最优化方法与策略 线性规划
线性规划解决最优化问题的数学方法
线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。
它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。
在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。
一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。
它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。
1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。
决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。
2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。
约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。
3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。
目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。
线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。
二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。
2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。
数学中的最优化与线性规划
数学中的最优化与线性规划最优化和线性规划是数学中的重要概念和工具，它们在多个领域中都起到了关键作用。
本文将介绍最优化和线性规划的基本概念、应用领域以及解决问题的方法。
一、最优化的概念与应用领域最优化是在给定一组约束条件下，寻找使得目标函数取得最大值或最小值的优化问题。
它广泛应用于经济学、工程学、物理学、运筹学等多个领域。
在经济学中，最优化方法可以用于确定最佳的生产方案、资源分配以及市场供需模型的分析。
在工程学中，最优化方法可以用于设计最佳的结构、调度最优的制造流程以及优化供应链管理。
在物理学中，最优化方法可以用于求解最短路径、最快速度、最小能耗等物理问题。
在运筹学中，最优化方法可以用于解决旅行商问题、背包问题，以及其他组合优化问题。
二、线性规划的概念与解决方法线性规划是最常见的最优化方法之一，它是一种特殊的最优化问题，目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式。
线性规划的解决方法主要包括图形法（几何法）和单纯形法。
图形法是一种直观的解决方法，它通过绘制目标函数和约束条件在二维或三维空间中的几何图形，找到最优解的位置。
然而，图形法只适用于简单的线性规划问题，并且对于高维空间的问题不实用。
单纯形法是一种高效的解决方法，它通过迭代计算来搜索最优解。
它利用线性规划问题的基本性质，不断调整可行解，直到找到最优解为止。
单纯形法被广泛应用于实际问题中，并在计算效率上有较好的表现。
三、最优化和线性规划的实例应用1. 生产计划假设一个工厂有多种产品需要生产，每种产品对应着不同的利润和生产成本。
最优化方法可以帮助工厂确定最佳的生产数量，使得利润最大化或成本最小化。
2. 投资与资产配置最优化方法可以运用于投资组合的选择和资产配置，根据不同的风险偏好和预期收益率，确定最佳的投资组合，并进行资金的分配。
3. 供应链管理在供应链管理中，最优化方法可以用于确定最佳的配送路径、最佳的库存水平以及最佳的订单量，以降低成本、提高效率。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
最优化方法与策略 层次分析法(AHP)
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
一、递阶层次结构的建立 首先把系统问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。在模
型中，复杂问题被分解，分解后各组成部分称为元素，这些元素又按属性分成 若干组，形成不同层次。层次可分为三类：
（1）最高层(目标层) （2）中间层(准则层) （3）最底层(措施层或方案层)
（2）如果问题复杂，u1，u2，…，un对于C的重要性无法直接定量， 而只能定性，那么确定权重用两两比较法。其方法是：对于准则C，元素ui 和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重要性程度赋 值，表2-1列出了1～9标度的含义。
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
二、线性规划问题的数学模型
对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵
其中 就是元素 和 性质：
相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （1）权重计算方法。 ① 和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为 权重向量，即
§2.１ 层次分析法的基本方法和步骤
三、单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验 （2）一致性检验。 ③ 计算性一致性比例C.R.（Consistency Ratio）。
④ 计算各层元素对目标层的总排序权重。
§2.2 到北京旅游出行路线的模型构建
一、建模
