说，QR分解的计算时间会比较长。
不同形式的三角分解都有各自的优缺点，选择合适的分解方法需要根据具体的问题来决定。
在实际应用中，可以根据矩阵的特点和计算需求来选择最合适的三角分解方法，以达到最优的计算效果。
研究和探索更加高效的矩阵分解方法也是矩阵论研究的重要方向之一。
四、SVD分解SVD分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解的优点是适用于所有的矩阵，无论是否为方阵，而且SVD分解是唯一的，即对于每一个矩阵都存在唯一的SVD分解。
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
矩阵理论课件 (5)
AP (1, ,r ,r1, ,n )
其中，1,2, ,r 线性无关
(r1, ,n ) (1, ,r ) C
AP (1, ,r )Er
C
U
R 0
E
r
C
U
R 0
RC 0
B R
RC
C rn r
B R RC L 0V1
A
U
R 0
RC 0
P
1
U
（L
0
0）V1 0
P1
（L U （0
0）V1 0）V1
A12
A22
A11 A12
A21
A22
L11 L21
0
L22
R%11 0
R%12 R%22
LL1211RR%%1111
L11R%12 L21R%12 L22
R%22
A11 L11R%11
K | A11 || L11 || R%11 | | L11 |
l11l22 lkk 0
An11
1
L1 R%11
0
ann
An11
R%1 0
R%1 An11
1
~
LR
唯一性：设A L1 R%1 L2 R%2
L11L2 R%1R%21
L11L2 R%1R%21 E
L1 L2, R%1 R%2
(ii) (i) A LR%且lii 0(i)
A
A11 A21
P1
U
L 0
0 0
V1
P
1
U
L 0
00V ,其中 V V1P 1.
A RT R
定理 2：设 ACnnn, 用L表示下三角复矩阵， L~是单位下三角复矩阵 , R是上三角复矩阵，
杜立特尔三角分解法
杜立特尔三角分解法1. 简介杜立特尔三角分解法（Doolittle’s LU decomposition）是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法。
这种分解方法在数值计算和线性代数中广泛应用，可以用于求解线性方程组、计算行列式和逆矩阵等问题。
2. 算法原理给定一个n×n的矩阵A，我们希望将其分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A = LU。
其中，L的对角线元素为1。
杜立特尔三角分解的过程如下：1.初始化L为单位下三角矩阵，U为零上三角矩阵。
2.对于每一列j（从0开始），进行以下操作：–计算U的第j行：对于每个元素U[j][k]（k从j到n-1），使用以下公式计算：U[j][k] = A[j][k] - ∑(L[j][i] * U[i][k]) (i从0到j-1)。
–计算L的第j列：对于每个元素L[i][j]（i从j+1到n-1），使用以下公式计算：L[i][j] = (A[i][j] - ∑(L[i][k] * U[k][j]) (k从0到j-1)) / U[j][j]。
3.返回分解后的矩阵L和U。
3. 算法示例下面是一个使用杜立特尔三角分解法求解线性方程组的示例：假设有以下线性方程组：2x + y + z = 8-3x - y + 2z = -11-2x + y + 2z = -3我们可以将其表示为矩阵形式：Ax = b，其中A = [[2, 1, 1],[-3, -1, 2],[-2, 1, 2]]x = [[x],[y],[z]]b = [[8],[-11],[-3]]使用杜立特尔三角分解法，我们可以将A分解为LU：L = [[1, 0, 0],[l21, 1, 0],[l31, l32, 1]]U = [[u11, u12, u13],[0, u22, u23],[0, 0 ,u33]]根据算法原理，我们可以逐步计算出L和U的值：首先，计算U的第一行：u11、u12、u13。
解线性方程组的矩阵三角分解法 共16页PPT资料
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1 l21 ln1
u11 u121 源自u22 ln,n1 1
u1n a11 a12 u2na21 a22
unn an1 an2
a1n a2n
ann
LU =A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
