解三角形中常见结论和题型

解三角形知识点总结及题型分类讲解

一、

知识点复习

1、正弦定理及其变形

2(sin sin sin a b c

R R A B C

===为三角形外接圆半径）

12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c

A B C R R R

===（）(角化边公式）

3::sin :sin :sin a b c A B C

=（）(4)

R

C

A c

a C B c

b B A b a 2sin sin sin sin sin sin =++=++=++2、余弦定理及其推论

2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

=+-=+-=+-222

222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab

+-=

+-=

+-=

3、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21

ABC S ；（2）B ca A bc C ab S ABC

sin 21

sin 21sin 21===∆（两边夹一角）(3)()r c b a R abc S ABC

++==∆2

14（R :外接圆半径；r 内切圆半径）.4、三角形中常用结论

（1）b c a a c b c b a >+>+>+,,(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)；（2）在ABC ∆中，b a B A B A >⇔>⇔>sin sin （大边对大角，小边对小角）.（3）在ABC ∆中，π=++C B A ，所以

C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.2

sin 2cos ,2cos 2sin

C

B A

C B A =+=+.（4）在ABC ∆中，02

2

2

>-+a c b ，则角A 为锐角；

0222=-+a c b ，则角A 为直角；0222<-+a c b ，则角A 为钝角

5、二倍角公式：

（1）αααcos sin 22sin =，

（2）α

αααα2

2

2

2

sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=6、降幂公式：22cos 1cos 2

αα+=

，2

2cos 1sin 2

αα-=7、辅助角公式：()

ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 228、两角和与差的公式：（1）()β

αβαβαsin cos cos sin sin ±=±（2）()βαβαβαsin sin cos cos cos =±（3）()β

αβαβαtan tan 1tan tan tan ⋅±=

± 总结：

题型一：求解三角形的基本元素（三边、三角、周长、面积）

1.三角形的边长问题

例1：满足4=a ，︒=45A ,︒=60B 的ABC ∆边b =

例2：在ABC ∆中，已知8=a ，︒=60B ，︒=75C ，则b =

例3：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，

a A

b B A a 2cos sin sin 2=+，则

=a

b

例4：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2=c ，3

π

=C (1）若3=

S ,求a ,b

(2）A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求=

∆ABC S 2.三角形角的问题：

例5：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，

2=a ,3=b ,︒=60B ,则角A =

例6：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，c b 58=，B C 2=,则C cos =

例7：7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C =

例8：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若

bc b a 222=-，B C sin 3sin =,则=

A 例9：在锐角三角形ABC ∆中，21=

c ，4=b ，且BC 边上的高32=h ，

求A

cos

3.三角形中的面积、周长问题综合题型

例10：在ABC ∆中，3tanB ＝，3

1cosC ＝，63AC ＝求=

∆ABC S 例11：ABC ∆的一个内角为0

201，并且三边构成公差为4的等差数列，则

ABC ∆的面积为

例12：设在ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且b=3，c=1，△ABC 的面积为2，求A cos 与a 的值；

例13：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，3

π

=

B

，4

cos ,5

A b ==。

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.

例14：ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，向量 与 cos sin 平行．（I）求A

；（II）若a =

，2b =求C ∆AB 的面积

例15：在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足

55

22cos

=

A ，

3=⋅AC AB (1)求ABC ∆的面积；(2)若1=c ，求a 的值．

例16：在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=

b ．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．

例17：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

2cos (cos cos ).

C a B+b A c =（I）求C

；

（II）若c ABC △=

的面积为

2

，求ABC △的周长．例18：如图，D 是ABC ∆边BC 上一点，23AB AC =，3BD =，

sin 2sin

CAD BAD ∠=∠.

（Ⅰ）求DC 的长；

（Ⅱ）若2AD =，求ABC ∆的面积.

例19：在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且

sin cos 6a B b A π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭.

（1）求角A 的大小；（

2）若a =

3b c +=，求ABC △的面积.