四人出行，始发站丹东，终点站北京。选择出行方案如下。 方案1：乘大巴车到沈阳，动车到北京。 方案2：乘大巴车到沈阳，卧辅车到北京。 方案3：开车到沈阳桃仙机场，从沈阳飞往北京。 方案1的大巴费用为人均79元，动车人均207元，但到北京后多一天住宿费用， 人均125元，单程共需1 644元，时间约为8个小时。 方案2的大巴费用为人均79元，卧辅车人均172元，省一天北京住宿费用，单程 共需1 004元，时间约为13个小时。 方案3：开车到沈阳桃仙机场费用为250元，停车费300元，从沈阳飞北京费用 人均670元，单程共需3 430元，时间约为3小时25分钟。
线性规划与最优化问题的解法
稻壳学院
感谢观看
汇报人：XX
求解方法：使用 单纯形法、椭球 法等算法求解线 性规划问题
线性规划的几何解释
添加 标题
线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直 线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化 或最小化某个目标函数。
添加 标题
线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数 和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未 知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数， 约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括 确定最优的运输路线和数量，以最小化运 输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实 现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
添加 标题
在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上 的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。 通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数 取得最大值或最小值的点，即最优解。
添加 标题
线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快 速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于 资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题 在现实生活中 应用广泛，如 生产计划、资 源分配和运输
问题等。
线性规划的基 本概念包括变 量、约束条件 和目标函数。
线性规划问题 通常在凸集上 进行，这使得 问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求 最大或最小化的 线性函数
约束条件：决策 变量的限制条件
最优化理论介绍
最优化理论介绍最优化理论是数学与工程领域中一门重要的学科，它涉及寻找最优解的方法和策略。
在现实生活中，无论是工程设计、经济计划还是管理决策，都离不开最优化问题。
本文档旨在简要介绍最优化理论的基本概念、类型及应用。
基本概念最优化理论研究的是在一定约束条件下，如何使目标函数达到最大值或最小值的问题。
目标函数是衡量方案优劣的数学表达式，而约束条件则是对变量取值的限制。
最优化问题的分类1. 线性规划：当目标函数和约束条件均为线性时，这类问题称为线性规划问题。
它是最优化理论中研究最早、应用最广泛的一部分。
2. 非线性规划：如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的，则问题属于非线性规划。
这类问题通常更复杂，需要特殊的算法来解决。
3. 动态规划：动态规划是一种用于解决多阶段决策过程的优化方法。
它将复杂问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题来找到原问题的最优解。
4. 整数规划：当决策变量必须是整数时，这类问题称为整数规划。
它在许多实际应用中非常重要，如调度问题、资源分配等。
应用领域最优化理论广泛应用于各个领域，包括：- 工程设计：如结构设计中的材料使用最优化，电路设计中的功耗最小化。
- 经济管理：如成本控制、资源分配、投资组合选择等。
- 运输物流：如最短路径问题、货物装载优化等。
- 生产计划：如生产线平衡、生产调度等。
结论最优化理论为我们提供了一种系统的方法来处理各种最大化或最小化问题。
随着计算机技术的发展，复杂的最优化问题现在可以通过软件工具得到快速有效的解决。
了解最优化理论的基本知识，对于提高决策质量、优化资源配置具有重要意义。
请注意，本文仅作为最优化理论的入门简介，深入学习还需参考专业书籍和资料。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化方法是指为了在给定的条件和约束下，找到一个最优解或者接近最优解的问题求解方法。
这些方法可以用于解决各种实际问题，例如优化生产计划、项目管理、机器学习、数据分析等。
下面将介绍五种常见的最优化方法。
1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种数学优化技术，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的问题。
线性规划方法可以用于优化生产计划、资源分配、供应链管理等问题。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和线性约束条件的标准形式，然后使用线性规划算法求解最优解。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：与线性规划不同，非线性规划处理非线性目标函数和约束条件。
