高中数学教案选修2-2《2.2.1 直接证明》
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
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《高中数学》
选修2-2
2.2.1《直接证明与间接证 明-综合法和分析法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法 的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思 考过程、特点，选择适当的证明方法.
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
高二数学直接证明与间接证明2(1)
CO DO
EO FO
AO BO
AE BF（已知）
EOC FOD（对顶角相等）
EOC FOD EC FD
证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 EOC FOD 为此只需证明 CO DO EOC FOD EO FO 为了证明 CO DO 只需 ACO BDO 为了证明 EO FO
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《高中数学》
选修1-2
2.2《直接证明与间接证明》
教学目标
• ①了解直接证明的两种基本方法：分析法 和综合法；了解分析法与综合法的思考过 程与特点. • ②了解间接证明的一种基本方法——反证 法；了解反证法的思考过程与特点.
直接证明
直接证明（问题情境）
如图，四边形ABCD是平行四边形
不同
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO
所以 因为 所以 又因为 所以 所以
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本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
直接证明（学生活动）
思考：在《数学 （必修）》中，我们如 5 何证明 ab 基本不等式 ab (a 0, b 0) ? 2 证法1 对于正数a,b, 有
（ a
b） 0
2
a b 2 ab 0 a b 2 ab ab 2 ab
作业：35页习题2-1. 1题
人教A版选修1-2 2.2.1 综合法和分析法教案
2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）. 2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.。
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计背景在高中数学中，直接证明和间接证明是一项重要的内容。
在初学阶段，学生可能会对这两种证明方式感到困惑，并将其视为难以理解的概念。
因此，在高中选修1课程中，适当地引入这些概念，有助于提升学生的证明能力，加深对数学的理解。
教学目标•了解直接证明和间接证明的含义和定义。
•掌握直接证明和间接证明的基本结构和方法。
•能够运用直接证明和间接证明的方法证明一些简单的数学命题。
教学内容直接证明•手动沙盘演示•直接证明的定义和特点•直接证明的基本步骤•示例讲解：证明“两角相等则对边相等”间接证明•手动沙盘演示•间接证明的定义和特点•间接证明的基本步骤•示例讲解：证明“正整数的平方不是偶数”教学实施本教学设计中，我们主要采用了手动沙盘演示的方法，来帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的过程以及步骤。
直接证明•首先，我们在黑板上画一个三角形，并画出对边。
•然后，我们在沙盘上放置一个形状类似的三角形。
•接下来，我们让学生沿着直接证明的基本步骤，依次证明两个三角形的相等性，即可从直接证明中得到结论。
•在讲解示例时，我们还可以让学生自己尝试证明一些简单的数学命题，如“同弧度圆周角相等”等。
间接证明•在沙盘上摆放一些正整数的平方以及偶数。
•接下来，我们让学生依照间接证明的基本步骤，用矛盾法来证明正整数的平方不是偶数。
•我们还可以鼓励学生们自己构造出一些有关平方数的证明问题，让他们自行尝试间接证明的方法。
教学效果通过本教学设计，我们得到了良好的教学效果。
不仅可以帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的定义和特点，而且可以在沙盘演示的过程中，使学生更好地了解证明的基本步骤，提升学生的证明能力。
同时，让学生自行构造有关数学证明的问题，也可以激发学生的思考能力，培养其数学兴趣。
高中数学 数学归纳法2教案 新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学教案
§2.3 数学归纳法(2)[学情分析]：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n〔n取无限多个值〕有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
[教学目标]：〔1〕知识与技能：理解“归纳法〞和“数学归纳法〞的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法〞证明与正整数有关的数学命题。
〔2〕过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
〔3〕情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
[教学重点]：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
[教学难点]：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
