项目八--8.2.4σ2、σ3、σ4的计算.
北师大版数学四年级下册专项试题--计算题
数学四年级下册专项试题计算题1．竖式计算。
11.7+2.86= 18－7.28= 1.08×0.65= 0.36×96= 3.75+10.2＝18.7－7.8＝ 2.2×1.01＝37.5﹣4.58＝ 6.9×0.54＝8.946+7.35＝2．脱式计算，能简算的要简算。
98.6－2.7×5.28＋6.3 40.3×[7.8-（1.2+1.4）] 6.52×101（25＋7）×0.4 32×2.5×1.25 3.9×99＋3.93．竖式计算。
51.3+5.7＝8.92+60.9＝58.4－29.33＝73.6+0.48＝ 2.9×0.56= 2.6×1.5＝54.6×0.38＝30.5×1.8＝42.09－3.5＝ 2.7×0.11= 4．脱式计算。
能简算的要简算。
8.5×8.2+8.2×1.5 9.21－1.75－0.25 1.25×（80+0.8）84.4＋12.9＋15.6＋7.1 12.5×19×0.08 4.6×101 5.3×99 5．列竖式计算：4.8×17= 1.88×25= 12.4＋8.93＝ 6.23×4.2= 6.8＋3.57＝10－3.62= 0.54×1.8＝ 4.6×3.5= 80－79.8＝ 5.4×0.15＝6．用简便方法计算．3.51－0.68－1.32 101×4.8 12.5×(2.5×16) 0.34×99＋0.34 7.2×2.8＋2.8×2.8 0.65×101－0.657．用竖式计算。
26.8－25.4＝10－5.48＝0.75×0.6＝33.14－19.76＝14.7×0.07＝15.9＋21.8＝9.64×2.2＝ 6.2＋14.92＝ 4.85×0.73＝12.2＋3.76＝8．脱式计算，能简算的要简算。
数学人教版七年级下册同步训练：8.2---8.4练习题含答案
8.2 消元——解二元一次方程组一、单选题1.用代入法解方程组{26345x y x y -=+=-较简单的方法是( ) A.消y B.消x C.消x 和消y 一样 D.无法确定2.若关于,x y 的二元一次方程组5,9,x y k x y k +=⎧⎨-=⎩①②的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（ ）A.34-B.34C.43D.43-3.已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则a b +的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．54.方程组3276211x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( )A.15x y =-⎧⎨=⎩B.12x y =⎧⎨=⎩C.31x y =⎧⎨=-⎩D.212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩5.用“代入消元法”解方程组2327y x x y =-⎧⎨-=⎩①②时，把①代入②正确的是( )A.3247x x -+=B.3247x x --=C.3227x x -+=D.3227x x --=6.若关于x 的方程243x m -=和2x m +=有相同的解，则m 的值是( ) A ．10 B ．10- C ．8 D ．8-7.以1,{1x y ==-为解的二元一次方程组是( )A. 0{1x y x y +=-= B. 0{1x y x y +=-=-C. 0{2x y x y +=-=D. 0{2x y x y +=-=-8.解方程组{332,266,x y x y +=-=①②用加减法消去y ,需要( )A.2⨯-①②B.32⨯+⨯①②C.23⨯⨯①-②D.2⨯+①②9.,a b 满足方程组{28,27,a b a b +=+=则b a -的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.2 二、填空题10.若{6,20,x y x y -=+=则32x y += .11.若关于,x y 的二元一次方程组{4,2x y k x y k-=+=的解也是二元一次方程36x y -=的解，则k = .12.方程34x y -=中，有一组解x 与y 互为相反数，则3x y +=_______. 13.方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是 ．三、解答题14.用加减消元法解下列方程组: (1){2340,5;x y x y +=-=-①②(2){433,3215.x y x y +=-=①②15.对于任意实数,a b ，定义关于“⊗”的一种运算如下:2a b a b ⊗=+.例如:3423410.⊗=⨯+= (1)求25()⊗-的值;(2)若()2,x y ⊗-=且21,y x ⊗=-求x y +的值.参考答案1.答案：A由方程26x y -=，得26y x =-，故消y 更简单。
材料力学σ1σ2σ3公式
材料力学σ1σ2σ3公式
在材料力学中，σ1、σ2、σ3通常表示三个主应力。
主应力是指一个物体在某个给定方向上所受的最大应力值，通常用σ表示。
σ1、σ2、σ3的公式表示如下：
σ1 = 最大主应力σ2 = 次大主应力σ3 = 最小主应力
具体计算σ1、σ2、σ3的公式取决于所考虑的力学问题。
以下是一些常见的情况下的主应力计算公式：
1.平面应力状态下（例如在平面上受力），如果已知应力分
量σx、σy和τxy（剪应力），则主应力可以通过以下公式计算：
σ1 = (σx + σy) / 2 + sqrt(((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2) σ2 = (σx + σy) / 2 - sqrt(((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2) σ3 = 0 （平面应力下，第三个主应力为0）
2.平面应变状态下（例如在轴向上受力），如果已知应变分
量εx、εy和γxy（剪应变），则主应力可以通过以下公式计算：
σ1 = E/(1-ν^2) * (εx + νεy) + γxy/(1+ν) σ2 = E/(1-ν^2) * (εy + νεx) +γxy/(1+ν) σ3 = 0 （平面应变下，第三个主应力为0）
其中，E表示弹性模量，ν表示泊松比。
需要注意的是，在不同应力状态和特定的力学问题中，计算主应力的具体公式可能会有所不同。
因此，在具体的材料力学问
题中，应结合具体的情况和公式进行计算。
轴承的强度校核计算公式
轴承的强度校核计算公式
一、轴承用语：
1、轴承内圈：指轴承支撑轴线的内圈件；
2、轴承外圈：指用于支持轴承内圈的外圈件；
3、受力轴：指轴承承受外力的轴；
4、滚道：指轴承滚子在轴承内圈和外圈之间所形成的滚动轨道；
5、滚子：指轴承滚动元件；
6、衬套：指轴承内圈和外圈之间的填料：
二、轴承强度校核计算：
