(电路分析)一阶电路的全响应
4-4一阶电路的全响应 三要素法
t
t r 1 e
t r r 0 r e
（t ≥0+）
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应
r (t ) r () r (0 ) r () e
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性 电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上 式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。
注意：
1)零输入响应、零状态响应和全响应都可采用三要 素法进行求解； 2)三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 求解步骤
作出t=0-时的等效电路，求出uC(0-)或iL(0-);
根据换路定则，求出uC(0+)或iL(0+); 根据t>0时的电路，求出L或C两端看进去的有源二端电
阻网络的戴维宁等效电路（一阶RC电路）或诺顿等效电 路（一阶RL电路）；
根据一阶电路零状态响应的一般形式求出uC(t)或iL(t) ;
电容电压的稳态值uc(∞)即为得到的戴维宁等效电路中的 电压源电压，电感电流的稳态值iL(∞)即为诺顿等效中的 电流源的电流。根据Req可求出时间常数τ ;
根据t>0时的电路，将电容用电压为uC(t)的电压源代替，
i f 0.5 A
3) 求τ
uo 10 × io 10i0 40i0 3
Req
uo 40W io L 1 s Req 40
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 例题
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e 0.5 0.7e
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
(电路分析)一阶电路的全响应
一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应全响应一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。
图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。
时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。
时，响应的初始值为时，响应的稳态值为用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。
图5.5-1（b）中，零输入响应为图5.5-1（c）中，零状态响应为根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。
全响应的变化规律1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。
3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。
电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法全响应的三要素初始值稳态值时间常数例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态，t=0时开关S闭合，求时的电容电流。
解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。
1、确定初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。
由换路定则得初始状态2、确定电容电压的稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压则电容电压的稳态值为3、求时间常数τ。
求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ所以，时间常数为4、求全响应。
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
一阶电路的全响应
vCh
图11.24 RC串联零输入电路图 图11.25 t > 0时的等效电路图 图11.26 电容电压vC波形图0
t(s)
2006-1-1
！
2
1.1 全响应的解(1)
