经济问题中的数学建模应用

经济问题中的数学建模应用

摘要：微分方程是一类应用十分广泛而且常见的数学模型。它在经济学，管理学和物理学中有着重要的辅助研究作用。在经济学中，通过数学建模把经济问题所涉及的重要特征进行合理的数学转化，即用数学语言对经济学中复杂、抽象问题进行表述，将实际问题与数学紧密的结合起来。

关键词：微分方程数学建模逻辑斯谛方程销售曲线经济应用0 引言

微分方程研究范围广、历史悠久，在牛顿和莱布尼茨创造微分和积分运算时指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y=f(x)的求解问题。当人们运用微分去解决经济学中的问题时，发现其对经济问题所做的定性分析和定量分析是严谨的、可信的，因此大量的微分方程涌现出来。现如今微分方程在经济学和管理学等实际问题中得到越来越广泛地应用。

1 逻辑斯谛方程

逻辑斯谛方程是一种非线性的微分方程，它的数学模型属于一条连续的，单调递增的，单参数k为上渐近线的s型曲线。众所周知，经济学上存在着大量的s型变化的现象，而逻辑斯谛方程是可以描述这种变化的数学模型。其特点是一开始增长较慢，中间段增长速度较快，以后的增长速度下降并趋于稳定。在经济学中，如果问题的基本特征是：在时间t很小时，呈指数型增长；而当t不断增大，增长速度却随之下降，且越来越接近一个确定的值时，可以考虑运

用逻辑斯谛方程加以解决。

利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程，建立数学模型，我们可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t时刻的销量为f(t)，由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此t 时刻产品销售量的增长率与f(x)成正比。同时，产品的销售量存在着一定的市场容量n，统计表明与尚未购买的此新产品的潜在客户数量n-f(x)也呈正比，于是有=kx(n-x)符合逻辑斯谛方程的模型，于是有通解=kx（n-x）。

其中k为比例系数.分离变量积分，可以解得：x（t）=

当x（t*）0即销量x（t）单调增加.当x（t*）=时，=0；当x （t*）>时，0即当销售量大于需求量的一半时，产品最畅销。当销售不足一半时，销售速度将不断的增大，同理，销售量达到一半时，销售速度则不断减少。

许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以分析家认为当产品推出的初期应小批量生产。当产品用户在20％－80％之间时，产品应该大批量的生产，但当产品的用户超过80％时，企业应该研发新的产品。

2 收入与债务的问题

目前，欧债，美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国

民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？当然可以!利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。

令d（t）表示国债在时刻t的美元价值，y（t）表示时刻t国民收入。假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。同时假定赤字（定义为一个等于支出减去收入的正值）为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字，则有d=by，b＞0（一般，许多国家的b值介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）

同时进一步假定，国民收入随时间的增长满足如下微分方程：y=gy，g为正常数（表示国民收入的增长率）。

上述两个方程一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系，我们需要求解这两个方程。该方程可以重新改写成：=g，两边积分可得y（t）=c1egt 我们假定利息率为常数r，我们计算利息支付（rd(t)）和国民收入（y（t））的比值：=r

定义z（t）=rd（t）/y（t）为偿付国债利息所吸收的国民收入份额，化简可得：z（t）=re-gt+r（1-e-gt）

z（t）即利息支付与国民收入的比值，随着t→∞收敛到一个有限值。为了验明这一点，对式子右边的两项取t→∞时的极限。注意，e-gt随着t→∞而趋于零。则有：z（t）=r

国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rb/g。如果rb/g

＜1，那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字，最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息，因为这意味着经济总是能够满足债务的偿付，破产永远都不会发生。另一方面，如果rg/g＞1，那么这一过程就会收敛到一个利息支付超过国民收入的有限值，此时，如果预算赤字持续下去，那么经济将注定会破产。

3 总结

数学建模在经济问题中的应用得到了越来越多的重视，在经济学领域中的应用越来越广泛。把更多的较为抽象的经济问题公式化、模型化，为我们定量研究较为复杂的经济问题提供了更为科学有效的途径。

参考文献：

[1]卢达平.《微积分》在经济管理中的应用[j].龙岩学院学报，2006.(3).67-68.

[2]于同申，发展经济学［m]北京：中国人民大学出版社，2002.

[3]郭爽，李秀丽，高云伟，如何应用微分方程理论进行数学建模，《大庆师范学院学报》2007年，第2期.