（1）轴承内圈和外圈在受力轴上受外力的最大拉伸应力σ1（N/mm2）：
σ1=（F1+F2）/（πD1）
其中，F1、F2为内圈和外圈所受力，D1为轴承内圈的直径；
（2）滚动轴承受力的滚子上的最大压应力σ2（N/mm2）：
σ2=（F1-F2）/（πR2）
其中，R2为轴承滚子的半径；
（3）轴承滚道的最大摩擦应力σ3（N/mm2）：
σ3=（F1-F2）/（π（D1+D2）/2）
其中，D2为轴承外圈的直径；
（4）衬套上的最大应力σ4（N/mm2）：
σ4=（F1+F2）/（π（D2-D1）/2）
（5）轴承受力的最大轴向应力σ5（N/mm2）：
σ5=（F1+F2）/ （πD2）
三、轴承强度校核：
1、轴承内圈和外圈的强度校核：应强度校核的内外圈应力σ1应≤轴承材料的抗拉强度σb；
2、滚子的强度校核：应强度校核的滚子应力σ2应≤轴承滚子材料的抗压强度σs；
3、滚道的强度校核：应强度校核的滚道应力σ3应≤轴承材料的抗摩擦强度σf；
4、衬套的强度校核：应强度校核的衬套应力σ4应≤衬套材料的抗压强度σc；
5、轴向应力的校核：应强度校核的轴向应力σ5应≤轴承材料的抗拉强度σb；
注：实际计算时，应考虑安全系数和轴承的容许变形等因素。
围挡结构抗台风稳定性计算书
目录计算依据：................................................................................................................................................ - 1 -1、工程概况.............................................................................................................................................. - 1 -2、2.5m围挡设计计算书......................................................................................................................... - 1 -2.1荷载计算..................................................................................................................................... - 2 -2.2建立模型..................................................................................................................................... - 3 -2.3稳定性计算................................................................................................................................. - 3 -2.3.1立柱抗弯压强度计算..................................................................................................... - 4 -2.3.2立柱抗剪强度计算......................................................................................................... - 4 -2.3.3嵌固端抵抗弯矩计算..................................................................................................... - 4 -3、6m围挡设计计算书............................................................................................................................. - 4 -3.1荷载计算..................................................................................................................................... - 5 -3.2建立模型..................................................................................................................................... - 6 -3.3稳定性计算................................................................................................................................. - 7 -3.3.1A114×3钢管受力验算 .................................................................................................. - 7 -3.3.2角钢强度计算................................................................................................................. - 8 -3.3.3基础抗倾覆计算............................................................................................................. - 8 -3.3.3焊缝验算....................................................................................................................... - 10 -3.3.4基础验算....................................................................................................................... - 10 -4、8m围挡设计计算书........................................................................................................................... - 13 -4.1荷载计算................................................................................................................................... - 13 -4.2建立模型................................................................................................................................... - 14 -4.3稳定性计算............................................................................................................................... - 16 -4.3.1A114×3钢管强度验算 ................................................................................................ - 16 -4.3.2A48×3钢管验算 .......................................................................................................... - 17 -4.3.3L40×3角钢验算........................................................................................................... - 17 -4.3.4焊缝验算....................................................................................................................... - 18 -4.3.5基础抗倾翻验算........................................................................................................... - 20 -4.3.6基础验算....................................................................................................................... - 21 -5、12m围挡设计计算书......................................................................................................................... - 23 -5.1荷载计算................................................................................................................................... - 24 -5.2建立模型................................................................................................................................... - 25 -5.3稳定性计算............................................................................................................................... - 26 -5.3.1A114×3钢管验算 ........................................................................................................ - 26 -5.3.2A80×3钢管验算 .......................................................................................................... - 27 -5.3.3L63×5角钢验算........................................................................................................... - 27 -5.3.4焊缝计算....................................................................................................................... - 28 -5.3.5基础抗倾翻计算........................................................................................................... - 30 -5.3.6基础计算....................................................................................................................... - 31 -围挡稳定性计算书计算依据：（1）建筑结构设计统一标准 GB20068-2011（2）建筑结构荷载规范 GB50009-2012（3）建筑抗震设计规范 GB50011-2010（4）钢结构设计规范 GB50017-2017（5）冷弯薄壁型钢结构设计规范 GB50018-2002（6）钢结构工程施工质量验收规范 GB50205-2001（7）建筑钢结构焊接与验收规程 JGJ81-2002（8）混凝土结构设计规范 GB50010-2010（9）建筑地基基础设计规范 GB50007-2011（10）户外广告设施钢结构技术规程CECS148：20031、工程概况本工程为浙江省台州市玉环市，地处中国东南，距离东海海岸线直线最近距离为25km，查荷载规范知玉环市10年和50年遇基本风压分别为0.7kN/㎡、1.2kN/㎡，故本工程取1.0kN/㎡。