当t = 0时，开关S由1掷向2处。此时直流电压源VS2作用于电路，其等效 电路如图11.25所示。根据换路定理可知：vC(0+) = vC(0−) = VS1。又根据基 尔霍夫电压定律列写电压方程有vC + Ri = VS2 (t > 0)。由于电流i与电容电压 vC关联，因此存在以下关系
+ + +
RS S t = 0
+
vC − C
R1 i1 iC
i2
+
vC − C
RS
R1 i1 iC
Req
i2
VS
R2
VS
R2
VOC
−
−
−
图11.28 例11.3图 图11.29 t > 0时的等效电路 图11.30 化简为戴维南等效电路
+
iC vC C −
2006-1-1
！
7
1.3 三要素法
解 当t < 0时，由于电路已经处于稳定状态，因此可知电容电压vC(0−) = 0。 当t = 0时，开关S闭合。根据换路定理可知，vC(0+) = vC(0−) = 0。为方
当t = 0时，开关S由1掷向2处。根据换路定理可知，iL(0+) = iL(0−) = −0.5(A)。为方便，画出其等效电路图如图11.33所示。 将电感以外的电路化简为戴维南等效电路，如图11.34所示，那么其 开路电压VOC = −2.5(V)，等效电阻Req = 1.5(Ω)。则电感电流终了 值iL(∞) = VOC/Req = −1.667(V)，时间常数
关于求解一阶电路的全响应的方法
关于求解一阶电路的全响应的方法
求解一阶电路的全响应的方法有两种：时域方法和复频域方法。
1. 时域方法：
(a) 首先可以根据电路中的元件参数和初始条件，建立电路的微分方程。
(b) 对电路的微分方程进行求解，得到电路中的电流或电压关于时间的函数表达式。
(c) 根据实际问题中的初始条件，确定积分常数，并代入求解得到的函数表达式中。
(d) 通过得到的电流或电压函数表达式，可以确定电路的全响应。
2. 复频域方法：
(a) 将电路中的元件参数和初始条件通过拉普拉斯变换转换为复频域（s域）。
(b) 对电路的复频域方程进行代数求解，得到电路中的电流或电压的复频域表达式。
(c) 使用拉普拉斯反变换将复频域表达式变换回时域，得到电路中的电流或电压关于时间的函数表达式。
(d) 根据实际问题中的初始条件，确定积分常数，并代入求解得到的函数表达式中。
(e) 通过得到的电流或电压函数表达式，可以确定电路的全响应。
无论是使用时域方法还是复频域方法，求解一阶电路的全响应都需要根据实际情
况确定初始条件，例如电容器或电感器的初始电压或电流，以及连接电路的信号源等。
三元素法分析一阶电路的全响应
三元素法分析一阶电路的全响应电路论文学院：电子信息工程学院班级：电气091502班姓名：***学号：************三元素法分析一阶电路的全响应摘要：本文主要介绍用三元素法分析解决一阶电路问题。
用三元素法求一阶电路问题首先要求出三元素：初始值，稳态值，时间常数，用三元素法可以直接代入公式求解，求解过程简单。
关键词：一阶电路 三元素法一、 全响应定义当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路全响应。
全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。
二、 三元素法的基本原理一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 其解答一般形式为：令 t = 0+ 全响应f （t ）的三要素求解公式为f （t ）=f （∞）＋[f （0+）－f （∞）]e －t/τ其中，f （0+）为t=0+时刻的初始值，f （∞）为t →∞时的特解稳态值，τ为t ≥0时的时间常数。
f （0+）、f （∞）和τ称为三要素。
只要知道f （0+）、f （∞）和τ这三个要素，就可以根据上述公式直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。
三、 三元素法的解题步骤⒈ 求初始值 ⑴ 初始值定义t=0+时电路中电压与电流的值称为初始值。
⑵ 初始值的求解① 由换路前电路（稳定状态）求u C (0－)和i L (0－)； ② 由换路定律得 u C (0+) 和 i L (0+)。
③ 画0+等效电路。
c bf tfa=+d d τteA t f t f -+'=)()(a.换路后的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。
（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
④由0+电路求所需各变量的0+值。
⒉求稳态值⑴稳态值的定义t=∞时电路中电压与电流的值称为稳态值。
⑵稳态值的求解稳态时，电容C视为开路，电感L视为短路，稳态值即求直流电阻性电路中的电压和电源。
