高中数学教案选修2-2《2.2.1 直接证明》
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ab
2．若│a│＜1，│b│＜1，求证： a＋b ＜1 ． 1＋ab
3．△ABC 三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°． 四、回顾小结 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述． 通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 五、作业 课本 P87 第 1，2，3，4 题．
求证：CE＝DF．
证法一：（综合法） 因为 △ACO≌△BDO， 所以 CO＝DO， AO＝BO， 因为 AE＝BF（已知）， 所以 EO＝FO， 所以 ∠EOC＝∠FOD（对顶角相等）， 所以 △EOC≌△FOD， 所以 EC＝FD． 证法二：（分析法） 证 （分析法）要证明 CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD
要证： ab ≤ a＋b ， 2
2 ab a＋b 2
来自百度文库
只要证： 2 ab ≤＋a b ，
ab ，
只要证： 0 ≤－a ＋2 ab b ，
只要证： 0 ≤－( a b)2 ，
因为最后一个不等式成立，故结论成立．
上述两种证法有什么异同？
相同：都是直接证明．
不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步
因为四边形ABCD是平行形四边形，
所以 AB // CD，BC // DA ，
故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 因为 AC＝CA， 所以 △ABC≌△CDA， 故 AB＝CD，BC＝DA． 思考 以上证明方法有什么特点？ 上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直 接证明．
二、新课
1．定义．
直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．
2．直接证明的一般形式．
本题条件
已知定义 已知公理
L
本题结论
已知定理
思考：在《数学 5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ab ≤ a＋b 2
(a＞0，＞b 0) ？
证法 1 对于正数 a，b，有 （（ a－≥b＋2 －≥0 ＋a≥≥b 2 ab 0 a b
教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综
合法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综
合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点： 1．合法的证明过程和应用． 2．分析法的证明过程和应用．
教学过程： 一、预习 1．问题 如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB＝CD，BC＝DA． 证明 连接AC，
CO＝DO 为此只需证明 EOC＝FOD ，
EO＝FO 为了证明 CO＝DO， 只需 △ACO≌△BDO， 为了证明 EO＝FO， 只需证明 AO＝BO（因为已知 AE＝BF ）， 也只需 △ACO≌△BDO（已知）， 因为 ∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等， 从而 △EOC≌△FOD 成立，因此命题成立． 三、练习 1．若 a＞0，b＞0，求证： a＋＋ b ≥ 1 2 2 ．
下推，直到推出要证明的结论为止．
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使
结论成立的条件和已知条件吻合为止．
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 L L 结论
分析法
结论 L L 已知条件
例 1 如图，已知 AB， CD 交于点 O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，
2．若│a│＜1，│b│＜1，求证： a＋b ＜1 ． 1＋ab
3．△ABC 三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°． 四、回顾小结 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述． 通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 五、作业 课本 P87 第 1，2，3，4 题．
求证：CE＝DF．
证法一：（综合法） 因为 △ACO≌△BDO， 所以 CO＝DO， AO＝BO， 因为 AE＝BF（已知）， 所以 EO＝FO， 所以 ∠EOC＝∠FOD（对顶角相等）， 所以 △EOC≌△FOD， 所以 EC＝FD． 证法二：（分析法） 证 （分析法）要证明 CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD
要证： ab ≤ a＋b ， 2
2 ab a＋b 2
来自百度文库
只要证： 2 ab ≤＋a b ，
ab ，
只要证： 0 ≤－a ＋2 ab b ，
只要证： 0 ≤－( a b)2 ，
因为最后一个不等式成立，故结论成立．
上述两种证法有什么异同？
相同：都是直接证明．
不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步
因为四边形ABCD是平行形四边形，
所以 AB // CD，BC // DA ，
故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 因为 AC＝CA， 所以 △ABC≌△CDA， 故 AB＝CD，BC＝DA． 思考 以上证明方法有什么特点？ 上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直 接证明．
二、新课
1．定义．
直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．
2．直接证明的一般形式．
本题条件
已知定义 已知公理
L
本题结论
已知定理
思考：在《数学 5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ab ≤ a＋b 2
(a＞0，＞b 0) ？
证法 1 对于正数 a，b，有 （（ a－≥b＋2 －≥0 ＋a≥≥b 2 ab 0 a b
教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综
合法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综
合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点： 1．合法的证明过程和应用． 2．分析法的证明过程和应用．
教学过程： 一、预习 1．问题 如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB＝CD，BC＝DA． 证明 连接AC，
CO＝DO 为此只需证明 EOC＝FOD ，
EO＝FO 为了证明 CO＝DO， 只需 △ACO≌△BDO， 为了证明 EO＝FO， 只需证明 AO＝BO（因为已知 AE＝BF ）， 也只需 △ACO≌△BDO（已知）， 因为 ∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等， 从而 △EOC≌△FOD 成立，因此命题成立． 三、练习 1．若 a＞0，b＞0，求证： a＋＋ b ≥ 1 2 2 ．
下推，直到推出要证明的结论为止．
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使
结论成立的条件和已知条件吻合为止．
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 L L 结论
分析法
结论 L L 已知条件
例 1 如图，已知 AB， CD 交于点 O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，