直线的极坐标方程教学设计
高中数学 第一章 坐标系 三 2 直线的极坐标方程教学案
2．直线的极坐标方程[对应学生用书P8]1．直线的极坐标方程(1)若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为θ＝α.(3)当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为ρcos_θ＝a . (4)当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为：ρsin_θ＝b .2．图形的对称性(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在直线对称．(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．[对应学生用书P8][例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．[思路点拨] 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示．[解] 设M (ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪∠xOM ＝π4将已知条件用坐标表示，得θ＝π4(ρ≥0)． ①这就是所求的射线的极坐标方程．方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ，无论取任何正值，θ的对应值都是π4.求直线的极坐标方程，首先应明确过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．1．求过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且垂直于极轴的直线的方程．解：如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)，∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|OH |＝2sin π4＝ 2.在Rt △OMH 中， |OH |＝|OM |cos θ，∴2＝ρcos θ，即ρcos θ＝2，∴过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且垂直于极轴的直线方程为ρcos θ＝ 2.2．设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．解：设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)． 则∠α＝π3－π6＝π6，∠β＝π－⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2π3＋θ，在△OPA 中，有ρsinπ6＝22π3＋θ，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1.[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l的距离．[思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题． [解] 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6＝1，即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为d ＝|3＋3＋2|1＋－32＝3＋1.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1.对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．(广东高考)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．答案：(1,1)4．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离是________．解析：点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4的直角坐标为(2，－2)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22， 即ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22的直角坐标方程为22x ＋22y ＝22，即x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|2－2－1|1＋1＝22， 故点A (2，7π4)到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22[对应学生用书P9]一、选择题1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．答案：C2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：两边同乘以ρ得：7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x ＋2y ＝0，表示直线． 答案：A3．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线解析：∵cos θ＝22， ∴θ＝±π4＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0， ∴cos θ＝22表示两条射线． 答案：D4．过点A (5,0)和直线θ＝π4垂直的直线的极坐标方程是( ) A ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522B ．ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522C ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝5 D ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝522解析：因为直线θ＝π4即直线y ＝x ，所以过点A (5,0)和直线θ＝π4垂直的直线方程为 y ＝－x ＋5，其极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522.答案：A 二、填空题5．把极坐标方程ρcos(θ－π6)＝1化为直角坐标方程是___________________．解析：将极坐标方程变为32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为32x ＋12y ＝1，即3x ＋y －2＝0.答案：3x ＋y －2＝06．若直线ρsin(θ＋π4)＝22与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析：直线极坐标方程化为22ρsin θ＋22ρcos θ＝22，即为x ＋y －1＝0，由题意知3k＝－1，∴k ＝－3.答案：－37．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22三、解答题8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即：2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程 2x －y ＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 这就是所求的极坐标方程．9．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ＜2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 则圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴11－4cos 2θ1＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。
