高级通信原理第4章 信号的分析

4.2 AWGN条件下的最佳接收 及误码率分析
1) 信号的矢量表示 2) AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”) 3)误码率分析
复习：信号的矢量表示
一、最佳接收机
信号解调器
相关解调器
MF解调器
最佳检测器
最大后验概率准则
最大似然准则
最小距离准则
无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最 佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何准确地提取有用信号。 对于数字信号而言， “最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。
ˆ argsm max P(sm ) pr | sm s
根据贝叶斯公式，后验概率
Ps m pr | s m Ps m | r pr
“最大的 P(sm ) pr | sm ”即为“最大的 Psm | r ” ，则判决准 则为
ˆ argsm max Ps m | r s
的高斯随机变量。 （设信道噪声 nt 的功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz） ） 2) 在发送信号 sm t 的条件下，相关器输出 rk 也是不相关（即相互 独立）的高斯随机变量。
2 Erk Esmk nk smk ； r2 n N0 / 2
假定发送 M 个信号波形 sm t , m 1,2,, M ，每个 波形的持续时间为 T。在 0 t T 间隔内，接收信号表示为
r t sm t nt
0 t T
1、 相关解调器
接收信号的正交展开
相关解调器
因 为 正 交 函 数 集 f k t 不 能 构 建 噪 声 空 间 ， 接 收 信 号
2
f 3 t
同理
f 3 ' t f 3 ' t dt


f 3 ' t

c14 2, c24 0, c34 1
s4 t s1 t f 3 t 0 f 4t s4 t 2 f1 t f 3 t
2 0 2 0
s1 t
s2 t s1 t dt 0 2
f 2t s2 t 0
f 2 t s2 t

3 0


s2 t 2 2 f 2 ' t dt
2
c13 s3 t f1 t dt
3
0
s3 t s1 t dt 2 2
则判错。如何使平均错判概率最小？
如何确定判决准则？ 根据观察矢量 r 落入哪个判决区域 Rm ， 作出发端发送的是哪个 s m 的
ˆ 表示。若输出判决 s ˆ 不等于 s m ，则判错。所以错误概率表示为 估计，用 s
ˆ s m | s m ) P( s m ) 1 pr | s m dr PM P( s m ) P( s m 1 m 1 Rm
1


第二步:计算s2(t) 在f1(t)上的投影
c12 s2 t f1 t dt


从s2(t)中减去c12f1(t),即得到s2(t)信号中所包含的与f1(t)正交的部分
f 2t s2 t c12 f1 t
将f2’(t)归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量
r r1 , r2 ,rN 对该间隔内的发送信号作出判决，并使正确
判决概率最大。 最大后验概率准则 最大似然准则 最小距离准则
已经解决的问题：
提出问题：
根据观察矢量 r 作出发端发送的是哪个 s m 的估
ˆ 表示。 ˆ 不等于 s m ， 计， 其判决输出用 s 若输出判决 s
3) 条件概率密度
pr | s m prk | s mk
k 1 k 1
N
N
rk s mk 2 exp N0 N 0 1
m 1,2,, M
k 1,2,, N
证明：
例 5－1－1 研究一个 M 元的基带 PAM 信号集，在该信号集中的 基本脉冲形状 g t 是高度为 a，宽度为 T 的矩形。加 性噪声 nt 是均值为 0， 功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz） 。 计算基函数 f t ，相关解调器的输出， pr | sm 。


正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕，
则N≤M个标准正交波形构造完成。
信号的矢量空间表示
例
设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。
解:
s1 t f1 t 1 2
c12 s2 t f1 t dt
f1 t
f 2 t
s1 t
s1 t 1 2
s2 t



s2 t 2 2 f 2 ' t dt
s3 t s1 t
f 3 t s3 t 2 f1 t 0 f 2 t
s4 t s1 t f 3 t 0
f 2 t
f 2 ' t



f 2 ' t dt
2
第三步:求第k个正交函数
K 1 i 1
f k t
f k ' t



f k ' t dt
2
其中
f kt sk t cik f i t
cik sk t f i t dt
r t smk f k t nk f k t nt rk f k t nt
k 1 k 1 k 1
N
N
N
其中 nt nt
n f t ， nt 表示 nt 与 nt 在基
k 1 k k
2 E ，且后者为最小距离。
解：
2、最佳检测器
前面已经证明， 对于 AWGN 信道传输的信号， 相关解调 器或者匹配滤波器解调器产生的向量 r r1 , r2 ,rN 包含了 接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量 r 的 最佳判决准则。 假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计 一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量
k 1
最小欧式距离准则的证明思路 N
rk smk 2 1 , k 1,2,...N prk smk exp N N 0 0 N rk smk 2 1 , m 1,2,..M pr sm exp N 2 N N 0 k 1 0
信号s(t)可以由fn(t)的线性组合来近似 这一近似的误差为
ˆt et st s