1 AL D L T l21 1
d1
d2
ln 1
ln,n1 1
1l21 1 dn
ln 1 ln2
1
计算公式
n
j1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
k1
k1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
a1n a2n
ann
9
Cholesky 分解算法
算法 ：(Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
1
l jj
ajj
j1
l
2 jk
2
,
k1
j1
lij aij likljk ljj ,
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11 l21 ln1
l11 l21
l22
l22
ln,n1 lnn
计算公式
ln1 a11 a12 ln2a21 a22
三角分解法增广矩阵
三角分解法增广矩阵三角分解是一种矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵。
增广矩阵则是将矩阵与向量合并在一起的扩展形式。
在解线性方程组等问题中，三角分解法增广矩阵的应用是非常重要的。
首先，让我们来了解一下三角分解的基本思想。
给定一个n x n的矩阵A，三角分解的目标是将其分解为两个矩阵L和U，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
这样，原始矩阵A可以表示为LU的形式。
我们可以使用高斯消去法来进行三角分解。
首先，我们选择第一个主元，将它除以当前列的其他元素，使得主元下方的元素变为零。
接下来，我们选择第二个主元，并重复这个过程，直到我们获得完整的上三角矩阵U。
在此过程中，我们还会得到一个下三角矩阵L，其对角线元素为1。
现在，我们来讨论三角分解法增广矩阵的应用。
将一个矩阵与一个向量合并在一起，就可以构建增广矩阵。
这种合并的作用是为了方便我们使用三角分解法解决线性方程组。
考虑一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n x n的矩阵，x和b是n维向量。
我们可以将方程组表示为增广矩阵[A b]。
首先，我们使用三角分解法将矩阵A分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L，即A= LU。
然后，我们可以将增广矩阵[A b]进行相同的操作，即将其分解为[L U b]。
这样，我们就可以将原始的线性方程组转化为两个等价的三角方程组Ly = b和Ux = y。
首先，我们可以使用前向替换法来解决Ly = b，其中y是一个未知的向量。
前向替换法从上到下逐行解决方程，通过将已知的解带入下一行来求解未知解。
具体来说，我们可以首先通过L的对角元素将y的第一个分量求解出来，然后将y 的第一个分量带入L的第二行，求解出y的第二个分量，以此类推，直到求解出y的所有分量。
接下来，我们可以使用后向替换法来解决Ux = y，其中x是我们要求解的向量。
后向替换法从下到上逐行解决方程，通过将已知的解带入上一行来求解未知解。
具体来说，我们可以首先通过U的最后一个分量将x的最后一个分量求解出来，然后将x的最后一个分量带入U的倒数第二行，求解出x的倒数第二个分量，以此类推，直到求解出x的所有分量。
数值分析矩阵的三角分解
1 0 0 = 2 1 0
1 1 1
0 0 1 0 1 1
数值分析
数值分析
记 A A(1) a1M(11)
... O
a1M(1n)
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
an(11)
...
a(1) nn
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（（1i1111））, i 2, ..., n
j
0
L
010L
0
M
ln j
数值分析
数值分析
1
Lj
I
l jeTj
O 1 1 l j1 j 1
M
O
ln j
1 0 0 0
L2
0 0
0
1 l3,2 l4,2
0 1 0
0 0
I
l 2e2T
1
1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的性质：
1
O
1
1. Lj1 I l jeTj
m21
M
mn1
1 O
a(1) 11 M
... O
1
a(1) n1
...
