数学建模五步法
数学建模的步骤
数学建模的步骤伴随着当今社会的科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模也显得尤为重要。
数学建模在人们生活中扮演着重要的角色，而且随着计算机技术的发展，数学建模更是在人类的活动中起着重要作用，数学建模也更好的为人类服务。
一、数学模型数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用数学式子(如函数,图形,代数方程,微分方程,积分方程,差分方程等)来描述(表述,模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律.随着社会的发展,生物,医学,社会,经济……,各学科,各行业都涌现现出大量的实际课题,急待人们去研究,去解决.但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益.他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学.而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识.特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机.可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的.你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是"干净的"数学,而是"脏"的数学.其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现.也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型.数学模型具有下列特征:数学模型的一个重要特征是高度的抽象性.通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维,从而可以突破实际系统的约束,运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究.数学模型的另一个特征是经济性.用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具,可以节省大量的设备运行和维护费用,用数学模型可以大大加快研究工作的进度,缩短研究周期,特别是在电子计算机得到广泛应用的今天,这个优越性就更为突出.但是,数学模型具有局限性,在简化和抽象过程中必然造成某些失真.所谓"模型就是模型"(而不是原型),即是指该性质.二、数学建模数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象,简化,假设,引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模.模型是客观实体有关属性的模拟.陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要;然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再象飞机,也不能算是一个好的模型.模型不一定是对实体的一种仿照,也可以是对实体的某些基本属性的抽象,例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号,文字和数字来反映出该地区的地质结构.数学模型也是一种模拟,是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.这种应用知识从实际课题中抽象,提炼出数学模型的过程就称为数学建模.实际问题中有许多因素,在建立数学模型时你不可能,也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素.数学模型建立起来了,实际问题化成了数学问题,就可以用数学工具,数学方法去解答这个实际问题.如果有现成的数学工具当然好.如果没有现成的数学工具,就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展.例如,开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律,牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它,但当时已有的数学工具是不够用的,这促使了微积分的发明.求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算,这在电子计算机发明之前是很难实现的.因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁.而电子计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路.而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的.数学模型建立起来了,也用数学方法或数值方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢不是.既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反映得好不好,还需要接受检验,如果数学模型建立得不好,没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的.因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验,看它是否合理,是否可行,等等.如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才能算是得到了一个解答,可以先付诸实施.