信号与系统第六章(2) Z变换的性质
§6.2 z变换性质 信号与线性系统分析(4版)电子教案
如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为
f(k) ←→ F(z) ，<z< 且0<1
则序列的终值
含单位圆
f( ) lif( m k ) liz m 1 F ( z ) li ( z m 1 ) F ( z )
k
z 1z
z 1
▲
■
第 14 页
f(k)zkf(M )zMf(M1)z(M 1)f(M2)z(M 2).. kM
两边乘zM得
zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+…
f(M)lim zmF(z) z
▲
■
第 13 页
终值定理(The Final-Value Theorem)：
终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序 列的终值，而不必求得原序列。
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
z z1z z z1z1 (z1)2
▲
■
第7页
五、序列乘k (z域微分/Differentiation in the z-Domain)
若 f(k) ←→F(z) , <z<
则
kf(k) z dF(z) dz
§6.2 z变换的性质
• 线性性质 • 移位特性 • z域尺度变换 • 卷积定理 • z域微分
• z域积分 • k域反转 • 部分和 • 初值定理 • 终值定理
本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适 用于单边也适用于双边z变换。
■
第1页
一、线性性质(Linearity)
信号分析第六章Z变换的基本性质
[( 2) m (k m)]
X
四．时域卷积定理
已知 则 x(k ) X ( z ) h( k ) H ( z )
第
17 页
z z
1 1 2 2
x ( k ) * h( k ) X ( z ) H ( z )
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
1) a k (k 1) 2)a k (k 1)
X
八.时域求和性质
若 则 x(k ) X ( z )
k
第
26 页
z
max( ,1) z
z f (k ) x(i) X ( z) z 1 i
k
说明 : 用卷积和定理可得 z f (k ) x(i) x(k ) (k ) X ( z) z 1 i
例题 : 求以下信号的 变换(用求和性质或卷积和性 z 质） 1) f (k ) 2) f (k ) (1) i
i 0 k
i
X
第
(1)左移位性质
若 x(k ) (k ) X ( z)
则
9 页
z
z
m 1 m k x(k m) (k ) z X ( z ) x(k ) z k 0
其中m为正整数
xk 1 (k ) zX z zx0
xk 2 (k ) z X z z x0 zx1
2 2
X
第
证明左移位性质
根据单边z变换的定义，可得 Z xk m k xk m z k
k 0
10 页
z m xk m z k m
信号与系统 62 Z变换的性质.
第
11 页
如果M＝0，即f(k)为因果序列，则
f (0 ) limF ( z ) f (1) lim[ z F ( z ) z f ( 0 )]
z z z
f (2 ) lim[ z 2 F ( z ) z 2 f ( 0 ) z f (1)]
板书例题
七、k域反转
f ( k ) F ( z ), z 1 1 1 z 则 f ( k ) F ( z ) ,
若
第
10 页
板书例题
八、部分和
若
f ( k ) F ( z ), z
k
z F ( z ) , max( ,1) z 则：g( k ) f ( i ) z 1 i
z 1
12 页
板书例题续
本节小结
• z变换的性质
• 线形、移位、z域尺度、卷积、序列乘k、序列除以k+m、k域反转、部分和、初值终值定理
第
13 页
作业： 6.5(1,4,5,9) 6.6(3,4) 6.7(1)
6.8(2,3)
6.13
第
三、序列乘ak( Z域尺度变化)
若：f ( k ) F ( z ), z
且有常数a≠0 ，则：
6 页
z a f ( k ) F ( ), a z a a
k
a
k
f ( k ) F (az ),
( 1) k
a a f ( k ) F ( z ), z
则：
ZT [ f ( k m )] z m F ( z ) f ( k m ) z k
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
信号与系统Z变换
n
n0
由等比数列求和的性质可知，上式的级数在 |z-1|≥1时是发散的，只有在|z-1|＜1时才收敛。这时无 穷级数可以用封闭形式表示为
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
对于任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有z 值的集合，称为Z变换X(z)的收敛域。
n1
n2
x(n)zn x(n)zn
n1
n n1
信号与系统（信息工程）
上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处
外都收敛，所以总收敛域为0＜|z|＜∞。有时将这个
开域(0,∞)称为“有限z平面”。
(2)n1＜0,n2＜0时，有
n2
X (z)
n2
x(n)zn x(n)zn
n n1
根据位移性质，得
ZT
3n1u(n 1) z
z
z2
3 z
z3 z3
ZT
3n2 u(n 2) z 2
z
1
z 3
z 3 z(z 3)
根据线性性质，得