[教学过程设计]：[练习与测试]：1． 使用数学归纳法证明22()nn n N <∈，假设不等式成立，那么n 的取值X 围是〔 〕 A. 2n ≥ B. 3n ≥ C. 4n ≥ D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ 〞，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：1213413121=++。
3．当*N n ∈时，求证：3()2nn >。
证明：〔1〕当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。
〔2〕假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2kk >那么当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合〔1〕〔2〕原不等式对于任意*N n ∈均成立。
2014年人教A版选修2-2课件 2.2 直接证明与间接证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
湖北省巴东一中数学选修2-2教案 2.2直接证明与间接证明1(理)
2.2.1 直接证明与间接证明(1)【学情分析】前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
这是数学区别于其他学科的显著特点。
本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。
本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。
【教学目标】（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】证：ABC ，B ，C 成等ABC 的内角 3B π=【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计一、前言本课程设计旨在帮助高中数学教师更好地教授人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程，通过本课程设计，希望能帮助学生更好地理解并掌握课程中的知识点。
二、教学目标1. 知识与技能1.了解直接证明和间接证明的概念和方法；2.掌握直接证明和间接证明的常用技巧；3.熟悉求解几何问题的方法。
2. 过程与方法1.积极思考，在教师的指导下独立完成课程设计要求；2.能够熟练使用直接证明和间接证明的方法求解几何问题；3.可以在实际生活中运用所学知识。
3. 情感态度与价值观1.培养学生科学求证、敢于思考、勇于探究的精神；2.培养学生良好的学习习惯和态度。
三、教学内容及安排第1课时：直接证明课堂内容1.直接证明的概念；2.直接证明的一般方法；3.直接证明的经典例题。
课后作业1.熟记直接证明的方法；2.完成直接证明的练习。
第2课时：间接证明课堂内容1.间接证明的概念；2.间接证明的一般方法；3.间接证明的经典例题。
课后作业1.熟记间接证明的方法；2.完成间接证明的练习。
第3-4课时：综合应用课堂内容1.综合应用的基本思路；2.综合应用的例题分析。
课后作业1.完成综合应用的练习。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解、演示等方式传授知识；2.体验法：让学生通过实际操作提高技能；3.案例法：让学生通过分析具体问题，掌握解决问题的方法。
五、教学评价教学评价将采用以下几种方式：1.课堂表现：评价学生的听讲、思考、提问等表现；2.平时作业：评价学生对知识的掌握程度；3.课程综合应用：评价学生将所学知识应用于实际情境中的能力。
六、教学资源本课程设计所需资源如下：1.人教版高中选修1-22.2教材；2.带有直接证明和间接证明例题的教案；3.练习册和试卷。
七、教学反思本课程设计要注重培养学生的实践能力和创新意识，让学生能够独立思考和解决问题。
同时，要注重理论与实践相结合，让学生掌握课程所涉及的知识和技能。
2019-2020学年高二数学《2.2.1-直接证明》导学案-人教新课标版选修2-2
2019-2020学年高二数学《2.2.1 直接证明》导学案人教新课标版选修2-2章节与课题第二章第2.2.1节直接证明课时安排4课时主备人审核人使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
本课时重点难点或学习建议重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点难点：分析法和综合法的思考过程、特点本课时教学资源的使用导学案学习过程一、自学准备与知识导学1.问题：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA。
证明：思考：以上证明方法有什么特点？2.观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
思考：以上证明方法有什么特点？__________________________。
3．直接证明定义：直接从逐步推得成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（综合法分析法定义（2）对分析法证题的说明 “若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：注： ① ② ③（3）综合法和分析法的优缺点 二、学习交流与问题探讨例1.已知：AB ，CD 相交于点O ，△ACD ≌△BDO ，AE=BF.求证：CE=DF （分别用综合法和分析法证明）例2.>例3已知a >0,b >0,求证a (b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc例4.已知a b c >>，求证：1140a b b c c a++---≥．例5若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++．三、练习检测与拓展延伸课本P81练习1、2、3、4练习：１．0,0++≥若，求证：a b>>a b2.△ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：∠B<900四、课后反思。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 数学归纳法在证明恒等式中的应用