a1M(1n)
a(1) nn
a1(11)
L1 A(1)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
MO
a(2) n2
L
a(1) 1n
a(2) 2n
M
A( 2 )
1(
2
)
,
(2 2
)
,
...,
(2) n
0
3
矩阵的三角分解方法
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
矩阵的三角分解国内外研究现状
矩阵的三角分解国内外研究现状
矩阵的三角分解是一种常用的矩阵分解技术，它可以将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
这种分解技术在各种数学和工程应用中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的三角分解在国内外的研究现状。
在国外，矩阵的三角分解技术已经有了很多的理论研究和实际应用。
早在20世纪50年代，矩阵的LU分解就已经被广泛应用于科学计算和工程应用中。
近年来，矩阵的三角分解技术还被应用于各种机器学习和数据科学领域中，例如矩阵分解算法、矩阵压缩和矩阵近似算法等等。
矩阵的三角分解技术在这些领域中具有很高的效率和准确性，因此得到了广泛的应用和研究。
在国内，矩阵的三角分解技术的研究相对较少。
随着计算机技术的不断发展和各种科技应用的不断发展，矩阵的三角分解技术在国内也逐渐得到了重视和应用。
目前国内矩阵的三角分解技术在计算机科学、应用数学、工程科学等领域都有一定的应用和发展。
例如，在计算机科学领域中，矩阵的三角分解技术被广泛应用于计算机图形学、模式识别和机器学习等领域。
在工程科学领域中，矩阵的三角分解技术被应用于信号处理、控制系统和通信系统等领域。
总的来说，矩阵的三角分解技术在国内外都具有很高的研究和应用价值。
随着各种科技应用的不断深入和计算机技术的不断发展，矩阵的三角分解技术在各种领域中的应用和研究也将会不断增加。
- 1 -。
矩阵分解（三）：三角分解
矩阵分解（三）：三⾓分解上(下)三⾓矩阵：对⾓线上(下)⽅的元素全为零，即对i <j ,a ij =0(i >j ,a ij =0)单位上(下)三⾓矩阵：对⾓线元素全为1的上(下)三⾓矩阵定理1(LU 分解定理)：设A 是n 阶⾮奇异矩阵，则存在惟⼀的单位下三⾓矩阵L 和上三⾓矩阵U 使得A =LU⟺ A 的所有顺序主⼦式均⾮零，即Δk =Λ1⋯k 1⋯k≠0, k =1,⋯,n −1注意到，对于⾮奇异上三⾓阵，有：u 11u 12u 13⋯u 1n 0u 22u 23⋯u 2n ⋱⋱⋮u n −1,n −1u n −1,n0⋯0u nn=u 11u 12u 13⋯u 1n 0u 22u 23⋯u 2n ⋱⋱⋮u n −1,n −1u n −1,n0⋯0u nn1u 12u 11u 13u 11⋯u 1nu 111u 23u 22⋯u 2n u 22⋱⋱⋮1u n −1,n u n −1,n −11从⽽有如下结果：定理2(LDU 分解定理)：设A 是n 阶⾮奇异矩阵，则存在惟⼀的单位下三⾓矩阵L ，对⾓矩阵D =diag (d 1,d 2,⋯,d n )和单位上三⾓矩阵U 使得A =LDU⟺ A 的所有顺序主⼦式均⾮零，即Δk ≠0(i =1,⋯,n −1)，且d 1=a 11,d k =ΔkΔk −1, k =2,⋯,n有时，即使矩阵A ⾮奇异，也未必可以作LU 分解和LDU 分解，此时，可以适当地改变⾮奇异矩阵A 的⾏的次序（左乘⼀个排列矩阵），使改变后的矩阵可以作LU 分解定义1：设e i 是n 阶单位矩阵的第i 列(i =1,2,⋯,n )，以e 1,e 2,⋯,e n 为列作成的矩阵[e i 1,e i 2,⋯,e i n]称为**n 阶排列矩阵，其中i 1,i 2,⋯,i n 是1,2,⋯,n 的⼀个排列以排列矩阵[e i 1,e i 2,⋯,e i n ]T 左乘n 阶矩阵A ，就是将A 的⾏按照i 1,i 2,⋯,i n 的次序重排；以排列矩阵[e i 1,e i 2,⋯,e i n]T 右乘n 阶矩阵A ，就是将A 的列按照i 1,i 2,⋯,i n 的次序重排从⽽有下⾯的结果：定理3：设A 是n 阶⾮奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使得PA =L ˜U =LDU其中L 是单位下三⾓矩阵，˜U 是上三⾓矩阵，U 是单位上三⾓矩阵，D 是对⾓矩阵\LU 分解可⽤于求解线性⽅程组：设A 是n 阶⾮奇异矩阵，b 是n 维向量，对线性⽅程组Ax =b1.如果A 的顺序主⼦式都不为零，则A 有三⾓分解A =LU ，则(7)等价于如下⽅程组Ly =b Ux =y从⽽先从(8)的第⼀组⽅程解出y ，然后将y 代⼊第⼆组⽅程求出x 2.如果A 的顺序主⼦式中有等于零的，则考虑如下⽅程组：PAx =Pb()()()(){其中P是适当的排列矩阵，之后重复1.的步骤即可Processing math: 100%。
矩阵的三角分解
矩阵的三角分解