直线和圆的极坐标方程教学设计
直线和圆的极坐标方程教学设计引言直线和圆是初等数学中的重要知识点，理解和熟练掌握其极坐标方程对于学生在解决几何问题中非常关键。
本教学设计旨在帮助学生理解直线和圆的极坐标方程的概念、推导过程以及应用方法。
教学目标通过本次教学，学生将能够：1.理解直线和圆的极坐标方程的定义和含义；2.掌握求解直线和圆的极坐标方程的方法；3.运用极坐标方程解决几何问题。
教学内容与步骤第一步：直线的极坐标方程1.引入直线极坐标方程的概念，向学生解释什么是直线的极坐标方程。
–直线的极坐标方程表示一条直线上各点的极坐标坐标与参数关系的方程。
2.解释直线的极坐标方程的推导过程。
–通过使用直角坐标和极坐标之间的转换关系，推导直线的极坐标方程的一般形式。
讲解如何根据已知的直线方程，得到其对应的极坐标方程。
3.给出几个实例，让学生尝试推导直线的极坐标方程。
第二步：圆的极坐标方程1.介绍圆的极坐标方程的定义。
–圆的极坐标方程是表示圆上各点的极坐标坐标与参数关系的方程。
2.解释圆的极坐标方程的推导过程。
–使用勾股定理和直角三角形的性质，推导圆的极坐标方程的一般形式。
3.给出几个实例，让学生尝试推导圆的极坐标方程。
第三步：应用示例1.提供一些几何问题，让学生运用所学的直线和圆的极坐标方程解决问题。
–如：已知直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，求直线与圆的交点坐标；–如：已知一个点在圆外，求出连接该点与圆心的直线与圆的交点坐标。
2.鼓励学生在解决问题的过程中灵活运用所学知识，加强对直线和圆的极坐标方程的理解和运用能力。
教学评估1.在教学中引导学生进行小组讨论，检查学生对直线和圆的极坐标方程的理解和推导方法的掌握程度。
2.布置作业，要求学生解答相关的极坐标方程题目。
3.教学过程中切实关注学生的学习情况，及时给予指导和反馈。
总结本教学设计通过引导学生从直线和圆的坐标方程的概念、推导过程和应用方法入手，帮助学生掌握直线和圆的极坐标方程的知识点。
通过教学实践与评估，提高学生对直线和圆的极坐标方程的理解和运用能力，培养学生解决几何问题的能力。
直线和圆的极坐标方程教案
直线和圆的极坐标方程教案教案：直线和圆的极坐标方程目标：通过学习，学生能够理解直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
一、引入：老师可先给出一个问题：如何在极坐标系中表示直线和圆？二、学习与讨论：1. 直线的极坐标方程：直线可以用极坐标系中的一个点和倾斜角（与极轴的夹角）来表示。
- 若直线过原点，则其方程为r = θ- 若直线不过原点，我们需要先找到直线与极轴的交点，然后确定倾斜角。
设直线与极轴的交点为（a，b），倾斜角为θ，则直线的极坐标方程可以表示为：r = a/（cos(θ - b)）2. 圆的极坐标方程：圆在极坐标系中的方程为 r = a，其中a为圆的半径。
三、例题练习：根据已知条件，写出直线和圆的极坐标方程。
1. 直线的例题：已知直线过原点，倾斜角为30°，写出直线的极坐标方程。
解答：直线的方程为r = θ2. 圆的例题：已知圆心坐标为(2，π/3)，写出圆的极坐标方程。
解答：圆的方程为 r = 2四、总结：教师和学生共同总结直线和圆的极坐标方程的表示方法。
五、拓展：老师可引导学生进行拓展，讨论其他图形在极坐标系中的表示方法，并给出相应的例题进行练习。
六、作业：布置作业，要求学生根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程，并解答相关问题。
课堂练习：给出一个直线的极坐标方程和一个圆的极坐标方程，让学生画出相应的图形。
七、检查与讨论：检查学生的作业并进行讨论，解答学生的问题。
八、总结：教师和学生共同总结本节课的内容，强调重点和难点。
以上是关于直线和圆的极坐标方程教案的叙述，通过本节课的学习，学生应该能够掌握直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
直线和圆的极坐标方程教案(一)
直线和圆的极坐标方程教案(一)直线和圆的极坐标方程教案教学目标•理解直线和圆的极坐标方程的含义和基本形式•掌握直线和圆的极坐标方程的推导方法•能够根据给定条件写出直线和圆的极坐标方程教学准备•教师准备：白板、彩色粉笔、投影仪•学生准备：纸和笔教学过程1.导入（5分钟）–简要回顾直角坐标系和极坐标系的基本概念和转换方法–引导学生思考直线和圆的极坐标方程可能的形式2.直线的极坐标方程（15分钟）–解释直线的极坐标方程为r=asec(θ−α)，其中a和α为常数–介绍推导直线的极坐标方程的步骤：•将直线转换为直角坐标系下的斜截式方程y=kx+b•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到rsinθ=k⋅rcosθ+ b•化简得到r=bsinθ−kcosθ•进一步化简得到r=asec(θ−α)的形式–给出实例，让学生进行练习3.圆的极坐标方程（15分钟）–解释圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数–介绍推导圆的极坐标方程的步骤：•将圆的中心坐标为(ℎ,k)的一般式方程转换为直角坐标系下的标准式方程(x−ℎ)2+(y−k)2=r2•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到(rcosθ−ℎ)2+(rsinθ−k)2=r2•化简得到r2−2rℎcosθ+ℎ2+r2cos2θ−2rksinθ+k2=r2•化简得到r=a的形式–给出实例，让学生进行练习4.总结归纳（5分钟）–和学生一起总结直线和圆的极坐标方程的基本形式和推导方法–强调学生在做题时要仔细观察几个参数的变化和特点，灵活运用推导方法5.练习与作业布置（10分钟）–出示多个直线和圆的图形，让学生根据给定条件写出对应的极坐标方程–布置作业：完成课后习题中的相关题目拓展活动•鼓励学生使用数学软件探索其他曲线的极坐标方程•学生可以深入研究更复杂的极坐标方程，如椭圆、双纽线等总结本节课主要介绍了直线和圆的极坐标方程的含义、基本形式和推导方法。
高中数学 1.3.2直线的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4 学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3.2直线的极坐标方程学案 新人教A 版选修4-4【学习目标】 知识目标：1、熟悉直线的两种方程的互化。
2、能够在极坐标系中给出简单图形的方程。
3、通过比较极坐标系和直角坐标系下的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。
能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤。
教学重点：求直线的极坐标方程。
教学难点：求直线的极坐标方程的方法和步骤。
教学过程： 一、复习引入： 问题情境情境1：cos 3ρθ= , sin 2ρθ=, 34θπ=分别表示什么曲线？ 情境2：上述方程表示了直线，把这些直线一般化，它们的方程是什么？ 二、讲解新课：例1、直线l 经过极点。
从极轴到直线l 的角是4π，求直线l 的极坐标方程。
例2、求过点(,0)A a ()0a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
例3、直线l 经过(2,)4M π且该直线到极轴所成角为34π， 求此直线l 的极坐标方程。
探究：设点P 的极坐标为()11,ρθ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求此直线l 的极坐标方程。
