锐角三角函数(一)

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§1.1 锐角三角函数(1)

§1.1 锐角三角函数（1）【教学目标】1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2.掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，【重点难点】重点：三角函数定义的理解。

难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。

【教学过程】一、情境导入1、∠A=30°，则ABBC= ,这个比值和B 点的位置有关系吗？2、在∠A 的一边上任取两点B 与B 1,分别作BC ⊥AC 于点C ，B 1C 1⊥AC 1于点C 1.比值AB BC 与1111B A C B 有什么关系?3、比较1和2中的两个比值是否相等？如果∠A =50°时，这个比值和40°时有变化吗？二、新课教学 1、结论:当锐角α确定时,比值AB BC 是一个唯一确定的值；当锐角α变化时,比值ABBC也随之变化.简单地说：角度不变，比值不变，角度改变，比值改变边与2、2、三角函数的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA=ABBC ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=ABAC =斜边的邻边A ∠∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tang e nt )，记作tan A ，即的斜边的对边A tan ∠∠==A AC BC A 锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数. 三、课堂练习： 1. 根据图形填空：sin A = ； cos A = ； tan A =tanA=∠A的对边∠A的邻边 A 30° BCAB １ BC CC 140°AαBCC4532. 如图，在Rt △ABC 中，∠C = Rt ∠ ，AC =2, AB=13 . 求 : (1) sin A 、 cos A 、tan A 的值 (2) sin B 、 cos B 、tan B 的值；3、在Rt △ABC 中, ∠C =Rt ∠，AC ︰BC =1︰2. 求tan B 、sin B 、 cos B 的值.4、在Rt △ABC 中, ∠C =Rt ∠，sin A = ,则sin B 的值为( )(A) (B) (C) (D)5、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠， CD ⊥AB ，求锐角∠DCB 的余弦四、回顾总结：1. 一个概念：锐角三角函数2. 一个关系：直角三角形中边角关系3、对任意锐角 ,下列结论成立吗？请说明理由. ① 0＜sin ＜1, ② 0＜cos ＜1, ③sin +cos ＞1 , ④tan ＞0感谢您的阅读，祝您生活愉快。

锐角三角函数(1)

锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；（3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。

锐角三角函数(1)

第一章直角三角形的边角关系
第1课时锐角三角函数（1）
课前小测课堂精讲
课后作业
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课前小测
关键视点 1.如图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做的正切，记作即
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比).常用来描述山的坡度.
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课堂精讲
考点2 坡度【例2】（2016闵行区一模）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 1：0.75 .
【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题. 【解答】解：如图所示： AC=5米，BC=4米，则AB= =3米，则坡比= = =1：0.75.
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课堂精讲
解：（1）tan∠BOA= = = ；
（2）点C的坐标是（﹣2，4）
类比精练
1.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为（ B ）
A.
B.
C.
D.
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课堂精讲
【分析】在正方形网格中构造一个∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义求解. 【解答】解：如图，在Rt△ADB中， tan A= 故选B. = .
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课堂精讲
考点1 正切【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 B（4，2），BA⊥x轴于A. （1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点 C，求点C的坐标. 【分析】（1）根据正切的定义，对边与相邻的斜边的比，即可求解；（2）根据图形，确定旋转以后的位置，可以直接写出坐标.

1.1锐角三角函数(第1课时)课件

你能设法验证这个结论吗？
比值大的梯子陡.
图③
图④
知识点 1 正切的定义
B
B B2 B1
A
C2 C1 C
C
如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，
B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们
的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2
及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
应用新知，典例剖析
例1.下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较
陡?
A
E
4m 甲
┐ 8m α
C 甲梯
B
13 m 乙
F
β
乙梯
5m
┌
D
解:甲梯中 tan 4 1 .
82
乙梯中 tan 5 5 .
132 52 12
∵ tanα> tanβ ∴甲梯更陡
知识点 3 坡度和坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
(3).如图 (2) tan A BC ( AB
(4).如图 (2) tan B 10 ( 7
). A
).
7┍m
C A 10m C
(1)
(2)
). (6).如图 (2)
). tan A 0.7,
( ).
(5).如图 (2) tanA = 0.7 ( ). tan A 0.7或 tan A 0.7
生活中的梯子
梯子是我们日常生活中常见的物体.
情境导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
知识讲授

