磁感应强度毕奥萨伐尔定律

0NI
2R
43 173/
2
43 53
0.7120NI
R
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的 场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。 图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的 场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加 曲线。
O1
Q1
P
Q2
O2
例题：在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。 试求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并计算 氢原子在基态时电子的轨道磁矩。
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆的 半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电流， 电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2，所以 相应的磁矩为
处的磁感强度
vv B dB
0Idlvrv 4 r3
v dB
0
4
Idlvrv r3
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
+
7
Idl + 3
R
6
+4
5
1、5 点 ：dB0
3、7点
：dB
0Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB4π0IRdl2 sin450
二、 毕奥---萨伐尔定律应用举例
R
o
p*
dx
x
x
+++++++++++++ +
解 由圆形电流磁场公式 B（ 2 x2 0IRR22） 3/2
1
x1 o p 2
x2
x + + + + + + + + + + + + + + +
dB0 2
R2Indx R2 x2 3/2
xRcot dxRcs2cd
B dB
0nIx2 2 x1
I
o r* P
例： 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
r
dB
B
o
R
pB
*
x
I
dB 0
4π
Idl r2
解 根据对称性分析 BBxdBsi n
Idl
R
r
o
x
cos R r
dB r 2 R 2 x 2
2R 2 2
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
22R20N RIR223/2
80NI1 1
5 5R 2 2
2
0.7160NI
R
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度 都等于
BQ
0NIR2
2R2
R2
3/
2
0NIR2
2R2
3R
2
3/
2
4
4
3）x0
B 0I
2R
4）xR B20Ix3R2，B2π0IxS3
（1） I
R o
B0 x
B0
0I
2R
（2 ） I R
o
B0
0I
4R
（3） I R o
B0
0I
8R
（4）
（5） I
BA
0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B04R 0I2
0I 0I
4R1 4πR1
三、 磁偶极矩
m I S e n
磁感强度
一. 基本磁现象 中国在磁学方面的贡献： 最早发现磁现象：磁石吸引铁屑
春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁
东汉王充《论衡》描述： 司南勺最早的指南器具
司南勺
十一世纪沈括发明指南针，发现地磁偏角， 比欧洲的哥伦布早四百年
十二世纪已有关于指南针用于航海的记载
早期的磁现象包括:
天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。
磁现象与电现象有没有联系？ 静止的电荷
静电场
运动的电荷
？
1820年 奥斯特 磁针上的电碰撞实验
电流的磁效应 安培提出分子电流假设:
磁现象的电本质—运动的电荷产生磁场
奥斯特
运动电荷
磁场
运动电荷
二. 磁 感 强 度 B的 定 义
设带电量为q，速度为v的运动试探电荷处于磁
场中，实验发现：
y
v v +
例2中圆电流磁感强度公
式也可写成
B
0 IR 2
2x3
B
0m
2π x3
B
0m
2π x3
en
I S
enm
m
en S I
说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距 圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
例： 载流直螺线管的磁场
如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
(2) 无限长的螺线管 （3）半无限长螺线管
B0nI
1
π 2
,
2
0
或由 1π,20代入
B02nIco2sco1s
B
1 2
0nI
1 2
0 nI
B 0nI
O
x
练习：半径R,无限长半圆柱金属面通电流I，求轴线上 B。
解：通电半圆柱面
电流线(无限长直电流)集合
R
dI
dI
R
dI I RdId
πR
Fra Baidu bibliotek
π
P
dB dB'
d
P
y
x dB2π0dRI 20πI2dR
I
由对称性：By dBy 0
B B xd B s in
0
0 Is ind0 I 22 R 2 R
沿 x方向
四、 运动电荷的磁场
电荷运动
形成
电流
磁场
毕
—
萨定律
v dB
0
4
Idlvrv r3
j
S
I d l jS d l n d lS v q
dB方向均沿
例： 载流长直导线的磁场. x 轴的负方向
z
D 2
解
dB
0 4
Idzsin
r2
dz r
Iz
dB
B dB40 CDIdzrs2in
z r0cot,rr0/sin
x
C
o r0
1
*P y
dzr0d/sin2
B 0I 2sind
4r0 1
B 0I
4r0
2 sind
1
40rI0（cos1cos2）
ISner2
L m e v r m e2r n r 2 m e nr2
e
ur L
2me
角动量和磁矩的方向可分
别按右手螺旋规则确定。
L
因为电子运动方向与电流
方向相反，所以L和μ的方
向恰好相反，如图所示。
上式关系写成矢量式为
－
e
ur L
2me
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于 电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔 理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以 氢原子在基态时，其轨道磁矩为
解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1 、 O2 处 磁 感 应 强 度 相 等 ， 大小都是
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
B0
0NI
2R
2
0NIR2
R2 R2 3/2
0NI1 1 0.6770NI
r
dI2πrdrr dr
2π
dr
0, 0,
B 向外 B向内
dB0dI 0 dr
2r 2
B02 0Rdr02R
解法二 运动电荷的磁场
oR
r
dB0
0
4π
dqv r2
dq2πrdr
dr
dB 0dr
2
vr B02 0Rdr02R
例题：亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹 线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对 相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离 等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上 中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两 线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
B的方向沿 x 轴的负方向.