X (z) Z[x(n)] z2 9 z3 27 3 z 3(z 3) z(z 3) 3z(z 3)
信号与系统（信息工程）
1
z 1
ZT cos0nun
zz cos0
z2 2z cos0 1
(8) x(n)=nu(n)的Z变换
X (z)
nz n
n0
1z
11 z2
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
信号与系统
§6.2
一.定义：
Z反变换
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
第六章
离散信号与系统的Z域分析
6.1 Z变换及其性质
6.2 逆Z变换
6.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系 6.4 离散系统的Z域分析 6.5 离散系统的频率特性
§6.1 Z变换及其性质
一.Z变换： 1.序列的Z变换定义:
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
n
所求原序列为
2 1 1 n f (n) (n) 3 3 2 3
n
(n≥0)
3.留数法 令F(z)=X(z)zn-1， F(z)在围线c内的极点用zk表示，假设有
M个极点。根据留数定理下式成立:
1 x(n) X ( z ) z n 1dz 2j c 1 c F ( z )dz 2j Re s[ F ( z ), zk ]
由逆Z变换可知原序列是x(n)=0.9nu(n)，它的终值，即当 n→∞时的序列值确是0。
由该例可以推论, 如果因果序列的Z变换在单位圆上无极点
，则该序列的终值为0。
8.序列的卷积和(时域卷积定理)
如果y (n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)
而且X ( z ) Z [ x(n)] , Rx z Rx ， H ( z ) Z [h(n)] , Rn z Rn ， 则有：Y ( z ) Z [ y (n)] X ( z ) H ( z ) max[ Rx , Rh ] z min[ Rx , Rh ]
一些常见的Z变换
一些常见的Z变换在信号处理和控制系统领域，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它可以将离散时间域的序列转换到复平面上的Z域，从而使我们能够分析信号的频率响应、稳定性和系统的性能。
本文将介绍一些常见的Z变换及其在实际应用中的作用。
一、Z变换的定义Z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（DTFT）的离散时间版本。
它将离散时间序列$x[n]$转化为复变量$X(z)$，其中$z$是复平面上的变量。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$x[n]$为离散时间序列，$z$为复变量。
通过对序列$x[n]$进行Z变换，我们可以得到频域上的表示$X(z)$。
二、常见的Z变换性质Z变换具有许多有用的性质，使得它在信号处理和系统分析中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的Z变换性质。
1. 线性性质Z变换具有线性性质，即对于常数$a$和$b$，以及序列$x[n]$和$y[n]$，有以下关系：$$\mathcal{Z}(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY(z)$$这一性质使得我们可以方便地对信号进行分解和求解。
2. 移位性质对于频域上的序列$X(z)$和时间域上的序列$x[n]$，移位性质可以表达为：$$\mathcal{Z}(x[n-m]) = z^{-m}X(z)$$其中，$m$为正整数。
移位性质允许我们对时域序列进行时间偏移操作，从而分析不同时刻的信号。
3. 初值定理与终值定理初值定理和终值定理是两个重要的Z变换性质。
初值定理表示了序列$x[n]$在$n=0$时的初值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$x[0] = \lim_{z\to1}X(z)$$终值定理则表示了序列$x[n]$在$n\to\infty$时的极限值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to1}(z-1)X(z)$$初值定理和终值定理使得我们可以通过对$X(z)$在$z=1$处的值进行分析，推断出序列$x[n]$的初值和终值信息。
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析
第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。
Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。
当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。
因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。
而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。
那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。
只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。
X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。
