2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质学案
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质课件1 新人教B版选修2-1
焦点坐标,离心率，渐近线方程.
题型二：根据几何性质求双曲线标准方程
例2: 已知双曲线的渐近线方程为 4x 3y 0 ,
焦距为10，求双曲线的标准方程.
小结
这节课你学到了什么？从内容、方法、思想 等角度说明.
谢 谢
光
临 指 导
请 多 批 评 指
知识迁移 图形
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 )
教
a2 b2 y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（－ a，0），A2（a，0）
离心率 渐进线
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，－a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
题型一：已知双曲线研究其几何性质
顶点 离心率
A1（- a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y
•bB2
A1 • o a • A2
x
•
B1
思考
思考2：在几何性质方面，双曲线与椭圆有哪 些不同之处？
2.3.2 双曲线的简单几何性质
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.2 双曲线的简单几何性质(教师用书)教案 新人教A
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.2.借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca>1渐近线y＝±ba x y＝±ab x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.1．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1D ．x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1B [由题意可知2a ＝10,2b ＝6，即a ＝5，b ＝3，∴双曲线的标准方程为x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1，应选B ．]3．假设点M (x 0，y 0)是双曲线x 216－y 225＝1上任意一点，那么x 0的取值X 围是________，y 0的取值X 围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) R y ＝±54x 414[由x 2016－y 2025＝1得x 2016≥1，即x 0≥4或x 0≤－4，y 0∈R .渐近线方程为y ＝±54x ，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝414.]双曲线的几何性质近线方程．[思路点拨]先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.[跟进训练]1．(1)以下双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 (2)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x(1)C (2)B [(1)A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .应选C ．(2)在双曲线中，离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]由双曲线的几何性质求标准方程(1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.[解](1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程是y 2329－x 28＝1.法二：由题意可设所求双曲线方程为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．由题意，得⎩⎨⎧1m －4n＝1，n m ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，那么b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A >0，B >0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．[跟进训练]2．求适合以下条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解](1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16.∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率问题1．假设过双曲线右焦点的直线l 与双曲线的一条渐近线平行，那么该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．2．假设探究1中的直线l 与双曲线右支有且只有一个交点，那么l 的斜率与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的a ，b 存在怎样的关系？提示：直线l 的斜率k ≤ba.[例3] (1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，那么以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么双曲线离心率的X 围是________．[思路点拨](1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有ba≥tan 60°.(1)1＋32 (2)[2，＋∞) [(1)由题意2c ＝|AB |＝|BC |，所以|AC |＝2×2c ×sin 60°＝23c ，由双曲线的定义，有2a ＝|AC |－|BC |＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝13－1＝1＋32.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a ，直线的斜率为k 1＝tan 60°＝3，故有ba ≥3，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值X 围是e ≥2.]a 与c 的关系，由于a ，b ，c 三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或X 围.[跟进训练]3．(1)如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A ，B 是以O 为圆心、以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，那么双曲线的离心率为________．(2)点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．假设△ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值X 围是________．(1)3＋1 (2)(1,2) [(1)∵|F 1F 2|＝2c ，且|OF 1|＝|OA |＝|OF 2|＝c ， ∴△AF 1F 2为直角三角形．又∵△F 2AB 为等边三角形， ∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c . 由双曲线的定义知3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角形，从而只需满足∠AEF <45°.又当x ＝－c 时，y ＝b 2a ，∴tan ∠AEF ＝|AF ||EF |＝b 2a (a ＋c )<1，∴e 2－e －2<0， 又e >1，∴1<e <2.]1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．1．判断正误(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．( ) (2)假设两条双曲线的焦点相同，那么其渐近线也一定相同．( )(3)焦点在x 轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大． ( )(4)焦点在x 轴上的双曲线与焦点在y 轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线． (5)等轴双曲线的离心率等于 2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]3．假设a >1，那么双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2) C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. 即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.]4．求满足以下条件的双曲线的标准方程：(1)两渐近线方程为y ＝±23x ，且经过点⎝⎛⎭⎫92，－1； (2)以椭圆x 213＋y 23＝1的焦点为焦点，以直线y ＝±12x 为渐近线；(3)过点P (3，－2)，离心率e ＝52. [解](1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，∴可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)，将⎝⎛⎭⎫92，－1代入方程，得λ＝2，故所求方程为x 218－y28＝1. (2)设所求的双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线的焦点为(±10，0)，∴c 2＝4λ＋λ＝10，解得λ＝2. 故所求的双曲线方程为x 28－y 22＝1.(3)假设双曲线的实轴在x 轴上，设x 2a 2－y 2b 2＝1为所求．由e ＝52，得c 2a 2＝54.①由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1.②由①②及a 2＋b 2＝c 2，得a 2＝1，b 2＝14.假设双曲线的实轴在y 轴上，设y 2a 2－x 2b 2＝1为所求．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解之，得b 2＝－172(不符，舍去)．故所求双曲线方程为x 2－4y 2＝1. 即x 2－y 214＝1.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第1课时双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修1
学习资料2。
2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质．2。
理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第34页［基础认识]知识点双曲线的几何性质错误!椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢?提示：范围、对称性、顶点、离心率．研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．知识梳理（1）双曲线的几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)错误!－错误!＝1（a〉0,b〉0）性质图形焦点F1(－c，0），F2(c，0）F1（0,－c），F2（0，c）焦距|F1F2｜＝2c范围x≤－a或x≥a y∈R y≤－a或y≥a x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心:原点顶点A1(－a，0),A2（a,0）A1（0，－a),A2（0，a)轴实轴：线段A1A2,长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长:b离心率e＝错误!∈(1,＋∞)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x2.[自我检测]1．若点M(x0，y0)是双曲线错误!－错误!＝1上支上的任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________．答案：(－∞,＋∞)［2，＋∞）2．双曲线4x2－2y2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________．答案：12错误!3．双曲线错误!－错误!＝1的离心率为________．答案：2错误!授课提示：对应学生用书第35页探究一根据双曲线方程研究几何性质[阅读教材P51例3］求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．题型:根据双曲线方程研究其几何性质．方法步骤：①将方程化成标准方程的形式．②写出a2,b2,从而求出a，b,c的值．③求出双曲线的几何性质．［例1］求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．［解析]将9y2－4x2＝－36化为标准方程错误!－错误!＝1，即错误!－错误!＝1，∴a＝3，b＝2，c＝错误!。
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版
2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案 (1)有限制，因为x 2a2≥1，即x 2≥a 2，所以x ≥a 或x ≤－a .(2)关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.梳理 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)，y ∈R .双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞). (2)双曲线的对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为原点. 知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？ (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.梳理 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(－a ，0)，(a ，0)；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(0，－a )，(0，a ).知识点三 渐近线与离心率思考1 能否和椭圆一样，用a ，b 表示双曲线的离心率？答案 能，离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2. 思考2 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？答案 有影响，因为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当b a 的值越大，渐近线y ＝bax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.梳理 (1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线.(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ca，叫做双曲线的离心率，用e 表示(e >1). (3)双曲线的几何性质见下表：类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质例1 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ， 即y ＝±mn mx . 引申探究将本例改为“求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程例2 求下列双曲线的标准方程.(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)过点(3，92)，离心率e ＝103. 解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25).∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1， 解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k . 于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1， ① 或y 29k －x 2k＝1，②把(3，92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解； 把(3，92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0).③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2).④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0). ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0).跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程. 解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0).∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∴d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2). ②解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三 共轭双曲线与等轴双曲线命题角度1 共轭双曲线例3 已知双曲线E 与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线，且过点A (23，－3).若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程. 解 由题意，设双曲线E 的方程为x 216－y 29＝t (t ≠0).∵点A (23，－3)在双曲线上，∴(23)216－(－3)29＝t ，∴t ＝－14，∴双曲线E 的标准方程为y 294－x24＝1.又双曲线M 与双曲线E 互为共轭双曲线， 故双曲线M 的标准方程为x 24－y 294＝1.反思与感悟 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线y 2b 2－x 2a2＝1(a >0，b >0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1＋1e 2＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x 轴上，另一个在y 轴上.跟踪训练3 与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)的双曲线的共轭双曲线的方程为________. 答案y 24－x 294＝1 解析 设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0).将点(－3，23)的坐标代入，得λ＝14，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1.故其共轭双曲线为y 24－x 294＝1.命题角度2 等轴双曲线例4 已知等轴双曲线的焦点在x 轴上，且焦点到渐近线的距离是2，求此双曲线的方程. 解 设双曲线方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的渐近线方程为y ＝±x ，焦点坐标为(2a ，0)，(－2a ，0)， ∴2a 2＝2，∴a ＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝2.反思与感悟 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y ＝±x ；②渐近线互相垂直；③离心率e ＝ 2. (3)等轴双曲线的特征是a ＝b ，等轴双曲线的方程可以设为x 2－y 2＝λ(λ≠0).