锐角三角函数(第一课时)课件ppt

对边与斜边的比 BC ，你能得出什
么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是
等腰直角三角形，由勾股定理得
AB2 AC2 BC2 2BC2
AB 2BC
因此 BC BC 1 2
AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大
结论
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
B
sin A BC AB
＜1
sin B AC ＜1 AB
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
C
AB
在Rt△BCD中， sin B CD BC
A
D
B
因为∠B=∠ACD，所以
sin B sin ACD AD AC
请分别计算60度的锐角对边与斜边的比值你能发现什么规律吗？
sin 45 2 2
sin 45 2 2

sin30 1
2
(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与斜边的比值随之确定；
意大利的伟大科学家C 伽俐．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
情
问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，

锐角三角函数练习题及答案

锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1．已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4．已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6．若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7．计算： 2sin450-3tan600=____________． 8．计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9．计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10．计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________．二、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414．当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235．若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006．当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007．如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259．已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14．求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题：（1）已知a=5，∠B=600．求b ；（2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝156， b ＝56，求c; （2）已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4）已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。

初三锐角三角函数(一)

A C锐角三角函数(一)知识要点1.锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C=90°。

∠A 的正弦：sin aA c=（对边比斜边） ∠A 的余弦： cosA=bc （邻边比斜边） ∠A 的正切： tanA=a b（对边比邻边） cotA=a b（邻边比对边）2．特殊角度的三角函数值113.三角函数的范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1。

引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

你想知道小明怎样算出的吗？典型例题例1.（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．（2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，︒341米10米?(1)3A(2)sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例2:在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°，BC=6， 53sin =A ，求cos A 和tanB 的值.例3:(1)如图(1), 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,6=AB ,3=BC ,求A ∠的度数.(2)用一片半径为2，面积为π2的扇形纸片围成如图(2)的圆锥，求圆锥的高OA 及α.例4.计算下列式子的值(1)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(2)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 222例5．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例6．（四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB=45°，则sinC 的值为（）A.22B.222-C. 222+ D.42经典练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．2.因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 3（滨州，第11题3分）在Rt △ACB 中，∠C =90°，AB =10，sinA =53，cosA =54，tanA =43，则BC 的长为（）4．（江苏宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（）ABCD A. 5 B.552 C. 55 D.325．﹙黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 56.﹙成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（）A ．35B ．32 C ．552 D ．257.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（） A．B． C ． D ．8.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．9.（广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA = ．10.（广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME =EF 且EF ∥MN ，则cos ∠E = ．11．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB和cos B ．AB12．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．13.已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．巩固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 2.求下列各式的值：（1）︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 22CB A（2）︒+︒︒-︒+︒-︒︒+︒45cos 30sin 45cos 60cos 45sin 60cos 45sin 60cos3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．4．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．。

锐角三角函数1

教师备课稿学科_ 数学__ _九_年级第_下册教师朱晶_课题1.1锐角三角函数（1）第课时教学目标1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.重难点教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念. 教学难点：锐角三角函数的概念.教具、学具准备ppt课件学教安排教法及学法指导、反思课前准备一、创设情境，引入新课小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢?（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比值BCAB,ACAB,BCAC都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值BCAB,ACAB,BCAC都是锐角α的三角函数.比值BCAB叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.比值ACAB叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.30°B45°西东比值BCAC叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．2、sinα、cosα、tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有sin cos tanAAAAAAA∠=∠=∠=∠的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边那么B∠呢？追问：你能求出sinA 与cosA的取值范围吗？.三、新知运用用一用1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.判断：（1）sinA=513（√）（2）tanB=512（×）2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.⑴若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;⑵若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;⑶若sinA=513, 求sinB的值.解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=90ο,AC=200, sinA=0.6.求BC的长.解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.练一练：1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.四、课堂小结1.正弦，余弦和正切的概念；2.三角函数的概念；3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？课后反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。