数学归纳法在证明恒等式中的应用数学归纳法是直接证明的一种重要方法，是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，也是高考的热点问题之一．不但要求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查．既要求善于发现、归纳结论，又要求能证明结论的正确性．数学归纳法的应用十分广泛．下面就数学归纳法在证明恒等式中的应用问题加以规律总结与实例剖析．1．证明恒等式中的规律数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其一般规律及方法： 关键在于第二步，它有一个基本格式，不妨设命题为：P （n ）：f （n ）=g （n ）， 其第二步相当于做一道条件等式的证明题：已知：f （k ）=g （k ），求证：f （k+1）=g （k+1）．通常可采用的格式分为三步：（1）找出f （k+1）与f （k ）的递推关系；（2）把归纳假设f （k ）=g （k ）代入；（3）作恒等变形化为g （k+1）．示意图为：当然递推关系不一定总是象f （k+1）=f （k ）+a k 这样的表达式，因此更为一般性的示意图为：f （k+1）=F[f （k ），k ，f （1）]=F[g （k ），k ，g （1）]=g （k+1）． 2．证明恒等式中的应用 （1）代数恒等式的证明例1．用数学归纳法证明：1+4+7+…+（3n －2）=21n （3n －1）（n ∈N*）． 分析：在第二步的证明过程中通过利用归纳假设，结合等式的变换与因式分解、变形，从而得以证明．证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，所以当n=1时，命题成立；（2）假设当n=k （k ∈N*）时命题成立，即1+4+7+…+（3k －2）=21k （3k －1）， 则当n=k+1时，1+4+7+…+（3k －2）+[3（k+1）－2]=21k （3k －1）+（3k+1）=21（3k 2+5k+2）=21（k+1）（3k+2）=21（k+1）[3（k+1）－1]， 即当n=k+1时，命题成立；根据（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，命题成立．点评：数学归纳法的证明过程非常讲究“形式”，归纳假设是必须要用到的，假设是起到桥梁作用的，桥梁不用或是断了，数学归纳就通不过去了，递推性无法实现．在由n=k 时结论正确证明n=k+1时结论也正确的过程中，一定要用到归纳假设的结论，即n=k 时结论．变形练习1：已知n ∈N*，证明：1－21+31－41+…+121-n －n 21=11+n +21+n +…+n21． 答案：（1）当n=1时，左边=1－21=21，右边=21，等式成立； （2）假设当n=k 时等式成立，即有1－21+31－41+…+121-k －k 21=11+k +21+k +…+k21， 那么当n=k+1时，左边=1－21+31－41+…+121-k －k 21+1)1(21-+k －)1(21+k =11+k +21+k +…+k 21+121+k －)1(21+k =21+k +31+k +…+121+k +[11+k －)1(21+k ]=1)1(1++k +2)1(1++k +…+k k ++)1(1+)1()1(1+++k k =右边， 所以当n=k+1时等式也成立；综合（1）、（2）知对一切n ∈N*，等式都成立． （2）三角恒等式的证明例2．用数学归纳法证明：tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （n －1）xtannx=xnxtan tan －n （n ≥2，n ∈N*）．分析：本题在由假设当n=k 时等式成立，推导当n=k+1时等式也成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式．本题中涉及到两个角的正切的乘积，联想到两角差的正切公式的变形公式：tan αtan β=)tan(tan tan βαβα--－1，问题就会迎刃而解．证明：（1）当n=2时，左边=tanxtan2x=tan x·x x 2tan 1tan 2-=x x 22tan 1tan 2-，右边=x xtan 2tan －2=x x x tan )tan 1(tan 22-－2=x2tan 12-－2=x x 22tan 1tan 2-，等式成立； （2）假设当n=k （k ≥2，k ∈N*）时，等式成立，即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （k －1）xtankx=xkxtan tan －k ， 则当n=k+1时，tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （k －1）xtankx+tankxtan （k+1）x=xkxtan tan －k+tankxtan （k+1）x ， （*） 由tanx=tan[（k+1）x －kx]=kxx k kxx k tan )1tan(1tan )1tan(++-+，可得tankxtan （k+1）x=xkxx k tan tan )1tan(-+－1，代入（*）式，可得右边=x kx tan tan －k+x kx x k tan tan )1tan(-+－1=xxk tan )1tan(+－（k+1），即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （k －1）xtankx+tankxtan （k+1）x=x xk tan )1tan(+－（k+1），即当n=k+1时，等式也成立；由（1）、（2）知等式对任何n ∈N*都成立．点评：数学归纳法在第二步的证明中，“当n=k 时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n=k+1时结论正确”则是求证的目标．在这一步中，一般首先要先凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再进一步凑出n=k+1时的结论．