上海师范大学高数试题 (10)
上海市上海师范大学附中2025届数学高三第一学期期末复习检测试题含解析
上海市上海师范大学附中2025届数学高三第一学期期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1313⎛-- ⎝⎭2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB = A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．已知函数2()sincos 444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ） A ．2018B ．1009C ．1010D ．2020 4．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 5．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227 C ．89 D ．16276．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( )A ．1225B ．1225- C ．2425 D ．2425-7．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若函数12log,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 312．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海师范学校2020年高三数学文下学期期末试卷含解析
上海师范学校2020年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 双曲线中，F2为其右焦点，A1为其左顶点，点B(0，b)在以A1F2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为( )A． B． C. D．参考答案：D3. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 ( )A．－3 B．－1 C． 1 D．3参考答案：C略4. 设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是（）A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线参考答案：B略5. 设M（，）为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 ( ）A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）参考答案：C由题意只要即可，而所以，简单考查抛物线的方程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。
6. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是高考资源A. B.C. D.参考答案：D7. 已知函数f（x）=4x3﹣ax+1存在n（n∈N）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（）A．A（0）=（﹣∞，3] B．A（1）={2} C．A（2）=（3，+∞）D．A（3）=（3，+∞）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0得出a=4x2+，令h（x）=4x2+，判断h（x）的单调性，作出h（x）的函数图象，利用函数图象判断方程h（x）=a的解的个数，从而得出A（n）．【解答】解：令f（x）=0得a=4x2+，∴当f（x）有n个零点时，方程a=4x2+有n个不同的解．设h（x）=4x2+，则h′（x）=8x﹣=，∴当x＞时，h′（x）＞0，当x＜0或0时，h′（x）＜0．作出h（x）=4x2+的大致函数图象如下：由图象可知当a＜3时，h（x）=a只有一解，当a=3时，h（x）=a有两解，当a＞3时，h（x）=a有三解．∴A（0）=?，A（1）=（﹣∞，3），A（2）={3}，A（3）=（3，+∞）．故选D．8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 2π+4D.3π+4参考答案：D该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.9. 对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( )A．B. C. D.参考答案：【知识点】抽象函数及其应用．A 解：对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项B、C、D函数没有对称轴；函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项A正确．故选：A．【思路点拨】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后依次判断选项即可．10. 若.则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系可得，再利用诱导公式及同角三角函数的平方关系化简，求值即可。
2019-2020学年上海师范学校高三数学理期末试题含解析
2019-2020学年上海师范学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当时，复数（为虚数单位）子复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：2.已知函数，（C为复数），则等于A、B、 C、D、参考答案：答案:C解析:∵∴故选C3. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为．．．．参考答案：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得．故选．【解题探究】本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时还需要注意理解纯虚数的概念．4. 已知函数f t（x）=﹣（x﹣t）2+t（t∈R），设a＞b，f（x）=，若函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，则b﹣a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2﹣）B．（﹣∞，2﹣） C．（﹣2﹣，0）D．（2﹣.0）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】解方程f a（x）=f b（x）得交点坐标，函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点，由图象知，点P在l下方，由此解得b﹣a的取值范围．【解答】解：作函数f（x）的图象，且解方程f a（x）=f b（x）得，﹣（x﹣a）2+a=﹣（x﹣b）2+b，解得x=，此时y=﹣（﹣b）2+b=﹣（）2+b，即交点坐标为（，﹣（）2+b），若y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即f（x）﹣x+a﹣b=0有四个根，即f（x）=x+b﹣a，分别作出f（x）与y=x+b﹣a的图象如图：要使函数y=f（x）﹣x+a﹣b有四个零点，即函数f（x）的图象与直线l：y=x+b﹣a有四个不同的交点．由图象知，点P在下方，所以﹣（）2+b＜+b﹣a，即（）2＞，设t=a﹣b，则t＞0，则方程等价为＞，即t2﹣4t﹣1＞0，即t＜2，或t＞2+，∵t＞0，∴t＞2+，故b﹣a=﹣t＜﹣2﹣，即b﹣a的取值范围是（﹣∞，﹣2﹣），故选：A【点评】本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．5. 下面关于复数的四个结论，正确的是①②③④A．①② B．②③ C．②④D．③④参考答案：C6. 已知是虚数单位，则=A． B． C． D．参考答案：A略7. 若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：双曲线的标准方程．专题：压轴题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k﹣3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．解答：解：依题意：“方程﹣=1表示双曲线”可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得k＞3或k＜﹣3，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．8. 在△ABC中，已知，，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】D 解析：∵=，∴sinA=；∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，故选：D．【思路点拨】先根据三角形的面积公式可求得A的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到的值．9. 若二次函数y=ax2（a＞0）的图象与不等式组表示的平面区域无公共点，则实数a的取值范围为（）A．（，2）B．（，）C．（0，）∪（，+∞）D．（0，）∪（2，+∞）参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】函数思想；数形结合法；不等式．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出临界点的坐标，从而求出a的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将A（1，2）代入y=ax2，解得：a=2，将B（3，2）代入y=ax2，解得：a=，若二次函数y=ax2（a＞0）的图象与不等式组表示的平面区域无公共点，则a∈（0，）∪（2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10. 已知集合，，则（）A． B．{ } C．{ } D．