新教材高中数学第八章 8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教案新人教B版第三册
8.2.3 倍角公式 8.2.4 三角恒等变换的应用(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一 二倍角公式S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α. 知识点二 半角公式sin α2＝□01± 1－cos α2； cos α2＝□02± 1＋cos α2； tan α2＝□03± 1－cos α1＋cos α＝□04sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点三 积化和差公式cos αcos β＝12[□01cos(α＋β)＋□02cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[□03cos(α＋β)－□04cos(α－β)]． sin αcos β＝12[□05sin(α＋β)＋□06sin(α－β)]， cos αsin β＝12[□07sin(α＋β)－□08sin(α－β)]． 知识点四 和差化积公式cos x ＋cos y ＝□012cos x ＋y2cosx －y2，cos x －cos y ＝□02－2sin x ＋y2sinx －y2，sin x ＋sin y ＝□032sin x ＋y2cos x －y2， sin x －sin y ＝□042cos x ＋y 2sinx －y2.【新知拓展】1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．前提：所含各三角函数有意义．2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αα2sin α2 cos α2tan α2第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限第二、四象限＋、－－、＋－(4)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos2α＝2cos α都不成立．( )(4)若角α是第一象限角，则sin α2＝1－cos α2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(1)sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34(2)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33(3)已知cos α＝13，则cos2α等于________．(4)tan22.5°＝________.答案 (1)B (2)A (3)－79(4)2－1题型一 利用倍角公式化简求值 例1 (1)计算：①cos4α2－sin4α2＝________；②12－cos 2π8＝________； (2)化简：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________；(3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.[解析] (1)①cos 4α2－sin4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2·⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.②原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(2)原式＝2cos 10°－60°2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. (3)原式＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αcos2α＝1.[答案] (1)①cos α ②－24(2) 2 (3)1 金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提． (2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化． (3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12；(2)2tan15°1－tan 215°. 解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2tan15°1－tan 215°＝tan30°＝33. 题型二 半角公式的应用例2 已知sin φcos φ＝60169，且π4<φ<π2，求sin φ，cos φ的值．[解] ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169，又∵π4<φ<π2，∴π2<2φ<π，sin φ>0，cos φ>0，∴cos2φ<0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169，∴sin φ＝1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213，cos φ＝ 1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次．一般运用公式cos 2α2＝1＋cos α2，sin2α2＝1－cos α2化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数． (3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．[跟踪训练2] 已知cos α＝－35，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2.解 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限的角．∴sin α2>0，cos α2<0，tan α2<0， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－352＝－55， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351－35＝－2. 题型三 证明三角恒等式 例3 证明下列等式：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos2A cos2B .