例4、把下列极坐标方程化为直角坐标方程 （1）2sin =θρ （2）)(65R ∈=ρπθ （3）1)4sin(=-πθρ.探究：已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ， 求点)47,2(πA 到这条直线的距离.本节课的收获：【课后作业】1．在极坐标系中，过极点，倾斜角是3π的直线的极坐标方程是2、在极坐标系中，过点2,3π（），并且和极轴垂直的直线的极坐标方程为 .3、在极坐标系中，过点,4π（4），且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 4．在极坐标系中，直线2cos =θρ关于直线4πθ=对称的直线的极坐标方程为_______ _________5、把下列直角坐标方程化成极坐标方程： （1）4x = （2）20y +=（3）2310x y --= （430y -=6． 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ．7、在极坐标系中，与圆4cos ρθ=相切的一条直线方程是8、极坐标方程2cos 0ρθρ-=的直角坐标方程为9．在极坐标系中，点)3,4(πM 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d .10．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于A 、B 两点，则=AB ．11、在极坐标系中，定点(1,)2A π，点B 在直线:l cos sin 0ρθρθ+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是12、圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=- （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆1O 和圆2O 的交点的直线的直角坐标方程。
直线的极坐标方程教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
直线的极坐标方程教案一、教学目标1. 理解直线在极坐标系中的表示方式；2. 学会求解直线的极坐标方程；3. 掌握利用极坐标方程绘制直线的方法。
二、教学重点1. 直线在极坐标系中的表示方法；2. 极坐标方程求解直线的方法。
三、教学难点1. 掌握直线在极坐标系中的表示方法；2. 熟练运用极坐标方程求解直线的方法。
四、教学步骤第一步：引入知识引导学生回顾直线的方程及极坐标系的相关概念，复习直线的斜率和截距的求解方法。
第二步：直线在极坐标系中的表示方法1. 讲解直线在直角坐标系中的表示方法，并引入直线在极坐标系中的表示方法；2. 介绍如何将直线的直角坐标方程转化为极坐标方程；3. 通过例题，帮助学生理解直线在极坐标系中的表示方法。
第三步：极坐标方程求解直线的方法1. 讲解如何利用极坐标方程求解直线，包括如何确定直线的极坐标方程、如何求解直线的交点等；2. 通过实例演练，加深学生对极坐标方程求解直线的理解。
第四步：绘制直线的方法1. 介绍如何利用极坐标方程绘制直线；2. 引导学生通过极坐标方程绘制直线的实例练习，提高学生的绘图能力。
第五步：拓展应用1. 引导学生分析极坐标系中各种直线方程的特点，并与直角坐标系方程进行对比，加深对极坐标方程的理解；2. 提供更多的实例练习，加强学生对直线的极坐标方程求解及绘制的应用能力。
五、教学评价方法1. 在教学过程中，及时针对学生的学习情况进行现场评价；2. 布置作业，要求学生独立解答直线的极坐标方程求解及绘制问题；3. 对学生的作业进行评阅，及时提供反馈。
六、教学资源1. 教材：包括直线相关知识的教科书；2. 课件：通过投影仪展示教学内容；3. 练习册：包含直线的极坐标方程求解和绘制题目的练习册；4. 答案集：包含作业答案和解析的参考书。
七、教学后记通过本次教学，学生能够理解直线在极坐标系中的表示方式，掌握求解直线的极坐标方程的方法，并能运用极坐标方程绘制直线。
教师应鼓励学生多进行实践操作，并提供及时的指导和帮助，全面提高学生的极坐标方程应用能力。
【教学设计】直线的极坐标方程(人教A版)
《直线的极坐标方程》赵县实验中学赵连霞直线的极坐标方程，让我们认识到用直线的极坐标方程有时会比较方便，解决问题能变的简单【知识与能力目标】掌握直线的极坐标方程【过程与方法目标】灵活运用直线的极坐标方程【情感态度价值观目标】通成过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【教学重点】掌握直线分极坐标方程【教学难点】灵活运用直线的方程1、求曲线极坐标方程的步骤：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；2、求曲线极坐标方程的关键是：；第二课时直线的极坐标方程一．自主学习：1、过点（3,0）与x轴垂直的直线方程为，过点（3,3）呢？过点（a，b）呢？2、过极点的射线怎么表示？直线呢？射线直线2、直线的形式有哪几种？它们的极坐标方程分别是？二．新课引入与直角坐标系中的情况一样，求直线的极坐标就是找出直线上动点P的坐标之间的关系，然后列出方程，再化简讨论三．新课讲授：例1：求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程变式：1.求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程2.如图，求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程学生总结：得出结论如何写出上面这种形式的直线极坐标方程例2：过点，且垂直于极轴的直线的极坐标方程；求直线的极坐标方程的步骤（学生总结，老师补充）1.根据题意画出草图2.设点M是直线上任意一点3.连接MO4.根据几何条件建立关于的方程并化简5.检验并确认方程即为所求例3：过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程；四、课堂小结：常见直线的极坐标方程：(1)过极点，从极轴到直线的角为θ，直线的直线方程为；(2)过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为；(3)过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程为；五、巩固练习：1、说明下列极坐标表示什么曲线，并画图；(1) (2) (3)2、在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：(1) 过极点，倾斜角是的直线；(2) 过点，并且和极轴垂直的直线；六．课后作业：课本P15页2、3七．板书设计例1，例2 例3略。
直线的极坐标方程教案
直线的极坐标方程教案教案标题：直线的极坐标方程教案教案目标：1. 了解直线的极坐标方程的概念和特点；2. 学习如何根据给定的直线方程确定其在极坐标系中的表达；3. 掌握直线的极坐标方程与直线在直角坐标系中的方程之间的转换方法；4. 运用所学知识解决与直线的极坐标方程相关的问题。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿；2. 白板、黑板或投影仪；3. 教学素材：直线的极坐标方程示例题目和练习题目；4. 学生练习册或作业本。
教学过程：步骤一：导入与概念解释（10分钟）1. 使用PowerPoint演示文稿或黑板上展示直线的极坐标方程的定义和概念；2. 解释直线的极坐标方程与直线在直角坐标系中的方程之间的关系；3. 引导学生思考直线在极坐标系中的表达方式与直角坐标系中的表达方式的异同。
步骤二：示例分析与讨论（15分钟）1. 呈现一些直线的极坐标方程示例题目，例如：r = 2cosθ；2. 解析示例题目，讨论如何根据给定的直线方程确定其在极坐标系中的表达；3. 引导学生思考直线的极坐标方程中的参数对直线的位置、倾斜程度等有何影响。
步骤三：知识点讲解与总结（15分钟）1. 讲解直线的极坐标方程与直线在直角坐标系中的方程之间的转换方法；2. 强调直线的极坐标方程中的参数对直线的特征的影响；3. 总结直线的极坐标方程的特点和应用。
步骤四：练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题目或要求学生打开学生练习册或作业本上的相关练习题目；2. 学生独立或小组合作完成练习题目；3. 随堂检查学生的解答，并给予必要的指导和反馈。
