三次函数零点存在性探讨

三次函数零点存在性探讨

利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。

本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。

一.知识准备

三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的导函数c bx ax x f ++='23)(2，记ac b 1242-=∆，设0)(='x f 的两根为21,x x ，则可以得出下面结论： （一）图像研究

0>a 0∆ 0≤∆ 0>∆ 0≤∆

)(x f '的

图象

)(x f 的

图象

结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论：

性质 若三次曲线与x 轴有三个交点，则0>∆且0)()(21<⋅x f x f ；

若三次曲线与x 轴有两个交点，则0>∆且0)()(21=⋅x f x f ；

若三次曲线与x 轴有一个交点，则0>∆且0)()(21>⋅x f x f 或0≤∆。

二．链接高考

题一（2014年高考课标1理科卷第11题）

已知函数32()31,f x ax x =-+若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）

.(2,)A +∞ .(1,)B +∞ .(,2)C -∞ .(,1)D -∞-

分析 该题的核心条件是“在唯一的零点0x ，且00x >”，作以下分析： 第一步 0=a 时显然不符合题意；

第二步 0≠a 时，求导x ax x f 63)(2-='，令0)(='x f ，解得a x x 2,021==。由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为0>∆且0)()(21>⋅x f x f ，即

0)2()0(>⋅a

f f 。结合该三次函数图象以及特殊点（0,1）分析可得0

⎪⎨⎧>⋅<0)2()0(0a f f a 可得2-

题二（2015高考题江苏卷第19题）

已知函数32()(,)f x x ax b a b R =++∈.

（1） 试讨论()f x 的单调性；

（2） 若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点

时，a 的取值范围恰好是()),2

3()23,1(3,+∞⋃⋃-∞-，求c 的值. 分析 第（1）题是常规题，着重考虑求导以后对参数a 的讨论。第（2）题许多学生会感觉参数混乱，事实上把握住三次函数有三个零点的等价条件，并将其转化成关于a 的四次不等式问题，结合多项式不等式的解集与对应方程的解的关系，整个题目就迎刃而解了。

简解（1）)3

2(323)(2a x x ax x x f +=+=' 当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；

当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭

上单调

递减；

当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝

⎭上单调递减． （2）第一步 函数()f x 有三个不同的零点等价于0)32()0(<-

⋅a f f ，即不等式0227

42742234<+-++-c ca a a c a ，由题可得该四次不等式的解集为()),2

3()23,1(3,+∞⋃⋃-∞-； 第二步 令22342274274)(c ca a a c a a g +-++-=，讨论该函数的图象。)(a g 的导函数为c a a c a a g 22942716)(23-++-='，29

8916)(2++-=''a c a a g ，其中09

12881642>+=∆c 恒成立，即0)(=''x g 有两解21,x x ； 第三步 依次分析)(),(),(a g a g a g '''的图象,由图象可得0)2

3(='f ，即可求得1.c =

总结 本题的第一问是讨论含参的三次函数的单调性，对其导函数二次函数的根的情况作为最终研究对象加以分析可得；第二问利用三次函数三个零点的等价关系，巧妙的引入一个新的函数进行讨论，突出了转化的思想，同时再次体现了三次函数作为导函数出现对该题的重大意义，导函数的工具性作用亦是发挥得淋漓尽致。

利用上述性质讨论三次函数的零点存在性问题十分便捷，但是在研究中结合三次函数的图象必不可少，因此熟练掌握三次函数的图象走势十分重要，尤其研究三次函数在定区间上的零点问题时，更应该兼顾极值点处的函数值以及定区间上的图象分布，以下题目作为练习可供大家深入研究。

题三 （2015新课标全国卷高考题第21题）

已知函数31()4

f x x ax =++，()ln

g x x =-. (1) 当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；

(2) 用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数()min((),())(0)h x f x g x x =>，讨论