浅谈度量空间
Rudin数学分析中的度量空间与完备性
Rudin数学分析中的度量空间与完备性度量空间是数学分析中的重要概念之一。
在Rudin的经典著作《数学分析原理》中，度量空间的概念以及完备性是其重要的内容之一。
本文将探讨Rudin数学分析中度量空间与完备性的相关理论。
I. 度量空间的概念度量空间是定义了度量的集合，其中度量是衡量距离的函数。
在Rudin的书中，度量空间的定义如下：设X是一个非空集合，如果存在一个函数d: X×X→R，满足以下条件：1. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)≥0，并且当且仅当x=y时取等号；2. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)=d(y,x)（对称性）；3. 对于任意的x，y，z∈X，d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)（三角不等式）；则称(X, d)为一个度量空间，其中d称为度量。
在Rudin的书中，度量空间的定义还包括了同时满足下面两个条件的性质：4. 对于任意的x，y∈X，如果d(x,y)=0，则x=y（分离性）；5. 对于任意的x，y，z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)（广义三角不等式）。
II. 完备性的概念在度量空间中，完备性是一个重要的概念。
直观上讲，一个完备的度量空间中任意一个Cauchy序列都收敛于该度量空间中的某个点。
在Rudin的书中，给出了度量空间的完备性的定义：设X是一个度量空间，如果对于X中的任意一个Cauchy序列{xn}，存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷大时，有d(x,xn)趋向于零，那么称X是一个完备度量空间。
III. 度量空间与完备性的相关性质在Rudin的书中，给出了度量空间与完备性之间一些重要的性质和定理，如下所示：1. 空间的子空间：如果(X, d)是一个度量空间，A是X的一个子集，且令dA(x,y)=d(x,y)，那么(A, dA)也是一个度量空间。
2. 合乘性：如果(X, d)是一个度量空间，对任意的正实数h，令dh(x,y)=hd(x,y)，那么(X, dh)也是一个度量空间。
拓扑与度量空间
拓扑与度量空间拓扑与度量空间是数学中两个重要的概念，它们用于描述空间的结构和性质。
在数学领域中，我们经常需要研究集合上的结构和性质，而拓扑与度量空间为我们提供了两种不同的观察和分析空间的方法。
一、拓扑空间的概念拓扑空间是一种用于描述空间结构的数学概念。
它基于集合论中的集合和集合操作，并引入了开集和闭集的概念。
对于一个集合X，在X上定义一个拓扑T，即可构成一个拓扑空间。
拓扑空间中的开集是一个非常重要的概念。
开集可以定义为满足以下条件的集合：对于任意一个集合中的元素x，存在一个包含x的开集，使得这个开集完全包含于所定义的集合中。
闭集是开集的补集。
闭集满足以下条件：一个集合是闭集，当且仅当它的补集是一个开集。
在拓扑空间中，我们可以通过开集和闭集的概念，研究集合的连通性、紧致性以及其他的拓扑性质。
通过分析和定义拓扑空间中的开集和闭集，我们可以研究集合上的结构和性质。
二、度量空间的概念度量空间是另一种描述空间结构的方法。
与拓扑空间不同，度量空间引入了度量的概念。
度量是集合中两个元素之间的距离函数，它可以度量集合中任意两个元素之间的距离。
在度量空间中，我们可以通过度量的定义，研究集合中元素之间的距离、邻域以及其他的性质。
度量空间中的度量函数需要满足一些条件，如非负性、对称性和三角不等式等。
这些条件保证了度量函数的准确性和可靠性。
通过度量的定义，我们可以研究集合的完备性、连通性以及其他与距离相关的性质。
度量空间为我们提供了一种具体和直观的方法，来描述空间中元素之间的距离和关系。
三、拓扑空间与度量空间的关系拓扑空间和度量空间在某种程度上是相互联系的。
事实上，度量空间是拓扑空间的一种特例。
在某些情况下，可以通过给定度量构造对应的拓扑，而将度量空间转化为拓扑空间。
这种转化不仅保留了度量空间中元素之间的距离关系，还引入了开集和闭集的概念。
拓扑空间和度量空间的关系也可以从另一个角度理解。
在某些情况下，我们可以通过拓扑的性质来构造度量。
度量空间中的连续性与收敛性分析
度量空间中的连续性与收敛性分析度量空间是数学中一个重要的概念，它是指一个集合和定义在该集合上的一个度量函数的组合。
在度量空间中，我们可以讨论元素之间的距离、连续性以及收敛性等概念。
本文将对度量空间中的连续性和收敛性进行详细分析。
一、连续性在度量空间中，连续性是一个基本的性质。
一个函数在度量空间中的连续性可以通过以下方式进行定义：定义1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意的x1和x2∈X，只要d(x1,x2)<δ，就有d(f(x1),f(x2))<ε成立，则称函数f在点x∈X处连续。
