关于函数图像对称性问题
函数与图像的对称性
函数与图像的对称性在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。
对称性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。
一、关于对称轴的对称性首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。
对称轴是指函数图像上的一条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。
以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
当二次函数的二次项系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。
对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称轴的对称性。
例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。
同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。
二、关于原点的对称性除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。
当函数图像关于原点对称时，我们称之为关于原点的对称性。
对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。
奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。
例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。
偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。
例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
三、关于倒影的对称性除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。
当函数图像关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。
以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。
当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
然而，当底数a小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。
此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。
对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
函数的对称问题讲解
函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。
函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。
函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。
二、函数图像的对称轴和对称中心1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。
三、奇函数和偶函数的对称性1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。
例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。
例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。
因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。
六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。
例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。
因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。
函数的对称性真题答案解析
函数的对称性真题答案解析在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。
了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。
下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。
1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。
首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。
这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。
我们可以利用这个对称性进行解题。
假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。
也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。
当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。
所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。
进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。
再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。
将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。
这个等式显然是不成立的。
所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。
通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。
通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。
这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。
2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。
对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。
首先，我们来分析题目中给出的条件。
题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。
另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
函数图像的对称性与单调性的研究与应用
函数图像的对称性与单调性的研究与应用函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
而函数图像的对称性与单调性是研究函数特性的重要内容。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数图像的对称性与单调性。
一、对称性的研究与应用1.1 点对称性在函数图像中，如果存在一点P，对于图像上任意一点Q，都有关于点P对称的点R，那么称函数图像具有点对称性。
点对称轴就是过点P的垂直线。
点对称性在数学中有广泛的应用，如求解方程、证明等。
例如，对于函数y = x^2，其图像关于y轴对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值相等，这种对称性可以简化计算。
1.2 奇偶对称性函数图像的奇偶性是指函数关于y轴或原点的对称性。
如果函数满足f(-x) =f(x)，则称其为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性在函数的积分计算、函数的性质证明等方面有重要应用。
例如，函数y = x^3是一个奇函数，其图像关于原点对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值的正负相等。
二、单调性的研究与应用2.1 单调递增性函数图像的单调递增性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)。
单调递增性在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = x^2，在定义域上是单调递增的，这意味着当x1 < x2时，x1^2 ≤ x2^2。
2.2 单调递减性函数图像的单调递减性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)。
单调递减性也在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = -x^2，在定义域上是单调递减的，这意味着当x1 < x2时，-x1^2 ≥ -x2^2。
三、对称性与单调性的应用举例3.1 函数图像的变换对称性与单调性的研究可以帮助我们理解函数图像的变换规律。
例如，对于函数y = x^2，我们知道它关于y轴对称，那么当我们对其进行平移、缩放等变换时，可以利用对称性来简化计算。
函数图象的对称性
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
(1)若x a和x b是函数f ( x)的对称轴，则函数的周 期为T ?
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x) T 2(b a)
f (2a x) f (2b x)
(2)若(a,0)和(b,0)是函数f ( x)的对称中心，则函数的 周期为T ?