步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 提供一些拓展题目，要求学生应用所学知识解决与直线的极坐标方程相关的问题；2. 鼓励学生思考如何应用直线的极坐标方程解决实际问题；3. 引导学生分享解题思路和答案。
步骤六：课堂总结与反思（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调直线的极坐标方程的重要性和应用；2. 鼓励学生提出问题或反思自己在学习过程中遇到的困难；3. 鼓励学生对本节课的教学进行评价和反馈。
【高二】高二数学直线的极坐标方程学案
【高二】高二数学直线的极坐标方程学案第06时1.3.2直线极坐标方程学习目标掌握直线的极坐标方程学习过程一、学前准备1、在平面直角坐标系中（1）通过点（3,0）并垂直于x轴的直线方程为：；通过点（3,3）并垂直于x轴的直线方程为（2）过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为2.上述两个问题中描述的直线上的点的共同特征是什么？二、新导学◆ 探索新知识（预览教科书P13~p15，找出疑问）问题1：如图，直线经过极点，从极轴到直线的角是，求直线的极坐标方程。
◆ 应用实例例1．求经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程。
（教材p14例2）解决方案：例2．把下列的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。
（1）◆反馈练习1.如果已知点的极坐标为，则通过该点并垂直于极轴的直线的极坐标方程。
三、总结提升◆ 本节摘要1．本节学习了哪些内容？答：根据极坐标方程掌握直线的坐标学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）a、 B.很好C.一般D.差后作业1.解释以下极性方程代表的曲线，并绘制图表。
（1）（2）（3）及2、在极坐标系中，求适合下列条的直线的极坐标方程。
（1）过杆时，倾角为直线；（2）过点，并和极轴垂直的直线。
3.将下列直角坐标方程转换为极坐标方程：（1）（2）4、把下列极坐标方程化成直角坐标方程：（1）（2）5.给定直线的极坐标方程是，求点到直线的距离。
6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是.7.在极坐标系中，被圆切割的直线的弦长为。
006直线的极坐标方程
数学科学案 序号 006 高二 年级 10，14 班 教师方雄飞 学生简单曲线的极坐标系方程（2）教学内容：直线的极坐标方程教学目的：了解极坐标方程，会求直线的极坐标方程，会对极坐标方程与直角坐标方程进行互化. 重点难点：直线的极坐标方程的求法与互化。
教学过程复习引入1.回顾极坐标和直角坐标的互化公式。
2、回顾——圆的极坐标方程：（1）圆心在C （a ，0）（a>0），半径为a 的圆的极坐标方程为__________________（2）圆心在C （a ，2π）（a>0），半径为a 的圆的极坐标方程为__________________（3）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为________________3. 回顾在直角坐标系中的直线方程。
1）直线的一般方程为2）过点（3，0），且与x 轴垂直的直线方程为4、回顾求曲线极坐标方程的一般步骤新知教学例1：求过极点，倾斜角为4π的射线的极坐标方程变式1：求过极点，倾斜角为54π的射线的极坐标方程变式2：求过极点，倾斜角为4π的直线的方程思考：与直角坐标系中直线方程相比较，极坐标系中的直线方程表示起来很不方便，要用两条射线组合而成，原因在哪？应该如何弥补这个不足？（阅读教材P14）例2. 求过点A （a ，0）（a>0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程.变式：设点P 的极坐标为P （a ，0），直线l 过点P 且与极轴所成的角为α,求直线l 的极坐标方程.结论：（1）直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为4π，则直线l 的极坐标方程为______________ （2）过点A （a ，0）（a>0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为_______________________（3）过点A （a ，0）（a>0）且与极轴所成角为α的直线l 的极坐标方程为________________课堂小结：求直线极坐标方程的一般步骤： 1、据题意画出草图2、设点M (,)ρθ是直线上任意的一点3、连接MO4、根据几何条件建立关于,ρθ的方程，并化简5、检验并确定所得方程极为所求课堂练习1. 说明下列极坐标方程表示什么曲线：（1）5ρ=； （2）5()6R θπθ=∈； （3）2sin ρθ=2. 求直线的极坐标方程：（1）过极点，关于极轴的倾斜角是3π的直线； （2）过点A （2，0）且垂直于极轴的直线；3）过点（2，3π），并且和极轴垂直的直线课后作业：1、求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：1）过点A （3，6π）且垂直于极轴的直线；（2）垂直于极轴且极点到它的距离是5的直线；（3）过极点，倾斜角是12π的直线2.已知直线的极坐标方程为sin()42πρθ+=，求点A （2，74π）到这条直线的距离.3.把下列直角坐标方程和极坐标方程互化（1）x=4 （2）2x-3y-1=0（3）sin 2ρθ= （4）(2cos 5sin )40ρθθ+-=（5）221x y -= （6）2cos 4sin ρθθ=-。
选修4-4 1.3.2直线的极坐标方程
§1.3.2直线的极坐标方程课时安排：1课时；编写人：李崇博；审核人：田清明；电子打版：吴珊；编写时间：2017.2.19教学目标：1.几种常见直线的极坐标方程2.直线的平面直角坐标方程与极坐标方程的互化教学重点：直线的平面直角坐标方程与极坐标方程的互化教学难点：求直线的极坐标方程教学过程:二、例题讲解例1.（1）求过点()π,2且垂直于极轴所在直线的直线方程。
（2）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2π且与极轴平行的直线方程。
变式1 （1）过点()()0,>a a π且垂直于极轴所在直线的直线方程。
（2）过点()02,>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a π且与极轴平行的直线方程。
例2.（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3πA 且倾斜角为π43的直线极坐标方程。
（2）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πA 平行于极轴的直线极坐标方程。
变式2 求过点()0,1A 且倾斜角为4π的直线的极坐标方程。
例3.将直线0=+y x 化成极坐标方程。
变式3.将射线()03≥=x x y 化成极坐标方程。
例4.将下列极坐标方程化成平面直角坐标方程（1）13cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ （2）13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ变式4.将下列极坐标方程化成平面直角坐标方程（1）2sin =θρ （2）()04sin 5cos 2=-+θθρ三、当堂练习1.直线033=-y x 的极坐标方程_____________________________。
2.已知直线的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ，则极点到该直线的距离是______________________。
3.直线224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ与直线224co s =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ之间的距离为______________________。