定义2：若函数f在X的每一个点上都连续，则称函数f在X上连续。
根据上述定义，我们可以看出，一个函数在度量空间中的连续性与其在每个点的局部性质有关。
换句话说，函数f在点x处的连续性要求当x的邻域内的点趋近于x时，函数值也要趋近于f(x)。
二、收敛性在度量空间中，收敛性是另一个重要的性质。
一个数列在度量空间中的收敛性可以通过以下方式进行定义：定义3：设X是一个度量空间，{xn}是X中的一个数列。
若存在一个点x∈X，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛于x。
定义4：若数列{xn}在X中对于任意的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛。
根据上述定义，我们可以看出，数列{xn}在度量空间X中的收敛性要求当n趋近于无穷大时，数列的元素趋近于某个点x。
三、连续性与收敛性的关系在度量空间中，连续性和收敛性是密切相关的。
事实上，连续性是收敛性的一个重要推论。
具体而言，我们有以下定理：定理1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若函数f在X上连续，且数列{xn}在X中收敛于x，则函数f在点x处的函数值序列{f(xn)}收敛于f(x)。
度量空间的完备化
度量空间的完备化度量空间是数学中的一个重要概念，它是指一个集合，其中定义了一个度量函数，用来衡量集合中元素之间的距离。
在度量空间中，我们可以讨论收敛性、连续性等概念。
然而，并不是所有的度量空间都是完备的，即存在一些序列在该空间中无法收敛。
为了解决这个问题，数学家们引入了完备化的概念，通过在原度量空间中添加一些额外的元素，使得原空间变得完备。
本文将介绍度量空间的完备化的概念、性质以及一些例子。
一、度量空间的完备化的定义在介绍度量空间的完备化之前，我们先来回顾一下度量空间的定义。
设X是一个非空集合，d是X上的一个度量函数，即对于任意的x, y, z∈X，满足以下条件：1. 非负性：d(x, y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，d(x, y) = 0；2. 对称性：d(x, y) = d(y, x)；3. 三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
那么，我们可以定义度量空间(X, d)为一个有序对，其中X是一个非空集合，d是X上的一个度量函数。
接下来，我们来定义度量空间的完备化。
设(X, d)是一个度量空间，我们称(X, d)的完备化为一个度量空间(Y, ρ)，满足以下条件：1. Y是一个集合，且包含X；2. ρ是Y上的一个度量函数，且对于任意的x, y∈X，有ρ(x, y) = d(x, y)；3. 对于任意的序列{x_n}⊆X，在度量空间(Y, ρ)中，如果序列{x_n}收敛，则它的极限也在Y中。
简单来说，度量空间的完备化就是在原度量空间中添加一些额外的元素，使得原空间中的所有收敛序列在完备化空间中也能收敛。
二、度量空间的完备化的性质度量空间的完备化具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
1. 完备性：度量空间的完备化是一个完备的度量空间。
也就是说，在完备化空间中，任意的Cauchy序列都是收敛的。
2. 唯一性：度量空间的完备化是唯一的，即对于给定的度量空间，它的完备化是唯一的。
度量空间完备的定义
度量空间完备的定义1.引言在数学中，特别是在拓扑学和实分析中，度量空间是一个非常重要的概念。
它提供了一个衡量空间中两点之间距离的方法，从而可以量化地描述空间的结构和性质。
完备的度量空间在数学和物理中有广泛的应用，例如在黎曼几何、调和分析、微分方程等领域。
理解度量空间的完备性是深入理解许多数学概念和技巧的关键。
2.度量空间的定义首先，我们需要了解什么是度量空间。
一个度量空间是一个有序对(X, d)，其中 X 是一个集合，d 是 X 中的一种度量，也就是一个使得对于任意 x, y 属于 X 的函数 d(x, y) 非负、等于零当且仅当 x=y、以及 d(x, y)=d(y, x)（对称性）和 d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)（三角不等式）的函数。
在实数集上常用的欧几里得距离就是一种度量。
3.完备性的定义在度量空间中，完备性是一个重要的性质。
一个度量空间是完备的，如果它满足任何一个柯西序列（即，对于任意小的正数ε，存在一个正整数 N，使得对于所有的 n>N 和m>N，有d(xn, xm)<ε）都收敛于这个度量空间中的某个点。
简单来说，一个完备的度量空间意味着所有的柯西序列都有极限。
4.度量空间完备性的判定在实际应用中，我们需要判断一个给定的度量空间是否完备。
一个常用的方法是使用柯西序列的极限性质。