非线性规划方法适用于一些复杂的问题，例如优化机器学习模型、最优化投资组合配置等。
非线性规划方法通常使用梯度下降、牛顿法等迭代算法来逐步优化目标函数，找到最优解。
3. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种数学优化技术，用于求解在决策变量为整数的情况下的优化问题。
整数规划方法通常用于优化工程排程、选址和布局问题等。
整数规划在求解时需要考虑变量取值范围的整数要求，使用分支定界、割平面等方法求解，保证最优解是整数。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将复杂问题分解为一系列子问题来求解的最优化方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，例如最优路径问题、背包问题等。
动态规划方法通过记忆化或者状态转移的方式来求解最优解，可以有效避免重复计算，提高求解效率。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithm）：元启发式算法是一类基于启发式的最优化方法。
与传统的优化方法不同，元启发式算法通常不需要依赖目标函数的导数信息，适用于处理复杂问题和无法建立数学模型的情况。
常见的元启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，它们通过模拟自然界中的生物群体行为来最优解。
最优化计算方法-第5章(线性规划)
第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。
线性规划和最优化问题
线性规划和最优化问题在我们的日常生活和工作中，经常会面临各种各样的决策问题。
如何在有限的资源条件下，实现最佳的效果或者达成最优的目标，这就涉及到线性规划和最优化问题。
线性规划是数学规划的一个重要分支，它是一种用于解决在一定约束条件下，如何优化线性目标函数的方法。
简单来说，就是在一些限制条件下，找到一个最好的解决方案。
想象一下，你是一家工厂的经理，你有一定数量的原材料、工人工作时间和机器设备。
同时，你生产的不同产品有着不同的利润。
你需要决定每种产品生产多少，才能使总利润最大。
这就是一个典型的线性规划问题。
再比如，你正在规划一次旅行。
你有一定的预算，有限的时间，不同的目的地和交通方式，以及每个目的地的吸引力。
你要如何安排行程，才能在预算和时间内，获得最大的旅行满足感？这也是一个可以用线性规划来解决的问题。
线性规划问题通常有三个主要组成部分：决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量就是我们需要决定的未知量。
比如在上面的工厂生产例子中，每种产品的生产量就是决策变量；在旅行规划的例子中，去每个目的地的天数或者选择的交通方式就是决策变量。
目标函数是我们想要最大化或者最小化的东西。
在工厂生产中，目标通常是总利润最大化；在旅行规划中，可能是旅行的满意度最大化或者总花费最小化。
约束条件则是对决策变量的限制。
在工厂生产中，可能是原材料的数量限制、工人工作时间的限制、机器设备产能的限制等；在旅行规划中，可能是预算的限制、时间的限制等。
解决线性规划问题的方法有很多，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是从可行解区域的一个顶点出发，沿着可行解区域的边界移动，直到找到最优解。
这个过程就像是在一个多面体的顶点之间跳跃，寻找最高点或者最低点。
除了单纯形法，还有内点法等其他方法。
内点法的基本思想是从可行解区域的内部出发，通过一系列的迭代逐步接近最优解。
线性规划在很多领域都有着广泛的应用。
在农业领域，农民可以用线性规划来决定种植不同作物的面积，以实现最大的收益。
高中数学中的最优化问与线性规划方法
高中数学中的最优化问与线性规划方法在高中数学的学习中，最优化问题和线性规划方法是非常重要的内容。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活、经济活动等密切相关。
最优化问题，简单来说，就是在一系列的限制条件下，寻找一个最佳的解决方案，使得某个目标函数达到最大值或最小值。
比如说，在资源有限的情况下，如何安排生产，以获得最大的利润；或者在给定预算的前提下，如何采购物品，以满足最大的需求。
线性规划则是解决最优化问题的一种重要方法。
它的核心在于通过建立线性的数学模型，来描述问题中的各种关系和限制条件。
我们先来看一个简单的线性规划问题。
假设一家工厂生产两种产品A 和 B，生产一件 A 产品需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产一件B 产品需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的工时。
工厂共有 100 个单位的原材料和 80 个单位的工时。
已知 A 产品的利润为5 元每件，B 产品的利润为4 元每件，那么工厂应该如何安排生产，才能获得最大的利润？为了解决这个问题，我们首先要设出未知数。
设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。
然后，根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式组：2x ＋3y ≤ 100 （原材料限制）3x ＋2y ≤ 80 （工时限制）x ≥ 0，y ≥ 0 （非负限制）而我们的目标函数是利润 Z ＝ 5x ＋ 4y，我们要在满足上述不等式组的条件下，求出 Z 的最大值。
接下来，我们可以通过图形的方法来求解。
将上述不等式组转化为直线方程，然后在平面直角坐标系中画出这些直线所围成的区域，这个区域就被称为可行域。