2 、函数图像关于点 (a, 0) 对称的定义：
奇函数f (0 x) f (0 x) 图像关于点 0,0)对称 (
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到(a,0)距离相等的点的函数值 互为相反数 sin( x) sin( x)
函
数
——函数图像的对称性
1、函数图像关于直线 x=a 对称的定义：
特例：偶函数 (0 x) f (0 x) 图像关于直线 0对称 f x
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到直线x a距离相等的点的函数值 相等 cos( x) cos( x)
“双对称函数一定是周期函数”
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
T (3) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称轴为 x a, 则x) f ( x)
f (2a x) f ( x)
2a T T x a 2 2
f (2a x) f (T x)
T (4) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称中心 (a,0), 则(a ,0)是对称中心 2
《天府高考》 24 P (3) y f ( x 2)是偶函数, y f ( x)关于x 1对称
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
抽象函数图像对称性问题
函数图像对称性得问题一、函数自身得对称性得问题函数就是中学数学教学得主线,就是中学数学得核心内容,也就是一个高中数学得基础。
函数得性质就是高考得重点与热点,函数得对称性就是函数得一个基本性质,也就是难点,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身得对称性与不同函数之间得对称性这两个方面来探讨函数与对称有关得性质得一些思考。
例题1. 函数y = f(x)得图像关于点Ａ(ａ,b)对称得充要条件就是ｆ(x) + f (2ａ—ｘ) = 2b证明:(必要性)设点Ｐ(x,y)就是y＝ f (ｘ)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a,b)得对称点Ｐ‘(2ａ-x,2b—y)也在y= f (x)图像上,∴2b—y = f(２a—x)即y＋ f (2ａ—ｘ)＝２ｂ故f (ｘ) + ｆ(2a－x)= ２b,必要性得证。
(充分性)设点P(x０,y0)就是y = ｆ(x)图像上任一点,则y0 = f (x0)∵ｆ(x) + f (2a－ｘ) ＝2b∴f(ｘ０) +ｆ(2a－x0) =２b,即2ｂ－ｙ０= f (2a-x0) 。
故点P‘(２a－x０,2b-y0)也在ｙ= f (ｘ) 图像上,而点P与点Ｐ‘关于点A(a ,b)对称,充分性得征。
例题２①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,ｃ)与点B (ｂ,ｃ)成中心对(a≠ｂ),则y = ｆ(ｘ)就是周期函数,且2|ａ－ｂ｜就是其一个周期。
②若函数y =ｆ(x) 图像同时关于直线ｘ=ａ与直线x = b成轴对称(a≠b),则y =f(x)就是周期函数,且２｜ａ—b｜就是其一个周期、③若函数y =ｆ(ｘ)图像既关于点A(a ,ｃ) 成中心对称又关于直线ｘ＝ｂ成轴对称(a≠b),则y = f(x)就是周期函数,且4｜ａ-b|就是其一个周期。
①②得证明留给读者,以下给出③得证明:∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c)成中心对称,∴f(x) ＋f(2a—ｘ) =2ｃ,用2b-ｘ代x得:f(2b－x) ＋f ［2a-(２b－ｘ) ] =２c………………(*)又∵函数y ＝ f (x)图像直线ｘ=b成轴对称,∴ f (２ｂ-x) = f (x)代入(*)得:ｆ (ｘ) = 2c —f ［2(a －b) + x ］…………(**),用2(ａ—ｂ)-ｘ代x 得f [2 (a-b)+ x ］ = ２c-f [４(a-b) ＋ x ］代入(＊＊)得:f (x) = ｆ ［4(a －b) + x ］,故ｙ = ｆ (ｘ)就是周期函数,且4｜ a-b ｜就是其一个周期、二、 不同函数对称性得问题数与形这两个基本概念,就是数学得两块基石、全部数学大体上都就是围绕这两个概念得提炼、演变、发展而展开得。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。
函数图像的对称性分析
函数图像的对称性分析在数学的世界里，函数图像的对称性是一个十分有趣且重要的概念。
它不仅有助于我们更深入地理解函数的性质，还能在解决数学问题时提供巧妙的思路和方法。
首先，让我们来谈谈什么是函数图像的对称性。
简单来说，就是如果函数图像沿着某条直线或者某个点进行翻转或折叠后，能够与原图像完全重合，那么就称这个函数图像具有对称性。
函数图像的对称性主要包括轴对称和中心对称两种类型。
轴对称就好比我们把一张纸沿着中间的一条直线对折，两边能够完全重合。
对于函数来说，如果存在一条直线 x ＝ a，使得对于函数定义域内的任意x，都有 f(a ＋ x) ＝ f(a x)，那么函数 f(x) 的图像就关于直线 x ＝ a 对称。
比如说，二次函数 f(x) ＝ x²的图像就关于 y 轴对称。
中心对称则类似于我们把一个图形绕着某个点旋转 180 度后能与原图形重合。
对于函数，如果存在一个点（a, b)，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(a ＋ x) ＋ f(a x) ＝ 2b，那么函数 f(x) 的图像就关于点（a, b) 对称。
例如，函数 f(x) ＝ x ＋ 1/x 的图像就关于点（0, 0)对称。
为什么我们要研究函数图像的对称性呢？这是因为它能给我们带来很多好处。