{}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积G2由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故相当于棱长分别为，，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：．【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案．12. 设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____________.参考答案：2略13. 记为不超过实数的最大整数,例如,,,.设为正整数,数列满足,,现有下列命题:①当时,数列的前3项依次为5,3,2;②对数列都存在正整数,当时总有;③当时,;④对某个正整数,若,则.其中的真命题有_________.(写出所有真命题的编号)参考答案：①③④略14. 已知、是方程的两根，且、，则；参考答案：答案：15. 某同学为了研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为的正方形和,点是边上的一个动点,设,则.那么,可推知方程解的个数是_________个参考答案：216. 设奇函数的定义域为R，且周期为5，若，则实数a 的取值范围是参考答案：17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则b+c的最大值为．参考答案：6在中，∵，∴整理可得：，∴，∴，∴，∴，可得：，∴由余弦定理可得：，∴解得：，∴，当且仅当时，．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(NEW)上海师范大学数理学院861高等代数历年考研真题汇编(含部分答案)
2003年上海师范大学444高等代数考研真题（含答 案）
2002年上海师范大学438高等代数考研真题（含答 案）
2001年上海师范大学432高等代数考研真题
第2部分 其他院校高等代数最新真题
2016年华南理工大学864高等代数考研真题
2016年湘潭大学832高等代数考研真题
2016年中山大学868高等代数考研真题
第2部分 其他院校高等代数最新真题 2016年华南理工大学864高等代数考研真题 2016年湘潭大学832高等代数考研真题 2016年中山大学868高等代数考研真题
第1部分 上海师范大学高等代数考研真题
2007年上海师范大学高等代数考研真题
2005年上海师范大学461高等代数考研真题（含答 案）
目 录
第1部分 上海师范大学高等代数考研真题 2007年上海师范大学高等代数考研真题 2005年上海师范大学461高等代数考研真题（含答案） 2004年上海师范大学448高等代数考研真题（含答案） 2003年上海师范大学444高等代数考研真题（含答案） 2002年上海师范大学438高等代数考研真题（含答案） 2001年上海师范大学432高等代数考研真题
2020年上海师范学校高一数学理上学期期末试卷含解析
2020年上海师范学校高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对数式中，实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C2. 直线当变动时，所有直线都通过定点（）A.（0，0）B.（0，1）C.（3，1）D.（2，1）参考答案：C3. 设函数，则下列说法中正确的是（）A.在区间内均有零点.B.在区间内均无零点.C.在区间内有零点，在内无零点.D.在区间内无零点，在内有零点.参考答案：D略4. 设等差数列{a n}满足，，S n是数列{a n}的前n项和，则使得{S n}取得最大值的自然数n是（）A．4 B． 5 C.6 D．7参考答案：B5. 要使与轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有（）A． B． C． D．参考答案：D6. 已知，，则的值为（）．A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.【详解】由可知：，由得：本题正确选项：A7. 已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x+1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．参考答案：B考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由2x+1在函数f（x）的定义域内求解x的取值集合得答案．解答：解：∵函数f（x）的定义域为（0，1），由0＜2x+1＜1，得．∴函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的定义域，是高考常见题型，属基础题，也是易错题8. 半径为的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）.[来源:学&科&网]A. B. C. D.参考答案：C略9. 已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sin x）＜cos（cos x）成立”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤所以0≤sinx＜－cosx≤于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立.取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立故选C考点：三角函数的性质，充要条件10. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：D由图象可以看出，，则，将点代入中，得，，又函数表达式，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值为．参考答案：12. 函数的定义域是．参考答案：令且，得，解得，故填．13. 等差数列{a n}的首项a1=1，且a2是a1和a6的等比中项，那么公差d= _________ ．参考答案：0或314. 给出下列命题：①是幂函数；②函数在上有3个零点；③的解集为；④当时，幂函数的图象与两坐标轴不相交；其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．参考答案：②④15. 关于x的方程= p x有4个不同的实数根，则p的取值范围是。
【全国百强校】上海市上海师范大学...
【全国百强校】上海市上海师范大学...一、填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分．）1.集合{}*|03,A x x x N =≤<∈的真子集的个数是 .【答案】3【解析】试题分析：{}*|03,={1,2}A x x x N =≤<∈，真子集个数22-1=3，所以答案应填：3．考点：集合的子集概念．2.命题“如果,a b 都是奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是 .【答案】如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数【解析】试题分析：命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数．考点：逆否命题． 3.已知函数()922-=x x x f ，()3-=x x g ，()33+=x x x h ，则()()()=+x h x g x f ．【答案】(3)x x ≠±考点：函数的定义域．4.已知集合{223}A y y x x ==--，集合{}2213B y y x x ==-++，则AB = .【答案】[4,14]-【解析】试题分析：由2223=1)44y x x x =----≥-（，22213(1)1414y x x x =-++=--+≤，知 A B =[4,14]-，所以答案应填：[4,14]-．考点：1、集合；2、二次函数值域．5.函数2()|1|||f x x x a =-+-（常数a R ∈），若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3【解析】试题分析：(2)1f =得：4a =，故(1)3f =，所以答案应填：3．考点：函数概念．6.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，且{}1,2U BC A =，{}5U A C B =,{}0,4U U C A C B =，则集合A = .【答案】{3,5}考点：1、集合的交集2、集合的补集．7.已知集合{|A a =关于x 的方程211x a x +=-有唯一实数解，}a R ∈，用列举法表示集合 A = ．【答案】51,1,4??--【解析】试题分析：由211(1)(1)x a x a x x x ++==--+，当1x a x +=-或1x a x +=+时，方程有一解，当21x a x +=-有一解时，0?=，54a =-，所以答案应填：51,1,4??--．考点：含参分式方程．8. 对于集合,A B ，定义运算：{}A B x x A x B -=∈?且，()()A B AB B A ?=--．若{}1,2A =， {}2,B x x x Z =<∈，则A B ?= ．【答案】{}1,0,2-【解析】试题分析：{}1,2A =，{}2,{1,01}B x x x Z =<∈=-，，()(){2}{1,0}{1,0,2}A B B A --=-=-，所以答案应填：{}1,0,2-．考点：集合的运算．9. 已知全集U R =，实数,a b 满足0a b >>，集合{|},{|}2a b M x b x N x x a +=<<=<<，则U M C N = ．【答案】(b考点：集合的交集、补集．10.已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-，其中,a c R ∈，则关于x 的不等式 022>-+-a x cx 的解集是 .【答案】)3,2(-【解析】试题分析：由不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-知211321 6a c a-=-+=-??，解得122a c =-??=?，所以022>-+-a x cx 即为260x x -++>，解得23x -<<，所以答案应填：)3,2(-．考点：1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出a ，c ，从而解出022>-+-a x cx 的解集．11.对于实数x ，若1,n x n ≤<+规定[]x n =()n Z ∈，则不等式[][]2420210x x -+<的解集是．【答案】【解析】。