当λ>0时，双曲线的焦点在x 轴上；当λ<0时，双曲线的焦点在y 轴上.跟踪训练4 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B.2C. 3D. 5 答案 A解析 依据等轴双曲线的性质，得e ＝ 2. 类型四 直线与双曲线的位置关系命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题 例5 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线有两个公共点，求k 的取值范围； (3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的值.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)<0，解得k >52或k <－52， 则k 的取值范围为k >52或k <－52. (2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)>0，解得－52<k <52且k ≠±1.(3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解. 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52， 故k 的值为±1或±52. 反思与感悟 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ， ①x 2a 2－y2b2＝1 ②的解的个数进行判断.①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ＝0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l 倾斜角).如图①，θ＝α时，直线l 只与双曲线一支相交，交点只有一个； 如图②，θ>α时，直线l 只与双曲线一支相交，交点有两个； 如图③，θ<α时，直线l 与双曲线两支都相交，交点有两个.跟踪训练5 (1)设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于A ，B 两个不同的点.①求双曲线的离心率e 的取值范围；②设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值.⎩x ＋y ＝1，由题易得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，a >0，得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∴e >62且e ≠ 2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知P (0，1)， ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，故x 1＝512x 2.又x 1，x 2是方程①的两个根， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a21－a 2. 又a >0，∴a ＝1713.(2)已知过点P (1，1)的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点，试探究直线l 的斜率k的取值.解 设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 若4－k 2≠0，则Δ＝(2k －2k 2)2－4(4－k 2)(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52.综上可得，直线l 的斜率k 的取值为52或±2.命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题例6 (1)求直线y ＝x ＋1被双曲线x 2－y 24＝1截得的弦长.(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x 2－y 24＝1截得的弦中点的轨迹方程.⎩y ＝x ＋1，化简得3x 2－2x －5＝0.设此方程的解为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－53.故所截得的弦长d ＝2·|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·49＋203＝823. (2)方法一 ∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y ＝kx ＋1，它被双曲线截得的弦AB 对应的中点为P (x ，y ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0.设此方程的解为x 1，x 2，则4－k 2≠0， Δ＝4k 2＋20(4－k 2)>0，∴16k 2<80，即|k |<5，k ≠±2， 且x 1＋x 2＝2k 4－k ，x 1x 2＝－54－k， ∴x ＝12(x 1＋x 2)＝k4－k2，y ＝12(y 1＋y 2)＝k 2(x 1＋x 2)＋1＝44－k2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 4－k 2，y ＝44－k2消去k ，得4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1).方法二 设弦的两个端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4， ①4x 22－y 22＝4. ②①－②，得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， ∴y 1＋y 2x 1＋x 2＝4(x 1－x 2)y 1－y 2， 即y x ＝4k ＝4x y －1(k 为直线AB 的斜率)， 整理得4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1).反思与感悟 (1)利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋k 2·(x A ＋x B )2－4x A x B ，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系. 其具体解题思路如下设直线与双曲线相交所得弦AB 端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.涉及弦长的问题，常常设而不求.中点弦问题：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝b 2a2. 跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2.(1)过定点P (2，1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，当点P (2，1)是弦P 1P 2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q (1，1)能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.解 (1)若直线斜率不存在，即P 1P 2垂直于x 轴，则由双曲线的对称性知弦P 1P 2的中点在x 轴上，不可能是点P (2，1)，所以直线l 斜率存在. 故可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，y ＝kx －2k ＋1消去y 并化简，得(2－k 2)x 2＋2k (2k －1)x －4k 2＋4k －3＝0. 设直线l 与双曲线的交点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2). 当2－k 2≠0，即k 2≠2时，有x 1＋x 2＝－2k (2k －1)2－k 2. 又点P (2，1)是弦P 1P 2的中点， ∴－2k (2k －1)2－k2＝4，解得k ＝4. 当k ＝4时，Δ＝4k 2(2k －1)2－4(2－k 2)(－4k 2＋4k －3)＝56×5>0. 当k 2＝2，即k ＝±2时，此时与渐近线的斜率相等， 即k ＝±2的直线l 与双曲线不可能有两个交点.综上可知，所求直线的方程为4x －y －7＝0.(2)假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0， ∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0. 若直线Q 1Q 2垂直于x 轴，则线段Q 1Q 2中点不可能是点Q (1，1)， ∴直线Q 1Q 2斜率存在，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，得2x 2－(2x －1)2＝2，即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.∴直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.1.设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A.－4B.－3C.2D.1 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ，∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 2.已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43 答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9， 解得a ＝2，e ＝c a ＝32.3.等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6，0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.4.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上.5.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为____.答案 y ＝±22x 解析 由条件知2b ＝2，2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2， 即a ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x .双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.40分钟课时作业一、选择题1.下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1答案 A解析 由双曲线性质知，双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.2.若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－1，1)C.(0，2) D.(－2，0) 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.3.直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A.(1，2) B.(－2，－1)C.(－1，－2) D.(2，1) 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1.故选C. 4.过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4.5.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝215，则该双曲线的方程为( )A.x 2－y 2＝6 B.x 2－y 2＝9C.x 2－y 2＝16 D.x 2－y 2＝25 答案 B解析 设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB |＝1＋(12)2×433a ＝215，∴a ＝3，故选B.6.设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103 B.52 C. 5 D.343答案 D解析 设F (c ，0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )， 而渐近线方程是y ＝±b ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x 得B (aca －b，－bca －b)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b ax 得A (aca ＋b ，bca ＋b)，AB →＝(2abc a 2－b 2，－2abca 2－b2)，AF →＝(bc a ＋b ，－bca ＋b)， 由AB →＝－3AF →， 得(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)＝－3(bc a ＋b ，－bca ＋b)， 则2abc a 2－b 2＝－3·bca ＋b， 即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝c a ＝343，故选D. 二、填空题7.过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________.答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.8.已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.答案 3解析 由题意知c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.9.已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________. 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝11AF F F PF S S -△△＝12 6.10.已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________. 答案 2 3解析 由双曲线方程知a ＝2，又e ＝c a＝2，所以c ＝4， 所以b ＝c 2－a 2＝12＝2 3.所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ＝3x ，一个焦点为F (4，0). 焦点F 到渐近线y ＝3x 的距离d ＝431＋(3)2＝2 3.三、解答题11.已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为A (1，0)，点P 在双曲线的右支上，点M (m ，0)到直线AP 的距离为1.若直线AP 的斜率为k ，且|k |∈[33，3]，求实数m 的取值范围. 解 由条件得直线AP 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.因为点M 到直线AP 的距离为1，即|mk －k |k 2＋1＝1，所以|m －1|＝k 2＋1|k |＝1＋1k2.因为|k |∈[33，3]，所以233≤|m －1|≤2， 解得233＋1≤m ≤3或－1≤m ≤1－233，所以实数m 的取值范围是[－1，1－233]∪[1＋233，3].12.设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程.(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 解 (1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2. ∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2.∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .∴l 1的方程为y ＝33x ，l 2的方程为y ＝－33x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y ). ∵2|AB |＝5|F 1F 2|＝5×2c ＝20，∴|AB |＝10， ∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10， 即(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100. ∵y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴y ＝36(x 1－x 2)，y 1－y 2＝233x ， 代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，得3×(2y )2＋13(2x )2＝100，整理得x 275＋3y 225＝1.13.已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0).(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长.(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0.设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞).。
高中数学第二章双曲线的简单几何性质教案新选修21
2．2．2 双曲线的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过56P 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >）． （iii ）例题讲解与引申、扩展例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±． 扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠． 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠=o ．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则PA AM PB BM +=+，即50BM AM AP BP -=-=（定值），∴“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为()2213525,0606253750x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略． 例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a=()0c a >>，则点M 的轨迹方程是双曲线．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于F 的准线；另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． ◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第66页1、2、3、4、5作业：第3、4、6。