2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质学案

2.2.2 双曲线的简单几何性质

1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重点)

2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)

3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点

)

[基础²初探]

教材整理 双曲线的简单几何性质

阅读教材P 49～P 51例3以上部分，完成下列问题. 1.双曲线的简单几何性质

2.等轴双曲线

(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方程的一般形式为x 2－y 2

＝λ(λ≠0).

(2)性质：①渐近线方程为：y ＝±x . ②离心率为：e ＝ 2.

判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)双曲线是中心对称图形.( )

(2)双曲线方程中a ，b 分别为实、虚轴长.( )

(3)方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b

a

x .( )

(4)离心率e 越大，双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的渐近线的斜率绝对值越大.( )

【答案】 (1)√ (2)³ (3)³ (4)√

[小组合作型]

(1)双曲线x 2

－y 2

＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22

C.1

D. 2

(2)若实数k 满足0

5＝1的( )

A.实半轴长相等

B.虚半轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等

(3)已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )

【导学号：97792024】

A.3＋1

B.2＋1

C.2 3

D.2 2

【自主解答】 (1)双曲线x 2

－y 2

＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2

＝2

2.

(2)因为0

5－k ＝1中a 2＝16，b 2

＝5－k ；在x 2

16－k －y 2

5

＝1中a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2

知两双曲线的焦距相等，故选D.

(3)不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，

∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ， ∴(2a ＋2c )2

＝2²(2c )2

，

即c 2

－2ac －a 2

＝0，两边同除以a 2

，得e 2

－2e －1＝0. ∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 【答案】 (1)B (2)D (3)B

由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

[再练一题]

1.(1)已知双曲线x 2

－y 2

b

2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.

【解析】 由双曲线x 2

－y 2b 2＝1，得a ＝1，∴b

1

＝2，b ＝2.

【答案】 2

(2)求双曲线9y 2

－4x 2

＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

【解】 将原方程转化为x 29－y 24＝1，即x 232－y 2

22＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，

因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c

a ＝

133

， 渐近线方程y ＝±2

3

x .

分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为5

4

；

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±3

2

x ；

(3)与双曲线x 2

－2y 2

＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2).

【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质.

【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为

x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 由题意知2b ＝12，

c a ＝54

且c 2＝a 2＋b 2

，

∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为

x 2

64

－y 236＝1或y 264－x 2

36

＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由

b a ＝32且a ＝3得b ＝92

. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 2

81

＝1.

当焦点在y 轴上时，由a b ＝3

2

且a ＝3得b ＝2.

∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 2

4

＝1.

(3)设与双曲线x 2

2－y 2

＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 2

2－y 2

＝k ，将点(2，－2)

代入得k ＝22

2－(－2)2

＝－2.

∴双曲线的标准方程为y 22－x 2

4

＝1.

1.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c 2

＝a 2

＋b 2

及e ＝c a

列关

于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.

2.如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