4.曲线()03,0≥==ρπθθ和4=ρ所围成的面积是___________。
5.在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为_________。
高中数学新北师大版精品教案《直线的极坐标方程》
直线的极坐标方程 教学设计）
教学目标 1. 掌握求曲线极坐标方程的基本步骤
2. 会求直线的极坐标方程并理解直线的极坐标方程不唯一 3 通过直线的极坐标方程的推导过程体验知识的生成，渗透数形结合思想
重点
求直线的极坐标方程
难点
如何能建立 , 的关系
学生活动 及设计意图
新课引入
让学生感受身
PPT 展示我校五处主要教学场所，建立数学模型，复习回顾 边的数学，温
通过层层深入 的设置让每个 学生学到自己 的数学，提高
A(
l
学生能力
1.在极坐标系中，tan 1与 = 表示同一条直线？ 4
学生合作探 究、处理
能力检测
2.极坐标方程 sin 1 ( R)表示的曲线是（ 2
A、两条相交的直线 B、两条射线
） 检测新知的 掌握情况，及
C、一条直线
D、一条射线
引出新知
故知新，抓住
学生的探究欲
望
1 在平面直角坐标系中求曲线方程的基本步骤？
问题探究
2 在极坐标系中求曲线方程的基本步骤？ 射线 OB 的极坐标方程是什么？
3
PPT发学 生的探究欲望
射线 OD 的极坐标方程是什么？ 直线 BD 的极坐标方程是什么？
2
探究，例 2 及
变式：求过点A(2, )且平行于极轴的直线的极坐标方程 其变式例 3 学
4
生合作探究、
例 3 在极坐标系中，求经过 A2,0、倾斜角为 的直线 L 的极 板演
坐标方程
例 2 及变式教 师与例 1 从方 法和知识点引 导学生归纳
同时在共同探 究过程中点拨 引导学生如何
建 立 , 的
关系
时反馈信息
高中数学第一章坐标系第3节第2课时直线的极坐标方程教学案新人教A版选修
第2课时 直线的极坐标方程[核心必知]直线的极坐标方程1．当直线l 过极点，从极轴到l 的角是α，则l 的方程为：θ＝α(ρ∈R )． 2．当直线l 过点M (a ，0)且垂直于极轴时，l 的方程为ρcos_θ＝a ．3．若直线经过点M (ρ0，θ0)，且从极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为：ρsin_(θ－α)＝ρ0sin_(θ0－α)．[问题思考]1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？ 提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R .2．在极坐标系中，点M (ρ，θ)与点P (－ρ，θ)之间有什么关系？提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M (ρ，θ)与点P (－ρ，θ)关于极点对称．求过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程．[精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关键是通过解直角三角形得到动点M 的等式．然后转化为关于ρ，θ的等式．如图所示，设M (ρ，θ)为直线l 上的任意一点． 过点M 作MH ⊥x 轴， ∵A (2，π4)，∴|MH |＝2sin π4＝ 2.在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝ 2. ∴过点A (2，π4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2.——————————————————求直线极坐标方程的步骤：(1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？ 解：如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)，∵A (2，π4)， ∴|OH |＝2cos π4＝ 2.在Rt △OMH 中，|OH |＝|OM |cos θ，∴2＝ρcos θ，即ρcos θ＝ 2.∴过A (2，π4)且垂直于极轴的直线方程为ρcos θ＝ 2.求出下列直线的极坐标方程．(1)过定点M (ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角； (2)过定点M (ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直．[精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．(1)设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM ＝∠1， ∠OMP ＝∠2，则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)． 在△OMP 中应用正弦定理： ρsin ∠2＝ρ0sin ∠1，即ρ＝ρ0·sin （π－∠2）sin ∠1＝ρ0·sin （α－θ0）sin （α－θ）.即直线方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．(2)设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直角三角形，显然有，ρcos (θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．——————————————————对比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程的点斜式，不难验证当θ0＝0，α＝π2时，直线(1)即ρcos θ＝ρ0；当θ0＝π2，α＝0时，即ρsin θ＝ρ0.2．(上海高考)如图，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________．解析：在直线l 上任取点P (ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，即2sin （π6－θ）＝ρsin 5π6，化简得ρ＝1sin （π6－θ），故f (θ)＝1sin （π6－θ）.答案：1sin （π6－θ）已知⊙C ：ρ＝2cos θ，直线l ：ρcos θ－ρsin θ＝4，求过点C 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1.直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.圆心C (1，0)，所以过点C 与l 垂直的直线方程为x ＋y －1＝0. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0， 即ρcos (θ－π4)＝22.——————————————————解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解：由ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得x ＋y ＝1； 由ρ(sin θ－cos θ)＝1，得y －x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y －x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. ∴两条直线的交点的直角坐标为(0，1)， 化为极坐标为(1，π2)．直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考命题的重点内容．陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．[考题印证](陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．[命题立意] 本题主要考查直线和圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线与圆的位置关系．