矩阵的三角分解是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下
三角矩阵的乘积。
这个过程可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆等问题。
具体地说，设A是一个n×n的矩阵，其三角分解可以表示为： A=LU
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
L和U可以通过高斯消元法来求得。
具体地，我们对矩阵A进行一系列初等变换，使其化为一个上三角矩阵U，然后再对原矩阵A的每一行进行相应的初等变换，使得变换后的矩阵L成为一个下三角矩阵。
例如，对于如下矩阵A：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
我们可以通过高斯消元法求出其上三角矩阵U：
1 2 3
0 -3 -6
0 0 0
再对原矩阵A的每一行进行相应的初等变换，得到下三角矩阵L： 1 0 0
4 1 0
7 2 1
因此，矩阵A的三角分解为：
A = LU =
1 2 3 1 0 0 1 2 3
4 5 6 = 4 1 0 * 0 -3 -6
7 8 9 7 2 1 0 0 0
可以看到，矩阵A成功地被分解为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积。
矩阵论4-1.三角分解
~ 思 L 和 U 的计算公式。 的计算公式。 路 通过比较法直接导出
a11 a12 a a 21 22 A= M M an1 an2
L a1n 1 u11 u12 L a2n l21 1 u22 = O M M M O L ann ln1 L L 1
其中, 其中
D为对角阵
定理:(Cholesky分解 ) 分解 定理 正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为 矩阵 可唯一的分解为: 正定的
A = LL
H
其中, 为正线下三角,即对角线的元素均为正的 其中 L 为正线下三角 即对角线的元素均为正的
Department of Mathematics
∃L∈C
n×n
U ∈C
n× n
可以作三角分解 LU 称 A可以作三角分解
u11 u12 L u1n l11 u22 L u2n l21 l22 U= L= O M M M O L unn ln1 ln2 L lnn
由此: 由此 l11 = 1, l 21 = 1, l 31 = 2, l 41 = 1
l11u12 = 0 ⇒ u12 = 0 , u13 = 2, u14 = 1 l 21 u12 + l 22 = 2 ⇒ l 22 = 2 − l 21u12 = 2
4 − u13 l 21 u23 = =1 l 22
1 u12 1 ~ U=
L u1n L u2n O M L 1
Department of Mathematics
~ 则 A = L U 为 Crout 分解 ~ 而 A = L U 为 Doolittle 分解
矩阵三角分解的条件
矩阵三角分解的条件
1. 矩阵得是方阵才能谈三角分解呀！就好比一个正方形才能被切成两个三角形，你说是不是？比如 3x3 的矩阵，它就有可能进行三角分解呢！
2. 矩阵的元素得有一定的规律才行啊！不然怎么能乖乖地被分解呢？就像整理房间，东西乱七八糟可不行！像那种每行每列都有特点的矩阵，就更有机会啦！
3. 矩阵不能有奇奇怪怪的特殊性质阻碍三角分解呀！这就好像路上有大石头挡着，车就开不过去了呀！比如一个全是零的矩阵，还怎么分呀！
4. 矩阵的秩也得合适呀！不然怎么能恰到好处地分解呢？好比搭积木，高度不合适就搭不起来了呢！像那种秩刚好的矩阵，就很有希望哦！
5. 矩阵的元素不能太“调皮”，得稳定些才好进行三角分解呢！就像小孩子太调皮不好管一样！比如那些数值变化不大的矩阵，就容易操作啦！
6. 矩阵的结构不能太复杂呀！简单点才更容易被三角分解嘛！就像走迷宫，简单的迷宫好走，复杂的就难啦！像一些规则的矩阵就不错哟！
7. 矩阵的特征也得符合要求呀！不然怎么能顺利分解呢？这就像找对象，得看对眼才行呢！例如有明显特征的矩阵就有戏！
8. 矩阵不能有让人头疼的“毛病”，不然三角分解可不好办！就像人有重病就不好治一样！像那种比较“健康”的矩阵，就有机会被三角分解哦！
9. 矩阵得让人感觉有分解的希望呀！不能一上来就觉得没戏！好比爬山，看着能爬到顶才会去爬嘛！像有些看起来有潜力的矩阵就值得一试！
10. 矩阵要是太“倔强”，那可就难进行三角分解啦！就像固执的人不好说服一样！但有些“通情达理”的矩阵，就能顺利进行啦！
我的观点结论就是：要想矩阵进行三角分解，这些条件可得好好满足呀，不然可就别指望啦！。
矩阵直接三角分解法
矩阵直接三角分解法算法将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。