⒊求时间常数τ⑴时间常数τ的定义当电阻的单位为Ω，电容的单位为F时，乘积RC的单位为s，称为RC电路的时间常数，用τ表示。
一阶电路全响应
零状态响应
零输入响应
便于叠加计算
二. 三要素法分析一阶电路
以一阶RC电路全响应说明：
t
uc U s (U0 U S )e
时间常数
稳态分量t→∞
电容电压uc（∞）
电容电压
初值uc（0）
上式可以写成：Uc(t) Uc() [Uc(0) Uc()]et/
推广
在直流激励下，电路的任意一个全响应可用f（t）表示，则：
0
t
零输入响应
(3).两种分解方式的比较 全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)
稳态解
暂态解
t
uc U s (U0 U S )e (t ≥ 0)
物理概念清楚
全响应= 零状态响应 + 零输入响应
t
t
uC U S (1 e ) U0e
(t 0)
强制分量(稳态解)
uc
US
U0
uc
0
u" C
U0 -US
自由分量(暂态解)
u' C t
稳态解 全解 暂态解
(2). 全响应= 零状态响应 + 零输入响应
t
t
uC U S (1 e ) U0e
(t 0)
零状态响应
零输入响应
K(t=0) R
i
= US
+uR–
C
+
uC
–
uC (0-)=U0
t
f (t) f () [ f (0 ) f ()]e
其解答一般形式为：
令 t = 0+
f (0 ) f () A
5.5 一阶电路的全响应和三要素法
1）着眼于电路的两种工作状态
全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)
t
t
-
-
uC US Ae US (U0 - US )e t 0
强制分量 (稳态解)
自由分量 (暂态解)
第3 页
2）着眼于因果关系
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
t
t
-
-
uC US(1 - e ) U0e
0
-
- iL e
2
1 - e-5t
A
第 27 页
(3)叠加
iL
1H +
10V –
5
i
uR
S
uC
2 0.25F
uR = uC
i
t
iL
t
uR t
2
iL t uC t
2
2
1 - e-5t
5e-2t
A
第 28 页
例题 已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求 两次换路后的电感电流i(t)和电感电压u(t) 。
(t 0)
零状态响应
零输入响应
S(t=0) R
+
US
C
–
uC (0-)=U0
S(t=0) R
+
US
C
+
–
uC (0-)= 0
S(t=0) R C
uC (0-)=U0
第4 页
例题 t=0时开关S闭合，求t >0后的iC、uC及电流源两端的电压。 (uC (0- ) 1V,C 1F)
1
1
1
+
一阶电路全响应公式
一阶电路全响应公式一阶电路全响应公式，这可是电学里相当重要的一部分知识呢！咱先来说说啥是一阶电路。
想象一下，电路里就那么几个元件，电阻、电容或者电感啥的，而且它们的关系比较简单，这就构成了一阶电路。
比如说，一个电阻和一个电容串联的电路，或者一个电阻和一个电感串联的电路，这都算一阶电路。
那啥又是全响应呢？简单说，就是电路在电源激励和初始储能共同作用下产生的响应。
一阶电路全响应公式，就像是打开这个神秘电学世界的一把钥匙。
比如说，对于一个包含电阻 R 和电容 C 的串联一阶电路，在电源电压U 作用下，电容初始电压为 U0，其全响应公式就是：u(t) = U + (U0 - U) e^(-t/RC) 。
这里的 e 是自然对数的底数，RC 叫做时间常数。
咱来举个例子感受感受。
有一次我在实验室里做实验，就是研究一个一阶 RC 串联电路的全响应。
我小心翼翼地连接好电路，打开电源，然后用示波器观察电压的变化。
一开始，电压的变化特别快，就像个调皮的孩子上蹿下跳。
随着时间推移，它慢慢变得稳定，就像那个调皮孩子终于累了，安静了下来。
这个过程中，全响应公式就像是一个幕后的指挥家，精准地预测着电压的每一步变化。
再来说说这公式的用处。
它能帮我们计算电路中电压或者电流在不同时刻的值，让我们对电路的行为了如指掌。
比如说，在设计电子设备的时候，我们得知道电路的响应速度有多快，能不能满足我们的要求。
这时候，一阶电路全响应公式就能大显身手啦。
还有啊，学习一阶电路全响应公式也不是一帆风顺的。
有时候，那些符号和参数会让人眼花缭乱，脑袋都大了。
但是，只要咱静下心来，多做几道题，多想想其中的道理，慢慢地也就搞明白了。
总的来说，一阶电路全响应公式虽然有点复杂，但只要我们用心去学，去理解，它就能成为我们解决电学问题的有力工具。
就像我们在生活中遇到困难，只要勇敢面对，找到方法，就能迎刃而解。