在可行域内，我们要找到目标函数的最优解。
一般来说，最优解会出现在可行域的顶点处。
通过计算各个顶点处的目标函数值，我们就可以找到最大值。
线性规划问题在实际生活中有很多应用。
比如在物流运输中，如何安排车辆的运输路线，使得运输成本最低；在资源分配中，如何分配有限的资源，使得效益最大化等等。
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
线性规划与最优化问题的求解算法
线性规划与最优化问题的求解算法线性规划（Linear Programming）是数学中一种重要的优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划被广泛运用于工程、经济、管理等领域，是一种强大的决策分析工具。
为了解决线性规划及其他最优化问题，人们开发了多种求解算法。
一、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断迭代来寻找问题的最优解。
单纯形法的基本思想是通过交换变量的值来达到更优解的目的。
在每次迭代中，通过选择一个入基变量（进入基本解）和一个出基变量（离开基本解），逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
二、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种有效的线性规划求解算法。
与单纯形法不同的是，内点法从问题的内部（可行解域）开始搜索最优解，而不是从边界（顶点）开始。
内点法的核心思想是通过迭代找到目标函数值逼近最优解的过程。
内点法相对于单纯形法在大规模问题上具有更高的求解效率，但在处理一些特殊问题时可能存在较大的挑战。
三、分支定界法（Branch and Bound Method）分支定界法是一种通用的最优化问题求解算法，适用于各种类型的优化问题，包括线性和非线性规划问题。
它通过将问题划分为一系列子问题，并逐步缩小最优解的搜索范围，最终找到全局最优解。
分支定界法具有较高的可行性和可靠性，但在处理大规模问题时存在计算复杂性的问题。
四、梯度下降法（Gradient Descent Method）梯度下降法是一种常用于非线性规划问题的求解方法。
它利用函数的梯度信息来指导搜索方向，并通过迭代逐步优化目标函数的值。
梯度下降法有多种变体，包括批量梯度下降法、随机梯度下降法等。
梯度下降法在非凸问题的求解上具有较好的效果，但可能存在陷入局部最优解和收敛速度慢等问题。
总结：线性规划及最优化问题是现实生活中经常遇到的一类问题，求解这类问题的算法也因此应运而生。
线性规划和最优化
线性规划和最优化是数学中一个非常重要的领域。
线性规划是一种数学方法，用于同时优化多个变量的值。
它可以应用于许多不同的问题，包括工业生产、物流和财务管理等领域。
最优化则是一种更广义的方法，用于确定一个系统，最大化或最小化某个目标函数的值。
在线性规划中，我们通常需要优化一个线性函数，同时满足一些线性不等式和线性等式约束条件。
例如，我们可能需要最小化生产成本，同时满足生产数量和物料库存的限制。
这种问题可以通过线性规划方法求解。
通常用单纯形法等算法来解决这类问题。
最优化中不仅包括了线性规划，还包括许多其他的优化问题。
最优化问题可以分为两种类型：连续优化和离散优化。
连续优化的例子包括最小二乘问题和非线性规划问题等。
离散优化则涉及到选择问题，例如背包问题、旅行商问题等。
在现实生活中，问题经常出现。
例如，在制造业中，我们需要同时优化多个因素来控制成本和生产效率。
在交通管理中，我们需要优化交通流动，最大程度地减少拥堵和耗时。
因此，了解这些问题和它们的解决方法对许多行业和领域的人都是非常重要的。
除了工业和交通管理之外，也用于许多其他领域。
在金融领域，例如，假设我们需要投资一个多元组合，同时控制风险和获得最大收益。
我们可以使用最优化方法计算最佳组合，并优化我们的投资策略。
在医疗领域，我们可以使用优化方法来制定药物剂量和治疗方案，同时最大化疗效并最小化不良反应等风险。
总之，是非常有用的数学方法，可以在解决优化问题时起到重要作用。
由于它们在众多领域中的广泛应用，它们的研究和应用仍在不断发展和进步。
因此，掌握这些方法的基本原理，也对我们个人职业发展和生活有着重要的作用。
第二章 最优化 线性规划
优点：简单易行，适用于各种线性规划问题，特别是大规模问题。
缺点：对于某些问题，可能存在计算量大、时间长、易陷入局部最优解等问题。
改进方向：研究更高效的算法，如内点法、梯度法等；结合启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法等，以寻找更好的解。
章节副标题
线性规划的应用案例
生产计划问题
具体案例：以某企业为例，通过线性规划的方法制定生产计划，实现了生产效率的提高和成本的降低。
最优化问题面临的挑战与未来发展前景
单击此处输入你的正文，请阐述观点
未来发展前景：利用人工智能技术、优化算法改进、拓展应用领域等 最优化问题的实际应用与挑战
最优化问题的实际应用与挑战
单击此处输入你的正文，请阐述观点
挑战：处理大规模问题、考虑各种约束条件、处理不确定性等 最优化与线性规划
最优化与线性规划
单击此处输入你的正文，请阐述观点
线性规划问题定义：在给定约束条件下，寻找一组变量的最优解，使得目标函数为线性函数
单击此处输入你的正文，请阐述观点
单击此处输入你的正文，请阐述观点
最优化与线性规划的应用：生产计划、资源分配、物流优化、金融投资等
单击此处输入你的正文，请阐述观点
Thank you
学院
感谢观看
线性规划问题中的约束条件是等式或不等式约束。
章节副法的基本原理
线性规划问题的定义和求解目标
单纯形表和最优解的确定方法
单纯形法的收敛性和计算效率
单纯形法的基本思路和迭代过程
单纯形法的算法步骤
确定初始基本可行解
确定最优解所在的迭代方向
确定迭代步长
更新基本可行解
单纯形法的优缺点及改进方向