ˆt sn f n t s
k 1
N
来自百度文库
如何求得系数sn , 使得误差的能量最小？ 结论：
sn st f n t dt,

n 1,2,...N
st sn f n t
即选择最大的后验概率，称该准则为 MAP 准则。
结 论
最大后验概率（MAP）准则（最小错误概率准则） ： 选择后验概率集合 Ps m | r m 1,2,, M 中最大值的信号。 等价于“选择 P(sm ) pr | sm 最大值的信号” 。 最大似然（ML）准则：
当先验等概时， 即对所有 M 有 Ps m 1 / M ， 最大后验概率 （MAP） 准则可等价为寻求使 pr | sm 最大的信号。 条件概率 pr | sm 或者它的任意单调函数通常称为似然函数。 选择似然函数集合 pr | sm m 1,2,, M 中最大值的信号。
2
c23 s3 t f 2 t dt
0
0
s3 t s2 t dt 0 2
f 3t s3 t 2 f1 t 0 f 2 t 1 s3 t s1 t 0
2 t 3 otherwise
第 4章
信号的分析
主要内容

信号的空间分析
信号的矢量表示方法
统计判决理论 AWGN条件下的最佳接收及误码率分析

带通信号和系统的等效低通分析
希尔波特变换 解析信号
频带信号与带通系统
4.1
信号的空间分析
重点：常见调制信号的空间表示
复
习
格拉姆-施密特正交化：
如何将一组n维向量构成一组标准正交向量？
正交矢量空间表示：
任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。 －－用矢量空间中的一个点来表示某矢量。
格拉姆-施密特正交化

提问
信号是否可以用矢量表示？
设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,..,N，即



0 f n t f m t dt 1
m n m n
M=4的双正交信号(eg.4PSK) 参见<<数字通信>>(第4版)175页
思考： 1、需要几个 匹配滤波器？ 2、第一个匹 配滤波器输出 的信噪比？ 3、相对于4个 输入信号，考 虑信道噪声两 个匹配滤波器 输出的信号为 多少？
双正交信号
一组 M 个双正交信号集可以由 M/2 个正交信号与其负的正交信号构成。 注意：在任何一对波形之间的相关系数为-1 或 0，相应的距离为 2 E 或
可以证明，AWGN 信道中， “ML 准则”等价于“最小距离准则” 。 最小距离准则： 选择在距离上最接近接收信号向量 r 的信号 s m 。 也就是使得下列欧式距离
Dr, sm rk smk
k 1
N
2
最小的信号 s m
pr s m prk smk , m 1,2,..M
参见<<数字通信>>(第4版)172页
解：
例 5－1－2 M=4 的双正交信号是由两个正交信号构成的。 该信号用来在 AWGN 信道传输信息。假定噪声均 值为 0，功率谱密度为 N0 / 2 。 求该信号集的基函数，匹配滤波解调器的冲激 响应，当发送信号为 s1 t 时匹配滤波器解调器的 输出 r r1 , r2 。
N
函数 f n t 上投影的对应部分之差。 可以证明：nt 不包含与判决有关的任何信息。 也就是说， 判决完全可以根据相关器的输出 rk 来进行。
MF解调器
对输入信号的匹配 !
问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？
可以证明：
2 1) 噪声 nk 是均值为 0，方差 n N 0 / 2 的不相关（即相互独立）
k 1
N
例题： 已知一组标准正交函数如下，试画出信 号空间中一个点所对应的信号波形。
1） 标准正交基 2） 信号的空间表示 3） 数字调制信号的矢量空间表示
信号的正交展开方法 (Gran Schmidt) 设一组信号为si(t),i=1,2,…M,现求一组正交函数来表示这组信号。 第一步:设归一化的s1(t)为第一个正交函数,即第一个单位长度 的正交矢量为 s1 t 2 f1 t 这里 i si t dt
M M
1 P(sm ) pr | sm dr
m1 Rm
M
可见，为了得到最小的错误概率，对于给定的观察矢量 r，选择“最大 的 P(sm ) pr | sm 所对应的 sm ”作为判决输出，即
ˆ argsm max P(sm ) pr | sm s
“最小的错误概率”准则：选择“最大的 P(sm ) pr | sm 所对应 的 sm ”作为判决输出，即
f 4t s4 t 2 f1 t f 3 t
练习
解：
小结

信号的空间表示
信号的正交展开 信号的空间表示
信号的矢量空间表示
例题
有4个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。
（1）确定信号空间的标准基函数集； （2）画出信号星座图；
例5 : 4ASK(或4PAM频带信号)