但是,十全十美的答案是没有的,已得到的解答仍有改进的余地,可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂时告一段落,待将来有新的情况和要求后再作改进.应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一.三、数学建模的一般方法建立数学模型的方法并没有一定的模式,但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法:1.机理分析机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义.(1) 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.(2) 代数方法--求解离散问题(离散的数据,符号,图形)的主要方法.(3) 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用.(4) 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式.(5) 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.2.测试分析方法测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型.(1) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.(2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.(3) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.(4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见左图.3.仿真和其他方法(1) 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.①离散系统仿真--有一组状态变量.②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图.(2) 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.(3) 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.(参见:齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996)四、数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种.1.按照模型的应用领域(或所属学科)分:如人口模型,交通模型,环境模型,生态模型,城镇规划模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型等.范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学,医学数学,地质数学,数量经济学,数学社会学等.2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分:如初等数学模型,几何模型,微分方程模型,图论模型,马氏链模型,规划论模型等.按第一种方法分类的数学模型教科书中,着重于某一专门领域中用不同方法建立模型,而按第二种方法分类的书里,是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用.在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模.3.按照模型的表现特性又有几种分法:确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型.静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化.线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的.离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的.虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的,动态的,非线性的,但是由于确定性,静态,线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性,静态,线性模型.连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定.在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法.4.按照建模目的分:有描述模型,分析模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型等.5.按照对模型结构的了解程度分:有所谓白箱模型,灰箱模型,黑箱模型.这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙.白箱主要包括用力学,热学,电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了.灰箱主要指生态,气象,经济,交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做.至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象.有些工程技术问题虽然主要基于物理,化学原理,但由于因素众多,关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理.