锐角三角函数

锐角三角函数知识要点一、锐角三角函数1. 正弦及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正弦.记作sinA ，即ca斜边的对边∠A sinA ==.2. 余弦及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的余弦.记作cosA ，即cb斜边的邻边∠A cosA ==.3. 正切及其公式如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切.记作tanA ，即ba∠A的斜边∠A的对边tanA ==.4. 锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.对于一个锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 也是∠的函数，其中∠A 是自变量，其取值范围是0°＜∠A ＜90°，sinA 、cosA 、tanA 分别是对应的函数.由于在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0.二、特殊三角函数锐角α 三角函数30°45°60°sinA2122 23 cosA23 22 21 tanA33 13例题精讲第一部分：正弦函数【例1】（2011桂林）如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA 的值为（）A ．43 B ．34 C ．53 D ．54【例2】（2012滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（）A ．不变B ．缩小为原来的31C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定【例3】（2007宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（）A ．5B ．552 C ．55 D ．32【例4】（2009广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（） A ．125 B ．135 C ．1310 D ．1312【例5】如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为．【例6】把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．第二部分：余弦函数【例7】（2011来宾）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A 的余弦值为（）A ．53 B ．43 C ．54 D ．34【例8】（2006湖北）如图，直角三角板的直角顶点0在直线AB 上，斜边CD ∥AB ，则cosα= ．第三部分：正切函数【例9】（2011苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（） A ．43 B ．34 C ．53 D ．54【例10】（2011黔东南州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan ∠ACD 的值为（）A ．53 B ．54 C ．34 D ．43【例11】（2008泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（） A ．724B ．37C ．247D ．31 【例12】（2008桂林）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（）A ．33B ．332C ．335D ． 35【例13】（2005泰安）直角三角形纸片的两直角边AC 与BC 之比为3：4．（1）将△ABC 如图1那样折叠，使点C 落在AB 上，折痕为BD ；（2）将△ABD 如图2那样折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ．则tan ∠DEA 的值为（）A ．43 B ．34 C ．2519 D ．54第四部分：特殊角的三角函数值【例14】（2011烟台）如果△ABC 中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（） A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形【例15】（2002杭州）在△ABC 中，∠A 和∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个内角的大小关系为（）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠AC ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A【例16】（2010济南）如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为（）A ．21B ．22C ．23 D ．1【例17】（2009贺州）已知a=3，且（4tan 45°-b ）2+0213=-+c b ，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【例18】（2007襄阳）计算：cos 245°+tan60°•cos30°等于（） A ．1 B ．2 C ．2D ．3【例19】（2006潍坊）计算：tan60°+2sin45°-2cos30°的结果是（） A ．2 B ．3 C ．2 D ． 1 【例20】（2012南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°【例21】（2011深圳）计算：2-1+3cos30°+|-5|-(π-2011)0．【例22】（2009芜湖）（-1）2009×（21-）-2+（-3π）0+|1-sin60°|【例23】（2011兰州）已知α是锐角，且sin （α+15°）=23，计算 8-4cosα-（π-3.14）0+tanα+(31)-1的值．解直角三角形知识要点一、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1；（2）互为余角的两个三角函数关系：若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.二、解直角三角形的应用中的几个概念 1．仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角．2．水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离．