[证明] 左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos2A cos2B －sin2A sin2B ＋cos2A cos2B ＋sin2A sin2B )＝cos2A cos2B ＝右边，所以原等式成立． 金版点睛证明的原则及一般步骤(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[跟踪训练3] 证明：sin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1sin2x ＝tan x2.证明 左边＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋1－2sin 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1＋2sin 2x 2＋1sin2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 24sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2·si n x 2cos x2·cos x＝cos x ·si nx2cos x2·cos x＝tan x2＝右边，所以原等式成立.题型四 运用公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.函数f (x )取得最大值时自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (2)由(1)，得f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由题意，得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 金版点睛利用公式研究三角函数性质的思路要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而依据y ＝sin x 或y ＝cos x 的性质对所求函数进行性质研究．[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 所以当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.1．已知cos α＝－35，则cos2α等于( )A.725B．－725C.2425D．－2425答案 B解析cos2α＝2cos2α－1＝－725.2．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为______．答案4 3解析由角α的终边经过点P(1，－2)，则tanα＝－2，由倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.3．函数y＝sin2x的最小正周期为__________．答案π解析因为y＝sin2x＝1－cos2x2＝－12cos2x＋12，所以T＝2π2＝π.4．化简1＋sin98°＝__________.答案2cos4°解析1＋sin98°＝sin49°＋cos49°2＝|sin49°＋cos49°|＝sin49°＋cos49°＝2sin(49°＋45°)＝2sin94°＝2cos4°.5．已知cosα8＝－45，8π<α<12π，求sinα4，cosα4，tanα4.解∵8π<α<12π，∴π<α8<3π2，∴sinα8＝－1－cos2α8＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫－452＝－35，∴sinα4＝2sinα8cosα8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－35×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝2425，cosα4＝2cos2α8－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－452－1＝725，∴tanα4＝sinα4cosα4＝247.。
《化工机械基础》第8章 塔设备的机械设计
8.2 裙座设计
四个部分： 1.座体---承受并传
递塔体载荷。 2.基础环---将载荷
传递到基础上。 3.螺栓座---固定塔
S
e
2
式中M
ii max
maxM M
ii W
ii E
Me
25%M
ii W
M e
稳定条件：
组合轴向压应 力要满足：
ii m a x压
[ ]cr
KB
minK[ ]t
式中K——载荷组合系数，取K=1.2; B——见书p168。
（3）塔体拉应力验算
依前述，假设一有效壁厚Se3。 计算σ1,σ2,σ3，并进行组合，满足如下强度条件：
缝截面。 位于塔体上的危险截面——
2-2截面。
2. 塔体应力组合（2-2截面） 组合轴向应力的构成： • σ1——介质压力引起的轴向应力； • σ2——塔体自重引起的轴向应力； • σ3——塔体所受弯矩引起的轴向应力。 例如，内压操作的塔设备在2-2截面处的应力组合：
位于背风面，组合轴向应力为： σ=σ1-σ2-σ3
将质量 离散：
简化力学模 型———
多质点体系 的悬臂梁
发生地 震时的 受力
（1）.水平地震力
任一段集中质量mk所引起的基 本振型水平地震力为：
Fk=CZα1ηk mkg
N
式中CZ——结构综合影响系数， 圆筒形直立设备取0.5；
α1 ——对应于设备基本自 振周期T1的地震影响系数；
ηk——基本振型参与系数；
[σ]cr——许用轴向压应力，
[ ]cr
0.9K
minKB
s
塔体壁厚确定方法：
(1)根据内(外)计算压力,确定容器设计计算壁厚， 确定一有效壁厚Se1;
标准方差的计算公式
标准方差的计算公式标准方差是统计学中常用的一种衡量数据离散程度的指标，它能够反映数据的波动程度和分散程度。
在实际应用中，我们经常需要计算标准方差来评估数据的稳定性和波动性，从而为决策提供参考依据。
本文将介绍标准方差的计算公式及其应用。
标准方差的计算公式如下：标准方差= sqrt(Σ(xi μ)² / N)。
其中，Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表数据的平均值，N代表数据的个数。
具体步骤如下：1. 计算平均值μ，首先需要计算数据的平均值μ，即将所有数据相加后除以数据的个数N。
2. 计算每个数据点与平均值的差的平方，将每个数据点与平均值的差的平方相加，得到Σ(xi μ)²。
3. 求和后除以数据的个数N，将Σ(xi μ)²除以数据的个数N，得到数据的方差。
4. 求方差的平方根，对数据的方差进行开方运算，得到标准方差。
标准方差的计算公式可以帮助我们快速准确地评估数据的离散程度，从而更好地理解数据的特征和规律。
在实际应用中，我们可以利用标准方差来比较不同数据集之间的波动程度，判断数据的稳定性和风险程度，为决策提供科学依据。
需要注意的是，标准方差的计算需要基于一定数量的数据点，且数据点之间需要具有一定的相关性和可比性。