当然,白,灰,黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的"颜色"必然是逐渐由暗变亮的.五、数学建模的一般步骤建模的步骤一般分为下列几步:1.模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息.2.模型假设.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面.一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合.作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化.经验在这里也常起重要作用.写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.3.模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型.把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.4.模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设.在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解.5.模型分析.对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等.6.模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善.7.模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善.应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.。
数学建模的一般步骤和案例(课堂PPT)
于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向 偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与 最准确的取值。
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本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进 行改进，得到第二个模型，就会生动）
推导时，公式若很长，可放在附录中 利用现成的软件计算模型数据 讨论误差
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B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
数学建模的方法和步骤
数学建模的方法和步骤数学建模（Mathematical modeling）是指运用数学方法及理论来描述某一实际问题，并在此基础上构建数学模型，进而对问题进行分析和求解的过程。
数学建模是一个综合应用学科，它将数学、物理、化学、工程、统计学、计算机科学等学科有机结合起来，用数学语言对现实世界进行描述，可用于各种领域的问题求解，如经济、金融、环境、医学等多个领域。
下面我将从数学建模的方法和步骤两方面来探讨这一学科。
一、数学建模的方法数学建模方法是指解决某一具体问题时所采用的数学建模策略和概念。
数学建模方法可分为以下几类：1.现象模型法：这种方法总是从某一实际问题的具体现象入手，把事物之间的关系量化为一种数学模型。
2.实验模型法：这种方法通过一些特定的实验，首先收集实验数据，然后通过分析数据建立一种数学模型，模型中考虑实验误差的影响。
3.参数优化法：这种方法通常是指通过找到最优参数的一种方法建立一个数学模型。
4.时间序列模型法：这种方法主要是通过观察时间内某一变量的变化，构建该变量的时间序列特征，从而建立一个时间序列模型。
二、数学建模的步骤数学建模步骤是指解决一个实际问题时所采用的数学建模过程，根据一些经验和规律推导出一个可行的模型。
数学建模步骤通常分为以下几步：1.钟情问题的主要方面并进行分析：首先要分析问题的背景和主要的影响因素，以便制定一个可行的局部策略。
2.建立初步模型：通过向原问题中引入某些常数或替换一些符号为某一特定变量，以使模型更方便或更加精确地描述问题。
3.策略选择和评估：要选择一个最优的策略，需要在模型的基础上进行评估，包括确定哪个方案更优等。
4.内容不断完善：在初步模型的基础上，不断加深对问题的理解，以逐步提高模型描述问题的准确度和逼真度。
5.模型的验证和验证：要验证模型，需要将模型应用到一些简单问题中，如比较不同方案的结果，并比较模型结果与实际情况。
总之，数学建模是一种复杂的、长期的、有启发性的过程，它要求从一个模糊的、自由的问题开始，通过有计划、有方法的工作，构建出一个能够解决实际问题的数学模型。
lingo软件 优化问题
2.2 LP模型在LINGO中的一个典型输入方式
集合定义部分从 (“SETS：”到 “ENDSETS” )： 定义集合及其属性
MIN
I 1,2,3,4
{400 RP ( I ) 450OP( I ) 20 INV ( I )}
RP( I ) 40, I 1, 2, 3, 4 INV ( I ) INV ( I 1) RP ( I ) OP ( I ) DEM ( I ), I 1, 2, 3, 4 INV (0) 10 INV ( I ) 0 OP ( I ) 0 RP ( I ) 0 I 1 4
Step5 回答问题