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修2、2、2 双曲线的几何性质1、了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)、2、理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程、(重点)3、能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题、(难点)[基础初探]教材整理双曲线的简单几何性质阅读教材P51～P52例1以上部分，完成下列问题、1、双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝且e＞1渐近线y＝xy＝x2、等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线、其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)、(2)性质：①渐近线方程为：y＝x、②离心率为：e＝、判断(正确的打“√”，错误的打“”)(1)双曲线是中心对称图形、( )(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长、()(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x、()(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大、()【答案】(1)√(2) (3) (4)√[质疑手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]双曲线的几何性质(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A、B、C、1D、(2)(xx广东高考)若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的()A、实半轴长相等B、虚半轴长相等C、离心率相等D、焦距相等(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()【导学号：】A、＋1B、＋1C、2D、2【自主解答】(1)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(1,0)，渐近线为y＝x，∴xy＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝＝、(2)因为0<k<5，所以两曲线都表示双曲线，在－＝1中a2＝16，b2＝5－k；在－＝1中a2＝16－k，b2＝5、由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，故选D、(3)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a、∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0、∵e＞1，∴e＝＋1、【答案】(1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1、(1)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________、【解析】由双曲线x2－＝1，得a＝1，∴＝2，b＝2、【答案】2(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程、【导学号：】【解】将原方程转化为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝x、利用双曲线的几何性质求其标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)、【精彩点拨】用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质、【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)、由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8、∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1、(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝、∴所求双曲线的标准方程为－＝1、当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2、∴所求双曲线的标准方程为－＝1、(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2、∴双曲线的标准方程为－＝1、1、一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得、再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程、2、如果已知双曲线的渐近线方程为y＝x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)、[再练一题]2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：】(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝、【解】(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)、由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1、故双曲线C的方程为－y2＝1、(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k、于是，设所求双曲线方程为－＝1，①或－＝1，②把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾；把(3,9)代入②，得k＝9，故所求双曲线方程为－＝1、[探究共研型]直线与双曲线的位置关系探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系、这时首先要看二次项的系数是否等于0、当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解、这时直线与双曲线相交只有一个交点、当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系、探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点、已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1、(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围、【精彩点拨】将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论、【自主解答】把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0、(1)∵直线与双曲线有两个公共点，∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2＞0，且3－a2≠0，得－＜a＜，且a≠、故当－＜a ＜，且a≠时，直线与双曲线有两个公共点、(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴或3－a2＝0，∴a＝或a＝、故当a＝或a＝时，直线与双曲线只有一个公共点、(3)∵直线与双曲线没有公共点，∴3－a2≠0，且Δ＝24－4a2＜0、∴a＞或a＜－、故当a＞或a＜－时，直线与双曲线没有公共点、1、研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解、2、直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线、(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点、(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点、[再练一题]3、(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为________、【解析】设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0、若4－k2＝0，即k＝2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k2≠0，则Δ＝[－(2k－2k2)]2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝、综上可得，直线l的斜率k的取值为或2、【答案】或2【解】①当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y得3x2＋2x－2＝0、设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)、则x1＋x2＝－，x1x2＝－，于是|AB|＝＝＝＝＝、②将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，∴解得0＜a＜且a≠1、又双曲线的离心率e＝＝，∴e＞且e≠，即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)、[构建体系]1、双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A、2B、2C、4D、4【解析】双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为4、【答案】 C2、下列双曲线中离心率为的是()A、－＝1B、－＝1C、－＝1D、－＝1【解析】双曲线－＝1中a＝2，b＝，∴c＝，e＝、【答案】 B3、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________、【解析】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，∴双曲线的标准方程为－＝1、【答案】－＝14、已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b ＝________、【解析】由题意得解得a2＝1，b2＝4、又a＞0，b＞0，故a＝1，b＝2、【答案】 125、求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程、【导学号：】【解】渐近线方程为y＝x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ、将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－＝1、。
18版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质学案1_1
2.2.2 双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重点)2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)[基础·初探]教材整理 双曲线的简单几何性质阅读教材P 49～P 51例3以上部分，完成下列问题. 1.双曲线的简单几何性质2.等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方程的一般形式为x 2－y 2＝λ(λ≠0).(2)性质：①渐近线方程为：y ＝±x . ②离心率为：e ＝ 2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线是中心对称图形.( )(2)双曲线方程中a ，b 分别为实、虚轴长.( )(3)方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .( )(4)离心率e 越大，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[小组合作型](1)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C.1D. 2(2)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等(3)已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )【导学号：97792024】A.3＋1B.2＋1C.2 3D.2 2【自主解答】 (1)双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.(2)因为0<k <5，所以两曲线都表示双曲线，在x 216－y 25－k ＝1中a 2＝16，b 2＝5－k ；在x 216－k －y 25＝1中a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2知两双曲线的焦距相等，故选D.(3)不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ， ∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0. ∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 【答案】 (1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1.(1)已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.【解析】 由双曲线x 2－y 2b 2＝1，得a ＝1，∴b1＝2，b ＝2.【答案】 2(2)求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】 将原方程转化为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133， 渐近线方程y ＝±23x .分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2).【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.1.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.2.如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).[再练一题]2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：97792025】(1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. 【解】 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).由已知得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1， ①或y 29k －x 2k＝1， ②把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.[探究共研型]探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】 判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x 或y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系.探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1. (1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围； (2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围； (3)如果直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围.【精彩点拨】 将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论.【自主解答】 把y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1， 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. (1)∵直线与双曲线有两个公共点， ∴判别式Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2＞0， 且3－a 2≠0，得－6＜a ＜6，且a ≠± 3.故当－6＜a ＜6，且a ≠±3时，直线与双曲线有两个公共点. (2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－4a 2＝0，3－a 2≠0或3－a 2＝0，∴a ＝±6或a ＝± 3.故当a ＝±6或a ＝±3时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)∵直线与双曲线没有公共点， ∴3－a 2≠0，且Δ＝24－4a 2＜0. ∴a ＞6或a ＜－ 6.故当a ＞6或a ＜－6时，直线与双曲线没有公共点.1.研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解.2.直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点.[再练一题]3.(1)已知过点P (1,1)的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点，则直线l 的斜率k的取值为________.【解析】 设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k 2≠0，则Δ＝[－(2k －2k 2)]2－4(4－k 2)·(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52.综上可得，直线l 的斜率k 的取值为52或±2.【答案】 52或±2(2)已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0).①若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；②若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【解】 ①当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y 得3x 2＋2x －2＝0.设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 2－x 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×289＝2143. ②将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2－a 2＞0，解得0＜a ＜2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∴e ＞62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫62， 2∪(2，＋∞).1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4D.4 2【解析】 双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.【答案】 C2.下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 双曲线x 24－y 22＝1中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62.【答案】 B3.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________.【解析】 由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.【答案】x 29－y 216＝1 4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 2a2＝4，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2. 【答案】 1 25.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程.【导学号：97792026】【解】 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2双曲线的几何性质教学案新人教B版选修1_
∵A(2，－3)在双曲线上，∴ － ＝1.②
由①②联立，无解．
假设核心在y轴上，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1(a>0，b>0)，那么 ＝ .③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴ － ＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
A．2B. C. D．1
答案 D
解析 由题意得e＝ ＝2，
∴ ＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
2．假设实数k知足0<k<5，那么曲线 － ＝1与曲线 － ＝1的( )
A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
答案 D
解析 因为0<k<5，因此两曲线都表示双曲线，在 － ＝1中a2＝16，b2＝5－k；在 － ＝1中a2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，应选D.