从理论角度来看，对称性可以帮助我们更深入地理解函数的本质。
通过研究函数图像的对称性，我们能够发现函数的一些内在规律和特点，从而更好地把握函数的性质。
在实际应用中，对称性也有着广泛的用途。
比如在求解函数的最值问题时，如果我们知道函数图像具有对称性，那么就可以利用这一性质来简化计算，更快地找到最值。
再比如，在解决函数方程的问题时，对称性也能提供有用的线索。
如果我们能判断出函数图像的对称性，就可以根据对称点或对称轴上的函数值来推导其他点的函数值，从而更容易地求解方程。
接下来，让我们通过一些具体的例子来进一步感受函数图像对称性的魅力。
考虑函数 f(x) ＝ sin x，它的图像是一个周期函数，并且具有轴对称性。
函数图像的对称性问题
x=1 对称，故 xi= ×2=m，
故选：B 【2016 全国卷 2 理】 12．（ 5 分 ）已 知 函 数 f（ x）（ x∈R）满 足 f（ ﹣ x）=2﹣ f（ x），若 函 数 y= 与 y=f（ x） 图 象 的 交 点 为 （ x1， y1），（ x2， y2）， …，（ xm，
ym）， 则 （ xi+yi） =（
2
2
（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b
－x））关于直线成轴对称，又由 x 的任意性可知：函数 y =f（x）关于直线
成轴对称。反之亦然。
特例： 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)
A．关于直线 x＝0 对称
B．关于直线 x＝1 对称
C．关于(1,0)点对称
D．关于(0,1)点对称
解：D
【依题意，将 h(x)＝2sin(2x＋π)的图象向右平移π个单位，再向
4
4
上平移 2 个单位后得 y＝2sin[2(x－π)＋π]＋2，即 f(x)＝2sin(2x－π)
44
4
＋2 的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象
图象关于
对称
解：由 f（x）+f（2－x）+2 = 0 得：f（x）+1 = －[f（2－x）+1]
令φ（x）= f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1
∴φ（x）=－φ（2－x）
∴ φ（x）关于点（1，0）对称，又 f（x）=φ（x）－1
故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。 典例 5：【可不看】已知函数 f (x) a x 的反函数 f 1(x) 的图象的对称中心
初中数学 如何通过函数的图像判断其是否具有对称性
初中数学如何通过函数的图像判断其是否具有对称性通过函数的图像来判断其是否具有对称性是初中数学中的一个重要概念。
在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像来判断其是否具有对称性。
要通过函数的图像来判断其是否具有对称性，我们可以按照以下步骤进行：1. 观察图像的形状：首先，我们需要观察函数图像的整体形状。
函数图像可能是关于x 轴、y 轴或原点对称的。
2. 关于x 轴的对称性：如果函数图像关于x 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(a, -b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于x 轴对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于x 轴对称。
3. 关于y 轴的对称性：如果函数图像关于y 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于y 轴对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于y 轴对称。
4. 关于原点的对称性：如果函数图像关于原点对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, -b) 也在图像上。
也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于原点对称的点也在图像上。
通过观察图像可以判断是否关于原点对称。
需要注意的是，对称性是一种函数的性质，通过观察函数的图像可以得出初步的结论，但并不能给出准确的判断。
如果想要更准确地判断函数是否具有对称性，可以使用函数的数学定义和性质进行分析。
通过了解如何通过函数的图像判断其是否具有对称性，你可以更好地理解函数的性质和变化。
这对于解决实际问题和进一步深入学习数学非常重要。
希望本文能够帮助你更好地理解和应用这一概念。
函数对称性
故点M1（2a－x0，2b－y0）也在 图像上；而点M与点M1关于点P(a ,b)对称。
在掌握了（*）式以后，也基本解决了函数 在平面内关于任一点对称的问题。
（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
解：设点 是函数 图象上的任一点。
若 ，则点M关于函数 的图象上；
若 ，则点 关于直线 的对称点为 ，这点也在 的图象上；
若 ，可类似说明。
所以 与 的图象关于直线 对称。
例4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
函数的对称性与周期性例题习题(供参考)
函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )()()(). 012A f f f <-< ()()(). 102B f f f -<< ()()(). 120C f f f -<< ()()(). 210D f f f <-<2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称；题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。
