三角形面积的向量方法
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b e
三角形面积的向量方法
向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应
用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景．
公式 中，若向量，，则．
ABC ∆CB a = CA b =
ABC S ∆=
证明 1sin ,
2ABC
S a b a b ∆=<>
==
１．利用公式求三角形的面积．
例1．已知，点，，，求的面积．
ABC ∆(1,1)A (4,2)B (3,5)C ABC ∆解：∵，，∴，，，
(3,1)AB = (2,4)AC =
210AB = 220AC = 10AB AC ⋅= ∴．ABC
S ∆=5==例2．已知中，向量，，求的
ABC ∆00(cos 23,cos 67)BA = 00
(2cos 68,2cos 22)BC = ABC ∆面积．
解：由已知，得，，∴，，
00(cos 23,sin 23)BA = 00
(2sin 22,2cos 22)BC = 1BA = 2BC = ∴．
0000
2(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ⋅=+ 02sin 45==∴ABC
S ∆==２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．
例3．平面直角坐标系内有点，，，为坐标原点，(sin ,cos )P x x (cos ,sin )Q x x [,]2412
x ππ
∈-O 求面积的最值．
OPQ ∆解：．OPQ
S ∆===1
cos 22
x =
∵， ∴当时，；当时，面积的最[,
2412
x
ππ
∈-
12
x
π
=OPQ
∆0
x=OPQ
∆
大值为．
1
2
３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．
例4.已知中,，，且，求面积的最大值．OAB
∆OA a
=
OB b
=
3,2
a b a b
+=-=
OAB
∆
解：∵，∴，，解得，3,2
a b a b
+=-=
22
29
a a
b b
+⋅+=
2
2
24
a a
b b
-⋅+=
5
4
a b⋅=
，∴
，2213
2
a b
+=
OAB
S
∆
=
=≤
3
2
=
当且仅当时，取“=”号．
a b
==
例5.已知向量，，与之间有关系式
(cos,sin)
OA aαα
==
(cos,sin)
OB bββ
==
a
b
，（，且，为坐标原点，求面积的最大值，并
ka b kb
+=
k>2
k≠±O AOB
∆
求此时与的夹角．
a
b
θ
解：将两边平方，得
ka b kb
+=
2222
22
23(2)
k a ka b b a ka b k b
+⋅+=-⋅+
∵，∴，又∵，∴，1
a b
==
22
213(12)
k ka b ka b k
+⋅+=-⋅+
k>
111
(
42
a b k
k
⋅=+≥
当且仅当时取“=”号．∴， 1
k=
AOB
S
∆
==≤=
∴，此时，∴，∵，∴AOB
∆
1
2
a b⋅=
1
cos
2
a b
a b
θ
⋅
==
00
0180
θ
<<
．
60
θ=