解 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程 － ＝1，
∴a2＝4，b2＝12，
∴a＝2，b＝2 ，∴c＝ ＝ ＝4.
∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4 .
核心坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，极点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝± x，离心率e＝2.
要点二 依照双曲线的几何性质求标准方程
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[ m2－4× (m2＋2)]．
∵|AB|＝4，∴ m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝± .
由(*)式得Δ＝24m2－240，
把m＝± 代入上式，得Δ>0，
2017_18版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程教学案
2．2.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义观察图形，思考下列问题思考1 图中动点M的几何性质是什么？思考2 若||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离的________________等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做________________，________________叫做双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2 如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b 吗？梳理类型一 求双曲线的标准方程 例1 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)，且焦点在坐标轴上．反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a －k －y 2b ＋k＝1(－b2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)；(3)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．类型二 双曲线的定义及应用 命题角度1 双曲线的焦点三角形例2 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．引申探究本例(2)中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．跟踪训练2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．命题角度2 与双曲线有关的轨迹问题例3 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练3 在△ABC 中，已知A (－22，0)，B (22，0)，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，求顶点C 的轨迹方程．1．到两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线D ．两条射线2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．483．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．14．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－25．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，10)．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立，要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．答案精析问题导学 知识点一思考1 ||MF 1|－|MF 2||＝常数(常数|F 1F |或|F 2F |)且常数<|F 1F 2|. 思考2 以F 2为端点的一条射线． 梳理 差的绝对值 双曲线的焦点 两焦点间的距离 知识点二思考1 双曲线标准方程中x 2与y 2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x 2的系数为正时，焦点在x 轴上；当y 2的系数为正时，焦点在y 轴上，而与分母的大小无关． 思考2 以双曲线与x 轴的交点A 为圆心，以线段OF 2为半径画圆交y 轴于点B .题型探究例1 解 (1)方法一 椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程x 216＋y 225＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，10)，所以1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 因为点P (3，154)，Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.跟踪训练1 解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍)．∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵点P (4，－2)和点Q (26，22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝－14，∴双曲线的方程为x 28－y 24＝1.(3)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.例2 (1)4a ＋2m (2)16 3 解析 (1)由双曲线的定义， 知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a . 又|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |， 所以△ABF 1的周长为 |AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m .(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线定义和余弦定理， 得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36.①在Rt△F 1PF 2中，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100. ② 将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.跟踪训练2 解 设双曲线的另一个焦点为F 2，连接PF 2，ON 是三角形PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|，因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10， 所以|PF 2|＝2或18，|ON | ＝12|PF 2|＝1或9. 例3 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且2<6＝|C 1C 2|. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤－1)．跟踪训练3 解 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ， 所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 因为a ＝2，c ＝22， 所以b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．当堂训练1．D 2.C 3.D 4.A5．解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上， 因为点A (－5,6)在双曲线上， 所以2a ＝|－5－2＋＋2－－5－2＋－2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8.因为过(3，10)点， 所以9a 2－10b2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.。
2018版高中数学圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质学案
双曲线的简单几何性质1. 认识双曲线的简单几何性质( 范围、对称性、极点、实轴长和虚轴长等).( 要点 )2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.( 要点 )3. 能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.( 难点 )[ 基础2初探]教材整理双曲线的简单几何性质阅读教材 P49～ P51例 3 以上部分，达成以下问题.1.双曲线的简单几何性质x2y2y2x2标准方程a2－b2＝1a2－b2＝1( ＞0，＞ 0)( ＞0，＞ 0)a b a b图形范围x≥ a 或 x≤－ a y≤－ a 或 y≥ a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点极点( －a, 0) ， ( a, 0)(0 ，－a) ， (0 ，a)性轴长实轴长＝ 2a，虚轴长＝ 2b质c离心率e＝a且 e＞1b a渐近线y＝±a x y＝±b x2.等轴双曲线(1) 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 其方程的一般形式为x2－ y2＝λ(λ ≠ 0).(2)性质：①渐近线方程为： y＝± x.②离心率为： e＝ 2.判断 ( 正确的打“√”，错误的打“ 3”)(1)双曲线是中心对称图形 .()(2)双曲线方程中 a， b 分别为实、虚轴长.()y2x2b(3)方程a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±a x.()x2y2(4)离心率 e 越大，双曲线a2－b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大.()【答案】(1) √(2)3(3)3(4) √[ 小组合作型 ]双曲线的几何性质(1) 双曲线x2－y2＝ 1 的极点到其渐近线的距离等于()12A. 2B. 2C.1D.2(2) 若实数k知足 0<k<5，则曲线x2－y2＝1 与曲线x2－y2＝1 的 () 165－k16－k5A. 实半轴长相等B. 虚半轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等(3) 已知F，F分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PFF 为等腰直角1212三角形，则该双曲线的离心率为()【导学号：97792024】A.3＋ 1B.2＋ 1C.23D.22【自主解答】(1) 双曲线x2－y2＝ 1的极点坐标为 ( ±1， 0) ，渐近线为y＝±x，∴x±y＝0，∴极点到渐近线的距离为d＝| ±1±0|2＝ .22(2) 由于 0< <5，所以两曲线都表示双曲线，在x2－ y2＝ 1 中2＝ 16，2＝5－；在x2k16 5－k a b k16－k y222222－5＝ 1 中a＝16－k，b＝5.由 c ＝ a ＋ b 知两双曲线的焦距相等，应选 D.(3)不如设点 P在双曲线的右支上，则| PF1|－| PF2|＝2a.∵△ PF1F2是等腰直角三角形，∴只好是∠ PF2F1＝90°，∴|PF 2| ＝| F 1F 2| ＝ 2c ，∴| 1| ＝2a ＋ |2|＝2 ＋2 ，PF PF a c∴(2 a ＋ 2c ) 2＝22(2 c ) 2，即 c 2－ 2ac － a 2＝ 0，两边同除以 a 2，得 e 2－2e － 1＝0.∵ e ＞ 1，∴ e ＝ 2＋ 1.【答案】(1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[ 再练一题 ]2y 2 y ＝ 2x ，则 b ＝ ________.1.(1) 已知双曲线 x － 2＝ 1( b >0) 的一条渐近线的方程为b2 y 2 b【分析】 由双曲线 x － b 2＝1，得 a ＝1，∴ 1＝2， b ＝ 2. 【答案】2(2) 求双曲线 9y 2－ 4x 2＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近 线方程 .将原方程转变为x2222【解】－y＝ 1，即x2－y2＝ 1，9 4 3 2∴ a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 13，所以极点坐标为 A 1( － 3,0) ， A 2(3,0) ，焦点坐标为 F 1( － 13， 0) ， F 2( 13，0) ，实轴长是 2a ＝ 6，虚轴长是 2b ＝ 4，c13离心率 e ＝ a ＝ 3 ，2渐近线方程 y ＝± 3x .利用双曲线的几何性质求其标准方程分别求合适以下条件的双曲线的标准方程：5(1) 虚轴长为 12，离心率为 4；3(2) 极点间距离为 6，渐近线方程为 y ＝± 2x ；(3) 与双曲线 x 2－ 2y 2＝ 2 有公共渐近线，且过点 M (2 ，－ 2).【出色点拨】用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量， 充足利用题中所给出的双曲线的几何性质.【自主解答】(1) 设双曲线的标准方程为x 2 y 2y 2 x 2a 2－b 2＝ 1或a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0).由题意知c 5 222，2b ＝ 12，＝ 且 c＝ a＋ ba4∴ b ＝ 6， c ＝ 10， a ＝ 8.∴双曲线的标准方程为x 2 y 2y 2x 2－＝1或－＝1.64 3664 36(2) 当焦点在 x 轴上时，由b 39a ＝ 2且 a ＝ 3 得b ＝ 2.x 2 4y 2∴所求双曲线的标准方程为9－ 81＝1.a 3当焦点在 y 轴上时，由 b ＝ 2且 a ＝ 3 得 b ＝ 2.y 2 x 2∴所求双曲线的标准方程为9－ 4＝1.x 22x 22(3) 设与双曲线2 －y ＝ 1 有公共渐近线的双曲线方程为2 － y ＝k ，将点 (2 ，－ 2)222代入得 k ＝－ ( －2) ＝－ 2.y 2 x 2∴双曲线的标准方程为2－4＝1.1. 