函数对称性问题
函数对称性问题函数图象的对称性体现了数学对称美。
函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。
本文从两方面探讨函数的对称性。
命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x?b?a对称。
2特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。
推论1、函数y?f(a??x)与函数y?f(b??x)的图象关于直线x?b?a对称 2?ab证明：?y?f(a??x)?f[?(x?)], y?f(b??x)?f[??(x?)]??所以，将函数y?f(?x)的图象向左平移|数y?f(??x)的图象向右平移|a?|个单位得y?f(a??x)的图象;将函b?|个单位得函数y?f(b??x)的图象,而y?f(?x)与y?f(??x)的图象关于 y轴对称，可得两函数图象关于直线x?b?ab?a对称。
记忆技巧：令 a??x?b，即对称轴方程。
?? x，易得x?2?2?命题2、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x?a?b对称。
反之亦然。
2推论2、若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，(m?0)，则函数y=f(x)的图象关于直线x?a?b对称。
反之亦然。
2命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a?bc,)成中心对称图形。
22下面举例说明其应用。
[例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称解：由命题1知，两函数图象关于x?3?1?1, 即关于直线x=1对称。
2[例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0 有_____个根，两方程的所有的根之和为______解：设y1?f(3?2x),y2?f(1?2x),由推广1知，两函数图象关于x?1?31??2?22对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为?1?6??3. 2?[例3] 函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)（1）若方程f(x)=0恰有2n(n?N)个根，则这些根的和为多少？1（2）若方程恰2n+1(n?N)个根，则这些根的和为多少？解：由命题2知，y=f(x)图象关于x??a?b对称。
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关于函数图像对称性的问题胡春林指导老师：刘荣玄【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。
【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称一、函数自身的对称性的问题函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。
例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
例题2①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的问题数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。
全部数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。
在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。
数和形的内在联系可使许多问题具有鲜明的直观性，数和形的结合也是数学教学中一个非常重要的环节。
例题3①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。
记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。
故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三．函数图像的中心对称与轴对称。
1、函数的中心对称定义在R上的函数y=f（x）对其定义内的任意的x，如果都有f（x）=2b－f（2a－x）（或f（a ＋x）=2b－f（a－x）），那么y=f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。
事实上：对任意x∈R，当都有f（x）=2b－f（2a－x）时，有点（x，f（x））与点（2a-x，f（2a－x））存在关系：b x a f x a f b x a f x f a x a x =-+--=-+=-+2)2()2(22)2()(,2)2(，这说明点（a ，b ）是点（x ，（f （x ））与点（2a －x ，f （2a －x ））的中点，由x 的任意性及中心对称的定义，可知函数 y =f （x ）关于点（a ，b ）成中心对称；反之亦然。
