信道的数学模型及分类

在一般的广义通信系统中，信道是很重要的一部分。信道的任务是以信号方式传

输信息和存储信息。我们研究信道就是研究信道中能够传送或存储的最大信息量，即

信道容量问题。

信源输出的是携带着信息的消息，而消息必须首先转换成能在信道中传输或存储

的信号，然后通过信道传送到收信者。并且认为噪声或干扰主要是从信道中引入，它

使信号通过信道后产生错误和失真。故信道的输入和输出信号之间一般不是确定的函

数关系，而是统计依赖的关系。只要知道了信道的输入信号、输出信号，以及它们之

间的统计依赖关系，则信道的全部特性就确定了。

一、信道的分类

根据信道用户的多少，可以分为：

（1）两端（单用户）信道。只是一个输入端和一个输出端的信道；

（2）多端（多用户）信道。它是在输入端或输出端至少有一端有两个以上的用户，并且还可以是双向通信的信道。

根据信道输入端和输出端的关联，可以分为：

（1）无反馈信道。信道输出端无信道反馈到输入端，即输出端对输入端信号无影响；

（2）反馈信道。信道输出端的信号反馈到输入端，影响输入端信号发生变化；

根据信道的参数与时间的关系，信道又可分为：

（1）固定参数信道。信道的统计特性不随时间变化而改变；

（2）时变参数信道。信道的统计特性随时间变化而变化；

根据输入和输出信号的特点，信道又分为：

（1）离散信道。它是指输入和输出的随机序列取值都是离散的信道；

（2）连续信道。输入输出的随机序列的数值均是连续的信道；

（3）半离散半连续信道；

（4）波形信道。输入和输出信号都是时间上连续的随机信号。

在此，我们研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。

二、离散信道的数学模型

离散信道的数学模型一般如右图所示，输入和输出信道用随机矢量表示。输入信号，输出信号。每个随机变量和又

分别取值于符号集和

。另外，图中条件概率描述

了输入信号和输出信号之间的统计依赖关系，反映了信道的统计特性。

根据信道的统计特性即条件概率的不同，离散信道又可分成三种情况。

1、无干扰信道。信道中没有随机性的干扰或者干扰很小，输出信号与输入信号之间有

确定的一一对应的关系，即

并且满足

2、有干扰无记忆信道。实际信道中有干扰，即输出符号与输入符号之间无确定的对应

关系。这时信道输入和输出之间的条件概率不同于上式，而是一般的概率分布。若信道任一时刻输出符号只统计依赖于对应时刻的输入符号，与非对应时刻的输入符

信道

号及其他任何时刻的输出符号无关，则这种信道称为无记忆信道。满足离散无记忆信道的充要条件是：

证明：充分性，即满足上式的离散信道为无记忆信道。

而

根据假设，上式可以继续作如下推导：

在离散信道中，有

即有

所以有

.…..

因此有

同理，

同理可得，

……

和

根据以上推导可知，只要满足，则离散信道在时刻的输出只与时刻的输入有关，与以前的输入和输出无关，与以

后的输出也无关，此信道就是离散无记忆信道。

必要性。若离散信道是无记忆信道，则根据离散无记忆的信道的定义，得

……

因此，有

因此，是离散无记忆信道的充要条件。

3、有干扰有记忆信道

这是更一般的情况，既有干扰又有记忆。实际信道往往是这种类型。例如，在数字信道中，由于信道滤波使频率特性不理想时造成了码字之间的干扰，在这一类信道中某一瞬间的输出符号不但与对应时刻的输入符号有关，而且还与此以前其他时刻信道的输入符号以及输出符号有关，这样的信道称为有记忆信道，这时信道的条件概率

不再满足。

处理这类有记忆信道时，最直观的方法就是把记忆较强的个符号当做一个矢量符号来处理，而各矢量符号之间认为是无记忆的，这样就转化为无记忆信道的问题。这样处理一般会引入误差，因为实际上第一个矢量的最末几个符号一般是与第二个矢量的最前面几个符号是有关联的。取值越大，误差越小。

另一种处理方法是把看成马尔可夫链的形式，这是有限记忆信道的问题，

把信道某时刻的输入和输出序列看成为信道的状态，那么信道的编译特性可用在已知现时刻的输入符号和输出序列看成为信道的状态，那么，信道的统计特性可用在已知现时刻的输入符号和前时刻信道所处的状态的条件下，信道的输出符号和所处的状态

的联合条件概率来描述，即用来描述。然而，在一般情况下这种方法仍

很复杂，只有在每一个输出符号只与前一个输入符号有关的简单情况下，才可得到比较简单的结果。

我们着重研究无记忆信道，从最简单的单符号信道入手。

三、单符号离散信道的数学模型

单符号离散信道的输入变量为，取值于；输出变量为，取值于，并且有条件概率

这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率。

1-p

p

p

1-p

因为信道中有干扰存在，若信道输入为时，输出的是哪一个符号，事先无法确定，但信道输出一定是中的一个，即有

由于信道的干扰使输入符号在传输中发生错误，所以可以用传递概率

来描述干扰的大小。因此，一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空间来描述，另外，也可以用图来描述，如下图所示。

例1 二元对称信道，简记为BSC。

这是很重要的一种特殊信道，它的输入符号取值于；输出符号取值于。此时，，而且。又有传递概率

X

a1=0

a2=0

Y

b1=0

b2=1

如右图所示，很明显，表示信道输入符号为 0 而收到符号为 1 的概率，而表示信道输入符号为 1 而接收到的符号为 0 的概率。它们都是单个符号传输发生错误的概率，通常用表示。而和都是无错误传输的概率，通常用

表示。

这些传递概率满足下式：

对于这些传递概率，可用矩阵来表示，由此得二元对称对称信道的传递矩阵为：