一般状况下，求双曲线的标准方程要点是确立a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给222c出双曲线的极点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得. 再联合 c ＝ a ＋ b 及 e ＝a 列关 于 ， b 的方程 ( 组 ) ，解方程 ( 组) 可得标准方程 .a4λ ( λ ≠ 0).[ 再练一题 ]2. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且知足以下条件的双曲线方程：【导学号： 97792025】(1) 双曲线 C 的右焦点为 (2,0) ，右极点为 ( 3， 0) ；(2) 双曲线过点 (3,92) ，离心率＝ 10 .e 3x 2 y 2【解】 (1) 设双曲线方程为 a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0). 由已知得 a ＝ 3， c ＝ 2，再由 a 2＋b 2＝ c 2，得 b 2 ＝1.2故双曲线 C 的方程为x3 － y 2＝ 1.2(2) 由 e 2＝10，得 c2＝10，设 a 2＝9k ( k >0) ，9 a9则 c 2＝ 10k ， b 2＝ c 2－a 2＝k .x 2 y 2于是，设所求双曲线方程为9k － k ＝ 1，①y 2 x 2或 9k － k ＝ 1，②把 (3,9 2) 代入①，得 k ＝－ 161 与 k >0 矛盾；把 (3,9 2) 代入②，得 k ＝ 9，y 2 x 2故所求双曲线方程为81－ 9＝1.[ 研究共研型 ]直线与双曲线的地点关系研究 1如何判断直线与双曲线的地点关系？【提示】 判断直线与双曲线的地点关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转变成对于 x 或 y 的一元二次方程，再依据一元二次方程去议论直线和双曲线的地点关系. 这时首先要看二次项的系数能否等于0. 当二次项系数等于 0 时，就转变成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解 . 这时直线与双曲线订交只有一个交点. 当二次项系数不为零时，利用根的鉴别式，判断直线和双曲线的地点关系.研究 2直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线必定相切吗？【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时， 直线不必定与双曲线相切， 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线订交，只有一个交点.已知直线 y ＝ ax ＋ 1 与双曲线 3x 2－ y 2＝ 1.(1) 假如直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围；(2) 假如直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围；(3) 假如直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围 .【出色点拨】将直线与双曲线方程联立用鉴别式判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的议论 .【自主解答】把 y ＝ ax ＋ 1 代入 3x 2－ y 2＝ 1，整理得 (3 － a 2) x 2－ 2ax － 2＝ 0.(1) ∵直线与双曲线有两个公共点， ∴鉴别式＝ 4a 2＋8(3 － a 2) ＝ 24－ 4a 2＞0，且 3－a 2≠0，得－6＜ a ＜ 6，且 a ≠±3.故当－6＜ a ＜ 6，且 a ≠± 3时，直线与双曲线有两个公共点.(2) ∵直线与双曲线只有一个公共点，＝ 24－ 4a 2＝0，或 3－a 2＝ 0，∴3－ a 2≠0∴ a ＝± 6或 a ＝± 3.故当 a ＝± 6或 a ＝±3时，直线与双曲线只有一个公共点.(3) ∵直线与双曲线没有公共点，∴3－ a 2≠0，且＝ 24－ 4a 2＜ 0.∴ a ＞ 6或 a ＜－ 6.故当 a ＞ 6或 a ＜－ 6时，直线与双曲线没有公共点.1. 研究直线与双曲线地点关系的一般解法仍旧是联立两者方程，解方程组或许转变为一元二次方程，依照根的鉴别式和根与系数的关系求解.2. 直线与双曲线有三种地点关系(1) 无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.(2) 有一个公共点，分两种状况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个极点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.(3) 有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点 .[ 再练一题 ]2 y23.(1) 已知过点P(1,1)的直线 l 与双曲线 x －4＝1只有一个公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值为 ________.【分析】设直线 l 的斜率为 k，则 l ：y＝ k( x－22 1) ＋ 1，代入双曲线方程，获得 (4 －k ) x－(2 k－ 2k2) x－k2＋ 2k－ 5＝ 0.若 4－k2＝0，即k＝± 2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；222225若 4－k≠0，则＝ [ － (2 k－ 2k )]－4(4 －k)2(－ k ＋2k－5)＝ 0，解得k＝2.综上可得，直线l 的斜率 k 的取值为5或± 2. 25【答案】2或±2x22(2) 已知直线l ： x＋ y＝1与双曲线C：a2－ y ＝1( a＞0).1①若 a＝2，求 l 与 C订交所得的弦长；②若 l与 C有两个不一样的交点，求双曲线C的离心率 e 的取值范围.【解】①当＝1时，双曲线C 的方程为 4 2－y2＝ 1，a2x x＋ y＝1，联立224x－y＝ 1，消去 y 得3x2＋2x－2＝0.设两个交点为A( x1， y1)， B( x2，y2).22则 x1＋ x2＝－3， x1x2＝－3，于是 | AB| ＝x－ x2y － y22211＝x1－ x22x2－ x121＋x 2212＝ 22x－ 4x x28＝239214＝3 .2x22222②将 y＝－ x＋1代入双曲线a2－ y ＝1中得(1－ a ) x ＋2a x－2a ＝0，1－a2≠0，∴解得 0＜a＜2且a≠1.1＋a21又双曲线的离心率e＝a＝a2＋1，6∴ e＞2且 e≠2，即离心率 e 的取值范围是6， 2 ∪( 2，＋∞ ).21. 双曲线 2x2－y2＝ 8 的实轴长是 ()A.2B.22C.4D.42x2y2【分析】双曲线标准方程为4－8＝ 1，故实轴长为 4.【答案】C6的是 ()2. 以下双曲线中离心率为2x2y2x2y2A.－＝1B.－＝12442x2y2x2y2C. 4－6＝1D. 4－10＝1x2y26【分析】双曲线4－2＝ 1 中a＝ 2，b＝ 2，∴c＝6，e＝2 .【答案】B3. 已知双曲线中心在原点，一个极点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为 ________.【分析】由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且＝ 3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即ac∶ b＝5∶4，解得 c＝5， b＝4，∴双曲线的标准方程为x2y29－16＝ 1.【答案】x2－ y2＝1916x2y2x2y24.已知双曲线 C1：a2－b2＝1( a＞0， b＞0)与双曲线 C2：4－16＝1有同样的渐近线，且1 的右焦点为(5，0) ，则＝ ________，＝ ________.C F a bb 2【分析】由题意得a 2＝4，解得 a 2＝ 1， b 2＝ 4.a 2＋b 2＝ 5，又 a ＞0， b ＞ 0，故 a ＝ 1， b ＝ 2.【答案】 1 25. 求中心在座标原点，对称轴为坐标轴，π经过点 (3 ，－ 2) ，且一条渐近线的倾斜角为6的双曲线的方程 .【导学号： 97792026】322【解】渐近线方程为 y ＝± 3 x ，设双曲线方程为x － 3 y ＝λ . 将 (3 ，－ 2) 代入求得λ＝－ 3，所以双曲线方程为2x 2y － ＝1.3。
2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质学案
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自 主 预 习²探 新 知]1．双曲线的几何性质(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点． ( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x . ( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)³2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.【导学号：97792087】(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．] [合 作 探 究²攻 重 难](1)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为a 2＋b 2＝1，双曲线C 2的方程为a 2－b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] (1)椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a.由e 1e 2＝a 2－b 2a ²a 2＋b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2²1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. [答案] A(2)把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m.顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)． ∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C.] (2)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x B [在双曲线中，离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .](1)已知双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________________.【导学号：97792088】[思路探究] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b(2)方法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解． 方法二：待定系数法求解．[解析] (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.832[答案] (1)D (2)y 28－x 232＝12．求满足下列条件的双曲线的标准方程； (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.68(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(1)若双曲线 a 2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【导学号：97792089】A. 5 B ．2 C. 3 D. 2[思路探究] (1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程．[解析] (1)由题意知b a ＝43，则e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.[答案] (1)D (2)D3．(1)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|²|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|²|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|²|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.](2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8 1－k 2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝1＋k 28－4k 21－k 22. 又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k2，∴S △AOB ＝12²|AB |²d ＝128－4k21－k 22＝2， 即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0.4．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【导学号：97792090】[解] 法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k 3k ＋1 4k 2－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴x 1＋x 22＝3，即8k 3k ＋1 2 4k －1 ＝3，解得k ＝－34. 当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14 y 2＋y 1. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14 y 2＋y 1 ＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.[当 堂 达 标²固 双 基]1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36A [椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.]4．直线y ＝mx ＋1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：97792091】A ．m ≥2或m ≤－ 2B ．－2≤m ≤2且m ≠0C ．m ∈RD ．－2≤m ≤ 2D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1x 2－y 2＝1，得(1－m 2)x 2－2mx －2＝0，由题意知1－m 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≠0Δ＝4m 2＋8 1－m 2≥0，解得－2≤m ≤ 2.]5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程．[解] 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质课堂导学案 新人教B版选修11