具体算法：○1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j对i=2,3,…,n 计算L i1=a i1/a 11○2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算U kj=a kj -∑LkqUqj k−1q=1b.对i=k+1，k+2，…，n 计算l ik =(a ik -)∑LiqUqk k−1q=1/u kk○3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k -∑LkqUq k−1q=1○4X n =y n /U nn ,对k=n -1，n -2，…2,1计算 X k =(y k -∑UkqXq n q=k+1/U kk注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A|b]=[ a11 a12…a1n a1,n +1a21 a22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1]施行算法○2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。
程序与实例求方程组Ax=bA=[1 2 −12 85 4 7 −2−3 7 9 56 −12 −8 3]，b=[2741149]程序#include<stdio.h>void main(){float x[4];int i;float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49};void DirectLU(float*,int,float[]);DirectLU(a[0],4,x);for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}void DirectLU(float *u,int n,float x[]){int i,r,k;for(r=0;r<=n-1;r++){for(i=r;i<=n;i++)for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i));for(i=r+1;i<=n-1;i++){for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r));*(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r);}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(r=n-1;r>=i+1;r--)*(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r];x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i));}}运行结果。
第6章3-4节矩阵三角分解法 与范数.
例5
用Doolittle三角分解法解
1 2 3 2 5 1 3 x1 14 2 x2 18 . 5 x3 20
r 1
解
u ri ari lrk u ki
r 1 k 1
(i r , r 1, , n);
有
ari lrk u ki lrk u ki u ri .
k 1 k 1 n r 1
故
3
u11 1
r 1 u12 u 1n u ri ari l (i r , r 1, , n), rk u ki u 22 u 21 n k . r 1 n u nn air lik u lik u kr lir u rr . kr k 1 k 1 r 1
②
u ri ari lrk u ki
k 1r 1(i r, r 1, , n);4
③
lir (air lik ukr ) / urr
k 1
r 1
(i r 1,, n;且r n);
求解 Ly b, Ux y的计算公式：
④
从而
1 A 2 3 0 1 5 0 1 0 0 0 1 2 1 0 3 4 LU . 24
因为
L y (14,18,20) T ,
得
y (14,10,72) T ,
求解
x (1,2,3) T . U x (14,10,72) T , 得 y1 b1 ; （4.4） i1 yi bi lik yk (i 2,3,, n);
高斯变换与矩阵三角分解
通过一系列行变换，将矩阵变为阶梯 形矩阵，再通过一系列列变换，将阶 梯形矩阵变为上三角矩阵。
高斯变换的性质
唯一性
给定一个矩阵，其高斯变换是唯一的。
可逆性
高斯变换具有可逆性，即可以通过一系列行变换和列变换，将上三角矩阵变回 原矩阵。
高斯变换的应用
线性方程组的求解
通过高斯变换，可以将一个线性方程组化为易于求解的形式 。
目的和意义
通过高斯变换和矩阵三角分解，可以解决许多实际问题，如信号处理、图像处理 、控制系统等领域中的问题。
高斯变换和矩阵三角分解在科学研究和工程实践中具有广泛的应用前景，对于推 动相关领域的发展具有重要意义。
02
高斯变换
高斯变换的定义
定义
高斯变换是指将一个矩阵通过一系列 行变换和列变换，化为上三角矩阵的 过程。