如果对于任意的柯西序列，都存在一个唯一的点x，使得该序列收敛于x，那么这个度量空间就是完备的。
此外，还可以通过其他一些性质来判断一个度量空间的完备性，例如闭性和完备性的等价性等。
5.完备度量空间的性质在数学分析中，我们常常用到一些性质来描述完备的度量空间。
这些性质包括：完备的度量空间是闭的；完备的度量空间是紧致的；完备的度量空间是连通的；完备的度量空间具有有限的可数稠密性等。
这些性质对于理解和应用度量空间的完备性非常有帮助。
6.完备度量空间的应用在许多数学分支和应用领域中，都涉及到度量空间的完备性。
度量空间与完备度量空间的基本性质
度量空间与完备度量空间的基本性质度量空间是数学中一种常见且重要的概念，它为我们研究空间中的距离和收敛性提供了数学工具。
在度量空间的基础上，还衍生出了完备度量空间这一概念，它具有更强的完备性质。
本文将介绍度量空间与完备度量空间的基本性质，并探讨它们在数学分析中的应用。
一、度量空间的基本性质度量空间是一种集合，其中每个元素都与其他元素之间存在一种（非负）距离关系。
设X为非空集合，d为X上的度量（距离）函数，若满足以下四个条件，即称(X,d)为一个度量空间：1. 非负性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，有d(x,y) = 0；2. 同一性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) = d(y,x)；3. 对称性：对于任意x, y, z∈X，有d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)（三角不等式）；4. 三角不等式：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)。
基于以上性质，我们可以推导出诸多重要结论，例如嵌套定理、开覆盖定理等，这些定理在实际问题的分析和求解中具有重要应用。
二、完备度量空间的基本性质在度量空间的基础上，完备度量空间引入了“序列收敛性”的概念。
设(X,d)为一个度量空间，如果X中的任意柯西序列都在X中收敛，则称(X,d)为一个完备度量空间。
柯西序列是指对于任意ε > 0，存在自然数N，使得当m, n > N时，有d(xm, xn) < ε。
它反映了序列中元素之间逐渐趋近的特性。
若在柯西序列的度量空间中存在极限元素，即序列中的所有项无限接近该极限元素，则说明该度量空间是完备的。
完备度量空间的重要性质有：1. 完备度量空间是闭集：对于给定的完备度量空间(X,d)，如果一个集合是某个闭集的子集，则该集合也是完备度量空间。
2. 内积空间和赋范空间是完备度量空间的特例：内积空间和赋范空间是更加特殊的度量空间，它们都是完备度量空间。
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设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
度量空间与完备性的概念
度量空间与完备性的概念在数学中，度量空间是一种常见的数学结构，它具有一种度量函数，用于测量集合中的元素之间的距离。
而完备性是度量空间中的一个重要性质，它表明该空间中任意柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。
本文将介绍度量空间与完备性的概念，探讨其特性和应用。
一、度量空间的定义度量空间是一个集合X，其中带有一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1. 非负性：对任意x,y∈X，都有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2. 对称性：对任意x,y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3. 三角不等式：对任意x,y,z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。
二、完备性的定义在度量空间中，如果对于任何柯西序列{xn}⊆X，都存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷时，d(x,xn)趋向于0，则称这个度量空间是完备的。
三、完备性的性质1. 完备性的等价定义：度量空间X是完备的，当且仅当每个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。
在度量空间中，柯西序列是指一个序列{xn}，对任意ε>0，存在一个正整数N，当n,m>N时，有d(xn,xm)<ε。
2. 完备性的保持：完备性是度量空间的一个重要性质，而一个完备度量空间的闭子集也是完备的。
即如果度量空间X是完备的，Y是X的闭子集，则Y也是完备的。
3. 完备度量空间的例子：实数集R是一个完备的度量空间，而有理数集Q不是完备的度量空间。
四、完备性的应用1. 定义一致收敛：在函数分析中，完备性的概念常常用于定义一致收敛。
