上海师范大学高数试题 (10)

《微积分下》作业2

学院 专业 年级班级 姓名 学号

一、单选题（5×4）

1.由曲线2x y =及122+=x y 所围成的平面图形的面积为（ D ） A.23 B.25 C.21 D.3

2

dx x x s ]2

1

[221

02-+=⎰

dx x )2

21(22

1

0-

=⎰ 3

201]62[23=-=x x

3

2

，则c 的取值为（ B ） A.1 B.21 C.3

1

D.2

⎩⎨⎧==32cx y x y ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧==c x x 1

0 dx cx x s c )(1

32⎰

-=

0]4

131[143c cx x -=

32

1213

==

c 21=c

y

3

cx y =

3. 由曲线)0(sin 2

3π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为

（ C ） A.

34 B.32 C.π34 D.π3

2 4．抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积为（ A ）

A.18

B.

58 C.5

18

D.8 5．曲线x y ln =与x 轴及直线e x e

x ==,1

所围成的图形的面积是（ B ）

A.e e 1-

B.e 22-

C.e e 2-

D.e

e 1+

二﹑综合题(2×10)

1．求心形线)0)(cos 1(>+=a a ϕρ与圆a =ρ所围各部分的面积。 解：(1)圆内,心形线内部分1A

221

212()22A d a πππρϕϕ=+⎰=22

222)cos 1(a d a πϕϕππ++⎰

=

ϕϕ

ϕπ

π

π

d a

a ]2

2cos 1cos 21[2

2

2

2⎰

++

++ =ππϕϕϕπ

2

22]2sin 41

sin 223[2+++a a =

)24

5(]243[

2

222-=-+π

ππ

a a a (2)圆内,心形线外部分2A

)4

2(2122

π

π-

=-=a A a A

(3) 圆外,心形线内部分3A

ϕϕπ

d a a A ])cos 1([2

1222220

3

-+=⎰

=ϕϕϕπ

d a ]1cos cos 21[2

022-++⎰

=ϕϕϕπd a

]cos cos 2[2

22

⎰

+=)4

2(2π

+

a

2．设1D 是由抛物线2

2x y =和直线a x =,2=x ,及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线

22x y =和直线0=y ,a x =所围成的平面区域,其中20<

(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ,2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ; (2)问当a 为何值时,21V V +取得最大值?试求此最大值.

解：（1）)32(54)2(5

22

21a dx x V a

-=

=⎰ππ

4202

2222

2a dy y a a V a πππ=-⋅=⎰ （2）4521)32(5

4a a V V V ππ

+-=+= )1(43a a V -='π令0='V 1=⇒a

10<'V 1>A 0<'V 1=∴a 是极大值点即最大值点

且最大值为π5

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