上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷
上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、填空题1．函数()f x =2．已知0a >. 3．已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，求(3)f -=．4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=.5．已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是. 6．设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为．7．已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为．8．已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=.9．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45o ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15o ，则鹳雀楼的高度约为m .10．对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是.11．若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M x 1,y 1 和N x 2,y 2 ，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数： ①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为（填上所有正确序号）．12．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为．二、单选题13．已知a b ∈R ，且0ab ≠，则“22a b >”是“11a b<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．设函数()sin f x x =，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的值可能是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3 D ．5π6 15．已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB =u u u r u u u r，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定16．设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ； ②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ， 则对于两个命题真假判断正确的是（ ）A ．①和②都是真命题B ．①和②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题三、解答题17．已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭r r ．(1)当a b r r∥时，求tan 2x 的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅r rr ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．18．已知函数()22x x af x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =; （2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①()2150xf x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？20．已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .(1)判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；(2)若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；(3)已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21．已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．(1)当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值； (2)当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：(3)当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．。
(完整)上海师范大学高数试题(10)
《微积分下》作业2学院 专业 年级班级 姓名 学号一、单选题（5×4）1.由曲线2x y =及122+=x y 所围成的平面图形的面积为（ D ） A.23 B.25 C.21 D.32dx x x s ]21[22102-+=⎰dx x )221(2210-=⎰ 3201]62[23=-=x x32，则c 的取值为（ B ） A.1 B.21 C.31D.2⎩⎨⎧==32cx y x y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==c x x 10 dx cx x s c )(132⎰-=0]4131[143c cx x -=321213==c 21=cy3cx y =3. 由曲线)0(sin 23π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为（ C ） A.34 B.32 C.π34 D.π32 4．抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积为（ A ）A.18B.58 C.518D.8 5．曲线x y ln =与x 轴及直线e x ex ==,1所围成的图形的面积是（ B ）A.e e 1-B.e 22-C.e e 2-D.ee 1+二﹑综合题(2×10)1．求心形线)0)(cos 1(>+=a a ϕρ与圆a =ρ所围各部分的面积。
解：(1)圆内,心形线内部分1A221212()22A d a πππρϕϕ=+⎰=22222)cos 1(a d a πϕϕππ++⎰=ϕϕϕπππd aa ]22cos 1cos 21[2222⎰++++ =ππϕϕϕπ222]2sin 41sin 223[2+++a a =)245(]243[2222-=-+πππa a a (2)圆内,心形线外部分2A)42(2122ππ-=-=a A a A(3) 圆外,心形线内部分3Aϕϕπd a a A ])cos 1([212222203-+=⎰=ϕϕϕπd a ]1cos cos 21[2022-++⎰=ϕϕϕπd a]cos cos 2[2022⎰+=)42(2π+a2．设1D 是由抛物线22x y =和直线a x =,2=x ,及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线22x y =和直线0=y ,a x =所围成的平面区域,其中20<<a .(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ,2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ; (2)问当a 为何值时,21V V +取得最大值?试求此最大值.解：（1）)32(54)2(52221a dx x V a-==⎰ππ420222222a dy y a a V a πππ=-⋅=⎰（2）4521)32(54a a V V V ππ+-=+=)1(43a a V -='π令0='V 1=⇒a10<<a 0>'V 1>A 0<'V 1=∴a 是极大值点即最大值点且最大值为π5129。
(完整)上海师范大学高数试题(13)
《微积分下》作业5学院 专业 年级班级 姓名 序号 一．单选题（共3×10分）*1．.若D 是由y=2x, y=x, x=1所围成的平面区域,则⎰⎰Ddxdy =( B )A.1B.21 C.41 D.23 *2．设二重积分的积分区域D 为:,4122≤+≤y x 则⎰⎰Ddxdy =( C )A.πB.2πC.π3D.π4 3.改变积分次序,则⎰⎰212),(xxdy y x f dx =( C )A.⎰⎰10),(yydx y x f dy B.⎰⎰210),(yydx y x f dyC.⎰⎰⎰⎰+410214121),(),(yyydx y x f dy dx y x f dyD.⎰⎰⎰⎰+410212141),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy*4.若D 是由y=1, y=x, x=2所围成的平面区域,则Dxydxdy ⎰⎰= ( B )A.1B.98 C.18D.23*5.改变积分次序,则221sin2y yxdy dx yπ⎰⎰= ( C )A.dy yxdx xx ⎰⎰412sinπB.412xxdx dy yπ⎰C.dy yxdx dy yxdx xx x ⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinππD.24122in22xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰6．设积分区域D 为：1,2≤≤y x 则dxdy D⎰⎰21=（ D ） A.1 B.2 C.3 D.47．改变积分次序,则⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(＝（ D ）A ．⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB.⎰⎰-xdx y x f dy 101),( C.⎰⎰11),(dx y x f dy D.⎰⎰-ydx y x f dy 101),(8．设D ：,222a y x ≤+当=a ( B )时π=--⎰⎰dxdy y x a D222A.1B.323C.343 D.321 rdr r a d a⎰⎰-02220πθππ=⋅=3231a233=a 323=a 9改变积分次序,则⎰⎰-2221),(x xdy y x f dx =（ B ）A.⎰⎰-1022),(y dx y x f dy B.⎰⎰⎰⎰-+224121),(),(y y dx y x f dy dx y x f dyC.⎰⎰-yydx y x f dy 524),( D.⎰⎰⎰⎰+-yydx y x f dy dx y x f dy 52412210),(),(10．由曲线,222x y x =+ ,422x y x =+ x y =, 0=y 所围成的图形的面积S ＝（ C ） A.)2(41π+ B.)2(21π+ C.)2(43π+ D.π+2 ⎰⎰==40cos 4cos 2πθθθrdr d s )2(43cos 6402+=⎰πθθπd 二.计算题(共5×10分)1. 计算⎰⎰--Ddxdy y x ,)1(其中D 是由x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域.⎰⎰=--Ddxdy y x )1(⎰⎰---xdy y x dx 101)1(=⎰---1102]21)1[(dx y y x x=103212)1(61])1(21)1[(x dx x x --=---⎰=61 2. 计算22(),D x y x d σ+-⎰⎰其中D 是由y=x,y=2及y=2x 所围成的闭区域.22(),Dx y x d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+20222)(yy dx x y x dy dy y x x y x y 222320]2131[-+=⎰dy y y )832419(232-⎰02)243241941(34y y -⋅=6133．求dxdy y x D⎰⎰+22，D 是由222a y x ≤+所确定的区域。
2022年上海师范学校高三数学文上学期期末试卷含解析
2022年上海师范学校高三数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的面积（），则为等比数列的充要条件是（ ） （A ）是等比数列.（B ）或是等比数列. （C ）和均是等比数列。
（D ）和均是等比数列，且公比相同.参考答案： D本题考查等比数列的概念及其应用，难度中等.由题意可知，，若是等比数列，则，即数列的奇数项、偶数项都成等比数列，且公比都等于的公比，故选择D.2. 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据．在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8参考答案：C【考点】程序框图．【专题】概率与统计；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算输入的8个数的方差．由表中给出的输入的8个数的数据，不难得到答案． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算输入的8个数的方差． 由表中给出的输入的8个数的数据，不难得到答案． ∵=（40+41+43+43+44+46+47+48）=44， S 2=（42+32+12+12+02+22+32+42）=7， 故选：C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3. 已知全集U=R，集合，则图中的阴影部分表示的集合为(A)(-∞,1]U(2,+∞) (B)(C)[1，2) (D)(1，2]参考答案：【知识点】集合运算. A1A解析：图中的阴影部分表示的集合为,故选 A .【思路点拨】根据题中韦恩图得阴影部分表示的集合为，再结合得结论.4. 设集合,已知,那么k的取值范围是（）A．(－∞,0) B．(0,+∞) C．(－∞,0] D．(1,+∞)参考答案：C∵集合∴集合∵集合，且∴故选C.5. 函数的值域为( )A．[－，] B．[－，]C．[－，] D．[－，2]参考答案：B略6. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：D分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.7. 已知集合= （）A．B．C．D．{—2，0}参考答案：C8. 抛物线y2=2x与直线y=x﹣4围成的平面图形面积（）A．18 B．16 C．20 D．14参考答案：A【考点】抛物线的简单性质；定积分．【分析】方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=dx+（﹣x+4）dx，求出原函数，即可求得平面区域的面积，方法二：对y进行积分，所求的面积为S=（y+4﹣）dy，即可求得平面区域的面积．【解答】解：方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=dx+（﹣x+4）dx．∵[?]′=，∴S=[?]+[?﹣+4x] =18故抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积是18，故选A．方法二：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=（y+4﹣）dy=（y2+4y﹣）=（8+16﹣﹣2+8﹣）=18，故选A．9. 已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．参考答案：D10. 函数，则下列不等式一定成立的是( )A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。
(完整)上海师范大学高数试题(17)
《微积分下》作业3学院 专业 年级班级 姓名 学号一． 单选题（共4×10分）1．函数（ ）为微分方程y xy 2'=的解A ．2x y = B.x y = C.x y 2= D.2x y =2． .函数3x y =为微分方程 ( )的解A. 322'y y = B.433'x y y -= C.03'=-y xy D.22'x x y y =+ 3. 微分方程022=+y dx y d 的通解是( ). A.x A y sin = B.x B y cos =C.x B x y cos sin +=D.x B x A y cos sin += 4. 微分方程''3'25y y y -+=的通解是( ).A.2125x x y k e k e =++B. 2125x x y k e k e =+-C. 21252x x y k e k e =++D. 21252x x y k e k e =+- 5．微分方程dy y y tg dx x x=+的通解是（ ） A.1sin cx y x = B.sin y x c x =+ C.sin y cx x= D.sin x cx y = 6.通过坐标系的原点且与微分方程1dy x dx=+的一切积分曲线均正交的曲线的方程是（ ）A. 1y e x -=+B.10y e x ++=C. 1y e x =+D.222y x x =+7. 微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是( ) A.()x y x e c =+ B.()y x y e c =+C.()x y x c e =-D.()y x y c e =-8．函数()y x 满足微分方程2'ln 0xy y y x +-=且在1x =时，1y =，则在 x e =时，=y ( )A.1eB.12C.2D.e 9. 微分方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式是（ ）A.()x ax b e +B.()x ax b xe +C.()x ax b ce ++D.()x ax b cxe ++10．设)(x f 连续，且满足2ln )2()(20+=⎰x dt t f x f ，则=)(x f （ ） A.2ln x e B.2ln 2x eC.2ln +x eD.2ln 2+x e二.计算题(共6×10分) 1.求方程2220d y dy y dx dx++=满足初始条件004,'2x x y y ====-的特解2．求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解3．求方程ln dy y xy dx x =的通解4．求方程3)2(2)2(-+=-x y dx dy x 的通解5．求方程2(cos sin )dy y y x x dx+=-的通解。
上海师范大学标准试卷高数上2009-2010Word版
上海师范大学天华学院标准试卷2009 ~ 2010学年 第一学期 考试日期 2010 年 1 月 日科目：高等数学（二）Ⅰ （A 卷）专业 本科 年级 班 姓名 学号我承诺，遵守《上海师范大学天华学院考场规则》，诚信考试。