Global optimal solution found. Objective value: 78450.00 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost RP1 40.00000 0.000000 RP2 40.00000 0.000000 RP3 40.00000 0.000000 RP4 25.00000 0.000000 OP1 0.000000 20.00000 OP2 10.00000 0.000000 OP3 35.00000 0.000000 OP4 0.000000 50.00000 INV1 10.00000 0.000000 INV2 0.000000 20.00000 INV3 0.000000 70.00000 INV4 0.000000 420.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 78450.00 -1.000000 2 0.000000 30.00000 3 0.000000 50.00000 4 0.000000 50.00000 5 15.00000 0.000000 6 0.000000 430.0000 7 0.000000 450.0000 8 0.000000 450.0000 9 0.000000 400.0000
构建“五步建模教学法”,培养学生建模能力
附件二：浅谈数学“五步建模教学法”安丘市普教教研室刘红娟安丘市大汶河开发区贾戈小学鹿立华弗赖登塔尔说过：“学生自己发明数学就会学得更好”，“让他们经历数学化的过程，这是教学的第一原则”。
所以我们在教学中应当致力于学生数学建模的引领，让学生体验数学建模的过程，从而获得数学活动经验，以便更好地达成“新课标”提出的能力发展目标。
我们通过构建“五步建模教学法”，加强建模策略的研究，有效提高了学生的建模能力。
一、基本环节和流程针对数学建模的重点，我们把“小学数学建模的有效策略”作为重点课题进行了深入研究，并形成了“五步建模教学法”，模式流程如下：1.创设问题情境，激发建模兴趣。
数学模型都是具有现实的生活背景的，要建模首先必须对生活原型有充分的了解。
教师要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。
如构建“平均数”模型时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行套圈游戏比赛，哪个组的套圈水平高一些？学生提出了一些解决问题的方法，如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等，但都遭到了否决。
这时“平均数”的策略应需而生，构建“平均数”的模型就成为了学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景、适用环境、条件等。
一个精彩有效的问题情境应该有如下特征：（1）有实际意义，或对学习、理解、掌握、应用前后数学知识有很好的作用；（2）有趣味性和挑战性，能够激发学生的兴趣，吸引学生投入进来；（3）易理解，问题情境是学生熟悉的；（4）时机上的恰当，起到“画龙点睛”的作用；（5）难度的适中，能有效激发学生的学习兴趣。
2.引出数学问题，培育建模基础。
这一环节主要是从新课开始时所创设的问题情境中，在教师的引导下，将生活问题数学化，提出相关的数学问题，以待进一步探索和解决。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
第二讲 数学建模的基本方法和步骤数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。
下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。
（注：用最初等的方法解决，越受人尊重）一 数学建模的基本方法一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。
建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清 楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。
面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。
如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。
而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。
对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。
二 数学建模的一般步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。
下面给出建模的一般步骤，如图1.2所示。
⑴ 模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”（即问题的提出）。
情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。
对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。
假设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。
常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
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大学生数学建模资料第一课1，目的：通过学习和时间，全面提高学员的综合素质，培养创新能力和良好的数学思想品质，获得分析和解决实际问题的能力。
2，数学建模的概念和基本流程a问题分析根据对象的实际背景和要求进行问题分析b模型假设根据问题分析和建立数学模型的目的作出合理的简化的模型假设。
c模型建立在问题分析和模型假设的基础上建立数学模型d模型求解选择适当的数学工具求解数学模型。
e模型分析对模型解和结果进行模型分析包括模型检验，修改，推广，评价，运用。
五步建模法：3，数学模型具体含义：对于现实世界的一个特定对象，为一个特定目的，一句对象所特有的内在规律，在作出适当的分析，合理而简化的假设的基础上，运用适当的数学工具建立的一个数学结构，建立这个数学模型以及对模型的求解，检验，分析，修改，推广，评价和应用等步骤这个全过程称为数学建模。