铅垂线仰角俯角视线水平线视线图 1ABC垂直距离坡面距离水平距离图23．坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lhi =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即．坡面与水平的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：αtan ==lhi .坡度越大，则α角越大，坡面越陡.4．方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于︒90的水平角，叫方向角，如图4，OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东︒60，北偏西︒30，西南方向，南偏东︒20．lhlh i =α图3东南西北 BA︒60︒45C D图4例题精讲第一部分：解直角三角形的实际应用【例1】某人上坡走了60米，他升高了230米，这坡的坡度是（）A ．︒30B ．1:1C ．︒45D ．22 【例2】小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（）A ．5200mB ．500mC ．3500mD ．1000m 【例3】在距电视塔S 米的地面测得塔顶的仰角是α，则塔高是（）A ．αsin S B ．αcos SC ．αcot ⋅SD ．αtan ⋅S 【例4】如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（保留根号）．【例5】（2010年辽宁省丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） A ．（53332+）m B ．（3532+）m C ． 533m D ．4m【例6】如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，AB A E D C30°处受噪音影响的时间为( )A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒【例7】如图，瞭望台AB 高20m ，瞭望台底部B 测得对面塔顶C 的仰角为60°，从瞭望台顶A 测得C 的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD 地势高低相同，求塔CD 的高.【例8】如图所示，水坝的横断面是梯形ABCD ，迎水坡DA 的坡度为1:2.5，背水坡CB 的坡度为1:2，坝高DE为8米，坝顶宽DC 为6米．求：（1）坝底的宽AB ；（2）1米长的堤坝所需的土石方(体积)．【例9】如图所示，从塔底同一水平线上的测量仪上，测得塔顶的仰角为︒45，向塔前进了10米（两次测量在塔的同侧），又测得塔顶的仰角为︒60，测量仪器的高为1.5米，求塔高（精确到0.1米）．AEDCB【例10】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．【例11】如图所示，在东西方向的海岸线上，有A 、B 两个码头，相距()13100-米，由码头A 测得一只船K在北偏东︒60，由码头B 测得K 在北偏西︒15．求船只K 到海岸线AB 的距离．【例12】如图所示，已知海岛P 的周围18千米的范围内有暗礁，一艘海轮在点A 处测得海岛P 在北偏东︒30方向，向正北航行12千米到达点B 处，又测得海岛P 在北偏东︒45的方向，如果海轮不改变航向，继续向北航行，有没有触礁的危险？ABC GFDEA BM K北北东西ACDBE F β αG【例13】如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.【例14】如图所示，已知：在山脚C 处测得出顶A 的仰角是︒45，沿着斜角为︒30的斜坡前进300m 到达D ，在D 点测得山顶A 的仰角为︒60．求山高AB ．【例15】如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)ABC P东北AB DC第二部分：解直角三角形几何综合题【例16】在ABC ∆中，32sin 90=︒=∠A C ，，那么=B tan （） A ．55 B ．25 C ．552 D ．53【例17】菱形的边长为4，有一个内角为︒40，则较短的对角线长是（）A ．︒40sin 4B ．︒20sin 4C ．︒20sin 8D ．︒20cos 8 【例18】已知在等腰ABC ∆中，顶角A 的平分线与对边交于D 点，若AB:BC=13:10，则=∠DAC cos ．【例19】三角形三边的长分别为17,32,5，则此三角形最大内角的度数是．【例20】一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为31+，则这个三角形的面积为（）A ．1B ．23 C ．3 D ．43【例21】方程()01242=++-m x m x ，的两根恰好是某直角三角形的两锐角的正弦，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．2±D ．3±【例22】已知在ABC ∆中，B A C ∠>∠︒=∠，90，且A tan 和B tan 的值是方程013342=+-x x 的两个根，则=∠A ．【例23】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C ＝60°，AD ＝4，BC ＝6，求AB 的长．ABC D【例24】一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．课后练习1．菱形ABCD 的对角形AC=10cm ，BD=6cm ，那么2tanA等于（） A ．53 B ．54C ．343D ．345 2．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（） A ．135 B ．1312 C ．1310 D ．125 3．在ABC Rt ∆中，31tan ,90=︒=∠A C ，则=B sin ． 4．直角三角形中，一锐角的正切值为125，周长为18，则三边长为． 5．如图所示，一树的上段CB 被风折断，树梢着地，与地面成︒30角，树梢着地处B 与树根A 相距6m ，则原来的树高是．6．已知在ABC ∆中，3=AB ，AC=4，BC=3，BD 是AC 边上的中线，则BD 的长为．A BC7．已知，如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B 处测得岛A 在北偏西︒60，航行24海里后到C 处，测得岛A 在北偏西︒30.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ABC 3060。