签名：________________一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. 当0→x 时，无穷小量kx =α与x x 2sin )21ln(++=β为等价无穷小量，则=k （ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 42. 若4)(lim =+-+∞→cx x cx c x ，则常数=C （ ）.A 2ln .B 2ln - .C 2ln 21 .D 2ln 21-3. 设函数xxx f arcsin )(=，则0=x 是)(x f 的（ ）.A 可去间断点 .B 跳跃间断点 .C 无穷间断点 .D 连续点4. 下列函数中，在区间[]10，上满足拉格朗日中值定理条件的是（ ） .A 11)(-=x x f .B x x f ln )(= .C 32)(x x f = .D x x f cot )(=5. 设某商品的需求函数为)(P f Q =，P 表示商品价格，Q 表示需求量，在0P P =时的需求弹性为)()()(0000P f P f P P '-=η，则3)(0=P η的经济意义是（ ） .A 当P 从0P 增加1时，Q 从)(0P f 减少3.B 当P 从0P 增加1时，Q 从)(0P f 增加3 .C 当P 从0P 增加%1时，Q 从)(0P f 减少%3.D 当P 从0P 增加%1时，Q 从)(0P f 增加%3二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-00)(23sin x a x xe e xf x x 在0=x 处连续，则常数=a2. 设)0(f '存在，且1)3()0(lim=--→h f f hh ，则=')0(f3. 设)()(x f x F ='且)(x f 是连续函数，则=⎰dx xx f )(4. 若x x f 2cos )(sin ='且0)0(=f ，则=)(x f5. 设某商品的需求函数为3202Q P -=，P 为价格（万元/百台），Q 为销售量（百台）则销售量Q 为2百台时的边际收益是 三、计算题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 求极限)21ln(arctan lim30x xx x +-→2. 求极限)tan 11(lim 20xx x x -→.3. 求极限111)2(lim -→-x x x4. 设,5sin 1arccos )1ln()(2π++-+=x x x x f 求)2(f '5. 设函数)(x f y =由方程y x xy+=2确定，求曲线)(x f y =在()1,0处的切线方程6. 设2211arctan )(xx x f -+= ，求)0(f ''7. 试求常数,c b a 、、使曲线1623+++=cx bx ax y 在点2-=x 处有水平切线，而点)10,1(-为其拐点8. 求⎰+dx x x 3ln 19. 求 ⎰+224xxdx10. 设x 2sin 是)(x f 的原函数，求⎰'dx x f x )(四、综合题（本大题共2个小题，第1小题8分，第2题7分,共15分） 1. 求函数21ln )(x x f +=的单调区间、极值和该曲线的凹凸区间、拐点.2. 某产品的总成本)(Q C （单位：万元）的边际成本为Q Q C -='3)(（单位：万元/百台），总收入)(Q R （单位：万元）的边际收入Q Q R 29)(-='（单位：万元/百台），其中Q 为产量，固定成本为2万元，问：（1）产量等于多少时总利润)(Q L 为最大？（2）从利润最大时再生产一百台，总利润减少多少？五.证明题: (本大题5分)设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内具有二阶导数, 点())(,c f c 在点))(,(a f a 和点))(,(b f b 的连线上(其中)b c a <<, 试证明在()b a ,内至少存在一点ξ, 使得0)(=''ξf（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2022届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2022届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则A B =____. 【答案】{1,2}【解析】根据交集定义的运算即可． 【详解】解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}A B =． 故答案为：{1,2}．【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．函数()f x =__． 【答案】(0,1]．【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =(0,1]． 故答案为：(0,1]3．若矩阵sin cos m A nθθ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin cos mB n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭，且A B =，则22m n +=___________. 【答案】1【分析】由矩阵相等可得sin ,cos m n θθ==，进而可得结果. 【详解】因为A B =，所以sin ,cos m n θθ==， 所以2222sin cos 1m n θθ+=+=， 故答案为：1. 4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 【答案】79-【解析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79-5．函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3，则实数m =______. 【答案】2【分析】由反函数的图象经过点()1,3，得原函数的图象经过点()3,1，代入解出答案即可. 【详解】解：因为函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3 所以函数()2log 1y x m =-+的图象经过点()3,1 所以()21log 31m =-+，解得2m = 故答案为2.【点睛】本题考查了函数与反函数图像的关系，属于基础题.6．已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(3,)+∞【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围 【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ， {}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆， 所以3a >， 故答案为：(3,)+∞7．在ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c 2201c a B+=，则角A =____.【答案】56π 【解析】利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．【详解】在ABC 中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c 2201c a B+=，22cos c a B +=，由正弦定理可得3sin 2sin 2sin cos B C A B +=， 即()3sin 2sin 2sin cos B A B A B ++=，可得3cos 2A =-， 因为(0,)A π∈,所以56A π=． 故答案为：56π． 8．设偶函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x+-< 的解集是_______________． 【答案】(,2)(0,2)-∞-⋃【详解】作出满足条件的函数f(x)的草图如下：由图象可得，()()0f x f x x+-<⇔2()0f x x<⇔()0xf x < 0()0x f x <⎧⎨>⎩ 或0()0x f x >⎧⎨<⎩ ⇔x ＜－2或0＜x ＜2， 解集为{x|x ＜－2或0＜x ＜2}点晴：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生对数形结合思想的应用，在本题中首先根据函数的奇偶性，单调性以及()20f =，作出函数y=f (x )的草图，然后对所求不等式结合奇偶性以及符号法测进行化简，由图象即可求得不等式解集．9．当2x >时，函数14x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒在函数34y x =-的图象下方，则a 的取值范围为_______. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意，得当2x >时不等式1434x a x -<-恒成立，即1314x a x -<-，令()1x f x a -=，3()14g x x =-，分类讨论1a >和01a <<两种情况，并在在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a 的不等式，解不等式得解【详解】由题意，得当2x >时不等式1434x a x -<-恒成立，即1314x ax -<-，令()1x f x a -=，3()14g x x =-，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当1a >时，如图所示，由图可知，x ∀∈R ，1314x ax ->-恒成立，故不满足题意； 当01a <<时，如图所示，由图可知，要2x ∀>，1314x a x -<-恒成立， 需()()22f g ≤，即213214a -≤⨯-，解得12a ≤，故102a <≤ 综上可知： a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.10．函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________. 【答案】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】先画出211()1,22f x x x =--≤≤的图象，在旋转过程依据函数的定义可得θ可取值的集合.【详解】()f x 的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：221x y +=，其中132A ⎛- ⎝⎭，132B ⎛ ⎝⎭. 在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（1）的位置旋转到()1,0，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故03πθ≤≤.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（2）的()1,0位置旋转到x 轴下方，而A 在x 轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象， 故233ππθ<<不符合. 在图象绕原点旋转的过程中， A 在x 轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故23πθπ≤≤符合. 故答案为：20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键. 11．