2018考研数学二真题解答

K
=
|x′′ (t) y′ (t) − x′ (t) y′′ (t)|
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
为 A.
8. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y ) 表示分块矩阵, 则
(
)
A. r(A AB) = r(A)
B. r(A BA) = r(A)
C. r(A B) = max{r(A), r(B)}
D. r(A B) = r(AT BT)
【解析】对于 A, 有 r(A AB) = r (A(E B)), 且 (E B) 为行满秩的矩阵, 则 r(A AB) = r(A), 即选 A.
1,
−1 < x < 0 连续, 可得 a = −3, b = 2. x⩾0
D. a = −3, b = 2
Biblioteka Baidu
∫1
4. 设函数 f (x) 在 [0, 1] 上二阶可导, 且 f (x)dx = 0, 则
()
0
A. 当 f ′(x) < 0 时, f 1 < 0
( 2)
C. 当 f ′(x) > 0 时, f 1 < 0
0
= =
lim
x→0
lim
x→0
x
+
x2
1 2
x2
+
o (x2) x2
= lim
x→0
+ ax2 +
bx
=
lim
x→0
x2 (1 +
b) x
+
(1
2
= lim
+
) a
x→0
x2 +
x2
o (x2)
x2
因此
b
=
−1,
a
=
1 −
.
2
2. 下列函数不可导的是 A. f (x) = |x| sin |x|
√ B. f (x) = |x| sin |x|
= 1 e2x 2 e2x
√ ex −
arctan
√ ex
−
1
−
1
∫
2
e2x 1 + ex −
dx
=
1 e2x
√ arctan ex
−
1
−
1
1
2
4
ex
√
dx
1∫2
ex − ex
√
1
d
(ex)
ex − 1
其中
∫
ex √
ex −
1
d
(ex)
=
∫
∫ t √ dt = t−1
∫
t √−
1
+
1 dt
=
t−1
√
C. f (x) = cos |x|
(
)
√ D. f (x) = cos |x|
【解析】A,
B,
C 可导,
D
根据导数的定义可得
f+′
(0)
=
−
1 2
,
f−′ (0)
=
1 .
2
−1, 3. 设函数 f (x) = 1,

x<0
2 − ax,
x ⩾ 0 , g (x) = xx,− b,
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
2
2
【解析】由条件得
1 C. a = , b = 1
2
(
)
1 D. a = − , b = 1
2
(
)
(
)
ln ex + ax2 + bx
ln 1 + ex − 1 + ax2 + bx
ex − 1 + ax2 + bx
因此 exf (x) = 2aex + C. 由 f (0) = 0 知 C = −2a, 因此 f (x) = 2a − 2ae−x.
(b)
∫ 根据条件可得
1
f (x) dx
=
∫ 2a
1
( 1
−
e−x
)
dx
=
2ae−1
=
1, a =
e.
0
0
2
17. (本题满分 10 分)

x = t − sin t
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
C. K > M > N
D. N > M > K
【解析】利用对称性可以计算 M
=
∫π 2
−
π 2
(1 + x)2 1 + x2 dx =
∫π 2
−
π 2
( 1+
) 2x 1 + x2 dx = π,
另外比较被积函数与 1 的大小关系易见
K > π = M > N.
6.
∫0
−1
dx
∫ 2−x2
−x
(1
∫
(x + 2y) dy =
=
lim
x→+∞
x2 1 + x2
=
1.
第2页 共7页
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
1 1
01 相似的为
001








(
)
A. 10
1 1
−11
B. 10
0 1
−11
C. 10
1 1
−01
D. 10
0 1
−01
00 1
00 1
00 1
00 1
【解析】易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵 λE − A 的秩相等, 即 E − A 秩相等. 显然
∫x0
0
− uf (u) du = ax2 两边求导得
0
0
0
0
0
∫x
∫x
f (x) + xf (x) + f (u) du − xf (x) = f (x) + f (u) du = 2ax
0
0
可知 f (0) = 0. 注意到等式两边是可导的, 继续求导得 f ′ (x) + f (x) = 2a, 等式两边乘以 ex 可得 (exf (x))′ = 2aex,
x ⩽ −1 −1 < x < 0 , 若 f (x) + g(x) 在 R 上连续, 则 x⩾0
(
)
A. a = 3, b = 1
B. a = 3, b = 2
C. a = −3, b = 1
1 − ax,
x ⩽ −1
【解析】即
f
(x)
+
g
(x)
=
xx
− −
1, b+
评卷人 二、
得分 填空题（每题 4 分, 共 24 分）
9. lim x2 [arctan (x + 1) − arctan (x)] =
.
x→+∞
【解析】由拉格朗日中值定理知
arctan (x + 1) − arctan (x)
=
1 1 + ξ2 , x
<
ξ
<
x + 1, 故
lim
x→+∞
x2 1 + ξ2
−
xy)
dy
+
∫1
0
dx
∫ 2−x2
x
(1
−
xy)
dy
=
5
5
7
A.
B.
C.
3
6
3
【解析】交换积分次序利用对称性进行计算
(
)
7 D.
6
∫∫ I=
∫∫ (1 − xy) dxdy =
dxdy
=
∫ 2
1∫ dx
2−x2
dy
=
∫ 2
1
( 2
−
x2
−
) x
dx
=
7
D
D
0
x
0
3