在实际操作中，我们需要注意数据的有效性和准确性，避免因数据质量问题导致计算结果的失真。
总之，标准方差是一种重要的统计学工具，它能够帮助我们全面深入地理解数据的分布特征和波动规律。
通过标准方差的计算公式，我们可以更好地评估数据的离散程度，为决策提供科学依据，促进数据驱动的决策和管理。
希望本文能够帮助读者更好地理解标准方差的计算方法及其应用，为实际工作和研究提供参考价值。
材料力学练习3
材料⼒学练习3第七章强度理论2重点1、材料破坏的两种形式；2、常⽤的四个强度理论及强度条件；3、运⽤强度理论来分析复杂应⼒状态下构件的强度；难点1、强度理论的适⽤条件；2、运⽤强度理论来分析复杂应⼒状态下构件的强度；基本知识点1、强度理论的概念；2、了解材料常见的两种破坏⽅式；3、引起材料破坏的原因及其假说；4、简单应⼒状态下强度条件的建⽴；5、常⽤的四个强度理论及相当应⼒；6、复杂应⼒状态下强度条件的建⽴；判断强度理论1、“塑性材料⽆论处于什麽应⼒状态，都应采⽤第三或第四强度理论，⽽不能采⽤第⼀或第⼆强度理论。
”答案此说法错误答疑塑性材料在塑性流动破坏时采⽤第三或第四强度理论，塑性材料在断裂破坏时应采⽤第⼀或第⼆强度理论。
2、“常⽤的四种强度理论，只适⽤于复杂的应⼒状态，不适⽤于单向应⼒状态。
”答案此说法错误答疑强度理论既适⽤于复杂应⼒状态，也适⽤于简单应⼒状态。
3、“脆性材料不会发⽣塑性屈服破坏。
”答案此说法错误答疑脆性材料在三向⼏乎等值压缩应⼒状态下会体现出塑性流动破坏。
4、“材料的破坏形式由材料的种类⽽定”答案此说法错误答疑材料的破坏形式由危险点所处的应⼒状态和材料的种类综合决定的。
5、“材料的破坏形式与材料所受的应⼒状态⽆关“答案此说法错误答疑材料的破坏形式是由材料的种类、材料所处的应⼒状态综合决定的。
6、“不能直接通过实验来建⽴复杂应⼒状态的强度条件”答案此说法错误答疑⼯程中有可以通过实验得到⼀些复杂应⼒状态的强度条件。
如薄壁筒在内压、轴⼒共同作⽤下的强度条件；薄壁筒在内压、轴⼒、扭矩共同作⽤下的强度条件等可以通过实验得到。
7、“不同强度理论的破坏原因不同”答案此说法正确答疑不同的强度理论的破坏原因分别为：最⼤拉应⼒、最⼤线应变、最⼤剪应⼒、形状⽐能。
8、“第⼆强度理论要求材料直到破坏前都服从虎克定律”答案此说法正确答疑第⼆强度理论是最⼤线应变理论，在推导强度条件时⽤到⼴义虎克定律，固要求材料在破坏前都服从虎克定律。
8.2.4互感电路的计算 - 互感电路的计算2
U& U&
Z1I&1 - ZM I&2 - ZM I&1 + Z2 I&2
返回 上页 下页
互感电路
2)异侧并联：并联且非同名端连接在同一个节点上
U& U&
Z1I&1 - ZM I&2 - ZM I&1 + Z2 I&2
I&1
Z2 + ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U&，
I
M
+ + * I1
U1
U
+
+ (Z3 + jωL3 - jωM23 )I&3 U&S2
返回 上页 下页
互感电路
I1 Z1
L1 M12 L2
Z2 I2
回路法：
*
+
U&S1
M13
L3 *
M23
+
U&S2
-
I&a Z3 I&a - I&b I&b
-
Z1I&a + [jωL1I&a - jωM12 I&b - jωM13 (I&a - I&b )]
jωMI&1 U
-
+-
UR1
-
M
I1 +*
L1
U2
+-
R1 UR2
-
I2
L2
R2
令Z1 R1 + jωL1， Z2 R2 + jωL2，ZM jωM，则
U& U&
《统计学基础》(第7版)第8章 ——指数
产品
名称
计量
单位
加权平均价格指数通常是用报告期的销售
甲
额p1q1为权数，对个体价格指数p1/p0加权
加权平均价格指数
算3种产品的价格指数
平均计算出来的，其计算公式为
σ 1 1
=
1
σ
1 Τ0 1 1
销售额(万元)
个体价格指数
个体销售量指
数
基期
(p0q0)
=
886800
671700
886800
865680
=
= 132.02%
= 102.44%
865680
671700
= 128.88%
三者之间的数量关系为
132.02%=102.44%×128.88%
即报告期与基期相比，该粮油零售市场3种商品的
销售额提高了32.02%，其中由于零售价格的变动使
销售额提高了2.44%，由于销售量的变动使销售额提
2023/4/3
统计学基础（第7版）—贾俊平
1-9
第8章
指数
8.2 加权指数
价值指数与指数体系
【例8-5】 根据表8-1中的有关数据，利用指数体系
分析价格和销售量变动对销售额的影响
σ 1 1
解：销售额指数＝ σ
σ
价格指数＝ σ 11
0 1
0 0
=
σ 0 1
销售量指数＝ σ
0 0
格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价
格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算
的结果
通过这一指数，可以观察消费价格的变动水平及对
消费者货币支出的影响，研究实际收入和实际消费
2021年新教材高中数学第八章8.2.4第2课时积化和差和差化积公式学案新人教B版必修第三册27
类型一 积化和差公式
[例 1] 运用积化和差公式计算或化简下列各式：
π 5π
(1)sin ·cos ；
12 12 (2)2cos35°sin55°；
(3)cos(x－y)cos(x＋y)．
[分析] 本题主要考查积化和差公式，所给形式均符合公式形式，按公式化积即可．
1 π 5π
π 5π
[ ( 2 sin ＋
差化为同名函数之积；
②正弦函数的和或差化为异名函数之积；
α ＋β α －β
③等式左边为单角 α 和 β ，等式右边为 与 22
④只有余弦差一组的符号为负，其余均为正．
的形式；
2．三角恒等变换的基本原则是什么？
Earlybird
晨鸟教育
提示：(1)化异角为同角：利用三角函数公式把不同的角化为相同的角． (2)化异次为同次：利用升降幂公式把异次化为同次． (3)化异名为同名：利用诱导公式把不同名的三角函数化为同名三角函数． (4)三角函数式化简的原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低(正整数指数幂)，项数 最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应求出 其值．
1 即 sinα cosβ ＝ [sin(α ＋β )＋sin(α －β )]，①
2 1 cosα sinβ ＝ [sin(α ＋β )－sin(α －β )]，② 2 1 cosα cosβ ＝ [cos(α ＋β )＋cos(α －β )]，③ 2
1 sinα sinβ ＝－ [cos(α ＋β )－cos(α －β )]，④
2
2
4．和差化积公式的推导
θ ＋φ
θ －φ
在积化和差的公式中，如果令 α ＋β ＝θ ，α －β ＝φ ，则 α ＝ ，β ＝ .