在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。
6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。
在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
信号与系统 6.2 Z变换的性质
12 页
板书例题续
第
本节小结
• z变换的性质 变换的性质
• 线形、移位、z域尺度、卷积、序列乘k、序列除以k+m、k域反转、部分和、初值终值定理
13 页
作业： 作业： 6.5(1,4,5,9) 6.6(3,4) 6.7(1) 6.8(2,3) 6.13
且有整数m>0，则： ， f 若： (k) ↔ F(z),α < z < β 且有整数
f (k ± m) ↔ z±mF(z), α < z < β 单边Z变换的移位 变换的移位： 单边 变换的移位：
f 若： (k) ↔ F(z), z > a
且有整数m>0， ， 且有整数
m−1
ZT[ f (k − m)] = z−mF(z) + ∑ f (k − m)z−k
3
0 3
-7
0
3
k
k
对于双边Z变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息； 对于双边 变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息； 变换 对于单边Z变换 移位后的序列较原序列长度有所增减。 变换， 对于单边 变换，移位后的序列较原序列长度有所增减。
第 5 页
双边Z变换的移位： 双边 变换的移位： 变换的移位
若 f (k) ↔ F(z),α < z < β 设有整数k+m>0，则 设有整数 ， ∞ F( ) η f (k) m dη , α < z < β ↔z ∫ m+1 z η k+m 若m=0且k>0，则 且 ， ∞ F( ) f (k) η dη , α < z < β ↔∫ z k η
板书例题
k＝0时上式左端为 ，因而也可写作： ＝ 时上式左端为 时上式左端为0，因而也可写作：
6.1.4z变换 - z变换二性质(精品文档)
信信号号处处理理与与系系统统
（双边）
u(n 1) u(n 1)zn zn
n
n1
1
z
1
z 1
（单边） u(n 1) u(n) (n 1)
1
z 1 z1
1 1 z1
z 1
（双边）
信信号号处处理理与与系系统统
四、 z变换的性质
单、双边 z 变换的许多性质都相同，但也有一些显著不 同，我们将一起讨论其性质的同异。
0、共轭对称性 （单、双边）
若x(n) X (z) 收敛域R，则 x*(n) X *(z*) 收敛域R 当 x(n) 是实信号时，x*(n) x(n) 于是有
X (z) X *(z*)
表明如果 X (z)有复数零极点，必共轭成对出现。
信信号号处处理理与与系系统统
1、 x(n) X (z) 收敛域 r1 | z | r2
则 x(n n0 ) X (z)zn0 收敛域 r1 | z | r2
n0
n0
nanu(n) az1 (1 az1)2
| z || a |
信信号号处处理理与与系系统统
3、时域翻转 （双边）
(收敛域边界倒置)
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 x(n) X (z1) 收敛域1/R
例2： 求 x(n) anu(n) 的z变换。
解:
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 nx(n) z dX (z) 收敛域R dz
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数X(z)的反变换， 或具有高阶极点的X(z)的反变换。
例1： 求 x(n) nanu(n) 的z变换
信号与系统z变换
信号与系统z变换信号与系统是电子工程领域中的重要基础学科，主要研究信号的传输、变换和处理方法。
在实际应用中，我们常常需要对信号进行分析和处理，以提取有用的信息或改善信号的质量。
信号可以是各种形式的信息载体，比如声音、图像、视频等。
通过采集和传输设备，我们可以将这些信号转换为电信号，然后利用信号与系统理论进行处理和分析。
信号与系统的核心概念是时域和频域。
时域描述了信号随时间的变化情况，频域则描述了信号在频率上的特性。
这两个视角可以相互转换，帮助我们更好地理解信号的本质和行为。
在信号与系统中，Z变换是非常重要的工具。
它可以将离散时间信号转换为复变量的函数，从而使得我们可以在频域中对信号进行分析和处理。
Z变换广泛应用于数字信号处理、控制系统等领域。
Z变换的定义如下：给定一个离散时间信号x(n)，其Z变换X(z)定义为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)], -∞ < n < ∞其中，z为复变量，n为离散时间。
Z变换可以看作是傅里叶变换在离散时间下的推广，它将时域信号转变为频域的表达形式。
Z变换的性质有很多，其中一些常见的性质包括线性性、时移性、频移性、时域尺度反转和频域微分等。
这些性质可以帮助我们简化信号处理的过程，提高计算效率。
在实际应用中，我们可以利用Z变换对信号进行滤波、频谱分析和系统建模。
使用Z变换，我们可以将复杂的离散时间系统转化为简单的代数表达式，从而更加方便地进行分析和设计。
总的来说，信号与系统中的Z变换是一种重要的工具，它为我们分析和处理离散时间信号提供了便利。
通过深入理解Z变换的概念和性质，我们可以更好地掌握信号与系统的基本原理，进而应用于实际工程中，为各类系统设计和信号处理问题提供解决方案。
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
信号与系统-第6章
z3 2z2 1
zz 1z 0.5
,
z 1, 求 f(n).