资源分配问题的数学模型和求解方法
解线性规划问题的常见方法与策略
解线性规划问题的常见方法与策略线性规划是数学中的一类优化问题，目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划在运筹学、经济学、管理学、工程学等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍解决线性规划问题的常见方法与策略。
1. 模型建立在解决线性规划问题之前，应该先建立数学模型。
模型主要包含目标函数和约束条件。
通常需要对问题进行分析和抽象，确定需求变量、决策变量、目标和限制条件。
建立好模型后，就可以应用各种算法进行求解了。
2. 单纯性法单纯性法是一种直接、高效的线性规划求解方法，也是最为广泛应用的方法。
它通过不断的交替基变换来逐步靠近最优解。
具体而言，单纯性法首先选择一个基本可行解，然后通过行变换和列变换找到下一个更优的基本可行解，直到找到最优解或者无法继续优化为止。
3. 对偶理论对偶理论是解决线性规划问题的另一种方法，它将线性规划问题转化为一个对偶问题。
对偶问题又称对偶线性规划，它的目标函数与原问题的约束条件有关。
对偶问题可以通过单纯性法或其他优化方法来求解，从而得到原问题的最优解。
4. 网络流算法网络流算法是一种常用的线性规划求解方法，它通过流量平衡条件和容量限制条件来描述约束条件。
将线性规划问题转化为网络流问题，然后应用最大化流算法或最小费用最大流算法求解。
5. 分支定界法分支定界法是一种可以求解任何类型的数学规划问题的通用方法。
其基本思想是将问题分解成多个子问题，然后用分支定界法求解。
分支定界法可以解决较小规模的线性规划问题，但是对于大规模问题求解效率较低。
综上所述，单纯性法、对偶理论、网络流算法和分支定界法是解决线性规划问题的常见方法。
在实际应用中，应该结合问题的特点和求解效率选择合适的方法和策略。
最优化方法介绍范文
最优化方法介绍范文最优化方法是一种利用数学模型和算法寻找最优解的方法。
在现实生活中，许多问题都可以被看作是寻找最优解的问题，如寻找最短路径、最小费用、最大效益等。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、贪心算法、遗传算法等多种方法。
下面将对其中一些常用的最优化方法进行介绍。
1. 线性规划（Linear Programming, LP）：线性规划是最早也是最常用的最优化方法之一，其目标是找到一组满足约束条件的变量值，使得线性目标函数取得最大（最小）值。
线性规划的求解方法主要有单纯形法、内点法等。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）：非线性规划是对目标函数或约束条件中出现非线性项的最优化问题的统称。
非线性规划方法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等，依据问题的具体特点选择适当的方法。
3. 整数规划（Integer Programming, IP）：整数规划是约束条件下的变量为整数的最优化问题。
求解整数规划的方法包括分支定界法、蒙特卡洛法和割平面法等。
4. 动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题划分为小问题，并将小问题的最优解存储起来，以减少计算量的方法。
动态规划主要适用于具有最优子结构和重叠子问题特点的问题，如背包问题、最短路径问题等。
5. 贪心算法（Greedy Algorithm）：贪心算法是一种通过每一步做出局部最优选择，以期望得到全局最优解的方法。
贪心算法通常具有简单、高效的特点，但不能保证一定能够得到最优解。
贪心算法常用于求解背包问题、任务调度等问题。
6. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是模拟生物进化过程的一种启发式算法。
通过模拟自然选择、交叉、变异等基因操作来解的空间。
遗传算法可以应用于求解旅行商问题、机器学习中的特征选择等问题。
以上只是最优化方法中的一部分，还有很多其他的方法，如模拟退火算法、蚁群算法、粒子群算法等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合 理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（包括人力、 设备台时、资金、原材料等）最少。
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
一、问题的提出 （1）配载问题：某种交通工具（车、船、飞机等）的容积和载重量一定，运 输几种物资，这些物资有不同的体积和重量，如何装载可以使这种运输工具所 装运的物资最多？ （2）下料问题：某厂使用某种圆钢下料，制造直径相同而长度不等的三种机 轴，采用什么样的下料方案可以使余料最少？ （3）物资调运：某种产品有几个产地和销售地，物资部门应该如何合理组织 调运，从而既满足销售地需要，又不使某个产地物资过分积压，同时还使运输 费用最省？ （4）营养问题：各种食品所含营养成分各不相同，价格也不相等，食堂应该 如何安排伙食才能既满足人体对各种营养成分的需要，同时又使消费者的经济 负担最少？
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
二、线性规划问题的数学模型
3. 建立线性规划问题的数学模型步骤 （1）确定问题的决策变量； （2）确定问题的目标，并表示为决策变量的线性函数； （3）找出问题的所有约束条件，并表示为决策变量的线性方程或不等式。 4. 线性规划的数学模型
假定线性规划问题中含n个变量，分别用xij(j=1,…,n)表示，在目标函数中，xj 的系数为cj（通常称为价值系数）。xj的取值受m项资源的限制，用bi(i=1,…,n) 表示第i种资源的拥有量，用aij表示变量xj的取值为一个单位时所消耗或含有的 第i种资源的数量（通常称为技术系数或工艺系数）。则上述线性规划问题的 数学模型可以表示为