7. 下列矩阵中, 与矩阵 10
特征值为



【解析】由题意得 A (α1, α2, α3) = (α1, α2, α3) 21
0 1
−01. 由于 α1, α2, α3 线性无关, 记 P = (α1, α2, α3), B = 21
0 1
12 1
12
则 P 是可逆矩阵, 因此矩阵 A 与矩阵 B 相似, 它们有相同的特征值, 易求得 B 的实特征值为 2, 即 A 的实特征值为 2.
10. 曲线 y = x2 + 2 ln x 在其拐点处的切线方程是
.
【解析】y′
= 2x +
2 , y′′ x
=2−
2 x2
,
由此得函数的拐点坐标
(1,
1).
曲线在拐点处的斜率为 y′
x=1
=
4,
故切线方程为 y
=
4x − 3.
∫ +∞
1
11.
5
x2 − 4x + 3 dx =
.
【解析】
I
∫ +∞ =
∫
t − 1dt +
dt √
t−1
=
2
(t
−
3
1) 2
+
√ 2t
−
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
C1.
第3页 共7页
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题 整理人：中博考研向禹老师xy123@mail.ustc.edu.cn
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
=
1 时, z = 1 , 于是 ∂z
2
∂x
|(2,
1 2
)
=
1 .
4
14. 设 A 为三阶矩阵, α1, α2, α3 为线性无关的向量组. 若 Aα1 = 2α1 + α2 + α3, Aα2 = α2 + 2α3, Aα3 = −α2 + α3, 则 A 的实
−01, 1
评卷人 三、
得分 解答题（共 94 分）
15. (本题满分 10 分)
∫ 求不定积分
e2x
arctan
√ ex
−
1dx.
【解析】利用分部积分法
∫
e2x
√ arctan ex
−
1dx
= =
∫ 1
arctan
√ ex
−
1d
(e2x)
2
1 e2x
arctan
√ ex
−
1
−
1
∫
2
4
∫∫
设平面区域 D 由曲线
y
=
1
−
cos t
(0
⩽
t ⩽ 2π) 与 x 轴围成, 计算二重积分
D
(x + 2y) dxdy.
0 ⩽ y ⩽ φ (x)
【解析】积分区域看成为 X
型区域：
0 ⩽ x ⩽ 2π
, 化成累次积分得
∫∫
∫ (x + 2y) dxdy =
2π ∫ dx
φ(x)
() 对函数 f (x) 在 [0, 1] 上进行积分, 可知当 f ′′(x) > 0 时, f 1 < 0.
2
5.
设M
∫π
2
=
−
π 2
(1 + x)2 1 + x2 dx,
N
∫π
2
=
−
π 2
1+x ex dx,
K
∫π
2
=
−
π 2
(√ ) 1 + cos x dx,
则
(
)
A. M > N > K
B. M > K > N
2
【解析】考虑 f (x) 在 x = 1 处的泰勒展开式: 2
() B. 当 f ′′(x) < 0 时, f 1 < 0
(2 ) D. 当 f ′′(x) > 0 时, f 1 < 0
2
(
)
f
(x)
=
f
() 1
+
f′
( )( 1 x
−
) 1
+
f ′′
(ξ)
( x
−
1 )2
2
2
2
2
2
第1页 共7页

B 错误, 反例如 A = 1 0 , B = 1 0.C 错误, r(A B) ⩾ max{r(A), r(B)}, 反例如 A = 1 0 , B = 0
00
11
00
0
错误, 反例如 A = 1 0 , B = 0 0.
00
10

0.D 1
5
1 dx
(x − 1) (x − 3)
=
∫ 1
+∞ (
1
−
25
x−1
−
) 1
dx x−3
1 =−
2
[ln (x − 1) − ln (x − 3)]
+∞ 5
=
1 2
ln 2.

x = cos3 t
12.
曲线
y = sin3 t
在 t = π 对应点处的曲率为 4
.
【解析】由曲率计算公式得
16. (本题满分 10 分)
∫x
∫x
已知连续函数 f (x) 满足 f (t) dt + tf (x − t) dt = ax2.
0
0
(a) 求 f (x);
(b) 若 f (x) 在区间 [0, 1] 上的平均值为 1, 求 a 的值.
【解析】
∫x
∫x
∫x
∫x
∫x
∫x
(a) 首先 tf (x − t) dt = (x − u) f (u) du = x f (u) du − uf (u) du, 因此在方程 f (t) dt + x f (u) du