解:
Fz
z
z3 2z2 1
z2z 1z 0.5
A1 z2
A2 z
A3 z 1
z
A4 0.5
其中
A2
ddzz2
Fz
z
z0
3z2 4z z1z0.5 z3 2z2 1z0.5z1
z12z0.52
z0 6
所以
Fz
6
2 z
8z z 1
σ>0
r>1,θ任意
② s 平面上的实轴映射为 z 平面的正实轴.
jω
Im[z]
1
σ
Re[z]
ω=0, s=σ θ=0, r任意
8
6.2 z 变换的基本性质
1. 线性 a1 f1n a2 f2 n a1F1z a2F2 z
例6-5：求 cos0nUn和 sin0nUn的 z 变换.
解: 欧拉公式 由指数变换:
① z 变换函数在收敛域内是解析函数, 且无任何极点.
② 有限长序列 z 变换的ROC为整个平面, 可能不包括 0 或∞.
③ 因果序列 z 变换的ROC为极点半径圆外.
④ 非因果序列 z 变换的ROC为极点半1 径2圆内.
⑤ 双边序列 z 变换的ROC为极点半径圆环内.
6
3. 常用信号的 z 变换
24
例6-15：已知 yn2yn1 f n
(1) 求H(z) 和 h(n), 并说明因果性与稳定性;
(2) 求因果系统 f(n)=U(n+1)时的零状态响应.
n
n0
由等比级数, 当 az1 1, 即 z a 时才收敛.
Z变换的基本性质
举例
• 举例：若x(n)的z变换为X(z)=∑ x(n)z^(-n)，则x(n-1)的z变 换仍为X(z)=∑ x(n-1)z^(-n)。
应用场景
在数字信号处理中，移位性质可以用于信号的延迟和提前操 作，实现信号的时域平移。
应用场景
• 应用场景：线性性质在信号处理、控制系统等领 域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，线 性性质可以用于叠加多个信号的频谱；在控制系 统中，线性性质可以用于分析系统的动态行为。
02
CATALOGUE
移位性质
定义
移位性质是指当一个序列在时间上左 移或右移时，其z变换的结果将保持 不变。
应用场景
• 乘积性质在信号处理、控制系统等领 域有广泛应用。例如，在数字信号处 理中，乘积性质可用于分析信号的频 谱特性和滤波器设计；在控制系统分 析中，乘积性质可用于描述系统的动 态响应和稳定性。
04
CATALOGUE
微分性质
定义
• 微分性质：如果一个序列x(n)的z变换为(z)，那么x'(n)的z变换为zX(z)，其中 x'(n)表示x(n)的差分。
应用场景
• 积分性质在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用，例如在分析线性时不 变系统的传递函数时，可以利用积分性质简化计算。
THANKS
感谢观看
在控制系统分析中，利用移位性质可以方便地分析系统的频 率响应和稳定性。
03
CATALOGUE
乘积性质
定义
• 乘积性质描述的是两个函数相乘 后的z变换与各自z变换的乘积之 间的关系。如果$f(n)$和$g(n)$ 分别是$f(z)$和$g(z)$的z变换， 那么$f(n)g(n)$的z变换是 $f(z)g(z)$。
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例
6.2-6
已知
f
(k)
1
k
3k1 (k
1),
2
求f(k)的双边Z变换及其收敛域。
解 令f1(k)=3k+1ε(k+1)，则有
由于
f
(k)
1
k
2
f1 (k )
z
z2
F1(z) Z[ f1(k)] z z 3 z 3
3<|z|<∞
根据时域乘ak性质，得
F(z)
Z[
f（k）]
Z
1
k
2
f1(k )
F1 (2 z )
(2z)2 4z2
3 | z | 2
2z 3 2z 3
四、 卷积定理
若
f1(k) F1(z), 1 z 1
f2(k) F2(z),
2
z
2
则
f1(k)* f2(k) F1(z)F2(z)
3 z
例6.2-3 求图示长度为2M+1的矩形序列
1 M k M p2M1(k) 0 k M , k M
的z变换。
P2M+1(k)
-M
1
0
M k
二、移位（移序）特性 (单边z变换的移位)
若 f (k) F(z), z a 且有整数m>0，则
z
z
z 1
z2 z 1