2.2.2 双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】 求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程16x 2-9y 2=-144化为标准方程222234x y -=1. 因此可知，实半轴长a =4,虚半轴长b =3;c =22b a +=5,焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e =45=a c ; 顶点坐标为(0，-4)，(0，4)； 渐近线方程为y =±34x . 温馨提示 双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y =±ab x ,双曲线2222b x a y -=1的渐近线为x =±a b y ，即y =±ba x ,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点. 二、双曲线的离心率【例2】 双曲线2222by a x -=1(a ＞1,b ＞0)的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1，0)到直线l 的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s ≥54c .求双曲线的离心率e 的取值范围.解：直线l 的方程为by a x +=1,即bx +ay -ab =0. 由点到直线的距离公式，且a ＞1,得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=22)1(b a a b +-.同理得到点(-1，0)到直线l 的距离： d 2=22)1(b a a b ++,s =d 1+d 2=cab b a ab2222=+. 由s ≥５４c ,得,542c c ab ≥ 即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2,即4e 4-25e 2+25≤0. 解不等式，得45≤e 2≤5. 由于e ＞1＞0, 所以e 的取值范围是25≤e ≤5. 温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例3】 已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点(1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y =21x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解析：(1)由⎩⎨⎧=-+=13,122y x ax y 消去y ，得 (3-a 2)x 2-2ax -2=0. ①依题意⎩⎨⎧>∆≠-,0,032a即-6＜a ＜6且a ≠±3.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+④③ .32 ,32221221a x x a a x x∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB .∴x 1x 2+y 1y 2=0.但y 1y 2=a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+1,由③④，x 1+x 2=232a a -,x 1x 2=232a --. ∴(a 2+1)·232a --+a ·232a a -+1=0. 解得a =±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y =21x 对称，则直线y =ax +1与y =21x 垂直， ∴a ·21=-1，即a =-2. 直线l 的方程为y =-2x +1.将a =-2代入③得x 1+x 2=4.∴AB 中点横坐标为2，纵坐标为y =-2×2+1=-3.但AB 中点(2，-3)不在直线y =21x 上, 即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y =21x 对称.各个击破类题演练1求满足下列条件的双曲线方程(1)以2x ±3y =0为渐近线，且经过点(1，2)；(2)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y -3x =0.解：(1)设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ,点(1，2)在双曲线上,点的坐标代入方程可得λ=-32, ∴所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即.1832922=-x y (2)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为y -3x =0,则另一条渐近线方程为y +3x =0.设所求双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ＞0),则a 2=3λ,b 2=λ. ∴c 2=a 2+b 2=34λ=4,即λ=3, 故所求的双曲线方程为x 2-32y =1.变式提升1设P 是双曲线9222y ax -=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若｜PF 1｜=3，则｜PF 2｜=( )A.1或5B.6C.7D.9解：由双曲线方程19222=-y a x ,得b =3.∵渐近线方程为y =±ab x ,已知其渐近线方程为3x -2y =0,即y =23x ∴23=a b ∴a =2. 由双曲线定义｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=2a ∵｜PF 1｜=3∴｜PF 2｜=7或｜PF 2｜=-1(舍)∴｜PF 2｜=7，故正确答案为C.类题演练2 已知双曲线2222y a x -=1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.362 D.332 解析：双曲线2222y ax -=1(a ＞2). ∴渐近线斜率分别为k 1=a2,k 2=-a 2. ∴tan ,2.|2122|3π2a t aa =-设 ∴3t 2+2t -3=0.解之，得t =33或-3(舍去). ∴a =6.∴e =.33222=+=a a a c 答案：D变式提升2 已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且｜PF 1｜=4｜PF 2｜，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.34B.35 C.2 D.37 解：由双曲线的第二定义可得｜PF 1｜=e (x 0+ca 2)=ex 0+a ,｜PF 2｜=e (x 0-ca 2)=ex 0-a ∵｜PF 1｜=4｜PF 2｜ ∴ex 0+a =4(ex 0-a ) 解得e =0·35x a ∵x 0≥a ＞0 ∴当且仅当x 0=a 时，e 取最大值35.故正确答案为B.类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，-10).(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x =3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M . (1)解：由双曲线的离心率为2，即222,2ab a ac +=则=2, ∴a =b ,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4，-10).则42-(-10)2=λ. ∴λ=6.∴双曲线方程为.16622=-y x (2)证明：由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(-23，0)、(23，0)，M 、N 的坐标分别为(3，3)、(3，-3).∴k F 1M =.3233,32332-=+M F k 故k F 1M ·k F 2M =.13233·3233-=-+ ∴F 1M ⊥F 2M .变式提升3已知直线y =kx -1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 过点P (-2，0)及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.解析：由方程,1122⎩⎨⎧=--=y x kx y 消去y ,整理得 (1-k 2)x 2+2kx -2=0.由题设得120120120)1(8401222222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-k k x x kkx x k k k 解得：设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2) 则).11,1(121222221221--∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+k k k Q k y y k kx x ∴直线l 的方程为y =),2(2212+-+x k k令x =0,得直线l 在y 轴上截距b =.2222-+k k∵-2＜k ＜-1,∴截距b 的取值范围是：(-∞,-2)∪(2+2,+∞).。
2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)学案 新人教A版选修
2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1，2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系.答案 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外.思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？答案 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1.梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离. (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入上式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0. 例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k ，1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为________.答案 (－∞，－332)∪(332，＋∞)解析 据题知k 29＋14>1， 解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 (－∞，－423)∪(423，＋∞)解析 依题19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1 已知点(3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3，2)在椭圆上D.以上都不正确答案 C解析 由已知得9a 2＋4b2＝1，只有选项C 符合该条件.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围.解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点. (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点. (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.跟踪训练2 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案 (1)C (2)C解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点.(2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2，1)，求直线AB 的方程.解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2). 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1. 又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2，1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12， 即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2，1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x ，2－y ). ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长.解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A (0，2)，B (4，0)， 故|AB |＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程. 跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4).联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA |＋|PB |取得最值.(2)求解形如|PA |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值.解 由|AM →|＝1，A (3，0)，知点M 在以A (3，0)为圆心， 1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM →|＝|PA →|2－|AM →|2＝|PA →|2－1，∴当|PA →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1.点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A.－2<a < 2B.a <－2或a > 2C.－2<a <2D.