1.1锐角三角函数(1)教学设计

1.1锐角三角函数(1)教学设计一、教学内容分析本节课是三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是三角函数与以前学习过的函数有着较在区别，函数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关很难理解，课本把它放在直角三角形中来进行定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习，本课时主要内容是三角函数的概念及进行简单的计算应用，而其中三角函数的概念应是本节课的难点。

二、学习类型与任务分析（一）学习类型1、学习结果（1）三角函数的概念是数学概念（2）在直角三角形中函数值恰好等于边长之比是数学原理（3）利用利用三角函数的定义进行简单计算是数学技能，数形结合思想是数学思想方法。

（4）利用各种方法进行因式分解，因式分解的应用是数学问题解决。

（5）通过让学生体验三角函数来源于生活；通过构造直角三角形来计算锐角三角函数值的过程是数学认识策略。

2、学习形式锐角三角函数（1）是三角函数的起始课，属上位学习；三角函数的概念形成很抽象，宜通过实例、生活情境入手引入，让学生从实例中探究，体验概念的形成过程，宜采用探究与合作相结合的启发式教与学。

（二）学生的起点能力1．函数概念，一些特殊简单函数及其性质的学习。

2．线段比例及相似三角形（图形）的学习。

三、教学目标知识技能目标：了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。

过程方法目标：（1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验（2）渗透数形结合的数学思想方法。

（3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。

情感态度目标（1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。

（2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。

四、教学重、难点重点：锐角三角函数的概念及其简单的计算难点：三角函数概念的形成五、教学流程教师活动；（一）实例引入，问题提出：生活中处处有数学，数学就在我们身边，每次新知识的学习都与生活问题的解决相关，下面我们说说生活中的又一例：生活中有很多的“陡峭”与“平坦”的问题，如我们常见的各色梯子、商场里的电动扶梯、大城市里的过街天桥等，在生活中我们经常讲这个坡太“陡”那个坡比较“平”，那么，我们又是用哪些量来衡量“陡”与“平”的呢？（幻灯片1）上图是我们把天桥改“平”的示意图，我们这次次改造过程中有哪些量保持不变，哪些量发生了变化？它们的变化有联系吗？（幻灯片2和3）如果进行上图的另两种改法呢？由此看来坡改“平”之中这些改变的量之间到底有何必然联系有待我们去探索。

锐角三角函数复习(一)

锐角三角函数复习题(一)一、要点梳理1、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C =90°,则sin A ==A ∠的;cos A ==A ∠的; tan A ==A ∠的.2、特殊角的三角函数值3、解直角三角形（1）解直角三角形的定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，的过程，叫做解直角三角形. （2）直角三角形中的关系①边的关系：22a b +=;②两锐角的关系：A B ∠+∠= ; ③边角关系：sin A = ; cos A = ; tan A = .（3）直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．①仰角与俯角②方位角③坡度 t a n hi lα==二、类型题组1、(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )A.31010B.12C.13D.10102、(2014·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tanA 的值是 .3、如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB= 。

4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，5sin 13A =,则tan B = 。

第1题图第2题图第3题图第3题图A DC B第6题图5、在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin sin A B + 1, 22sin cos A A + 1(填“<”，“=”，“>”).6、如图，在△ABC ，AB=AC=1，∠A 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是。

1、计算2cos600的值是。

1.1.锐角三角函数1(正切)

A的对边即 tanA= A的邻边
A tan ['tændʒənt]
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
tan: tan jin ta
2014.12
定义中应该注意的几个问题: 1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
BC tan A AC BC 5 AC 12 tan A 5 12 AB BC2 AC 2 5 2 12 2 13
2014.12
数学理解
3.观察你的学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？
2014.12
课堂小结
B
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定， ∠A的对边这个比叫做∠A的正切,记作tanA ┌ A的对边 A ∠A的邻边 C 即 tanA=
B2
A
C2
C1
2014.12
议一议
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i (即tanα)就是:
60 3 i tan . 100 5 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角, 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
B1C1 B 2C2 AC1 AC2
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
B1
B2
B3 A C3
C2
C1
∠A值不变的情况下，从任何位置测出的梯子的铅垂高度与梯子底部与墙的水平距离的比值一定
2014.12
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent), 记作tanA B

26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)