4，数学建模的特点：A数学建模不一定有唯一正确的答案（应用领域侧重点不同等等）B 模型的逼真性与可行性任何一个数学模型都永远不会与其原型绝对一致，只要误差在我们所能容许的的范围之内即可考虑使用。
C 模型的渐进性D 模型的可转移性可以几个领域互相利用的，不是一个领域所独有的。
E 数学建模没有统一的方法主要大方法：机理分析法和测试分析法5，数学建模课程学习的主要内容：a介绍数学建模的基本概念，方法和步骤。
b研讨最常见的初等数学模型，微分方程模型，运筹学模型和概率统计模型这四类基本模型的建立方法。
6，学习数学建模课程的建议第一，认真弄懂每一个实例，其内容和步骤是什么，用到了什么建模方法，特别是要知晓它是怎么从实际问题转化为数学模型的。
第二，多做练习，完成作业。
第三，勤于动脑，善于思考，敢于创新，不怕出错。
第四，善于查阅和学习各种新资料和新知识第五，小组在论文写作中相互讨论，互补，解决问题。
第六，常备书：高等数学，线性代数，应用概率统计，运筹学，常微分方程。
第七，有意识的结合生活生产实际，学习专业，教学进行学习与训练，以增长兴趣培养能力。
数学建模五步法
数学建模五步法1第一步：提出问题列出问题中涉及到的变量，包括恰当的单位？注意不要混淆变量和常量（参数）？列出对变量所做的全部假设，写出变量间的关系式（不等式、等式）？检查变量/常量的单位关系，以保证所做假设的意义？用准确的数学语言（表达式）写出问题的目标？案例涉及的变量：●w =猪的重量（磅）；●t=从现在到出售期间经历的时间（天）；●C=t天内饲养猪的费用（美元）；●p=猪的市场价格（美元/磅）；●R=售出猪获得的收益（美元）；●P=最终获得净收益（美元）。
案例所作的假设：01.0 65.05200≥-=⋅=-=+=tC RPw pR tp tw案例目标：Pmax第二步：选择建模方法选择解决问题的一般求解方法？这需要jian mo zhe的经验、技巧和对相关文献的了解和熟悉。
建模常用的方法有：1（新西兰）Mark M. Meershaert著，刘来福等译. 《数学建模方法与分析》，机械工业出版社（2005）——优化模型的求解方法：微积分方法、数学规划方法等；——动态模型方法：微分方程、差分方程、模拟方法等；——概率模型：概率定律、计量经济方法等。
注意：大量的模型均可用计算机软件工具实现，模型求解方法的选择，现实中，就变为软件工具的选择。
案例涉及的数学方法：● 微积分之优化理论——可微函数的一阶条件：()0'=x f第三步：推导模型的公式将第一步得到的问题重新表达，以适应第二步所选定的建模方法所需要的形式，这可能需要对变量进行调整？记下任何补充假设，这些假设是为了是在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。
案例推导()(){}{}()()t t t P t t t tt t tw p CR P t t 45.0520001.065.0max 0:45.0520001.065.045.00-+-=>-+-=-⋅=-=>：：问题可表达为如下模型，的取值范围补充假设：求解变量第四步：求解模型将第二步所选方法应用于第三步得到的数学表达式？注意：要保证数学推导过程的正确。
数学建模五步法
数学建模五步法Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。
⑴多大的折扣可以使利润最高利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
运用五步法求解上面问题。
⑴提出问题(问题)⑵选择建模方法(方法)⑶推导模型的数学表达式⑷求解模型⑸回答问题。
㈠问题的提出1.具体问题⑴多大的折扣可以使利润最高利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
2.符号的说明⑴打折后每辆汽车的利润（1500-x ）（美元）； ⑵打折后得销售量0%)151001(q xq ⨯+=（辆）； ⑶利润0%)151001)(1500(q xx P ⨯+-=（美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15。
⒋问题的分析根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
㈡模型的建立与求解1.提出问题根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
数学建模的一般步骤
数学建模的⼀般步骤数学建模的⼀般步骤建⽴数学模型与其说是⼀门技术，不如说是⼀门艺术。
成功建⽴⼀个好的模型，就如同完成⼀件杰出的艺术品，是⼀种复杂的创造性劳动。
正因为如此，这⾥介绍的步骤只能是⼀种⼤致上的规范。
1.模型准备：在建模前应对实际背景有尽可能深⼊的了解，明确所要解决问题的⽬的和要求，收集必要的数据。
归纳为⼀句话：深⼊了解背景，明确⽬的要求，收集有关数据。
2.模型假设：在充分消化信息的基础上，将实际问题理想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，⼜便于数学处理的假设。
归纳为⼀句话：充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。
3.模型建⽴：①⽤数学语⾔描述问题。
②根据变量类型及问题⽬标选择适当数学⼯具。
③注意模型的完整性与正确性。
④模型要充分简化，以便于求解；同时要保证模型与实际问题有⾜够的贴近度。
正确翻译问题，合理简化模型，选择适当⽅法。
4.模型求解：就复杂⼀些的实际问题⽽⾔，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。
对计算⽅法与应⽤软件掌握的程度，以及编程能⼒的⾼低，将决定求解结果的优化程度及精度。
掌握计算⽅法，应⽤数学软件，提⾼编程能⼒。
5.模型检验与分析：模型建⽴后，可根据需要进⾏以下检验分析。