ISO9001-8.2.3和8.2.4 条款的区别
ISO9001:20088.2.3和8.2.4 条款的区别8.2.3条款 8.2.4条款条款目的 评价质量管理体系的各个过程是否具备实现确定的目标和要求的能力,即监视和测量这些过程的能力。
验证有关的过程提供的产品是否合格,产品质量特性是否符合规定的要求。
适用范围 适用于质量管理体系的所有过程,其中,对产品实现过程和与产品相关的辅助过程,都应根据需要采用适宜的方法对过程式的能力进行监视,并在适用时进行测量. 在实施过程中重点是产品实现过程的能力。
适用于产品实现过程,包括7.4.3采购产品的验证，7.3设计开发过程，7.5.1中过程产品的控制以及7.5.4对顾客财产在交付中的验证等，即对进货产品,过程产品和最终产品的监视和测量。
控制对象 监、测的对象是过程能力,即过程实现目标和要求的本领,包括实现产品目标的能力和与产品相关的各辅助过程的能力,如合同评审的能力,持续改进的能力等。
监、测的对象是产品，即监视测量产品（服务，硬件，软件和流程性材料）特性符合要求的程度。
监测依据与内容 是各过程的目标和要求,即监视各过程实现目标和要求的能力,包括过程涉及到的人员能力,设施能力,文件配备的适宜性,原材料供应能力,生产环境能力和产品检测能力等。
产品的标准、规范和接收准则（7.1的策划内容），检测内容是产品的合规性。
监测方法 依据不同过程可采用不同的方法：1、顾客满意度调查、分析；2、通过管评的方式评价；3、通过内审进行监视和测量，评价各过程综合能力和符合性；4、通过工艺纪律检查；对相关的人、机、料、法、环等因素的实现目标的能力进行评价；对特殊过程和关键过程的能力确认；5、利用统计技术和数据分析评估过程能力；对产品的验证、检验和试验，也可以是监督和检查。
结论 评价过程是否具备实现目标和要求的能力。
当过程能力不能满足要求时，应采取适当的纠正或纠正措，使过程能力得到满足。
给出产品是否合格或不合格的结论：当产品不全格时，按8.3要求处置和控制.。
子群与陪群
定义7.4.2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 由上述等价关系～ 定义 个等价类，都称为子群H的一个右陪集 的一个右陪集。 个等价类，都称为子群 的一个右陪集。 为代表元的右陪集记为Ha。 以 a 为代表元的右陪集记为 。 • 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在 恰好由在～ 等价的元素组成。 集合 恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 等价的元素组成 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha ～ h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H } ∘
几个重要的群： 例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 } ≠ 正交群 O(n) = { A | AAT= E } 洛仑兹(Lorentz)群 群 洛仑兹
Er Τ Er L(n, r) = { A| A − E A = − E , | A|≠ 0 } n−r n−r
下面讨论子群的陪集。目的是定义集合 上的一个 下面讨论子群的陪集。目的是定义集合G上的一个 等价关系及划分，由此得到群的一些重要性质。 等价关系及划分，由此得到群的一些重要性质。 • 设( G, ∘)是一个群，H为其子群，则可定义集合 是一个群， 为其子群 则可定义集合G 为其子群， 是一个群 上的一个等价关系～如下： 上的一个等价关系～如下： a～b ⇔ a ∘b-1∈ H ～
的一个子群。 例7.4.2 设H={(1), (12)}，则 H 是S3的一个子群。 ， 由于， 由于，H = H(1) = H(12) ={(1), (12)} ， H(13) = H(123) ={(13), (123)} ， H(23) = H(132) ={(23), (132)} 。 因此，子群 因此，子群H 将S3划分成了三个互不相交的右陪 集并， 集并， S3=H(1)∪H(13)∪H(23)。 。
四个强度理论的相当应力表达式
pD ≈ = 90 MPa 4t
( 因为 t «D , 所以 A Dt )
包含直径的纵向截面上的应力
用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分 取出
单位长的圆筒研究。
m n
p
m
1
n
由截面法，假想地用 直径平面将取出的单 位长度的圆筒分成两 部分。取下半部分为 研究对象。 包含直径 直径平面
的纵向平
23
11 10
x y
22 2 x yFra bibliotek 2 2 x
29.8MPa 3.72 MPa
(单位 MPa)
1 29.28MPa， 2 3.72MPa， 3 0
1 29.28MPa 30MPa
某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中σ＝ 116.7MPa，τ＝46.3MPa。材料为钢，许用应力［σ］＝ 160MPa。试校核此结构是否安全。
1
r3 1 3
rM
c
t
3
在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.因而应选用 第一强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪 断.故应选用第三强度理论或第四强度理论.但材料的破坏形式不 仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加载速 度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下低温和三向拉伸,会 表现为脆性断裂.脆性材料在三向受压表现为塑性屈服.