提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第二十六章解直角三角形

锐角三角函数1

2
AC 12 ∴ sin B = = . AB 13
想一想
如图, 如图 ∠C=90°CD⊥AB. ° ⊥ sinB可以由哪两条线段之比可以由哪两条线段之比? 可以由哪两条线段之比
A
C
的值. 若ＡC=5,CD=3,求sinB、cosB的值求、的值 ∵∠B=∠ 解: ∵∠ ∠ACD ∴sinB=sin∠ACD ∠ 在Rt△ACD中，AD= AC 2－CD 2 = 52－32 =4 △ 中 AD 4 sin ∠ACD= AC = 5 4 ∴sinB= 5
3
用一用
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子在墙面上的梯子的顶端梯子与地面所成的角α一般要满足与地面所成的角一般要满足 0.77≤ sinα ≤0.97.现有一个长现有一个长 6m的梯子问使用这个梯子能的梯子,问使用这个梯子能的梯子安全攀上一个5m 高的平房吗高的平房吗? 安全攀上一个
a = c
对边
b
A 邻边
┌ C
注意：
1、sinA 不是一个角、 2、sinA不是 sin与A的乘积 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、sinA 是一个比值、 4、sinA 没有单位、
余弦
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
∠A的邻边 b cos A = ＝斜边 c
4、sin2A+cos2A=1
?
34°
1米米 10米米
我们已经知道，直角三角形我们已经知道，直角三角形ABC可以简可以简记为Rt△ 所对的边AB称记为 △ABC，直角∠C所对的边称，直角∠ 所对的边为斜边，表示，为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫表示的对边与邻边，表示. ∠A的对边与邻边，用a、b表示的对边与邻边、表示

锐角三角函数(1)

BC 解： sin A ， AB BC 5 AB 6 10. sin A 3
A B 6 C
又AC AB2 BC 2 102 6 2 8, AC 4 AC 4 cos A ， tan B . AB 5 BC 3
课堂练习
3、在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA= 求AC 、tanB 解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，
类型一.直接利用定义来求解。
求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的四个
三角函数值.
8
15
图 19.3.1
类型二.利用等角来代换。在Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，AC=4 BC=3 CD⊥AB 求∠BCD的四个三角函数值
A
D B C
看看谁最厉害！
如图：在三角形ABC中，∠C=Rt ∠,CD⊥AB，垂足是D， BD=3,CD=4 求:角A 的四个三角函数值．解:由勾股定理得
12
3
能力提升
7、如图，将边长为2的正方形ABCD沿EF和ED折叠，使得B、C两点折叠后重合于点G，求∠FEG 的正切值.
A的对边 sin A= 斜边
A的邻边 cos A= 斜边
A的对边 tan A= A的邻边 A的邻边 cot A= A的对边
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.
注意：
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.
2. 三角函数的实质是一个比值，没有单位，也不能为负，而且这个比值只与锐角的大小有关与三角形边长无关.
4 5
,AB=10 .
B
AB=10
4 ∵sinA= BC =
AB
∴BC=AB×

1.1《锐角三角函数(1)》参考教案

《锐角三角函数（1）》参考教案【教学目标】知识与技能目标：通过实例，了解三角函数的概念，掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数。

掌握在直角三角形中锐角三角函数与边之比的关系，了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值；过程与方法目标：经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，体验数学问题的分析与解决；情感、态度与价值观目标：培养多思考的学习习惯；学会用数学的眼光看世界，用数学来分析和解决生活中的问题。

【重点难点】教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念；教学难点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦和正切三类函数的意义、符号、以及函数中以角为自变量是教学中的难点。

【教学过程】一、创设情境引入主题利用几何画板演示一垂直于地面的旗杆在一天阳光的照射下，影长发生了变化这一情境。

（设计意图：通过学生观察生活中实物影长变化这一自然现象，结合多媒体展示旗杆影长变化过程，可提高学生的兴奋点，激发学习兴趣和欲望，有利于引导学生进行数学思考。

导入主题：直角三角形中，边角之间的关系。

）二、师生互动探求新知1.从一个含30度角的直角三角形为例,通过回忆直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半,得到30度的对边与斜边比值固定，不随点的变化而变化;2.再从含45度角的直角三角形讨论45度的对边与斜边比值固定，不随点的位置而变化；3.任意角∠α是否同样存在对边与斜边比值固定这一结论？通过猜测、验证、归纳的手段来分析和解决数学问题。

4.通过以上探索，边角之间的关系是什么？5.学习锐角三角函数的概念，表示方法及自变量取值范围和函数值取值范围。

（设计意图：建立在学生原有认知的基础上，发现问题，从而寻求方法解决问题。

通过回忆熟悉的定理，让学生明白直角三角形中锐角与边比值存在关系，并大胆猜测直角三角形中任意角∠α的对边与斜边比值是否固定？通过叠放含有∠α的直角三角形，从而作出图形，易让学生用所学过的相似三角形的知识来解决问题，得到比值固定。