①结果检验：将求解结果“翻译”回实际问题中，检验模型的合理性与适⽤性。
②敏感性分析：分析⽬标函数对各变量变化的敏感性。
③稳定性分析：分析模型对参数变化的“容忍”程度。
④误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。
概括地说，数学建模是⼀个迭代的过程，其⼀般步骤可⽤流程图表⽰：数学建模论⽂的撰写及格式撰写数学建模论⽂和通常完成数学建模竞赛的答卷是类似的, 都是在完成了⼀个数学建模问题的全部过程后, 把所作的⼯作进⾏⼩结, 以有清楚定义的格式写出解法论⽂,⽤于交流或给有关部门、⼈员汇报。
数学建模论⽂的结构：⼀份完整的答卷应包含以下内容:论⽂题⽬；摘要；问题的重述；模型的假设、符号约定和名词解释；模型的建⽴、模型的求解、模型的结果和检验；模型的评价和改进；参考⽂献；附录。
数学建模实验报告
在下面的题目中选做100分的题目，给出详略得当的答案。
一.通过举例简要说明数学建模的一般过程或步骤。
(15分)答：建立数学模型的方法大致有两种，一种是实验归纳的方法，即根据测试或计算数据，按照一定的数据，按照一定的数学方法，归纳出系统的数学模型；另一种是理论分析的方法，具体步骤有五步（以人口模型为例）：1、明确问题，提出合理简化的假设：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息2、建立模型：据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系。
（查资料得出数学式子或算法）。
3、模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要做出进一步的简化或假设。
注意要尽量采用简单的数学公具。
例如：马尔萨斯模型，洛杰斯蒂克模型4、模型检验：根据预测与这些年来人口的调查得到的数目进行对比检验5、模型的修正和最后应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，根据预测模型，制定方针政策，以实现资源的合理利用和环境的保护。
二.把一张四条腿等长的正方形桌子放在稍微有些起伏的地面上，通常只有三只脚着地，然而只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。
(1) 请用数学模型来描述和证明这个实际问题; (2)讨论当桌子是长方形时，又该如何描述和证明？(15分)答：模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。
2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。
4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。
5．挪动仅只是旋转。
我们将椅子这两对腿的交点作为坐标原点，建立坐标系，开始时AC、BD这两对腿都在坐标轴上。
将AC和BD这两条腿逆时针旋转角度θ。
记AC到地面的距离之和为f(θ)。
数学建模实战指南
数学建模实战指南数学建模是一种应用数学的方法，通过建立数学模型来描述和解决实际问题。
它在工程、经济、环境等领域广泛应用，为决策提供科学依据。
本文将介绍数学建模的基本流程和常用方法，以及实战中需要注意的事项。
一、数学建模流程数学建模的流程通常包括问题理解、建立数学模型、求解模型和模型验证四个阶段。
1. 问题理解在这一阶段，需要仔细分析和了解所面临的问题，明确问题的目标和约束条件。
可以与领域专家交流，收集相关数据和信息，深入了解问题的实质。
2. 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤。
根据问题的特点，选择合适的数学方法和模型。
常见的数学方法包括线性规划、非线性规划、随机模型等。
在建模过程中，需要将问题转化为数学语言，明确变量、参数和约束条件。
3. 求解模型在建立数学模型之后，需要选择合适的求解方法来解决模型。
根据模型的特点，可以使用数值方法、解析方法或者计算机模拟等方法进行求解。
在求解过程中，需要理解数学方法的原理，并合理利用计算工具和软件。
4. 模型验证模型验证是为了评估所建立模型的可靠性和有效性。
可以通过与实际数据进行对比，检验模型的准确性。
在验证过程中，需要分析误差来源，并进行合理的修正和优化。
二、常用数学建模方法在数学建模中，常用的方法有线性规划、非线性规划、动态规划、最优化方法等。
1. 线性规划线性规划是一种用于解决线性约束条件下的最优化问题的方法。
通过建立一个线性目标函数和线性约束条件，求解出使目标函数最大或最小的变量取值。
线性规划在资源分配、生产计划等方面有广泛应用。
2. 非线性规划与线性规划不同，非线性规划允许目标函数或约束条件中出现非线性项。
非线性规划在优化问题中的应用更加广泛，可以用于解决实际中复杂的决策问题。
3. 动态规划动态规划是一种通过划分问题，求解子问题，并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
它在决策过程中可以考虑到多个阶段的信息，适用于具有某种递归结构的问题。
4. 最优化方法最优化方法是一类通过对目标函数进行极值分析，找到使其取得极值的变量取值的方法。
数学建模的一般步骤供学习用
一、问题重述：二、条件假设：三、符号说明：四、问题分析：五、模型建立：六、模型求解：七、结果分析：八、模型改进：九、模型评价：十、参考文献：数学建模的一般步骤数学模型是一种概念符号模型。
对数学模型可以做两种理解：一种是数理逻辑和数学基础中的；另一种是应用数学中的。
建立数学模型以解决现实问题一般要经过以下几个步骤：首先，要充分搜集现实原型的资料，数据，分析它的状态，性质，变化规律，特征，结构，建立经验定律，提出理论假说。
其次，建立数学模型。
这一过程包括什么是所需要解决的问题的主要方面，什么是次要方面，什么是本质，什么是无关紧要的，以及探寻用什么数学语言，符号，结构来表示所研究的问题或经验定律的结构，即要使数学模型结构（主要是概念，关系，公理等）尽可能与原型的概念，结构相吻合。