要正确选择与命题有关的知识及变换技巧．变形练习2：用数学归纳法证明：cos2x ·cos 22x ·cos 32x ·…·cos n x 2=nn xx2sin 2sin ⋅（n ∈N*）．答案：（1）当n=1时，左边=cos 2x ，右边=112sin 2sin x x ⋅=2sin 22cos 2sin 2x x x =cos 2x ，等式成立；（2）假设当n=k 时等式成立，即有cos2x ·cos 22x ·cos 32x ·…·cos k x 2=kk xx2sin 2sin ⋅ 则当n=k+1时，cos 2x ·cos 22x ·cos 32x ·…·cos k x 2·cos 12+k x =k k x x2sin 2sin ⋅·cos 12+k x=112cos 2sin 22sin ++⋅k k k x x x ·cos 12+k x =112sin 2sin ++⋅k k x x，即当n=k+1时，等式也成立；由（1）、（2）知等式对任何n ∈N*都成立．。
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2：直接证明与间接证明2(理)
§2.2.1 综合法和分析法(2)【学情分析】：前两节课分别学习了综合法与分析法的思考过程、特点。
本节是在前两节课的基础上继续运用综合法与分析法证明数学问题。
在解决问题时，往往会将这两种直接证明的方法结合起来使用，本节课的例4就是运用这种证明方式。
【教学目标】：（1）知识与技能：进一步了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：进一步运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题或将两种方法结合使用；分析法证明问题的正确格式【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习回顾综合法和分析法的思考过程、特点综合法与分析法的关系一、复习回顾综合法和分析法的思考过程、特点综合法与分析法的关系二、应用1. 例3．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F。
求证：AF⊥SC。
证明：要证AF⊥SC只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC（因为________________）只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC（因为________________）只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA（因为________________）由SA⊥平面ABC可知，上式成立。
给学生独立思考的时间，再师生共同讨论分析：线线垂直与线面垂直的相互转化（线线垂直⇐线面垂直⇐线线垂直）ESFABC【练习与测试】：1． 用分析法证明：欲使①A>B ，只需②C<D ，这里①是②的 （）A ．充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 答案：B解：由分析法的证题思路知：②⇒①，但①不一定推出②，故选B 。
【优选整合】高中数学人教A版选修1-222直接证明与间接证明(1)学案.doc
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明1一、 学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：2. 了解分析法和综合法的思考过程、特点.二、 自主学习(1) 定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.其一般表示形式是由因导果.(2) 用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为: I P =Q\ I j 0 戶 0〕—02=071 f • • j Q 戶 0】2. 分析法.(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因.(2) 用。
表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： [j P2UP3] f f 3. 分析综合法.(1) 定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论根据结论的结构特点去转化条件，得到 中间结论P.若由P 可以推出0成立，就可以证明结论成立.这种证明方法称为分析综合法.(2) 用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为: |心卜帀可f..T U-…-I ©匸创日"©三、 合作探究 探究1用综合法与分析法证明不等式问题例1己知a, b 是正数，且a+b=\＞求证：【思路探究】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论.【自主解答】 法一 、：a, b 是正数且a+b=\,・\a+b ＞2y^b ＞0(当且仅当a=b 时，取等号).得到一个 明显成立 的条件又0＜逅碣,。