[解析] 直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1，0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝(12)2＋(l 2)2，解得l ＝ 3. 答案： 3一、选择题1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线 解析：选C 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或θ＝π， 又ρ ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．2．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 D ．ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析：选A ρ＝4sin θ的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x ＝2，圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．3．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．相交但不垂直 D ．重合解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α.所以两直线平行．4．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( ) A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称C ．点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3对称 D ．极点对称 解析：选B 由方程ρ＝4sin (θ－π3)，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x 2＋y 2＝2y －23x .配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2、且过原点的圆． 所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．二、填空题5．(北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．解析：由题意知，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标是(3，1)，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程是y ＝2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：16．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________．解析：∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 答案：1∶17．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1，点(－1，1)的极坐标为(2，3π4)．答案：(2，3π4) 8．在极坐标系中，定点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A (1，π2)化为直角坐标得A (0，1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B (22，3π4)． 答案：(22，3π4) 三、解答题9．求过(－2，3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即：2x －y ＋7＝0，设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程 2x －y ＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 这就是所求的极坐标方程．10．在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段|AB |的长．解：分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程： 圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5，0)． 直线l ：3x －4y －30＝0.因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3.所以|AB |＝225－d 2＝8.11．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22， (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1. 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．。
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第7课直线的极坐标方程一、学习要求1.掌握处理求曲线的极坐标方程的常用方法；2.会求直线的极坐标方程。
二、先学后讲1.求简单曲线的极坐标方程的方法步骤：（直接法）第一步：建立适当的直角坐标系（如果题目有坐标系，则利用已有的坐标系），并设动点的坐标为；第二步：写出动点坐标所满足的几何条件；第三步：用坐标表示几何条件，列出方程；第四步：化方程为最简形式。
三、问题探究■合作探究例1．求经过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。
【解法一】极点的直角坐标为，又直线的斜率，∴直线的直角坐标方程为：.化为极坐标方程为：当时，得，∴或（），当时，也满足方程，∴所求的直线的极坐标方程为：（）或（）。
【解法二】如图，射线上任意一点的极角都是，∴射线的极坐标方程为：（）；射线上任意一点的极角都是，x5π4K12的学习需要努力专业专心坚持K12的学习需要努力专业专心坚持∴射线的极坐标方程为：（）； ∴所求的直线的极坐标方程为：（）或（）。
■自主探究 1．过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为。
（答案：（））■合作探究 例2．求过点，并且倾斜角为的直线的极坐标方程。
【解法一】点化为直角坐标是。
∵直线的斜率，∴直线的直角坐标方程为：.∴所求的直线的极坐标方程为：.即。
【解法二】如图，设是直线上除点外的任意一。
∵在中，，,,,∴根据正弦定理，得，即，化简，得所求的直线的极坐标方程为：。
四、总结提升xx（1）过极点，并且倾斜角为的直线的极坐标方程为：；（2）过点（），且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：；（3）过点（），且平行于极轴的直线的极坐标方程为：。
五、问题过关1.求过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程。
【解法一】点化为直角坐标是。
∵直线的斜率，∴直线的直角坐标方程为：.∴所求的直线的极坐标方程为：。
【解法二】如图，设是直线上除点外的任意一。
设直线与过极点且垂直于极轴的直线交于点，则，。
在中，，即，∴所求的直线的极坐标方程为：。
直线的极坐标方程第一课时
或
5 ( R)
4
例2：求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，设点 M(, )
M
为直线L上除点A外的任
意一点，连接OM 在 RtMOA中有
﹚ o aA x
OM cos MOA OA
即 cos a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
变式：求过点A(a, )(a>0)，且垂直于极