如果在度量空间X上有一列函数{fn}，对于任意ε>0，存在一个正整数N，当n>N时，对所有的x∈X，都有d(f(x),fn(x))<ε，则称该列函数在X上一致收敛。
2. 构造完备空间：通过将某个度量空间中的柯西序列等价类引入，可以构造一个完备空间。
例如，利用有理数集Q上的柯西序列等价类，可以构造实数集R，而实数集就是一个完备空间。
数学中的度量空间与拓扑空间
度量空间是数学分析中的一个重要概念，它是一种通过度量来定义距离的空间结构。
度量空间是一个集合，其中每个元素都与其他元素有一个非负实数的关联。
这个非负实数被称为度量，它描述了两个元素之间的距离。
拓扑空间是另一种常见的数学结构，它通过拓扑性质来描述元素的相对位置。
拓扑性质是一种关于集合的性质，它仅考虑集合元素之间的关系而不关心具体的度量。
度量和拓扑是数学中的两个重要的概念，它们在不同的数学领域中都有广泛的应用。
度量空间通常用来描述物理空间中的距离和几何概念，如欧氏空间和几何空间。
拓扑空间通常用来描述不同形状和结构的空间，如拓扑学中的流形和曲线。
在度量空间中，我们可以定义一些距离的性质，例如距离的对称性、三角不等式和非负性。
这些性质使得我们能够进行数学分析和推理。
在度量空间中，我们可以定义开集和闭集，并且可以通过距离的度量来定义集合的极限和连续性。
因此，度量空间为我们提供了一个在距离和几何上进行分析的框架。
拓扑空间则关注于集合元素之间的相对位置。
在拓扑空间中，我们可以定义开集和闭集，但是我们并不依赖于具体的度量来定义它们。
开集和闭集的定义通过集合的子集来确定，而不是通过具体的度量来确定。
这使得拓扑空间更加抽象和灵活，因为我们可以在不同的度量下定义相同的拓扑。
度量空间和拓扑空间有许多共同点，它们都是用来描述空间结构的数学概念。
度量空间和拓扑空间都可以定义开集和闭集，并且都可以定义集合的极限和连续性。
然而，它们之间也有一些区别。
度量空间依赖于具体的度量，而拓扑空间是基于集合的拓扑性质。
度量空间更加具体和精确，而拓扑空间更加抽象和灵活。
总结起来，数学中的度量空间和拓扑空间是两个重要的数学概念。
度量空间通过度量来描述元素之间的距离，而拓扑空间通过拓扑性质来描述元素的相对位置。
度量空间和拓扑空间都具有广泛的应用领域，并且在数学分析和几何学中有着重要的地位。
同时，度量空间和拓扑空间也有许多相似之处，它们都可以定义集合的极限和连续性，为我们提供一个进行数学推理和分析的框架。
函数论中的度量空间理论解析
函数论中的度量空间理论解析前言度量空间理论是函数论的基础，它为函数的收敛性、连续性和一致收敛性等概念提供了严格的数学定义和分析工具。
度量空间理论在函数论中的应用非常广泛，它不仅可以用来证明函数的各种性质，还可以用来构造新的函数空间并研究函数空间的结构。
度量空间的概念度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，使得对于任意x, y, z∈X，都有以下性质：1.非负性：d(x, y) ≥ 0，并且d(x, y) = 0当且仅当x = y。
2.对称性：d(x, y) = d(y, x)。
3.三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
函数空间的度量在函数论中，度量空间通常是函数空间。
函数空间是一个集合X，其中元素是定义在某个集合上的函数。
对于函数空间，度量函数通常是函数之间的距离，例如：1.最大范数：对于定义在[a, b]上的连续函数f和g，最大范数定义为：d(f,g)=maxx∈[a,b]|f(x)−g(x)|2.平方可积范数：对于定义在[a, b]上的平方可积函数f和g，平方可积范数定义为：d(f,g)=(∫|f(x)−g(x)|2ba dx)1/2函数的收敛性在函数论中，函数的收敛性是一个重要的概念。
函数的收敛性是指函数序列{fn}在某个度量空间中收敛到某个函数f。
函数的收敛性有以下几种类型：1.点收敛：对于任意x∈X，都有limn→∞ fn(x) = f(x)。
2.一致收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x∈X，都有|fn(x) - f(x)| < ε。
3.均匀收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x, y∈X，都有|fn(x) - fn(y)| < ε。
函数的连续性函数的连续性也是函数论中的一个重要概念。
函数的连续性是指函数在某个点的邻域内是连续的。
函数的连续性有以下几种类型：1.点连续：对于任意x∈X，存在δ>0，使得对于任意y∈X，如果|x - y| < δ，则有|f(x) - f(y)| < ε。
3.度量空间
lim
n
xnx, 或x n来自x(n)21
定理3.1 设 {xn}是度量空间{V，d}中收敛于x序 列，则
（1）{xn}是有界的；
（2）{xn}的极限是唯一的。
证明: (1)已知
lim
n
x
n
x.