函数11y x=-的图象与函数[]()2sin 2,4,y x x k k k Z π=∈--+∈的图象所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k 的值是______. 【答案】1006或1007. 【分析】由题意可得函数11y x=-的图象与函数2sin y x =π的图象所有交点成对出现， 且每一对关于点()10，对称，结合所有横坐标之和等于2020即可得到k 的值. 【详解】函数11y x=-的图象关于点()10，对称，函数2sin y x =π的图象也关于点()10，对称，如图所示，故函数11y x=-的图象与函数2sin y x =π的图象所有交点成对出现，且每一对关于点()10，对称，每一对交点的横坐标之和为2，又因为两个图象的所有交点的横坐标之和等于2020，所以它们共有1010对交点， 所以41010k +=或41011k +=，解得1006k =或1007k =. 故答案为：1006或1007.12．设2()22021x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,N a b ∈，x ∈R ，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为__． 【答案】(0,0)或(1,0)．【分析】由题意有()f x x =，有2222021022021x xx a x b x a x b x ⎧+⋅+⋅=⎨+⋅+⋅=⎩，解得0x =，可得0b =，再结合函数解析式分类讨论函数()y f x =与函数(())y f f x =有相同零点的条件，求出a 的值. 【详解】函数()y f x =的零点为方程2220210x x a x b +⋅+⋅=的根，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =的零点完全相同，则()f x x =，即222021x x a x b x +⋅+⋅=， 方程222021x x a x b x +⋅+⋅=的根就是函数()y f x =与函数(())y f f x =的零点，则有2222021022021x xx a x b x a x b x ⎧+⋅+⋅=⎨+⋅+⋅=⎩，解得0x =， 即2220210x x a x b +⋅+⋅=的1个根为0x =，所以0b =，则2()2f x x ax =+， 当0a =时，2()f x x =，4(())=f f x x ，有唯一零点0x =，符合；当0a ≠时，2()20f x x ax =+=，解得10x =或22x a =-，(())()[()2]0f f x f x f x a =+=，所以()0f x =或()2f x a =-，因为()0f x =已满足有两个相同的零点10x =或22x a =-， 所以()2f x a =-无解，即2220x ax a ++=无解，2480a a ∆=-<，02a <<，所以1a =，则(,)a b 为(0,0)或(1,0)． 故答案为：(0,0)或(1,0)二、单选题13．已知,a b R ∈，则“a b =”是“2a bab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】当2a bab +=时，可得2()4a b ab +=，整理得到2()0a b -=，即a b =， 当1a b ==-时，12a b +=-，1ab =，此时2a bab +≠， 所以“a b =”是“2a bab +=”的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，方法如下：（1）当2a bab +=时，可以推出a b =成立，满足必要性； （2）当a b =时，对,a b 赋值，令1a b ==-，可以判断2a bab +=不成立，不满足充分性； （3）对不满足条件的，可以举反例. 14．函数()ln cos sin x x f x x x⋅=+在[)(]π,00,π-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，可判断A ；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断B,C,D ,可得答案. 【详解】由题意函数()ln cos sin x x f x x x⋅=+，[)(]π,00,πx ∈-⋃，则()ln cos()()sin()x x f x f x x x -⋅--==--+-，故()ln cos sin x x f x x x⋅=+为奇函数，其图像关于原点对称，故A 错误；又因为(1)(1)0f f =-=，ππ()()022f f =-=,可判断B 错误，1lnln 23πππ3()0,(π)=0π3πf f ⋅->+=<，故C 错误， 只有D 中图像符合题意，故D 正确， 故选：D15．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A 223-B 223+ C 261- D 261+【答案】D【解析】本题首先可根据终边交单位圆于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭得出1223P ⎛- ⎝⎭，然后根据1223P ⎛- ⎝⎭得出22sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭以及1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】因为锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22113y ，22y =22（舍去），1223P ⎛- ⎝⎭， 则22sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 故sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查根据角的终边经过的点的坐标求角的正弦值和余弦值，考查两角差的正弦公式，求出点P 坐标、sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.16．设函数,()1,x x Pf x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠； （3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=. 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【详解】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确； 对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==， 显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立， 根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确； 对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当 P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确. 故选：B三、解答题17．（1）若关于x 的不等式2320ax x ++>的解集为(,1)b ，求实数,a b 的值； （2）若0a >，解关于x 的不等式2321ax x ax ++>--.【答案】（1）25,5=-=-a b ；（2）答案见解析【分析】（1）由二次不等式的解集，利用韦达定理求解系数； （2）分类讨论二次不等式的解.【详解】（1）由题意得2320ax x ++=的两根为b 和1，所以3121b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得25,5=-=-a b ；（2）由2321ax x ax ++>--得2(3)30ax a x +++>，即(3)(1)0ax x ++>， 当(0,3)a ∈时，解集为()3,1,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；当3a =时，解集为()(),11,-∞--+∞；当(3,)a ∈+∞时，解集为()3,1,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.18．已知函数21()cos cos (R)2f x x x x x =--∈．(1)当π5π[,]1212x ∈-时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； (2)设ABC 的内角A，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，且a =6b =，12A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求ABC的面积ABCS．【答案】(1)最大值0，此时π3x =；最小值1-，此时π12x =-；(2)【分析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简，由定义区间求最大值和最小值时x 的值；（2）由函数值求得角A ，余弦定理求得c 边，由面积公式计算面积.【详解】（1）211cos21()cos cos 2222x f x x x xx +=----， 12cos 212x x =--πsin(2)16x =--，因为π5π[,]1212x ∈-，有ππ2π2[,]633x -∈-，所以πsin(2)16x ≤-≤，π()sin(2)16f x x =--的最大值0，此时π3x =，π()sin(2)16f x x =--的最小值1-π12x =-； （2）πsin 1126A f A ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 06A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由A 为三角形内角得π6A =，因为a =6b =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得212360c =+-=，解得c =c =由13sin 22ABC bc A c S ==，得ABC S =ABC S =△19．勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【答案】（1）前7个月每月该食材都够用；（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【解析】（1）由题意知6460n n S -≥恒成立，讨论16n ≤≤、7n =确定不等式是否成立即可. （2）保证全年每一个月该食材都够用有n pn S ≥恒成立，即max ()n S p n≥，可求p 的最小值． 【详解】（1）当16n ≤≤时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用； 当7n =时，因为()7646764676497747618160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用． 所以，前7个月每月该食材都够用（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S ≥对1,2,,12n =恒成立．当16n ≤≤时，635pn n ≥恒成立，可得635p ≥；当712n ≤≤时，26774618pn n n ≥-+-恒成立，即1037746()p n n ≥-+恒成立，而当10n =时，1037746()n n -+的最大值为652.2 综上，可得652.2p ≥．∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．已知函数22,?10,()=1,? 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()f x -；(2)试问:函数()f x 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足: 123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．【答案】（1）1,? 0<2,2?10.x x x ⎧-≤⎪-≤≤；（2）存在点1,2(12)A B -关于原点对称；（3）【详解】试题分析：(1)根据分段函数的反函数的求法求出函数()f x 的反函数()1f x -；(2)设点()()00000,(01),A x y x B x y <≤--、是函数图象上关于原点对称的点，则()()000f x f x +-=，即200120x x -+=， 解方程求出0x ，即可说明：函数图象上存在两点关于原点对称.(3) 根据函数()y f x =与函数y =的图象，可得当1x -≤≤时，2 +2x a =-，且 02a ≤≤.；当1x <≤时， 24=0+4a x x a =-，，于是，123224,,024a x x x a a =-=-=++. 由()32212x x x x -=-，解得a =02a <=，满足条件.因此，所求实数a =. 试题解析：(1) ()22,10,=1,0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩ ∴当10x -≤<时，()()2,02f x x f x =-<≤.由2y x =-，得12x y =-，互换,x y ，可得()11(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，()()21,10f x x f x =--≤≤.由21y x =-，得x ,x y ，可得())110f x x --≤≤.()11,0<2,210.x x f x x -⎧-≤⎪∴=-≤≤ (2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.设点()()00000,(01),A x y x B x y <≤--、是函数图象上关于原点对称的点，则()()000f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,x x ==舍去），且满足01x <≤ .因此，函数图象上存在点()1,2,12A B -关于原点对称. (3) 考察函数()y f x =与函数y =的图象，可得当1x -≤≤时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得 2+2x a =-，且由21+2a -≤-≤02a ≤≤.当1x <≤时，有()f x <240ax -=，化简得 ()22440a x ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，(当02a ≤≤时，2404a a <-<+). 于是，123224,,024a x x x a a =-=-=++. 由()32212x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得a =因为1a =<-，故a =02a <=<，满足条件.因此，所求实数a =. 21．若定义城R 的函数()f x 满足：①()()()121212,0x x R x x f x f x ∀∈--⎡⎤⎣⎦≥，②()()0,1T x R f x T f x ∃∀∈+=+＞，.则称函数()f x 满足性质()P T .（1）判断函数()2f x x =与()g sin x x =是否满足性质()P T ，若满足，求出T 的值；（2）若函数()f x 满足性质()2P 判断是否存在实数a ，使得对任意x R ∈，都有()()2021f x a f x +-=，并说明理由；（3）若函数()f x 满足性质()4P ，且()20f -=.对任意的()2,2x ∈-，都有()()f x f x -=-，求函数()()()4tg t f t f t f t =⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域. 【答案】（1）不满足；（2）存在，理由见解析；（3）(){1}(2,6].g t ∈.【分析】（1）分别验证两个函数是否满足条件①和②；（2）由②计算可得()()2f x n f x n +-=，令2021n =，求得a 的值；（3）根据已知可得任意的[)42,42x k k ∈-+，Z k ∈，有()f x k =，由()0f t ≠，可得[)2,2t ∉-，分2t =和2t >两种情况分别求出()g t 的值域，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）函数()2f x x =满足性质1()2P . 显然函数()2f x x =满足①，对于②，由, ()()1x f x T f x ∀∈+=+R 有，2()21x T x +=+，所以21T =，即12T =. 函数()sin g x x =显然不满足①，所以不满足性质()P T .（Ⅱ）存在.理由如下：由, (2)()1x f x f x ∀∈+=+R ，可得*(2)(22)1(24)2(26)3()()f x n f x n f x n f x n f x n n +=+-+=+-+=+-+==+∈N . 即(2)()f x n f x n +-=.令2021n =，得24042a n ==.（Ⅲ）依题意，对任意的(2,2)-有()()f x f x -=-，所以(0)0f =. 因为函数()f x 满足性质(4)P ， 由①可得， 在区间[2,0]-上有(2)()(0)f f x f -≤≤，又因为(2)0f -=，所以0()0f x ≤≤. 可得 [2,0],()0x f x ∀∈-=. 又因为对任意的(2,2)-有()()f x f x -=-，所以[)()2,2,0x f x ∈-=. 递推可得[42,42), , ().x k k k f x k ∀∈-+∈=Z 有 函数()4()(()+1)tg t f t f t=， 因为()0, f t ≠所以[2,2).t ∉-由②及(2)0f -=可得(2)1f =， 所以当22 (2)11(11)t g ===⨯+时，. 易知当||2t >时，4(2,2)t ∈-，所以4()0f t=. 即2t >时，()()t g t f t =.所以当[42,42)(, 0, 2)t k k k k t ∈-+∈≠≠Z 时，()t g t k=.当1k ≥时， 424222()[,)[4,4).k k g t k k k k -+∈=-+ （但1k =时， ()2g t ≠，需要排除） 显然， 此时2k随k 的增大而减小， 所以2222[4,4)[4,4)+1+1k k k k -+-+. 所以求值域时， 只需取1k =， 得22()(4,4)(2,6)11g t ∈-+=.当0k <时， 424222()(,](4,4].k k g t k k k k +-∈=+- 显然， 此时2k随k 的增大而减小， 2222(4,4](4,4]11k k k k +-+---. 只需取1k =-， 得22()(4+,4](2,6]11g t ∈-=--. 综上， 函数值域为(){1}(2,6].g t ∈【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理能力，属于难题.。
上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=．2．若(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部是．3．直线50x +=的倾斜角是．4．已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为．5．已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21024a a +=，且36a =，则8S =．7．若关于x 的不等式20x x m -+<的解集是∅，则实数m 的取值范围是．8．若函数()e xf x ax =-在区间()0,1上有极值点，则实数a 的取值范围是.9．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：34.64cm AB =，π10cm,14cm,6AD BE A B ====，则,D E 两点间距离为cm.（精确到1cm ）10．设1A ，2A ，3A ，L ，7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是．11．若函数=的表达式为()()21,2,ax x af x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，且存在最小值，则a 的取值范围为．12．已知等差数列12:,,,,n A a a a ，若存在有穷等比数列12:,,,N B b b b ，其中11b =，公比为q ，满足11k k k b a b --≤≤，其中2,3,,k N = ，则称数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”．