5
4
5 ( 0)
M
4
因此直线l的方
程可以用
5
4
o
﹚
4
x
和 5 M'
4
4
表示
和前面的直角坐标系里直线方程的表
示形式比较起来，极坐标系里的直线
表示起来很不方便，要用两条射线组 合而成。原因在哪？
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极
径可以取全体实数。则上面的直线的 极坐标方程可以表示为
( R)
角坐标方程。
沙场点兵：
1、按下列条件写出直线的极坐标方程：
(1)过极点，倾斜角是 的直线；
(2)过点3（(2， 0）R)，或并且和 3 极43轴垂 (直的 R)直线。
cos 2
(3)过点（3， ），并且和极角为 的射
2
2
线垂直的直线。
sin 3
沙场点兵：
2、说明下列极坐标方程表示什么曲线。
4
4
都是直线的方程？与直角坐标比较，哪种方程方便？
2、例2中的直线有什么特点？解答中设点M时为什么要
排除点A外？方程ρcosθ=a是由什么定义得到的？最
后结果为什么还要验证点A的坐标是否满足所得方程？
直线极坐标方程
课题直线极坐标方程总第课时备课组高二年级备课组主备课人张忠才授课时间备课组成员教学目标1、掌握直线的极坐标方程2、会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化重点理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化难点直线的极坐标方程的掌握教学方法启学法教学手段多媒体教学过程教师活动学生活动一、探究新知：阅读教材P13-P14探究1、直线l经过极点，从极轴到直线l的角是4π，如何用极坐标方程表示直l思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a>，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点(,0)(0)A a a>，平行于极轴的直线l的极坐标方程呢？二、知识应用：例1、已知点P的极坐标为(2,)π，直线l过点P且与极轴所成的角为3π，求直线l的极坐标方程。
例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程（1）5()4Rπθρ=∈（2）(2cos5sin)40ρθθ+-=（3）sin()43πρθ-=例3、判断直线2sin()42πρθ+=与圆2cos4sinρθθ=-的位置关系。
三、课堂练习：1、在直角坐标系中，过点(1,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程是A sin1ρθ= B sinρθ= C cos1ρθ= D cosρθ=2、与方程(0)4πθρ=≥表示同一曲线的是（）4πOlxA ()4R πθρ=∈ B 5(0)4πθρ=≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4πθρ=≤ 3、在极坐标系中，过点(2,)2A π-且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是4、在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程是5、在极坐标系中，过点3(2,)4A π且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是课 堂 小 结 本节课你有什么收获?(本节课的知识点、其中一道例题的其他解法、那些知识点有困惑)本节课学习了以下内容：（学生阐述） 1、直线的极坐标方程2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化3、直线与圆的简单综合问题作 业 布 置 1、已知直线的极坐标方程为2sin()42πρθ+=，求点7(2,)4A π到这条直线的距离。
6. 直线的极坐标方程(教师版)
6 直线的极坐标方程学习目标：1. 能写出不同位置的直线的极坐标方程，已知直线的极坐标方程，能在极坐标系中画出直线；2. 理解在极坐标系中直线方程的不唯一性；3. 通过比较各种位置的直线的极坐标方程和直角坐标方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.学习重点：直线的极坐标方程的求法.学习难点：一般形式下直线的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1315P P -的内容，并思考下面的问题： 将下列极坐标方程3cos =θρ , 5=ρ, sin 2ρθ=, πθ43=（0ρ≥）化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线.答：分别是3x =表示直线；表示圆2225x y +=；2y =表示直线；(0)y x x =-<表示射线.二、新课导学： （一）新知：1. 已知直线l 在极坐标系中的不同位置，||OA a =，P 是直线l 上的动点，试求出直线l 的极坐标方程.图3图1设直线l 上的动点P 的坐标为(,)ρθ，（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，射线OP 上的点P 的极角始终是0θ，所以射线OP 的极坐标方程是：0θθ=（0ρ≥），而射线OP '上的点P '的极角始终是0πθ+，所以射线OP '的极坐标方程是0θπθ=+（0ρ≥）.所以直线l 的方程为0θθ=和0θπθ=+.如果R ρ∈，则0θθ=和0θπθ=+都是直线l 的方程. 可见极坐标系中，直线的方程不是唯一的. （2）图2中，在直角三角形OPA 中，cos aθρ=，即cos a ρθ=，即为所求直线的极坐标方程.（3）图3中，在直角三角形PAO 中，POA πθ∠=-，cos aPOA ρ∠=，即cos()a ρπθ-=，所以cos a ρθ=-，即为所求直线的极坐标方程.按照上面的思路，写出下面两种情况下直线的极坐标方程：图5图4（4）图4中，在直角三角形PAO 中，OPA θ∠=，sin aOPA ρ∠=，所以sin a ρθ=，即为所求直线的极坐标方程. （5）图5中，在直角三角形PAO 中，32POA πθ∠=-，cos a POA ρ∠=，即3cos()2a πρθ-=，所以sin a ρθ=-，即为所求直线的极坐标方程.（二）典型例题：【例1】若直线l 经过00(,)P ρθ且极轴与此直线所成的角为α，求直线l 的极坐标方程. 【解析】如图，设直线l 与极轴的交点为A ，点(,)M ρθ是直线l 上的动点，则0MPO παθ∠=-+，PMO αθ∠=-，在三角形POM 中，由正弦定理，得||||sin sin PO MO PMO MPO=∠∠，即00sin()sin()ρραθπαθ=--+， 即00sin()sin()ραθραθ-=-. 动动手：直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线l 的极坐标方程. 【解析】在直角坐标系下，直线的方程为30x y -+=， 化为极坐标方程得：cos sin 30ρθρθ-+=， 即sin cos 30ρθρθ--=，或写成sin()4πρθ-=.【例2】求曲线01cos =+θρ关于直线4πθ=对称的曲线方程.【解析】由互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将直线化为直角坐标系下的方程：10x +=，y x =，易得10x +=关于y x =对称的直线方程为10y +=，再将方程化为极坐标方程，得sin 10ρθ+=， 所以曲线01cos =+θρ关于直线4πθ=对称的曲线方程是sin 10ρθ+=.动动手：曲线2sin =θρ和cos 2(0,02)ρθρθπ=>≤<的交点坐标)4π.【解析】将两极坐标方程化为直角坐标方程，得2y =，2x =，所以交点的直角坐标为(2,2)，化为极坐标为)4π.【例3】已知圆2=ρ，直线4cos =θρ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中心转动时，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【解析】如图，设(,)M ρθ，因为||2OA =，||OM ρ=，所以||2AM ρ=-，||2||24AB AM ρ==-，所以||24222OB ρρ=-+=-，在直角BCO ∆中，||cos ||OC OB θ=4ρ=， 即(1)cos 2ρθ-=为所求的线段AB 的中点M 的轨迹方程. 