取=1，则存在自然
数N，当n>N时有
(xn,x)<1 令M=1+max{(x1,x),,(xN,x),1},则对一 切n∈N,有 (xn , xm) (xn , x) (xm, x) 2M
Br (x) {y V | (x, y) r}是闭集.
实际上，y Br (x),(x, y) r.令r0 r (x, y) 0,
z Br0 (y),由于(z, x) (z, y) (y, x) r0 (x, y) r,
故z Br (x),因此, Br0 (y) Br (x)
U(a,)U(x,).U(a,)中必包含有异于x的中之点.
从而,U(x,)必包含有异于x的A中之点.
29
因此,x是A的极限点, 即x A.所以,( A) A.
(2)x A B.当x A B时,显然x A B;
当x(AB)′时,则x不是A的极限点, 就是B的极限点. 若不对,即x既不是A的极限点,也不是B的极限点, 于是,有x的邻域U(x,),它不包含A的点, 又有x的邻域U(x,)U(x,), 它既不包含A的点,也不包含B的点, 这与x是AB的极限点矛盾.
‖x‖= (x, x)
x, y∈V两点间的距离定义为
d(x,y)=‖x-y‖= (x y, x y)
可以证明：d满足度量三公理，从而
{V,d}是度量空间。
6
首先证明:x,yV,有Cauchy不等式
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
度量空间的三条基本公理
度量空间的三条基本公理你有没有想过，咱们生活中的很多东西都可以用“距离”来形容？比如你和朋友之间的关系，你们是不是越走越近？还是渐行渐远？这些都和“距离”有关。
对了，距离可不光是指从这儿到那儿的直线长度，哦不，数学里有个专门的东西叫做“度量空间”，它其实就是用来定义和测量“距离”的地方。
听起来挺高大上的，但其实并不复杂，只要你了解它背后的基本规则，你就能轻松掌握。
度量空间的“三条基本公理”到底是什么呢？别急，我们一步一步来，保证你不会觉得晦涩难懂，反而会觉得特别有趣。
度量空间的第一个公理就是：非负性。
什么意思呢？就好比你和朋友之间的关系，不可能是负的吧？想想看，如果你们的关系真变得负了，那是不是有点糟糕？数学上也是这样，距离永远不能是负数。
比如，你从家到超市的距离，哪怕你走错路绕了一圈，距离依然是正的。
换句话说，距离总是大于等于零，别忘了哦，这点特别重要。
第二条公理呢，是自反性。
你可以理解成，任何东西和自己之间的距离，都是零。
也就是说，无论你走多远，回到自己身边，距离都是零。
就像你每次回家，进门一刻，你是不是总觉得终于找到了“归属感”？没有什么比“回到自己”更舒服的了。
举个简单的例子，当你站在镜子前，自己的影像和你之间的距离，不管镜子多大，距离都是“零”。
哦，别担心，这并不意味着你能和自己彻底分开。
自反性保证了你永远都可以回到原点。
第三个公理叫做三角不等式，这名字听起来有点像数学家的专有术语对吧？别担心，它其实就告诉我们，距离不可能“越走越短”。
想象一下，如果你从家出发，先去朋友家，再去超市，最后回家，你的总路程肯定是大于直接从家到超市的路程的。
就是说，如果你选择走“捷径”通过朋友家，虽然可能走了曲线，但你一定不会走得比直接走要短。
这就好比我们做事情，有时候绕一圈，看似“曲线”行进，最后的结果却更接近目标。
这条三角不等式的公理呢，保证了我们不会偏离现实，数学也一样，距离总是有限制的。
这些基本公理，看似简单，但它们为我们描述的“度量空间”奠定了坚实的基础。
度量空间的完备化
度量空间的完备化度量空间是数学中重要的概念之一，它是一种能够度量元素之间距离的数学结构。
在实际问题中，我们常常需要考虑一些不完备的度量空间，即存在一些收敛序列却不收敛于该空间中的点。