数列A 的通项公式为n a n =，数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”，则N 的最大值为．二、单选题13．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．若a 、b ∈R ，且0ab >，则下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a b +≥+B ．a b +≥C ．2b aa b+≥D ．224a b ab+≥15．若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m .若围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中最接近MN的是（）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109316．已知平面向量a 、b 、c满足2b = ，1a b += ，c a b λμ=+r r r ，且21λμ+=．若对每一个确定的向量a，记c 的最小值为m ．现有如下两个命题命题:P 当a变化时，m 的最大值为23；命题Q ：当a变化时，m 可以取到最小值0；则下列选项中，正确的是（）A ．P 为真命题，Q 为假命题B ．P 为假命题，Q 为真命题C ．P 、Q 都为真命题D ．P 、Q 都为假命题三、解答题17．已知()()sin 0f x x ωω=>.(1)函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；(2)已知1ω=，2π()()()()2g x f x x f x =--，求函数()y g x =，π[0,]4x ∈的值域.18．某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为1a ，2a ，3a ，…….(1)写出2a 和3a ，并求出1n a +与n a 之间的递推关系式；(2)求证：数列{}40n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式.19．记代数式()31268log 219,(1)(4)a M x a x a N x x =-+-+-=--++.(1)当2a =时，求使代数式M 有意义的实数x 的集合；(2)若存在实数x 使得代数式M N +有意义，求实数a 的取值范围.20．过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．(1)已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．(2)在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．(3)已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．21．设函数()y f x =的定义域为开区间I ，若存在0x I ∈，使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点，则称()y f x =为“L 函数”，切线l 为一条“L 切线”．(1)判断1y x =-是否是函数ln y x =的一条“L 切线”，并说明理由；(2)设()2e 6xg x x =-，求证：()y g x =存在无穷多条“L 切线”；(3)设()()3210f x x ax x c =++<<，求证：对任意实数a 和正数()c y f x =，都是“L 函数”。
数分练习卷
上海师范大学练习卷专业 本、专科 年级 班 姓名 学号1.⎪⎩⎪⎨⎧=>==内的无理数以及互素，)1,0(,,,q ,,,)(1001x p q p q p x q x f 在[0,1]上不可积。
( F )2.若||f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积。
( F )3.广义积分11x dx xα-+∞+⎰，当1α≥时，此积分收敛。
( R ) 4.若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则重排级数得到()1k n n u ∞=∑也收敛，且有相同的和数。
( R )5.若数列{}n a 单调且收敛于零，则级数cos n a nx ∑在[],2απα-()0απ<<上一致收敛。
( R )1、c bx a a bx b dx bx a x ++-=+⎰|)|ln (122、61212π=∑∞=n n3、1111.....23lim 1ln n n n→+∞++++= 4、1200(1sin 2)lim xtx t dte x→+=⎰5、当11m n m >->且时，积分=I 0(0)1mnx n dx x +∞≥+⎰条件收敛。
一、是非题（正确的在括号内填上“R ”，错误的填上“F ” ）二、填空题。
三、计算题1、⎰(P197页例题7)2.13 022 (1)dxx x-+⎰解：11323 0022213[()][1] 24dx dxx==-++⎰tan t=，则)2secdx t dt=，于是原式62622(sec)tππ-⋅=6644cos33tdtππ-==⎰3、2445dxx x+∞-∞++⎰解：222001lim lim445(21)21lim arctan(21)|28A AA AAAdxdxx x xxπ→+∞→+∞→+∞=++++=+=⎰⎰002221lim lim445(21)21lim arctan(21)|28B BB BBBdxdxx x xxπ→+∞→+∞→+∞=++++=+=⎰⎰222lim lim445445445ABA Bdx dx dx x x x x x x +∞-∞→+∞→-∞∴=+++++++⎰⎰⎰884πππ=+=4.1212nn n ∞=-∑（求和） 解：1112121222nn n n n k kk k k k S S S -==--=-=-∑∑ 1211112212112222112211212112121213(2)22nn k kk k n kn k n n n n k k n n n n -==-=----=+--=+---=+---=--≥∑∑∑于是，lim 3n n S S →∞==，故级数收敛且和为3.1、1(ln )Pdx x x ⎰解：11121002(ln )ln (ln )ln (ln )p p p dx x d x x d x x x --=+⎰⎰⎰ 11112100211lim (ln )|lim (ln )|11p p x x p p εεεε++---→→=+-- 1111001111lim (ln )(ln )lim (ln(1))(ln )1212p p pp p p εεεε++----→→⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦上面极限式发散，故其瑕积分发散 2、1ln(1)nx dx x+∞+⎰四、研究下列广义积分和级数的敛散性。
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《微积分下》作业2
学院 专业 年级班级 姓名 学号
一、单选题（5×4）
1.由曲线2x y =及122+=x y 所围成的平面图形的面积为（ D ） A.23 B.25 C.21 D.3
2
dx x x s ]2
1
[221
02-+=⎰
dx x )2
21(22
1
0-
=⎰ 3
201]62[23=-=x x
3
2
，则c 的取值为（ B ） A.1 B.21 C.3
1
D.2
⎩⎨⎧==32cx y x y ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧==c x x 1
0 dx cx x s c )(1
32⎰
-=
0]4
131[143c cx x -=
32
1213
==
c 21=c
y
3
cx y =
3. 由曲线)0(sin 2
3π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为
（ C ） A.
34 B.32 C.π34 D.π3
2 4．抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积为（ A ）
A.18
B.
58 C.5
18
D.8 5．曲线x y ln =与x 轴及直线e x e
x ==,1
所围成的图形的面积是（ B ）
A.e e 1-
B.e 22-
C.e e 2-
D.e
e 1+
二﹑综合题(2×10)
1．求心形线)0)(cos 1(>+=a a ϕρ与圆a =ρ所围各部分的面积。
解：(1)圆内,心形线内部分1A
221
212()22A d a πππρϕϕ=+⎰=22
222)cos 1(a d a πϕϕππ++⎰
=
ϕϕ
ϕπ
π
π
d a
a ]2
2cos 1cos 21[2
2
2
2⎰
++
++ =ππϕϕϕπ
2
22]2sin 41
sin 223[2+++a a =
)24
5(]243[
2
222-=-+π
ππ
a a a (2)圆内,心形线外部分2A
)4
2(2122
π
π-
=-=a A a A
(3) 圆外,心形线内部分3A
ϕϕπ
d a a A ])cos 1([2
1222220
3
-+=⎰
=ϕϕϕπ
d a ]1cos cos 21[2
022-++⎰
=ϕϕϕπd a
]cos cos 2[2
22
⎰
+=)4
2(2π
+
a
2．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线a x =,2=x ,及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线
22x y =和直线0=y ,a x =所围成的平面区域,其中20<<a .
(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ,2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ; (2)问当a 为何值时,21V V +取得最大值?试求此最大值.
解：（1）)32(54)2(5
22
21a dx x V a
-=
=⎰ππ
4202
2222
2a dy y a a V a πππ=-⋅=⎰ （2）4521)32(5
4a a V V V ππ
+-=+= )1(43a a V -='π令0='V 1=⇒a
10<<a 0>'V 1>A 0<'V 1=∴a 是极大值点即最大值点
且最大值为π5
129。