可分离变量的微分方程及其应用

衰变率： y0 y(t )e
( t t0 )
r e
( t t0 )
1
Fra Baidu bibliotek
其中 , y(t), r均容易测出。
结论：
画名 Emmaus的信徒们 洗足 读乐谱的妇人 弹曼陀林的妇人 做花边的人 欢笑的女孩
钋210衰变原子数 （每克每分钟） 8.5 12.6 10.3 8.2 1.5 5.2
M1( x)M 2 ( y)dx N1( x) N 2( y)dy 0
（2）
其中f1( x), f 2 ( y); M1( x), M 2 ( y); N1( x), N2 ( y)均连续
则称：(1)和(2)为变量可分离方程。
五、可分离变量微分方程的解法
以方程（1）为例：
dy f1 ( x) f 2 ( y) dx
3 建立微分方程： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t), y0 为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的 衰变率为常数r 。则：
dy y r dt y(t0 ) y0
四、可分离变量微分方程的定义
定义： 若一阶显式或微分形式方程可分别写成 dy f1 ( x) f 2 ( y) （1） dx
变量分离 积分法 隐式通解（通积分）
例 解初值问题
x y d x ( x 2 1) d y 0
y(0) 1
六、解决问题
经验：矿石中铀的最大含量可能 2-3%，若白铅 中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿 石中含铀量超过4% 。 处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放 射性物质含量比较，来判别画的真伪 。
镭226衰变原子数 （每克每分钟） 0.82 0.26 0.3 0.17 1.4 6.0
y0 y(t )e
假设：第一幅画是真品，则 150 ln 2 300 11 t t 0 300 e 2 22
( t t0 )
同理可判别其 他画的真伪。
0.8 [2
150 11
七、练习
1.解方程:
dy y 2 cos x dx y x 0 1
2.古尸年代鉴定问题: 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安 德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验 室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例 仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活 在多少年前?
r[e
( t t0 )
1]
y(t )e300 r[e300 1] 8.5 2
150 11
1]
98050 个 / min 30000 个 / min
铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。
小结：
1.可分离变量的微分方程及其解法
2.可分离变量的微分方程的建模应用
建模： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为 y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的 数量,镭元素的衰变率为常数r 。 dy y r dt y(t0 ) y0 r ( t t 0 ) ( t t 0 ) y(t ) 1 e y0e 则:

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可分离变量的微分方程及其应用
主讲人 李海燕
数学计算机科学系
授课内容
知识点回顾 提出问题 引例建模 定义 解法 解决问题 练习
一、知识点回顾
常微分方程的定义 常微分方程的形式 通解与特解
二、提出问题
怎样求解一阶微分方程呢？（难！）
分离变量法 常数变易法 初等积分法 恰当因子法 参数法 降阶法
什么是可分离变量的微分方程呢？
三、引例建模
故事梗概
范. 梅格伦（Van Meegren）“伪造”17世纪 荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画 卖给纳粹分子。 直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学 家们用微分方程模型解决了真假名画问题。
思路 1 分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放 射性，其应用已有2000余年，白铅的成分 中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放 射性铅（Pb210） 。 我们看下元素衰变示意图 。 2 原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford） 指出，物质的放射性（衰变率）正比 于现存物质的原子数 。