z
D 2
无限长载流长直导线的磁场.
B40rI0（cos1cos2）
I
o
1 0 2 π
B 0I
2π r0
x 1
C
B
+
P
y
无限长载流长直导线的磁场
B 0I 2 r
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I 4 r
o
z
F v v 0 动关.所实带受验电的发粒力现子与带在运电磁动粒场方子中向在运有 磁场中沿某一特定直线方 x 向运动时不受力，此直线 方向与电荷无关.
带电粒子在磁 场中沿
其于他v 方与向特运定动直时线F 所组垂成直
的平面.
当带电粒子在磁场中
垂直于此特定直线运动时
受力最大 .
FF m aF x
条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够 在水平面内自由转动的条形磁铁，平衡时总是 顺着南北指向。指北的一端称为北极或N极，指 南的一端称为南极或S极。同性磁极相互排斥， 异性磁极相互吸引。 把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极， 任一磁铁总是两极同时存在。
某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁 后就有了磁性，这种现象称为磁化。
同 学 们 好
第八章 恒定电流的磁场
教学基本要求
一 掌握描述磁场的物理量——磁感强度的 概念，理解它是矢量点函数.
二 理解毕奥－萨伐尔定律，能利用它计算 一些简单问题中的磁感强度.
三 理解稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 理解用安培环路定理计算磁感强度的条件和方法.
四 理解洛伦兹力和安培力的公式 ，能分析 电荷在均匀电场和磁场中的受力和运动. 了解磁矩 的概念. 能计算简单几何形状载流导体和载流平面 线圈在均匀磁场中或在无限长载流直导体产生的非 均匀磁场中所受的力和力矩.
*p xB0I
4π
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
Icosdl
r2
B4π0IrR3
2πR
dl
0
B
0IR2
（ 2 x2 R2）32
I
R
o x*
B
x
B
0IR2
（ 2 x2 R2）32
讨 论
1）若线圈有 N匝
B
N （ 2 x2
0IR2
R2）32
2）x0 B的方向不变( I和 B成右螺旋关系）
磁感强度 B的定义：当
Fma x qv
正电荷垂直于 特定直线运动
F max qv
大小与 q,v无关
时，受力 F ma将x F maxv方 向定义为该点的 B的方向.
Fmax
v q +
磁感强度 B的定义：当
正电荷垂直于特定直线运动
时，受力 F ma将x F maxv方 向定义为该点的 B的方向. 磁感强度大小 B Fmax
R2dx R2x23/2
R2x2R2cs2c
B0nI2
2 1
R3cs2cd R3cs3cd
0n
2
I2sind 1
讨论
B0 2nIco2sco1s
（1）P点位于管内轴线中点 1π2
co1sco2s
cos2
l/2
l/22 R2
B0ncIo 2s0 2 nIl2/4 lR 21/2
若 l R
B0nI
qv
运动电荷在磁场中受力
F qv B
B
单位 特斯拉 1(T)1N/m A
毕奥—萨伐尔定律
一、毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)
Idl
dB
ddBBv4400IdIdlrvl3rs2rivn
r I
dB
P
*r
Idl
真空磁导率04π10 7NA2
任意载流导线在点 P
磁感强度叠加原理
dl
dB v0 nSdlqvvrv
4 r3
运动电荷的磁场
实用条件 vc
BvddN Bv4d 0N qvv r3n rvd Sl
q+
r +
v
B
q
r
v
B
例： 半径 为 R的带电薄圆盘的电荷面密度
为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转
动 ，求圆盘中心的磁感强度.
解法一 圆电流的磁场
oR
B2m ee 2h4ehme
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ， 普朗克常量h= 6.62610-34J·s代入，可算得
B9 .2 7 3 1 0 2 4A m 2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。