1<|z|<∞
(k 2) z2 z 1
z 1 z(z 1)
|z|>1
由序列乘ak性质得
F2 (z)
Z[(1)k （k
- 2）]
1 z(z
1)
1 z(z 1)
|z|>1
根据卷积性质，得
F(z) Z[ f1(k) f2 (k)] F1(z) • F2 (z)
复习
一、 离散系统的Z变换
F(z)
f (k)zk和
F(z) f (k)zk
k
k0
二、收敛域
f (k)zk
k
复习
***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面 （可能除z=0或∞外）收敛。
***因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z 的圆外区域。z 的圆称为收敛圆。
***反因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z的 圆内区域。 z 的 圆也称为收敛圆。
***双边序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为环状区 域 z 。
三、几种典型信号的Z变换
一、线性
6.2 z变换的性质
若
f1(k) F1(z), 1 z 1
f2 (k) F2 (z), 2 z 2
f
(k
1)
单
z1F (z)
f
(1)
单
f (k 2)
z2F (z)
f (1)z1
f (2)
单
m 1
f (k m) zm F (z) f (k m)zk
k0
单
f (k 1)
zF(z)
f (0)
单
m 1
f (k m) zm F (z) f (k )zmk
3k (k) z
z3
z 3
根据位移性质，得
3k1 (k 1) z
z
z2
z3 z3
3 z
3k2 (k 2) z2 z 1
z 3 z(z 3)
根据线性性质，得
z 3
F (z) Z[ f (k)] z2 9 z3 27 3(z 3) z(z 3) 3z(z 3)
其收敛域至少是 F1(与z) F收2(z敛) 域的相交部分。
例6.2-7 已知 f1(k) (k 1), f2 (k) (1)k (k 2), f (k) f1(k) f2 (k).
求f(k)的双边Z变换和f(k)。
解 由位移性质得
F1 ( z )
Z[
f1 (k )]
例6.2-5求周期为N的有始周期性 Nhomakorabea位（样值）序
列 N (k) (k) (k mN )
的z变换
m0
三、序列乘a（k z域尺度变换）
若 f (k) F(z), z
且有常数 a ，0 则
ak f (k) F( z ), a z a
a
z 1
|z|>1
3k (k 1) z
|z|<3
z3
由线性性质得
F(z) z z 2z2 4z z 1 z 3 (z 1)(z 3)
1<|z|<3
二、移位（移序）特性
1、双边z变换的移位
若 f (k) F(z), z
且有整数m>0， 则
z
|z|>1
(z 1)(z 1)
例6.2-8 求
f1(k) (k 1) (k),f2 (k) (k 1)ak (k)
的Z变换。
五、序列乘k（z域微分）
若
f (k) F(z), z
则
kf (k) z d F (z)
dz
k 2 f (k) z d [z d F (z)] dz dz
f (k m) zmF (z), z
例 6.2-2 已知 f (k) 3k[ε(k 1) ε(k 2)] ，求f(k)的 双边Z变换及其收敛域。
解 f(k)可以表示为
f (k) 3k (k 1) 3k (k 2) 31 3k1 (k 1) 32 3k2 (k 2)
且有任意常数 a1 , a则2 ,
a1 f1(k) a2 f2(k) a1F1(z) a2F2(z)
其收敛域至少是 F1(与z) F收2(敛z)域的相交部分。
例 6.2-1 已知 f (k) ε(k) 3k ε(k 1)，求f(k)的
双边Z变换F(z)及其收敛域。
(k) z
k0 其收敛域为|z|>a
例6.2-4 已知 f (k) ak (a的为单实数边）z变换为
F(z) z , z a za
求 f1(k) ak2和f2的(k单) 边a的k2z变换。 F1(z) z2F (z) f (1)z1 f (2)
F2(z) z2 F(z) f (0) f (1)z1