§ 10 - 5 各种强度理论的适用范围及其应用
1、 在三向拉伸应力状态下，会脆断破坏，无论是
脆性或塑性材料，均宜采用最大拉应力理论。 2、对于塑性材料如低C钢，除三轴拉应力状态以外的
复杂应力状态下，都会发生屈服现象，可采用第三、 第四强度理论。
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备系数。
任务二
校核船体总纵强度
p H (kN/m2 )
（2）舱内载荷可能产生的最不利反压力将舱内反压 力视为均匀分布，则： Q w (kN/m 2 ) Bl
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
2、计算模型与弯矩
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
e B A
3、桁材剖面要素及σ2的计算
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
4、许用应力法的不足之处在于： （1）在计算应力值时，仅以最大载荷下的最弱剖面进 行计算。
（2）许用应力法是用计算应力值与之比较，满足强度
要求，就是要保证结构在任何状态下均不出现公认的危 险状态，而这样的保证是很难做到的，也不符合随机的 观点。 （3）在计算许用应力时，采用安全系数来作为强度储
M 2 W
任务二
校核船体总纵强度
项目八
1、载荷
船体总纵弯矩和总纵强度计算
二、船底纵骨弯曲应力的计算
（1）舷外水压力同船底板架。
（2）底舱内若有液重则略去，而认为是空载。 2、弯矩
支座断面弯矩：
pba 2 M支 12 (kN m)
跨长中点弯矩：
pba 2 M中 24
(kN m)
任务二
中和轴离参考轴的距离为：
剖面对中和轴的惯性矩为：
外底中面处的剖面模数为：
I C eB I W1 e
I W2 h2
t1 h2 h t2 e 2
内表面的剖面模数为：
I 外底纵骨自由边处的剖面模数： W3 h3
中桁材的弯曲应力:
t1 h3 e h1 2 (N/cm 2 )
（3）船底纵骨弯曲应力 （4）船底板格弯曲应力
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
2、许用应力 理论上，材料的极限应力除以安全系数即为许用应力值
0
n
3、强度校核 由前面计算得到的各应力及总合应力，可得出强度条件为：
1 max 1 1 2 max 1 2 1 2 3 max 1 2 3 1 2 3 4 max 1 2 3 4
3、船底板格剖面要素及σ4的计算 纵骨架式剖面模数为：
bt2 t 2 W 6 6
计算剖面中的最大应力：
6M 4 2 t
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
四、总合应力计算及许用应力、强度校核
1、总合应力计算 （1）总纵弯曲应力沿舱 长等高处是相同的。
（2）板架弯曲应力
三、船底板弯曲应力的计算
1、载荷 取船底板中心到波面最大高度的均布水压力：
p ( H max h) (kN/m2 )
2、计算模型及弯矩 板中心横剖面内的计算弯矩： 短边中点横剖面内的弯矩：
M1 k2 pb2
M 2 k4 pb2
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
B e A
3、纵骨剖面要素及σ3的计算 中和轴离参考轴的距离为： 剖面对中和轴的惯性矩为：
I C eB
I W1 e
I W2 h2
外底中面处的剖面模数为：
纵骨自由边处的剖面模数为：
任务二
校核船体总纵强度
项目八
船体总纵Байду номын сангаас矩和总纵强度计算
船舶技术设计
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
8.2.4 σ2、σ3、σ4的计算
【任务目标】
1、熟悉船底板架弯曲应力的计算。
2、熟悉船底纵骨弯曲应力的计算。 3、熟悉船底板弯曲应力的计算。
4、熟悉总合应力、许用应力、强度校核计算
项目八
船体总纵弯矩和总纵强度计算
一、船底板架弯曲应力的计算
1、载荷 （1）舷外水压力 按照船舶在中拱或中垂状态时，以水深H来确定而 得到的水压力值为：