希望大家都能掌握好这个神奇的公式，在电学的世界里畅游无阻！。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶电路的全响应
注意安全事项
在实验过程中，要注意安全事项，如避免触 电、短路等危险情况。
仿真模拟软件应用举例
Multisim软件
Multisim是一款常用的电路仿真软件，可以用于模拟一阶电路的全响 应过程，通过虚拟实验来验证理论分析结果。
PSpice软件
PSpice是另一款专业的电路仿真软件，具有强大的电路分析和模拟功 能，可以用于一阶电路的暂态响应和稳态响应分析。
电感L的影响
在RL电路中，电感L的大小直接影响时间常数τ。电感L越大，时间常数τ越大，电路变化越慢； 反之，电感L越小，时间常数τ越小，电路变化越快。同时，电阻R的大小也会影响时间常数τ 的大小。
05 全响应过程分析与描述
零输入响应、零状态响应概念区分
零输入响应
指电路在没有外部激励的情况下，仅 由初始储能（如电容电压、电感电流 ）引起的响应。
一阶电路简介
一阶电路定义
仅含有一个动态元件（电容或电感）的线性电路。
一阶电路特点
电路结构简单，动态过程易于分析。
常见的一阶电路
RC电路、RL电路等。
全响应概念及重要性
全响应定义
一阶电路在激励和初始状态共同作用 下的响应。
全响应的组成
全响应的重要性
全响应反映了电路在实际工作条件下的动态 特性，是电路分析和设计的重要依据。同时 ，全响应也是理解更复杂电路响应的基础。
时间常数是描述一阶电路暂态过程变化 快慢的重要参数，用希腊字母τ（tau） 表示。它反映了电路从一种稳定状态过 渡到另一种稳定状态所需的时间。
计算公式
对于一阶RC电路，时间常数τ等于电 阻R与电容C的乘积，即τ=RC；对于 一阶RL电路，时间常数τ等于电感L与 电阻R的比值，即τ=L/R。
一阶电路分析
电流源替代;
uC(0-)=0
iL(0-)=0
注：换路前无储能， C----短路; L----开路;
3.在t=0+时的置换电路上运用电阻电路分析方法计
算其它所求响应的初始值。
三、三要素法
t=0
uC(0)=U0
t=0
iL(0)=I0
1t
uC (t) (U0 RI S ) e τ RI S
初始值
，iR
uC R
｛ uc(0)=0
C duC dt
uC R
IS ，
t 0
uc
uch
ucp
1
Ke RC
t
uch
1
Ke RC
t
，
RI S ，
uC (0) 0
uC (0) Ke0 RI S 0 , K RI S
uC
(t)
RI S (1
1t
eτ
)，
t
0， τ
RC
ucp Q RI S
电 路 的 零 状 态 响 应
RCUCmωsin(ωt ψu ) UCmcos(ωt ψu ) U Smcos(ωt ψ)
(RUCmωC )2
U
2 Cm
cos(ωt
ψu
tg1ωCR)
U Sm cos(ωt
ψ)
UCm
R2ω2C
2
1
U
，
Sm
ψu tg1ωCR ψ
｛UCm
U Sm 1 R2ω2C 2
素 3.正弦量的相位差
二、正弦激励的瞬态和稳态
ψ π
u(t) Umcosωt
0
u(t) Umcos(ωt ψ) u(t) Umcos(ωt ψ)
第6章 一阶电路4)
+ _E
uC
RC
uC () [uC (0 ) uC ()] e
可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
t
三要素法的证明：
一阶电路的数学模型是一阶微分方程 , 解的一般形式为
t
f (t ) f () Ae
1.5mA
第二阶段:(K:12) K R1 1k 1 2
稳态值 R1 3 C
i
+ 1k R3 2k E1 _ 3V + R2 E2 _ 5V
uC
i
R3 + _ E2 R2
uC
R2 u c ( ) E2 R1 R2 R3 2.5 V
E2 i ( ) R1 R2 R3 1.25 mA
t
uC (0-)=U0
=RC
由初始值定A
稳态响应
uC' = US 暂态响应 uC Ae
t
uC U S Ae
uC (0+)=A+US=U0
A=U0 - US
1. 全响应 = 强制分量(稳态响应)+自由分量(暂态响应)
uC U S (U 0 U S )e
K(t=0)
R
R
i
C uC – +
=
+
+u –
uC (0-)=U0
uC U S (1 e
零状态响应
t
) U 0e
t
(t 0)
零输入响应
uc US
全响应
一阶电路全响应的三要素公式
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咱们先来说说这一阶电路全响应到底是啥。
简单来讲，它就是在电源激励和初始储能共同作用下，电路中产生的响应。
这就好比你有一笔存款（初始储能），然后每个月还有固定的工资收入（电源激励），加起来就是你的总财富变化情况（全响应）。