三、总结提升：1．知道极坐标系下，直线的方程不是唯一的.2．求直线的极坐标方程，其实就是在极坐标系中，运用解三角形的方法，找出极径和极角的关系式.3. 求解极坐标系下的直线的有关问题时，可以先将极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系下解决问题. 四、反馈练习：1. 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 （ C ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y x +==2x 或 D ．1y = 2.在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为 （ B ）A .2sin =θρB .2cos =θρC .4cos =θρD .4cos -=θρ3. 极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=（R ρ∈）表示的曲线为 （ A ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 4. 极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ D ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 5. 曲线42cos 2=θρ的直角坐标方程是 ( C )A. 422=-x yB. 2=+y x 和2=-y xC. 422=-y xD. 422=+y x6. 已知B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的两点，O 为原点，若OB OA ⊥，求证：22||1||1OB OA +为定值． 【解析】把cos ,sin x y ρθρθ==代入椭圆22221x y a b+=，得到椭圆的极坐标方程为1)sin cos (22222=+b a θθρ，即222221cos sin a b θθρ=+. 设),(1θρA ，则)2,(2πθρ+B 或)2,(2πθρ-B ，于是22||1||1OB OA +=222111ρρ+22222222)2(sin )2(cos sin cos b a b a πθπθθθ+++++= 2211a b=+（定值）．。
北京市延庆县第三中学人教版数学教案 选修4-4 1.3直线的极坐标方程
教学目标：知识与技能：掌握直线的极坐标方程过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化教学难点：直线的极坐标方程的掌握环节一、探究新知：阅读教材P13-P14探究1、直线l经过极点，从极轴到直线l的角是4π，如何用极坐标方程表示直线l 思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a>，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点(,0)(0)A a a>，平行于极轴的直线l的极坐标方程呢？例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程（1）5()4Rπθρ=∈（2）(2cos5sin)40ρθθ+-=（3）sin()43πρθ-=例3、判断直线2sin()42πρθ+=与圆2cos4sinρθθ=-的位置关系。
环节三、巩固与提升：P15第1，2，3，4题4πOlx环节四、知识归纳：1、直线的极坐标方程2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化3、直线与圆的简单综合问题环节五、作业布置：1、在直角坐标系中，过点(1,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A sin 1ρθ= B sin ρθ= C cos 1ρθ= D cos ρθ=2、与方程(0)4πθρ=≥表示同一曲线的是 （ ） A ()4R πθρ=∈ B 5(0)4πθρ=≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4πθρ=≤ 3、在极坐标系中，过点(2,)2A π-且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是 4、在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程是5、在极坐标系中，过点3(2,)4A π且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是 6、已知直线的极坐标方程为2sin()42πρθ+=，求点7(2,)4A π到这条直线的距离。
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课题：2、直线的极坐标方程
教学目标：
知识与技能：掌握直线的极坐标方程
过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化
教学难点：直线的极坐标方程的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、探究新知：
阅读教材P13-P14
探究1、直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是
4π
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点(,0)(0)A a a >，平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢？
二、知识应用：
例1、已知点P 的极坐标为(2,)π，直线l 过点P 且与极轴所成的角为
3π，求直线l 的极坐
标方程。
例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
（1） 5()4R πθρ=
∈ （2）(2cos 5sin )40ρθθ+-= （3） sin()43πρθ-=
例3、判断直线sin()4πρθ+
=与圆2cos 4sin ρθθ=-的位置关系。
三、巩固与提升：
P15第1，2，3，4题
四、知识归纳：
1、直线的极坐标方程
2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
3、直线与圆的简单综合问题
五、作业布置：
1、在直角坐标系中，过点(1,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ）
A sin 1ρθ=
B sin ρθ=
C cos 1ρθ=
D cos ρθ=
2、与方程(0)4πθρ=
≥表示同一曲线的是 （ ） A ()4R πθρ=∈ B 5(0)4πθρ=
≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4πθρ=≤ 3、在极坐标系中，过点(2,)2A π
-且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是
4、在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程是
5、在极坐标系中，过点3(2,)4
A π且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是
6、已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，求点7(2,)4
A π到这条直线的距离。
7、在极坐标系中，由三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=围成图形的面积。
六、反思：。