－1<a <1答案 A解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交答案 C解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离.3.已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________. 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7， 所以椭圆的长轴长为27.4.若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________.答案 (－2，2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5.直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程.解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长. (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1＋1k2)(y 1－y 2)2＝1＋1k2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况. 2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程.特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.40分钟课时作业一、选择题1.若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值是( )A.－1B.12C.－1或1D.－12或12答案 C解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)， 所以b ＝1或－1.2.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线的方程是( )A.x ＋2y －3＝0B.2x ＋y －3＝0C.x －2y ＋3＝0D.2x －y ＋3＝0 答案 A解析 易知所求直线的斜率存在，设过点M (1，1)的方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.3.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B.±22 C.12 D.±12答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2(1－b 2a 2)＝b 2c 2a2， ∴y 0＝±bca ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 4.已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( )A.(－2，0)B.(0，1)C.(2，0)D.(0，1)或(0，－1)答案 D解析 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或(0，1)时，取“＝”.5.已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A.1 B. 2 C.32 D. 3 答案 D解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 6.已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A.[12，1)B.(0，12]C.[22，1)D.(0，22] 答案 B解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c ，0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧ e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0，1)，可得0<e ≤12. 二、填空题7.椭圆x 216＋y 29＝1上的点到直线l ：x ＋y －9＝0的距离的最小值为________. 答案 2 2解析 在椭圆上任取一点P ，设P (4cos θ，3sin θ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|4cos θ＋3sin θ－9|12＋12 ＝22|5sin(θ＋φ)－9|≥22(其中tan φ＝43). 故d min ＝2 2.8.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________.答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9.若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________.答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点.10.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________.答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 三、解答题 11.设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程.解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得c ＝a 2－(a 2－1)＝1， ∴椭圆的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0).又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1，代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2± 3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3.故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 12.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点). (1)求证：1a 2＋1b2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈[33，22]，求椭圆长轴长的取值范围. (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0，消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b2等于定值. (2)解 ∵e ＝c a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]. 13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程.解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1. ① 又因为离心率为12，所以ca ＝12，所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A (－1，32)，B (－1，－32)，2ABF S △＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以2ABF S △＝12|y 1－y 2|·|F 1F 2|＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|k |(－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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双曲线的简单几何性质一、选择题（每小题5分,共25分）1。
（2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )A。
x2-=1 B。
-y2=1C.—x2=1 D。
y2—=1【解析】选C。
由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A，B，C项的渐近线方程为y=±2x.2.（2016·合肥高二检测）点P为双曲线C1：—=1(a>0,b〉0)和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为( ）A.B。
1+ C.+1 D.2【解题指南】由题意：PF1⊥PF2，且2∠PF1F2=∠PF2F1，故∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°。
设｜PF2|=m，则|PF1｜=m,|F1F2|=2m。
由e==，能求出双曲线的离心率.【解析】选C.由题意：PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1，所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何
2.2.2 双曲线的几何性质1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．____________ ____________对称轴：________对称中心：______对称轴：________对称中心：______顶点坐标A1______，A2______顶点坐标A1______，A2______与椭圆的标准方程相比较，在双曲线的标准方程中，a，b只限制a＞0，b＞0，二者没有大小要求．若限制a＞b＞0或a＝b＞0或0＜a＜b，双曲线的离心率会受到影响．因为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫ba2，故当a＞b＞0时，1＜e＜2，当a＝b＞0时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当0＜a＜b时，e＞ 2.【做一做1－1】已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为( )A．32B．52C ．153 D ．253【做一做1－2】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________________．如何理解有共同渐近线的双曲线系方程？剖析：若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与双曲线x 2a ′2－y 2b ′2＝±1有相同的渐近线，即两对直线x a ±yb＝0与x a′±y b′＝0分别重合，则必有a a′＝b b′＝1k(k ＞0)．故a ′＝ka ，b ′＝kb . 反之，易求得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1与x 2ka 2－y 2kb2＝±1有相同的渐近线y ＝±bax ，故与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1有相同的渐近线的双曲线系方程为x 2ka 2－y 2kb2＝±1.上述方程可简化为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．那么在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为方便．题型一 由双曲线方程研究其几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．分析：将双曲线方程变为标准方程，确定a ，b ，c 后求解．反思：研究双曲线的几何性质必须先把方程化为标准形式．作几何图形时，应先画出两条渐近线和两个顶点．题型二 已知双曲线的几何性质求双曲线的方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点M (1，15)，求双曲线的方程． 分析：应先根据渐近线方程设出双曲线的方程，再代入点的坐标求解．反思：要注意在已知渐近线的情况下双曲线方程的设法，即已知渐近线方程为x a ±y b＝0或y ＝±b ax 时，设双曲线方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b a x ＝m (m ≠0)．题型三 与双曲线的渐近线有关的问题【例3】双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为______．反思：求双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程，一般有两种方法，即①求出a ，b ，代入y ＝±b ax 得渐近线方程．②令x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb＝0，即y ＝±bax .此方法比较简捷．题型四 求双曲线的离心率【例4】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2反思：因为双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2，所以要求离心率，只要找到a ，b ，c 三者之间任意两者的关系即可．1(2010·安徽高考)双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C ．⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 2双曲线x 225－y 29＝1的顶点坐标是( ) A ．(5,0)，(－5,0) B ．(0,3)，(0，－3) C ．(4,0)，(－4,0) D ．(3,0)，(－3,0)3双曲线x 225－y 216＝1的离心率是( )A ．35B ．53C ．415 D ．5414若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为______．5(2010·重庆高考)已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52.求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．答案：基础知识·梳理 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0)(a,0) (0，－a ) (0，a ) y ＝±b a x y ＝±a b x ca(1，＋∞) a 2＋b 2 A 1A 2 2a B 1B 22b a b2b2a【做一做1－1】C 双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1，∴a ＝3，c ＝5，∴e ＝153. 