锐角三角函数(一)

如何根据给出的条件求锐角三角函数值1. 直接给出直角三角形的两条边的大小来求锐角三角函数值：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，求sinAsinB,cosA,cosB,tanA,tanB 的值。

2. 给出某个角的三角函数值和某一边，求三角函数值。

如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，BC=6，sinA=53求sinAsinB,cosA,cosB,tanA,tanB 的值。

3. 给出的是直角三角形中的两条边的比，求三角函数值。

如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，125AB AC 求sinAsinB,cosA,cosB,tanA,tanB 的值4.给出的是直角三角形中的某个角的三角函数值，求其它的三角函数值。

如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900， sinA=53求sinB,cosA,cosB,tanA,tanB 的值。

A AB AAB C B BC C 13C23 75 4 4 66 C B A B CCB A5求出几何图形的三角函数值。

（1）如图所示，已知△ABC 中，AB=AC=5,BC=6.求∠B 的三种三角函数值。

（2）如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC=3,BC=4.CD 是斜边AB 上的高。

求∠BCD 的三种三角函数值。

6.整合训练题：1．在△ABC 中，若AB=3，则cosA=______．2．在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则tanA=_____，sinA=______，cosA=______． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=5，sinA=125，则BC=______，CD=_____． 4．△ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，则cosA ·tanA=______．5．若三角形三边长的比为5：12：13，则此三角形最小内角的正切值为______． 6．在△ABC 中，若∠C=90°，∠B=2∠A ，则cosA 等于（） A．2 B ．12 C．37．Rt △ABC 中，各边长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（）A ．都扩大两部B ．都缩小两倍C ．保持不变D ．无法确定 8．如图1所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=•4， •设∠BCD=α，•则tan α的值为（）A ．34 B ．43 C ．35 D ．459．在Rt △ABC 中，已知∠C=90°，周长为60cm ，tanB=125，则△ABC 的面积是（） A ．30c m 2 B ．60c m 2 C ．120c m 2 D ．240cm 210．如图2，菱形ABCD 的对角线AC=6，BD=•8，•∠ABD=α，•则tan α=•_______，•sin α=________，cos α=________．11．如图3，在△ABC 中，AC 、BC 边上的高BE 、AD 交于H ，若AH=3，AE=2，求tanC 的值．CB DC B A （1）(2)(3)12．如图4，已知△ABC中的一边BC与以AC为直径的⊙O相切于点C，若BC=4，AB=5，则cosB=______．(4) (5) (6)13．在△ABC中，若∠C=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，且c2-4ac+4a2=0，则sinA+cosA的值为（）A B C14．如图5所示，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面的夹角为α，当梯顶A下滑1m•至A ′时，梯脚B滑至B′，A′B′与地面的夹角为β，若tanα=43，sinβ=35，则梯子AB的长度为（）A．4m B．5m C．6m D．10m15．为防水患，在河上游修建了防洪堤，其横断面为一梯形（如图6所示），堤的上底宽AD和堤的高DF 都是6米，其中∠B=∠CDF．（1）求证△ABE∽△CDF；（2）如果tanB=2，求堤的下底BC的长．16．如图，在直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是43，求（1）y的值；（2）角α的正弦值．17．将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的余切值．答案:1．32．34 35 45 3．12 6013 4．a c 5．5126．A 7．C 8．A 9．C10．3435 45 11．2512．4513．A 14．•B15．（1）略；（2）BC=12米 16．（1）y=4 （2）sin α=4517．。

锐角三角函数(一)

§1.1 锐角三角函数(1)

锐角三角函数(1)

锐角三角函数(1)

1.1锐角三角函数(第1课时)课件

锐角三角函数(第一课时)课件ppt

锐角三角函数练习题及答案

初三 锐角三角函数(一)

锐角三角函数1

锐角三角函数

1.1锐角三角函数(1)教学设计

锐角三角函数复习(一)

1.1.锐角三角函数1(正切)

26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)

锐角三角函数1

锐角三角函数(1)

1.1《锐角三角函数(1)》参考教案

锐角三角函数(一)

初三锐角三角函数(一)