高斯变换与矩阵三角分解
• 引言 • 高斯变换 • 矩阵三角分解 • 高斯变换与矩阵三角分解的联系 • 实例分析 • 结论
01
引言
背景介绍
高斯变换是数学和工程领域中常用的 一种变换方法，它能够将一个复杂的 数学问题简化为更易于处理的形式。
矩阵三角分解是一种重要的线性代数 工具，它能够将一个复杂的矩阵分解 为一个简单的三角矩阵和若干个单位 矩阵的乘积，从而简化矩阵运算。
06
结论
研究成果总结
01
高斯变换在矩阵三角分解中具有高效性和稳定性，能够快速求解大规 模矩阵问题。
02
矩阵三角分解在高斯变换中的应用，为解决线性方程组、特征值问题 等提供了有效途径。
03
高斯变换与矩阵三角分解的结合，能够提高算法的收敛速度和精度， 减少计算复杂度。
04
高斯变换在矩阵三角分解中的实现，具有广泛的应用前景，可应用于 科学计算、工程技术和金融等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
LU分解紧凑方式
直接利用矩阵乘法来计算 LU分解
1
l21
1
u11 u12
u1n a11 a12
a1n
u22
u2n
a21
a22
a2n
ln1
ln,n1 1
unn an1 an2
ann
L U A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
a(k) kn
( k = 1, …, n-1)
a(k) nk
a(k) nn
则 A(k) 与 A(k+1) 之间的关系式可以表示为： A(k1) Lk A(k)
其中： 1
Lk
1 mk1,k 1
mn,k
,
mik ai(kk)
a(k) kk
( i = k+1, …, n )
1ห้องสมุดไป่ตู้
LU 分解 于是有： A(n) Ln1 L2L1A(1)
Ax = b
Ly b Ux y
两次回代过程求出方程组的解：
运算量： n2
i-1
yi bi lij yj , ( i = 1, …, n )
LU分解
j 1
n
xi yi uij x j
j i 1
总运算量：
uii , ( i = n , …, 1 ) n3 n2 n
3
3
优点：特别适合求解具有多个右端项的线性方程组。
CROUT分解的紧凑算法
算法 5.2 ： ( Crout 分解 )
For k=1,2,...,n
aik
k -1
lik aik lisusk ,
s1
运算量：(n3 - n)/3
i = k, …, n
akj
k 1
ukj akj lksusj lkk , j = k+1, …, n
s1
End For
第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出
比较等式两边的第 k 行得：
ukj akj lk1u1 j
k 1
l u k,k1 k1, j akj lksusj
s1
比较等式两边的第 k 列得：
( j = k, …, n )
lik aik li1u1k
s1
运算量：(n3 - n)/3
j = k, …, n
aik
k 1
lik aik lisusk ukk , i = k+1, …, n
s1
End For
Matlab程序参见：mylu.m
为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储)，用 A 的上三角部分来存放 U。
b1 c1
其中：A
a2
b2
c2
,
an1 bn1 cn1
an bn
d1
d
d2
dn1
dn
对 A 作 Crout分解 得
l1
L
a2
l2
,
an ln
1 u1
U
1
un1
,
1
追赶法（续）
得算法：
Ly = d Ux = y
li bi aiui1, ( i = 1, …, n )
Matlab程序：上机练习。
SPD 的 CHOLESKY 分解
若 A 是对称正定矩阵 (Symmetric Positive Definite )
设 A = LDR
AT = A
A = LDLT
RTDLT = LDR
LDR 分解唯一
R = LT
设 D=diag(d1, , dn)
可以证明：di > 0，( i = 1, …, n)
l u i,k1 k1,k
ukk
aik
i1
lisusk
ukk
s1
( i = k+1, …, n )
直到第 n 步，便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。
LU分解紧凑算法（续）
算法 5.1：( LU 分解 )
For k=1,2,...,n
k -1
akj
ukj akj lksusj ,
A A(1) (Ln1 L2L1)1 A(n)
容易验证： 1
Lk1
1 mk1,k 1
mn,k
( k = 1, …, n-1)
1
记：L L11L21 Lk1, U A(n) ，则
A LU LU 分解 (杜利脱尔Doolittle分解)
其中：L --- 单位下三角矩阵，U --- 上三角矩阵
LU 分解的存在唯一性
LU 分解存在
普通高斯消去法不被中断
?
