8.7斯托克斯公式与旋度

x
P
dzdx
y Q
dxdy
Pdx Qdy Rdz
z
R
cos
x
P
cos
y Q
cos
dS Pdx Qdy Rdz
z
R
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
一阶连续偏导数, 则有公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(1)
公式(1)叫做斯托克斯公式.
便于记忆形式
dydz
x
P
dzdx
y Q
dxdy
Pdx Qdy Rdz
z
R
另一种形式
cos
x
P
cos
y Q
cos
dS Pdx Qdy Rdz
Dxy o
x 1
例2 计算曲线积分
Ñ ( y 1)dx (z 2)dy (x 3)dz
C
其中 C
为圆周
x2
y2
z2
R2,
若从
x
轴
x y z 0 ,
正向看过去 , 这个圆周取逆时针方向.
计算曲线积分 Pdx Qdy Rdz 时 ,
以下两种情况用Stokes 公式计算较为简便：
1
(rotF
e)dS
[rotF
e] M
*
其中M * ,
由上式得：lim 1
M
F
dr
lim [rotF
M
e] M
*
[rotF
e]M
上述极限就称作场F在点 M 处沿方向e 的环量密度.
rot
F
是场F取得最大环量密度的方向，在此方向
上，最大环量密度为|rotF |.
如果rot
F(
充分且必要条件是
rot F 0
课本Page 222的5个公式.
四、小结
1、斯托克斯公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
2、斯托克斯公式成立的条件 3、斯托克斯公式的物理意义— 环流量与旋度
斯托克斯公式的其它形式
dydz
则沿场 FF中 某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲 线Rdz 上的曲线积分
称
为向量
场
F
沿曲
线
按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
dr
dS
x y z
PQR
r 例1 求下列向量场F沿闭曲线（依逆时针方向）
的环流量：
r
r
r
r
F (x z)i (x3 yz) j 3xy2 k,
r2y2 r3
三式相加即得 div(grad r)
i jk
rot(grad r)
x
y
z
(0, 0, 0)
xyz
rrr
设包围点 M 的定向闭曲线 在定向平面 (面积 记为 )上， 的正向为 +，e 为 的法向量，
1
F
dr称为场
F
在上沿方向e
的平均环量密度.
1
F
dr
1
rotF
dS
特殊情形
(1)
格林公式
例 1 计算 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
解 zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
3 d (Dxy如图)
Dxy
3 2
z 1
Fra Baidu bibliotek
0 Dxy 1 x
y 1
y 1
z
R
其中cos ,cos ,cos 为法向量的方向余弦.
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式
G
G
G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域,
F ( x,
y, z)
P( x,
y, z)i
Q( x,
y, z)
j
R( x,
y,
z)k
C(
则
F(
x,
y,
z)沿
G
内定向曲线的积分与路径无关的
例如当是上半球面z= 1 x2 y2的上侧,则＋是 xoy面上的逆时针走向的单位圆周.
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法向 量符合右手法则.
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时, 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同.
2、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 是一张光滑或分片光滑的定向曲面， 的正向边界 +为光滑或分段光滑的闭曲线。 若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有
M
)在场内处处为零,
称F为无旋场.
如果divF(M )在场内处处为零,称F为无源场.
一个无旋无源场称为调和场 .
调和场是物理学中的一类重要的场 , 与调和函数有着密切联系 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
思考与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot(grad r) 0
.
提示: grad r x , y , z
rrr
x
(
x r
)
r xxr
r2
z
(
z r
)
r2z2 r3
r 2 x2 r3
,
y
( y) r
为圆周：z 2 x2 y2 , z 0
2. 旋度的定义:
设向量场
F(
x,
y,
z
)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
i jk
称向量 x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
为F在点( x, y, z)处的旋度(rotation),记为rotF.
y z
z x
x y
Pdx Qdy Rdz
(1)
公式(1)叫做斯托克斯公式.
斯托克斯公式的向量形式
rotF dS
F
dr
Stokes公式的物理解释:
向 量量 场场F的F沿 旋有 度向 场闭 通曲 过线所的 张环 的流 曲量 面等 的于 通向
量.( 的正向与 的侧符合右手法则)
例 3 计算 Ñ 3ydx xzdy yz2dz ，
x2 y2 2z
其中：
z
2
, 从 z 轴正向
看去为逆时针方向.
二、物理意义 ——环流量与旋度
1、环流量的定义:
设 C(1) 向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n是 的单位法向量.
五、求向量场 A ( x z)i ( x 3 yz) j 3 xy2 k 沿闭曲 线 为圆 周z 2 x 2 y 2 , z 0 (从z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
(1) 从积分曲线看, 若 为一平面和一曲面的交线 ,
这时可考虑用Stokes 公式将曲线积分化为曲面积分 .
取 为以 为边界的平面区域.( 的正向为 )
(2) 从被积函数看, 当 R Q , P R , Q P y z z x x y
比较简单时, 用 Stokes 公式化为曲面积分计算也可 能比较简便 .
小结一：各种积分之间的联系：
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算 Guass公式
计算 重积分
小结二：场论初步
梯度
gradu
u
i
u
j
u
k
x y z
通量 散度
Pdydz Qdzdx Rdxdy
divF
P
Q
R
x y z
环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
rotF
(
R
Q
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线：
设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方.
带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
六、设u u( x, y, z)具有二阶连续偏导数,求rot( gradu).
练习题答案
一、 20.
三、rotA i j .
五、12 .
二、 a3 . 4
四、0.
六、0.
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz, 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
例
设 求
A (2z rot A.
3
y)i
(3x
z)
j
(
y
x)k，
定理 设 是一张光滑或分片光滑的定向曲面， 的正向边界 +为光滑或分段光滑的闭曲线。 若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有
一阶连续偏导数, 则有公式
R Q dydz P R dzdx Q P dxdy