特例：定义在R 上的函数y=f （x ）关于点（a ，0）对称《=》对任意x ∈R ，都有f （a ＋x ） =－f （a －x ）（或 f （x ）=－f （2a －x ））例4：已知函数1)(---=a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（－1，3），则实数a 等于（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）－2 （D ）－4 解：1)1()(1+++=-x a x a x f∵)(1x f-关于点（－1，3）对称，∴)(1x f - =6－1-f （－1－x ） 即：11)1)(1(611)1)(1(+--+--+-=++-++-+x a x a x a x a ，也即：（2a －4）x = 0 由等式的恒等性可知：2a －4 = 0 ∴ a = 2 选（A ）例5：已知f （x ）+f （2－x ）+2 = 0 对任意实数x 恒成立，则函数f （x ）图象关于 对称解：由f （x ）+f （2－x ）+2 = 0 得：f （x ）+1 = －[f （2－x ）+1]令φ（x ）= f （x ）+1，则φ（2－x ）=f （2－x ）+1 ∴φ（x ）=－φ（2－x ）∴ φ（x ）关于点（1，0）对称，又f （x ）=φ（x ）－1故由平移知识可得：f （x ）关于点（1，－1）对称。
例6：设曲线C 的方程是y=x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴的正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1（1）写出曲线C 1方程；（2）求证：曲线C 与C1关于点)2,2(s t A 对称。
解（1）：C1的方程是：s t x t x y +---=)()(3证（2）：曲线C 关于点)2,2(s t A 的对称曲线方程是：s t x t x x t x t s x t x t s y +---=----=-⨯--⨯-⨯=)()()]()[()]22()22[(22333 即为曲线C1 ∴ 曲线C 与曲线C1关于点)2,2(s t A 对称。
2、函数的轴对称定义在R 上的函数y =f （x ），如果满足：f （a ＋x ）=f （b －x ），那么函数y =f （x ）的图象关于直线2b a x +=成轴对称；反之亦然。
事实上：对任意x ∈R ，都有f （a ＋x ）=f （b －x ）时，有点（a ＋x ，（a ＋x ））与点（b －x ，f （b －x ））存在关系：22b a x b x a +=-++，f （a ＋x ）=f （b －x ），由轴对称的定义可知：点（a ＋x ，f （a ＋x ））与点（b －x ，f （b －x ））关于直线成轴对称，又由x 的任意性可知：函数y =f （x ）关于直线成轴对称。
反之亦然。
特例：定义在R 上的函数y ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ=a 成轴对称《=》对任意x ∈R ，都有f （a+x ）=f （a-x ）。
例7：二次函数f （x ）满足f （2＋x ）=f （2－x ），又f （2）=1，f （0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（ ）（A ）0＜m ≤2 （B ）m ≥2 （C ）m ＞0 （D ）2≤m ≤4解：由函数的轴对称性可知：二次函数f （x ）关于直线x =2对称，又f （2）=1， f （0）=3，∴ f （x ）在[0，2]上是减函数，∴ f （x ）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f （2+2）=f （2－2）即f （4）=f （0）∵ f （x ）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴ 2≤m ≤4 选（D ）例8：函数f （x ）对一切实数x 都满足)43()41(x f x f -=+，并且f （x ）=0有3个实根，求这3个实根之和。
解：由)43()41(x f x f -=+可知：函数f （x ）关于直线21=x 对称，又∵f （x ）=0有3个实根，∴f （x ）=0必有一根是211=x ，且其余两根x 2、x 3关于21=x 对称，∴ 121232=⨯=+x x ∴ 23321=++x x x 四． 函数对称性常用性质函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。
函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现，常见的有以下结论。
【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。
（这是奇函数的数与形的体现）。
推论1：函数y=f(x)的图像关于点M （a ，b ）对称f(x)+f(2a-x)=2b证明：因为函数y=f(x)的图像关于点M （a ，b ）对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=（-a,-b ）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+a)-b ，关于原点0(0，0)中心对称，由性质1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b ］，即f(a-x)+f(a-x)=2b ，即f(x)+f(2a-x)=2b 。
反之也成立。
推论2：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a ,b)成中心对称。
【性质2】函数y = y=f(x)的图像关于y 轴对称f(x)=f(-x)。
（这是偶函数的数与形的体现）。
推论3：函数y=f(x)的图像关于直线x = a 轴对称f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。
证明：因为y=f(x)的图像关于直线x = a 对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于y 轴对称，由性质2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。