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
二、线性规划问题的数学模型
5. 线性规划的标准型 由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别，线性规划问题有多种表达
式，为了便于讨论和制定统一的算法，规定标准形式需要满足以下条件： （1）目标函数极大化； （2）约束条件为等式且右端项大于等于0； （3）决策变量大于等于0。
标准形式可以有如下表达方式：
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
二、线性规划问题的数学模型 6. 将非标准形式化为标准形式 目标函数为求极小值：min z=CX，则令Z′=－CX，即maxz′=－CX （1）右端项小于0 只需将两端同乘（-1），不等号改变方向，然后再将不等式改为等式。 例如： 2x1+x2≥－6 －2x1－x2≤6 －2x1－x2+x3=6 引入的变量x3，我们称之为松弛变量。
此外，在地质勘探、环境保护、生产经营等方面也都有与上述情况类似的问题。
点此看题
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
一、函数的概念
例 1.1.1
某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维 生素。生产每吨药品所需要的维生素量分别为30千克和20千克，所
பைடு நூலகம்
占设备时间分别为5台班和1台班，该厂每周所能得到的维生素量为
160千克，每周设备最多能开15 个台班。且根据市场需求，甲产品
每周产量不应超过4吨。已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润
分别为5万元和2万元。问该厂应如何安排两种产品的产量才能使每
周获得的利润最大？
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
一、函数的概念
例 1.1.2
设市场上有甲级糖和乙级糖，单价分别为20元/千克，10元/千 克。今要筹办一桩婚事，筹备小组计划花费不超过200元，使糖的
分析：将已知数据列成表，如表1-2所示。
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
二、线性规划问题的数学模型
例 1.1.4 解：设电视台每周应播放片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人。
二、线性规划问题的数学模型
例 1.1.4
央视为改版后的《非常6+1》栏目播放两套宣传片。其中，宣 传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万人； 宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万 人。广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为 该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间。电视台每周应播映 两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
总千克数不少于10千克，甲级糖不少于5千克。问如何确定采购方
案，使糖的总千克数最大？
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
二、线性规划问题的数学模型
1. 从上述两个例子可以看出，它们有3个共同点： （1）每个问题都有一组变量——称为决策变量。 （2）都有一个关于决策变量的函数。 （3）每个问题都有一组决策变量需满足的约束条件。 2. 线性规划问题 （1）线性约束条件：在线性规划问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条 件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件。 （2）线性目标函数：如关于x，y的一次式z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所 涉及的变量x，y的一次解析式，叫线性目标函数。 （3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或 最小值的问题，统称为线性规划问题。 （4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解。 由所有可行解组成的集合叫可行域。使目标函数取得最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
点此看题
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
二、线性规划问题的数学模型 例 1.1.3 将下列线性规划模型化为标准形式。
解：令z′=－z=－x1+2x2－3x3,x3=x4－x5，第一个约束条件左边加上松弛 变量x6，第二个左边减去剩余变量x7，第三个两边同乘（－1），则得到 标准形式
§１.１ 线性规划问题及其数学模型
最优化方法与策略
目录
第一章 线性规划
第二章 层次分析法（AHP）
第三章 基于Matlab软件设计的数学实验 第四章 励志人生的最优化方法
第五章 思维策略
第六章 营销策略
第七章 概率统计基础
开篇导论
线性规划作为解决问题的最基本的优化方法，在实际生活中得以广泛 运用。资源有限和目标确定的约束前提下，在生产管理和经营活动中，经 常会遇到两类优化问题：