＜囲…••詁今肚扫•法二T G, b 是正数，.\a+b>2y[ab>0y *+上2\倩>0(当且仅当a=b时,上两式取等号)..\Gz+Z?)(^+|)>4.又a+b=\,法三Ta,方是正数JL a+h= 1, •；+++=~：—+~—=1+#+》+122 + 2\^》=4(当且仅当a=b时，取等号).例 2 设a, b为实数，求证：y]a2+b2>^(a+/?).【思路探究】分析：讨论乂7而普(d+b)成立的条件，分a+b>0和a+h<0两种情况.【自主解答】若a+b<0f毎孑普(d+b)显然成立.若a+b>0，要证寸才+//^芈(0+b)成立，只需证cT+Z?2>2(^7+掰成立，即证o'++ 2ab+Z/2)成立，即—lab+Z?2)>0,即^((7—Z?)2>0 成立，因为方)空0成立，且以上每步都可逆.所以a+b>0时，y]a2+b2>^(a+b)成立, 综上可知：a, b为实数时，y/a2+b2>^(a+h)成立.I规律方法I1.综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的己知条件(包括隐含条件)，分析己知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言Z间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.2.分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号=域“要证明"、“只需证明”、“即证明”等词语.探究2：综合法和分析法的综合应用例3；已知AABC的三个内角A, B, C为等差数列，且a, b, c•分别为角4, B, C的对边.求证：(«+/?) '+(b+c) ' = 3(d + b+c) 1【思路探究】 利用分析法得出/+/=/+",再利用综合法证明其成立.【自主解答】 要证(a+b)-｝ + (b+cy ｛= 3(a+b+c)~\化简，得a+b+b+c= 1 ‘ 即 c(b+c)+(a+b)d = (a+Z?)(b+c),所以只需证c 2+a 2=b 2+ac.因为AABC 的三个内角A, B, C 成等差数列，所以 3=60。
苏教版高中数学选修2-2 直接证明与间接证明 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】：【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法 答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。
5．设a>b>0且ab=1，求证：22a b a b+≥- 证明：222()22()()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+--- ∵a>b>0， ∴a-b>0因此有2()()a b a b -+≥=-所以，命题得证。
人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计
人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计一、课程背景本课程是人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明，共计5个学时。
本课程原本是在高中数学教学中，采用了系统的教学方法来对直接证明和间接证明进行详细介绍，让学生们通过实际操作，掌握证明思想与方法，提高数学素养，也让学生们更好地了解到数学在实际生活中的运用。
二、课程内容本课程主要内容包括直接证明和间接证明两个部分，分别从如下几个方面进行讲解：1. 直接证明•直接证明的定义和原理•直接证明的方法和技巧•直接证明的实践操作2. 间接证明•间接证明的定义和原理•间接证明的方法和技巧•间接证明的实践操作三、课程设计本课程的教学设计采用了PBL（Problem-based Learning）的教学法，以问题为引导，让学生自主探究和学习。
具体设计如下：1. 开始设计本节课的目标是让学生了解什么是直接证明和间接证明，以及它们的区别和联系，引导学生独立思考如下问题：•直接证明和间接证明分别是什么？•直接证明和间接证明的区别是什么？•直接证明和间接证明的联系是什么？2. 探究设计本节课的目标是让学生掌握直接证明和间接证明的具体方法和技巧。
老师将提供两个问题，学生自己选择用直接证明或间接证明来解决。
•问题1：证明一个三角形等边三角形的内角都是60度•问题2：证明两个角分别是垂直角和锐角的三角形，第三个角一定是钝角3. 实践设计本节课的目标是让学生通过实践掌握直接证明和间接证明的应用。
老师提供一组数据，学生需要在课堂上进行实践操作，运用所学的知识和方法解决问题。
•数据：假定在一个三角形ABC中，AB=5，AC=6，BC=9•问题：证明三角形ABC是钝角三角形四、课程评价针对本课程，将会采用二元评价模型，分别从过程与结果两个角度对学生进行评价。
具体评价如下：1. 过程评价•是否能积极参与课堂互动•是否能认真听讲并做好笔记•是否能主动提出疑问并寻求解答•是否能合理安排时间并高效完成课堂任务2. 结果评价•是否能准确理解直接证明和间接证明的概念和区别•是否能掌握直接证明和间接证明的方法和技巧•是否能运用所学的知识和技能解决问题•是否能具备一定的分析和解决问题的能力五、总结本课程通过PBL的教学方法，使学生独立思考、自主探究和实践应用，旨在提高学生的数学素养和解决问题的能力，同时也能让同学们更好地理解和应用数学知识，在日常生活和学习中大有裨益。
高中数学教案选修2-2《2.2.1 直接证明》最新修正版
教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点：1．合法的证明过程和应用．2．分析法的证明过程和应用．教学过程：一、预习1．问题 如图，四边形ABCD 是平行四边形．求证：AB ＝CD ，BC ＝DA ．证明 连接AC ，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以DA BC CD AB ////，，故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4．因为 AC ＝CA ，所以 △ABC ≌△CDA ，故 AB ＝CD ，BC ＝DA ．思考 以上证明方法有什么特点？上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．二、新课1．定义．直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．2．直接证明的一般形式．本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式2a b ＋ (00)a b ＞，＞？ 证法1 对于正数a ，b ，有2002a b a b a b ⇒⇒＋≥＋－＋≥2a b ＋，只要证：a b ＋，只要证：0a b ≤－，只要证：20≤，因为最后一个不等式成立，故结论成立．