第三步，解决数学模型所提出的数学问题。
第四步，以原型的数据检验数学模型并对数学解决做出解释和评价。
一般认为，评价一个数学模型的科学价值取决于该模型的预测与观察数据的一致程度。
应该指出的是，正常情况下，建立模型是一个多次反复的过程，是在不断地根据原型修正模型的过程中使两者趋于一致。
另外，对于同一个客观事物可以有多种数学描述，即可建立不同的数学模型，因此有必要在若干模型中选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。
可简写为：数学模型的建立和选择【关键字】【摘要】【正文】一、从信息原型到数学模型二、数学模型的建立§2.1 机理分析法§2.1.1直接建模法§2.1.2套用常用模型法§2.1.3针对修改常用模型法§2.1.4 综合创造法§2.2 统计分析法三、数学模型的选择四、总结【附录】【程序】【参考书目】【关键词】信息原型数学模型数学建模【摘要】本文主要探讨的是信息学竞赛中解题的关键：数学模型的建立和选择。
首先分析了从信息原型到数学模型的重要性，提出了解题的简单过程：现实——理论——现实。
数学建模方法
数学建模方法五步法五步方法顾名思义，通过五个步骤完成用数学模型解决实际问题。
它包含以下五个步骤：1、提出问题2、选择建模方法3、推导模型的数学表达式4、求解模型5、回答问题第一步是提出问题，即对遇到的实际问题使用恰当的数学语言进行表达。
一般而言，首要任务是对术语进行定义。
无论是实际问题涉及到的变量，还是这些变量的单位、相关假设，都应当用等式或者不等式进行表达。
在这一基础上，我们就可以用数学语言对实际问题进行转述，并构成完整的问题。
其中变量与参量的区别是很重要的，需要区分开来。
完成第一步之后，可以归纳得到一个包含变量、假设、目标的列表。
列表中可以清楚明显地看出问题包含的变量，由题目得到的关系式，以及目标。
判断第一步是否成功完成的主要依据便是，目标能否转化为某一变量的函数。
第二步是选择建模方法。
在第一步的基础上我们将问题用数学语言表达了出来。
第二步的目的便是选择一个数学方法来获得解。
换言之，想要正确完成这一步骤需要足够多的经验或者熟悉参考文献。
第三步是推导模型的公式。
在第一步中我们完成了对术语的定义，并使用数学语言将问题表达出来；在第二步中我们根据第一部分所得到的结论，选择了合适的建模方法。
而每一种建模方法都有其所需要的标准形式。
第三步的主要目的就是将第一步中的数学表达式变形为第二步中的建模方法的标准形式，以便于利用该模型的算法过程进行求解。
第四步便是通过第二步中得到的限制条件（等式或者不等式），对这个模型进行求解。
第五步是回答开始在第一步中提出的问题。
至此，数学建模的五步方法就结束了。
自然辩证法笔记
第一部分自然辨证法课堂笔记第一讲自然辨证法概论1、什么是自然辨证法？它是关于自然界和自然科学一般规律的研究，是关于科学技术一般方法论的研究。
2、自然辨证法的内容（1）自然观：自然界、时空观、系统性、规律性。
（2）科技观：科学的概念、技术的概念、科技与生产力的关系、科学发展的动力、科学发展的规律。
（3）方法论：科研选题方法、试验方法、理想化方法、逻辑方法、数学方法、系统方法。
4、当代科学与自然辨证法：数学部分（非欧几何、拓扑学、现代数学等）、物理学（相对论、量子力学、大爆炸宇宙学）、分子生物学（DNA等）、系统科学[老三论（系统论、控制论、信息论）、新三论（协同论、结构论、突变论）]。
5、当代技术：原子能技术、遗传工程技术、纳米技术。
6、自然辩证法的学科位置：各门具体学科——〉自然辨证法——〉马克思主义哲学，关系是具体——〉特殊——〉一般。
7、自然辨证法与具体科学的关系：总得来说是一般与特殊的关系。
（1）一般寓于特殊之中（一般不能独立存在）（2）特殊表现一般。
第二讲自然界的系统结构1、系统的概念：由若干相互作用的要素组成的整体叫系统。
系统就是要素加关系。
2、系统的分类：按大小分：大、中、小型系统。
按系统与环境的关系分：孤立系统、封闭系统、开放系统。
按规律的性质分：确定型、随机型系统。
按组织方式：自组织、他组织系统。
按可逆与否：可逆系统（有记忆）、不可逆系统（无记忆）。
按动态分：静态系统、动态系统。
3、系统的性质：要素的关联性、动态相关性、系统整体性。
4、系统的非加和性：即系统的整体性质和功能不是各组成要素性质和功能的简单叠加，原因在于要素间发生了相互作用（主要有两种：协同作用，内耗作用）。
意义：在认识上，要从整体出发；在时间上，要追求整体最优化。
5、自然界的层次结构：自然界有多个层次，每一个层次具有特定的性质和规律，相邻层次间存在着过渡区，表现着不同层次的联系和转化。
第三讲自然界的系统演化1、演化概念：在一组环境参量的输入下，系统的要素、结构、功能发生变化。
数学建模五步法
一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
运用五步法求解上面问题。
⑴提出问题(问题)⑵选择建模方法(方法)⑶推导模型的数学表达式⑷求解模型⑸回答问题。
㈠问题的提出1.具体问题⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
2.符号的说明⑴打折后每辆汽车的利润（1500-x ）（美元）； ⑵打折后得销售量0%)151001(q xq ⨯+=（辆）； ⑶利润0%)151001)(1500(q xx P ⨯+-=（美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15。
⒋问题的分析根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
㈡模型的建立与求解1.提出问题根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
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一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.
⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
运用五步法求解上面问题。
⑴提出问题(问题)
⑵选择建模方法(方法)
⑶推导模型的数学表达式
⑷求解模型
⑸回答问题。
㈠问题的提出
1.具体问题
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.
⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
2.符号的说明
⑴打折后每辆汽车的利润（1500-x ）（美元）； ⑵打折后得销售量0%)15100
1(q x
q ⨯+=（辆）； ⑶利润0%)15100
1)(1500(q x
x P ⨯+
-=（美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了
x %15。
⒋问题的分析
根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
㈡模型的建立与求解
1.提出问题
根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
所以目标时求利润P 的最大值。
2.选择建模方法
设)(x f y =在S x ∈处是可微的，若)(x f 在x 处达到极大或极小,则
0)(='x f 。
3.推导模型公式
记0/q P y =作为求最大值的目标变量，x 自变量，我们的问题就化为在集合
}0:{≥=x x S 上求下面函数的最大值
4.利用第二步中确定的标准过程求解这个模型
对%)15100
1)(1500()(⨯+
-==x
x x f y 在区间x ≥0上求最大值。
利用matlab
软件作出)(x f z =的图像。
程序： x=400:450;
y=(1500-x).*(1+x./100*0.15); plot(x,y)
图1折扣x 与利润的关系
如图1可知)(x f y =关于x 是二次的曲线图，易得25.1003.0)(+-='x x f ，则在31250=
x 处0)(='x f 。
由f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31250,上单升,而在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,31250上单减.故点3
1250
=
x 是整体最大值点. 因为4.1760)31250(=f ,从而点()⎪⎭
⎫
⎝⎛=4.1760,31250,y x 是f 在整个实轴上的整体最大值点,也是区间x ≥0上的最大值点。
5.回答问题
⑴由第四步我们得到的答案是在打约416.7美元的折扣的时候，可以获得最大利润。
只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。
⑵对问题二进行粗灵敏度分析
前面我们假定15.0=r （辆/百美元），现在假设r 的实际值是不同的，对几个不同的r 值，重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于r 的敏感程度有所了解.即给定r 对)100
1)(1500()(r x
x x f y +-==求导，
令0)(='x f ，可得相应x 值，不同的r 值求出x 如表1。
表1所打折扣x 关于销售量的增长速率r 的灵敏性
+
图2折扣x 关于销售量的增长速率r 的曲线
根据图1我们可以看出折扣x 对参数r 是很敏感的. ⑶由第⑵知折扣x 与参数r 之间的关系为r
x 50750-
=，所以当每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，即%10=r 时，折扣为250可以是利润最大，此时最大利润为1562.500q 。
将r x 50750-
=代入，可得利润750255625++=r
r P ，利用matlab 软件做出)(r f y =的图2。
程序如下：
r=0.1:0.001:0.15; y=5625*r+25./r+750; plot(r,y,'g*') 结果如下：
图3利润p 关于销售量的增长速率r 的曲线
所以当每100美元的折扣的提高量为10%～15%之间的某个值时,总利润随着这个值得增加而增加。
⑷将初始销售量看成常量1，则不的打折利润为1500，现在利润
150025.10015.02++-=x x P ，当利润下降时，就有1500<P ，即,1500150025.10015.02<++-x x 解得33.833>x ，即当折扣大于833.33美元时，
利润会降低。
汽车制造商要保证售出该品牌的汽车可获利1500美元,折扣就要低于833.33美元。