【做一做1－2】x 24－y 212＝1 ∵ca ＝2，c ＝4，∴a ＝2，b ＝23，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.典型例题·领悟【例1】解：将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标分别为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标分别为(－13，0)，(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作出草图如下：【例2】解：渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线方程可设为(y ＋3x )(y －3x )＝m (m ≠0)，即y 2－3x 2＝m (m ≠0)．将M (1，15)代入上式，得m ＝12，所以双曲线的方程为y 2－3x 2＝12，即y 212－x 24＝1.【例3】y ＝±2x 利用渐近线的定义求解． 方法一：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 222＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .方法二：令x 24－y 28＝0，即x 2＋y 22＝0，或x 2－y22＝0，即y ＝－2x ，或y ＝2x .∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x . 【例4】A 由题意知，|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ， 又|NF 1|－|NF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.随堂练习·巩固1．C 根据双曲线的方程可知，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝32，从而c ＝62，所以右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 2．A 3．C 4．103 渐近线方程为x 3＋y ＝0，∴b a ＝13. 又a 2＋b 2＝c 2，从而ca ＝103，即e ＝103. 5．分析：由题意可知焦点在x 轴上，所以可设方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，再由离心率知c a ＝52，又因为c ＝5，即可求得a ，b ，从而求得双曲线C 的标准方程及其渐近线方程．解：设C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则由题意知，c ＝5，e ＝c a ＝52，所以a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1， 双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1. 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x .。
[推荐学习]高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质预习导学案
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双曲线
椭圆
图形
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e＞1
0＜e＜1
a，b，c关系
a2＋b2＝c2
a2－b2＝c2
y∈R
x∈R，y≤－a
或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝± x
y＝± x
离心率
e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
2.2.2双曲线的几何性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．能够运用双曲线的性质解决一些简单问题．
3．正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－ ＝1(a＞0，b＞0)
－ ＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考1双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响？
提示：双曲线的离心率e＝ 反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．
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2.2.2 双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重点)2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)[基础²初探]教材整理 双曲线的简单几何性质阅读教材P 49～P 51例3以上部分，完成下列问题. 1.双曲线的简单几何性质2.等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方程的一般形式为x 2－y 2＝λ(λ≠0).(2)性质：①渐近线方程为：y ＝±x . ②离心率为：e ＝ 2.判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)双曲线是中心对称图形.( )(2)双曲线方程中a ，b 分别为实、虚轴长.( )(3)方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .( )(4)离心率e 越大，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大.( )【答案】 (1)√ (2)³ (3)³ (4)√[小组合作型](1)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C.1D. 2(2)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等(3)已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )【导学号：97792024】A.3＋1B.2＋1C.2 3D.2 2【自主解答】 (1)双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.(2)因为0<k <5，所以两曲线都表示双曲线，在x 216－y 25－k ＝1中a 2＝16，b 2＝5－k ；在x 216－k －y 25＝1中a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2知两双曲线的焦距相等，故选D.(3)不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ， ∴(2a ＋2c )2＝2²(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0. ∵e ＞1，∴e ＝2＋1. 【答案】 (1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1.(1)已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.【解析】 由双曲线x 2－y 2b 2＝1，得a ＝1，∴b1＝2，b ＝2.【答案】 2(2)求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】 将原方程转化为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133， 渐近线方程y ＝±23x .分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2).【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.1.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.2.如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).[再练一题]2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：97792025】(1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. 【解】 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).由已知得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1， ①或y 29k －x 2k＝1， ②把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.[探究共研型]探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】 判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x 或y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系.探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1. (1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围； (2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围； (3)如果直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围.【精彩点拨】 将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论.【自主解答】 把y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1， 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. (1)∵直线与双曲线有两个公共点， ∴判别式Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2＞0， 且3－a 2≠0，得－6＜a ＜6，且a ≠± 3.故当－6＜a ＜6，且a ≠±3时，直线与双曲线有两个公共点. (2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－4a 2＝0，3－a 2≠0或3－a 2＝0，∴a ＝±6或a ＝± 3.故当a ＝±6或a ＝±3时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)∵直线与双曲线没有公共点， ∴3－a 2≠0，且Δ＝24－4a 2＜0. ∴a ＞6或a ＜－ 6.故当a ＞6或a ＜－6时，直线与双曲线没有公共点.1.研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解.2.直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点.[再练一题]3.(1)已知过点P (1,1)的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点，则直线l 的斜率k的取值为________.【解析】 设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k 2≠0，则Δ＝[－(2k －2k 2)]2－4(4－k 2)²(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52.综上可得，直线l 的斜率k 的取值为52或±2.【答案】 52或±2(2)已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0).①若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；②若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【解】 ①当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y 得3x 2＋2x －2＝0.设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2＝ x 1－x 2 2＋ x 2－x 1 2＝2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2 ＝2³289＝2143. ②将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2 1－a 2＞0，解得0＜a ＜2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∴e ＞62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫62， 2∪(2，＋∞).1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4D.4 2【解析】 双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.【答案】 C2.下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 双曲线x 24－y 22＝1中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62.【答案】 B3.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________.【解析】 由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.【答案】x 29－y 216＝1 4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 2a2＝4，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2. 【答案】 1 25.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程.【导学号：97792026】【解】 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。