a(k) kk
0
定理 普通高斯消去法求解方程组 Ax = b 时，主元
a(k) kk
0
的充要条件是：A
的所有顺序主子式不为零。
定理 ( LU分解的唯一性 )
若 A的所有顺序主子式 0 ，则 A存在唯一的 LU分解。
证：存在性由上面的定理可得；唯一性可用反证法证明。
若 A 是对称正定矩阵 ，则可利用 Cholesky 分解。 此时的求解方法称为平方根法。
举例（一）
例：用 LU分解 求线性方程组 Ax=b 的解，其中
1 2 3 4
2
A
1 11
4 6 16
9 27 81
16 26546
,
b
10 14940
解： 令 A = LU，由 LU分解 算法5.1 可得
追
yi
di ai yi1
li ,
( i = 1, …, n )
ui
ci
li ,
( i = 2, …, n-1 )
赶
xn xi
yn yi
ui
其中 u0=0, y0=0, a1=0
xi1, ( i = n-1, …, 1 )
法 运算量： 5n - 4
作业
教材第 162 页： 4、5
比较等式两边的第一列得： li1 ai1 u11 ( i = 2,…,Ln的) 第一列
比较等式两边的第二行得：u2 j a2 j l21u1 j ( j =U2,…的,第n二) 行
比较等式两边的第二列得：li2 ai2 li1u12 u22 ( iL=的3,第…二, n列)
LU分解紧凑算法（续）
类似分解
定理 若 A 的所有顺序主子式 0 ，则
(1) A 存在唯一的 LDR 分解：A = LDR，其中：
L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，R 是单位上三角矩阵 D diag(U ), R D1U
(2) A 存在唯一的克洛脱(Crout)分解：A L U，
其中：L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵
第六章 线性方程组直接解法
第三节 矩阵三角分解
矩阵三角分解
将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积称为 矩阵的三角分解。 高斯消去过程其实就是一个矩阵的三角分解过程。
将 Gauss 消去过程中第 k-1 步消元后的系数矩阵记为：
a(1) 11
a(1) 1k
a(1) 1n
A(k)
a(k) kk
1
1 2 3 4
L
1 11
1 3 7
1 6
, U
1
2 6 12 6 2244
回代：解 Ly = b 得：y =[2, 8, 18, 24]T
解 Ux = y 得：x =[-1, 1, -1, 1]T
例5.4：利用平方根法解线性方程组(见158 页)。
追赶法
考虑三对角线性方程组：
Ax = d
算法 5.3 ： ( Cholesky 分解，按列)
For k=1,2,...,n
1
akk
gkk
akk
k -1
gk2s
2
s1
运算量：n3/6 +n2/2 +n /3
aik
gik
aik
k 1
gis gks
gkk ,
s1
End For
i = k+1, …, n
LU分解求解线性方程组
A LU
令
D
1 2
diag
d1 ,
1
, dn , G LD2
11
A LD2 D2 LT GGT
A GGT
SPD 的 Cholesky 分解
CHOLESKY 分解实现算法
几点说明：
(1) G 为对角线元素全为正的下三角矩阵 ； (2) 只有对称正定矩阵(SPD)才存在 Cholesky分解；
定理 SPD 矩阵的 Cholesky 分解存在且唯一