上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明．不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．综合法和分析法的推证过程如下：例1 如图，已知AB ，CD 交于点O ， △ACO ≌△BDO ，AE ＝BF ，⇐⇐⇐⇒⇒⇒求证：CE＝DF．证法一：（综合法）因为△ACO≌△BDO，所以CO＝DO，AO＝BO，因为AE＝BF（已知），所以EO＝FO，所以∠EOC＝∠FOD（对顶角相等），所以△EOC≌△FOD，所以EC＝FD．证法二：（分析法）证（分析法）要证明CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD为此只需证明CO DOEOC FOD EO FO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，为了证明CO＝DO，只需△ACO≌△BDO，为了证明EO＝FO，只需证明AO＝BO（因为已知AE＝BF ），也只需△ACO≌△BDO（已知），因为∠EOC与∠FOD是对顶角，所以它们相等，从而△EOC≌△FOD成立，因此命题成立．三、练习1．若a＞0，b＞0，求证：a b＋．2．若│a │＜1，│b │＜1，求证：11a b ab ＋＜＋． 3．△ABC 三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°．四、回顾小结分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法 条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．五、作业课本P87第1，2，3，4题．。
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所以 AB // CD，BC // DA ，
故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 因为 AC＝CA， 所以 △ABC≌△CDA， 故 AB＝CD，BC＝DA． 思考 以上证明方法有什么特点？ 上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直 接证明．
二、新课
1．定义．
直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．
2．直接证明的一般形式．
本题条件
已知定义 已知公理
L
本题结论
已知定理
思考：在《数学 5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ab ≤ a＋b 2
(a＞0，＞b 0) ？
证法 1 对于正数 a，b，有 （（ a－≥b＋2 －≥0 ＋a≥≥b 2 ab 0 a b
要证： ab ≤ a＋b ， 2
2 ab a＋b 2
只要证： 2 ab ≤＋a b ，
ab ，
只要证： 0 ≤－a ＋2 ab b ，
只要证： 0 ≤－( a b)2 ，
因为最后一个不等式成立，故结论成立．
上述两种证法有什么异同？
相同：都是直接证明．
不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步
ab
2．若│a│＜1，│b│＜1，求证： a＋b ＜1 ． 1＋ab
3．△ABC 三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°． 四、回顾小结 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述． 通常以分析法寻ห้องสมุดไป่ตู้思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 五、作业 课本 P87 第 1，2，3，4 题．
CO＝DO 为此只需证明 EOC＝FOD ，
EO＝FO 为了证明 CO＝DO， 只需 △ACO≌△BDO， 为了证明 EO＝FO， 只需证明 AO＝BO（因为已知 AE＝BF ）， 也只需 △ACO≌△BDO（已知）， 因为 ∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等， 从而 △EOC≌△FOD 成立，因此命题成立． 三、练习 1．若 a＞0，b＞0，求证： a＋＋ b ≥ 1 2 2 ．
求证：CE＝DF．
证法一：（综合法） 因为 △ACO≌△BDO， 所以 CO＝DO， AO＝BO， 因为 AE＝BF（已知）， 所以 EO＝FO， 所以 ∠EOC＝∠FOD（对顶角相等）， 所以 △EOC≌△FOD， 所以 EC＝FD． 证法二：（分析法） 证 （分析法）要证明 CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD
下推，直到推出要证明的结论为止．
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使
结论成立的条件和已知条件吻合为止．
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 L L 结论
分析法
结论 L L 已知条件
例 1 如图，已知 AB， CD 交于点 O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，
教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综
合法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综
合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点： 1．合法的证明过程和应用． 2．分析法的证明过程和应用．
教学过程： 一、预习 1．问题 如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB＝CD，BC＝DA． 证明 连接AC，