福建省三明二中2015届高三上学期第二次阶段考试数学理试题 Word版含答案

三明二中2014-2015学年第一学期阶段（2）考试

高三数学（理科）试题

2014年11月25日上午8：00—10：00 满分：150分 命题人：杨莹 审核人：蔡忠日

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请把正确的答案填在答题卷相应的位置上） 1.设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=( ▲ ) A ．（1，2） B ．[1，2] C ．[ 1，2） D ．（1，2 ] 2.已知等差数列{a n }中，a 10＝5，S n 为其前n 项的和，则S 19等于 ( ▲ )

A ．80

B ．100

C ．95

D ．90

3.已知向量(1,1),(3,)a b m =-=，若a //()a b +,则m = ( ▲ ) A ．2 B ．－2 C ．－3 D ．3

4.设x ∈R ，则“x >

1

2

”是“2x 2+x -1>0”的 ( ▲ ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.必要而不充分条件

5.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3

2

t 2＋2t ，那么速度为零的

时刻是 ( ▲ )

A ．0秒

B ．1秒末

C ．2秒末

D ．1秒末和2秒末 6．设变量x , y 满足约束条件10,

30,10,x y y x y ≥+-≤-+⎧-≥⎪

⎨⎪⎩

则目标函数z = y －2x 的最小值为 ( ▲ )

A ．－4

B ．－7

C ．1

D ． 2

7.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π

8个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( ▲ )

A.⎝⎛⎭⎫π2，0

B.⎝⎛⎭⎫π4，0

C.⎝⎛⎭⎫π9，0

D.⎝⎛⎭⎫π16，0 8.一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为 ( ▲ )

A.5－12

B.12

C.5－14

D.5＋14

9.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 ( ▲ )

A.2

3

B.13

C.12

D.1

4

10.已知函数

)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，

)3|2||(|2

1

)(222a a x a x x f --+-=

，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ▲ ） A ．[61,61-

] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D .[3

3,33-] 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答案卷上相应的位

置上）

11.若1cos()5

A π+=-,那么sin(

)2

A π

+=

12.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式

n a = ．

13.已知向量(,1),(2,2)a x b y ==-，若a b ⊥，则93x y +的最小值是

14.设函数12

1()1(0)

2()(0)

x

x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，已知()1f a >,则a 的取值范围为

15.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答 16.（本小题满分13分）

已知集合2{|230,}A x x x x R =--≤∈22{|240,,}B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈

（1）若m =2，求A B

（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围。

17（本小题满分13分）

已知向量m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，向量n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，

函数f (x )＝m ·n ，若f (x )相邻两对称轴间的距离为π

2

.

(1)求ω的值，并求f (x )的最大值及相应x 的集合；

(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，△ABC 的面积S ＝53，b ＝4，f (A )＝1，求边a 的长．

18（本小题满分13分）

已知函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，它们的图象在x ＝1处有相同的切线． (1)求函数f (x )和g (x )的解析式；

(2)如果F (x )＝f (x )－mg (x )在区间[1

2

，3]上是单调增函数，求实数m 的取值范围．

19．（本小题满分13分）某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房（背面利

用原有的墙体），由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域. （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

20.（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式；

(2)设S n ＝1f (n )，b n ＝f (1

2

n )＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋

1，

试求．．T n ，并证明．．．．P n <1

2.

21. （本小题满分14分）已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2

g t t <<.