那这三要素公式到底是哪三个要素呢？它们分别是初始值、稳态值和时间常数。
初始值就是电路在初始时刻的状态，就像你刚出发时站的那个起点；稳态值呢，是经过足够长时间后电路稳定下来的状态，就好比你经过长途跋涉最终到达的那个目的地；时间常数则反映了电路从初始状态过渡到稳态的快慢，就像是你到达目的地所花的时间。
给大家讲讲我曾经碰到的一个小例子吧。
有一次，我在实验室里调试一个一阶电路，怎么都弄不对。
我盯着那些电阻、电容和电感，脑袋都大了。
后来我静下心来，仔细分析了初始值、稳态值和时间常数，发现原来是我把一个电阻的阻值算错了，导致整个计算都出了偏差。
经过这次教训，我更加深刻地理解了三要素公式的重要性。
那这三要素公式具体怎么用呢？比如说，我们已知一个一阶 RC 电路，电容的初始电压为 U0，电源电压为 US，电阻为 R，电容为 C。
那么，电路中的电压响应 u(t) 就可以用三要素公式表示为：u(t) = U∞ + [U0 - U∞] e^(-t/τ) ，其中U∞ 就是稳态值，等于 US；τ 就是时间常数，等于 RC 。
再比如说一阶 RL 电路，电感的初始电流为 I0，电源电流为 IS，电阻为 R，电感为 L。
那么，电路中的电流响应 i(t) 就可以表示为：i(t) = I∞ + [I0 - I∞] e^(-t/τ) ，这里的I∞ 等于 IS ，时间常数τ 等于 L/R 。
总之，一阶电路全响应的三要素公式是我们解决一阶电路问题的得力工具。
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一阶电路的全响应
一阶电路的全响应
一、全响应
全响应
一阶电路在外加激励和动态元件的初始状态共同作用时产生的响应，称为一阶电路的全响应（complete response）。
图5.5-1（a）所示的一阶RC电路，直流电压源Us是外加激励，时开关S处于断开状态，电容的初始电压。
时开关闭合，现讨论时电路响应的变化规律。
时，响应的初始值为
时，响应的稳态值为
用叠加定理计算全响应：开关闭合后，电容电压的全响应，等于初始状态U0单独作用时产生的零输入响应
和电压源Us单独作用时产生的零状态响应的代数和，如图5.5-1（b）、（c）所示。
图5.5-1（b）中，零输入响应为
图5.5-1（c）中，零状态响应为
根据叠加定理，图5.5-1（a）电路的全响应为
用表示全响应，表示响应的初始值，表示稳态值。
全响应的变化规律
1、当时，即初始值大于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐衰减到稳态值，这是动态元件C或L对电路放电。
2、当时，即初始值小于稳态值，则全响应由初始值开始按指数规律逐渐增加到稳态值，这是电路对动态元件C或L充电。
3、当时，即初始值等于稳态值，则全响应。
电路换路后无过渡过程，直接进入稳态，动态元件C或L既不对电路放电，也不充电。
二、全响应的三要素计算方法
全响应的三要素
初始值
稳态值
时间常数
例5.5-1 图5.5-2（a）所示电路，已知C=5uF，t<0时开关S处于断开状态，电路处于稳态， t=0时开关S闭合，求时的电容电流。
解：欲求电容电流，只要求出电容电压即可。
1、确定初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-2（b）所示，这时电路已处于稳态，电容相当于开路，则。
由换路定则得初始状态
2、确定电容电压的稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-2（c）所示，这时电路也处于稳态，电容也相当于开路，则3KΩ电阻两端的电压
则电容电压的稳态值为
3、求时间常数τ。
求从电容C两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-2（d）所示，这时将15V和5V电压源都视为短路，等效电阻为6KΩ和3KΩ电阻的并联，即R=6K∥3K=2KΩ
所以，时间常数为
4、求全响应。
电路换路后的电容电压为
电容电流为
例5.5-2 图5.5-3（a）所示电路，L=2H，时开关S处于位置1，且电路已处于稳态， t=0时开关S拨到位置2，求时的电流和。
解：1、求初始状态。
作时刻的电路，如图5.5-3（b）所示，并由换路定则，得
2、求稳态值。
作t→∞时的电路，如图5.5-3（c）所示。
显然，电路中无外加激励，受控源的电流由电感电压控制，进入稳态时电感中的能量必然释放到0，则
3、求时间常数τ
求从电感L两端看进去的戴维南等效电阻R的电路如图5.5-3（d）所示，由于电路中含有受控源，所以用外加电压法求解，由图5.5-3（d）得
则
故等效电阻为
所以，时间常数为
4、全响应为。