关于函数图像对称性问题

关于函数图像对称性的问题

胡春林

指导老师：刘荣玄

【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。

【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称

一、函数自身的对称性的问题

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。

例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。例题2

①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对

（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，

且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的问题

数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。全部数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。数和形的内在联系可使许多问题具有鲜明的直观性，数和形的结合也是数学教学中一个非常重要的环节。

例题3

①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三．函数图像的中心对称与轴对称。

1、函数的中心对称

定义在R上的函数y=f（x）对其定义内的任意的x，如果都有f（x）=2b－f（2a－x）（或f（a ＋x）=2b－f（a－x）），那么y=f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。

事实上：对任意x∈R，当都有f（x）=2b－f（2a－x）时，有点（x，f（x））与点（2a-x，f（2a－x））存在关系：

b x a f x a f b x a f x f a x a x =-+--=-+=-+2

)2()2(22)2()(,2)2(，这说明点（a ，b ）是点（x ，（f （x ））与点（2a －x ，f （2a －x ））的中点，由x 的任意性及中心对称的定义，可知函数 y =f （x ）关于点（a ，b ）成中心对称；反之亦然。

特例：定义在R 上的函数y=f （x ）关于点（a ，0）对称《=》对任意x ∈R ，都有f （a ＋x ） =－f （a －x ）（或 f （x ）=－f （2a －x ））

例4：已知函数1)(---=a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（－1，3），则实数a 等于（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）－2 （D ）－4 解：1)1()(1+++=-x a x a x f

∵)(1x f

-关于点（－1，3）对称，∴)(1x f - =6－1-f （－1－x ） 即：1

1)1)(1(611)1)(1(+--+--+-=++-++-+x a x a x a x a ，也即：（2a －4）x = 0 由等式的恒等性可知：2a －4 = 0 ∴ a = 2 选（A ）

例5：已知f （x ）+f （2－x ）+2 = 0 对任意实数x 恒成立，则函数f （x ）图象关于 对称

解：由f （x ）+f （2－x ）+2 = 0 得：f （x ）+1 = －[f （2－x ）+1]

令φ（x ）= f （x ）+1，则φ（2－x ）=f （2－x ）+1 ∴φ（x ）=－φ（2－x ）

∴ φ（x ）关于点（1，0）对称，又f （x ）=φ（x ）－1

故由平移知识可得：f （x ）关于点（1，－1）对称。

例6：设曲线C 的方程是y=x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴的正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1

（1）写出曲线C 1方程；

（2）求证：曲线C 与C1关于点)2,2(s t A 对称。

解（1）：C1的方程是：s t x t x y +---=)()(3

证（2）：曲线C 关于点)2

,2(s t A 的对称曲线方程是：s t x t x x t x t s x t x t s y +---=----=-⨯--⨯-⨯

=)()()]()[()]2

2()22[(22333 即为曲线C1 ∴ 曲线C 与曲线C1关于点)2,2(s t A 对称。 2、函数的轴对称

定义在R 上的函数y =f （x ），如果满足：f （a ＋x ）=f （b －x ），那么函数y =f （x ）的图象关于直线2

b a x +=成轴对称；反之亦然。 事实上：对任意x ∈R ，都有f （a ＋x ）=f （b －x ）时，有点（a ＋x ，（a ＋x ））与点（b －x ，f （b －x ））存在关系：

22b a x b x a +=-++，f （a ＋x ）=f （b －x ），由轴对称的定义可知：点（a ＋x ，f （a ＋x ））与点（b －x ，f （b －x ））关于直线成轴对称，又由x 的任意性可知：函数y =f （x ）关于直线成轴对称。反之亦然。