2020年上海卷数学真题答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷

（上海卷）

一、

填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每

题5分）

1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______ 【分值】4分

【答案】{}2,4

2. 1

lim

31

n n n →∞+=-________

【分值】4分

【答案】1

3

3. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______ 【分值】4分

4. 已知行列式126300a c

d b =，则行列式a c d b

=_______

【分值】4分 【答案】2

5. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______ 【分值】4分 【答案】()13

x

x R ∈

6. 已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】36

7.已知20230x y y x y +≥⎧⎪

≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为

【分值】5分 【答案】-1

8. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129

10

a a a a ++⋅⋅⋅=

【分值】5分 【答案】

278

9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有 种排法。 【分值】5分 【答案】180

10. 椭圆22

143

x y +

=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为 【分值】5分 【答案】10x y +-=

11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的

值为2

0x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为

【分值】5分

【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞

【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x

满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，

又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；

()2,,x x a f x x x a ≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =

只有0,1两个实数解。 12、已知

是平面内两两互不平等的向量，满足

，且

(其中1,21,2,...i j k ==，，)，则K 的最大值为

【分值】5分 【答案】6

【解析】根据向量减法的运算规律，

可转化为以向量

终点为圆心，作半径11r =和22r =的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，k 的最大值为6.

二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分） 13、下列不等式恒成立的是（） A 、222a b ab +≤ B 、22-2a b ab +≥ C 、2a b ab +≥- D 、2a b ab +≤ 【分值】5分 【答案】B 【解析】无

14、已知直线l 的解析式为3410x y -+=，则下列各式是l 的参数方程的是（ ）

A 、4334x t y t =+⎧⎨=-⎩

B 、4334x t y t

=+⎧⎨=+⎩

C 、1413x t y t =-⎧⎨=+⎩

D 、1413x t y t =+⎧⎨=+⎩

【分值】5分 【答案】D 【解析】无

15、在棱长为10的正方体. 1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，点P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q 两点，则Q 点所在的平面是（ ） A. 11AA B B B. 11BB C C C. 11CC D D D. ABCD 【分值】5分 【答案】D 【解析】

延长BC 至M 点，使得=2CM 延长1C C 至N 点，使得3CN =,

以C M N 、、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H ， 连接1A P PH HC 、、，则易得四边形1A PHC 为平行四边形， 因为点P 在平面11ADD A 内，点H 在平面11BCC B 内，

且点P 在平面ABCD 的上方，点H 在平面ABCD 下方， 所以线段PH 必定会在和平面ABCD 相交， 即点Q 在平面ABCD 内

16.、若存在a R ∈≠且a 0,对任意的x R ∈，均有

()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：()1:q f x 单调

递减，且()0f x ＞恒成立；()2q f x ：单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是

()f x 具有性质P 的充分条件是（）

A 、只有1q

B 、只有2q

C 、12q q 和

D 、12q q 和都不是 【分值】5分 【答案】C

【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在a R ∈≠且a 0， 则对于10q a ，＞时，易得函数()f x 具有性质P ；

对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+＜，()()00f a f x ==，

所以()()()()()0=f x a f x x f x f x f a +=++＜，所以此时函数()f x 具有性质P .

三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割

17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。 （1）求圆柱体的表面积； （2）正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转2

π

到11A BCD ，求1A D 与平面ABCD 所成的角。 【分值】