为了解决这一问题，数学家们引入了完备化的概念，通过对不完备度量空间进行扩展，构造出一个完备的度量空间，使得原空间中的收敛序列在完备化空间中也能收敛。
本文将介绍度量空间的完备化的概念、构造方法以及完备化空间的性质。
一、度量空间的完备化概念在介绍度量空间的完备化之前，首先需要了解度量空间的定义。
度量空间是一个集合X和一个从X×X到非负实数集合R上的映射d组成的数学结构，满足以下性质：1. 非负性：对于任意的x, y∈X，有d(x, y) ≥ 0，且等号成立当且仅当x = y；2. 同一性：对于任意的x, y∈X，有d(x, y) = 0当且仅当x = y；3. 对称性：对于任意的x, y∈X，有d(x, y) = d(y, x)；4. 三角不等式：对于任意的x, y, z∈X，有d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
若度量空间X中的每一个Cauchy序列都收敛于X中的某一点，则称X为完备度量空间。
而对于不完备的度量空间，我们可以通过构造一个完备的度量空间来扩展原空间，这个扩展的过程就是度量空间的完备化。
二、度量空间的完备化构造方法对于给定的度量空间X，我们可以通过以下步骤构造其完备化空间： 1. 构造Cauchy序列空间：首先定义一个等价关系∼，对于X中的两个序列{xn}和{yn}，若它们的距离序列{d(xn, yn)}是Cauchy序列，则称{xn}∼{yn}。
将所有与X中元素等价的Cauchy序列构成一个集合，记为X*。
2. 定义等价类之间的距离：对于X*中的两个等价类[x]和[y]，定义它们之间的距离为limn→∞d(xn, yn)，其中{xn}∼[x]，{yn}∼[y]。
3. 完备化空间的构造：以X*中的等价类为点集，以步骤2中定义的距离为度量，构造一个新的度量空间Y，称为X的完备化空间。
拓扑空间和度量空间的关系
拓扑空间和度量空间的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊拓扑空间和度量空间这两个数学领域的小伙伴。
说到这两位，嘿，那可是有点意思的，像是好基友一样，却又各自有各自的脾气。
拓扑空间就像是那个性格随和的大哥，包容性强，谁都能往里钻；而度量空间则是那个讲究秩序的小弟，爱管事，寸步不让。
我们就来深入浅出地看看它们之间的关系，顺便开开脑洞，搞搞笑。
2. 拓扑空间：包容的大家庭2.1 拓扑空间是什么首先，咱们得认识一下拓扑空间。
你可以把它想象成一个大社区，里面的人都有自己的家，但不一定有具体的地址。
通俗点说，拓扑空间的核心思想就是“邻近”和“连通”。
在这个社区里，虽然每个人的家没有明确的距离，但大家都知道，哪几个邻居是常来常往的。
你随便挑一个点，它的邻居可以是旁边的、对面的，甚至是隔了好几条街的，反正只要你觉得有联系，就能算作是“邻居”。
听起来是不是很随意？2.2 拓扑空间的性质在这个大社区里，大家的聚会方式也是多种多样，有的高档、有的随性。
你想找个安静的地方喝茶，随便一找就能找到；想热闹的聚会，也总能找到一堆人凑在一起。
拓扑空间的魅力就在于它的“开放”和“闭合”。
一个开放的集合就像是那种随时欢迎朋友上门的家，谁来都行；而闭合的集合就像是严谨的年会，只有特定的人才能参加。
这种随意和包容让拓扑空间非常灵活，可以容纳各种奇奇怪怪的情况。
3. 度量空间：讲究的秩序3.1 度量空间的定义说完了大哥拓扑空间，我们再来看看小弟度量空间。
它可是个精打细算的家伙，对每个人之间的距离都有着严格的标准。
在度量空间中，点与点之间的距离就像是每个邻居都有自己的门牌号。
你要是想去找谁，得清楚怎么走，而且得知道怎么量度这个距离。
不像拓扑空间那样随意，度量空间更注重的是结构和规则。
它的每一步都得计算清楚，谁离谁近，谁离谁远。
3.2 度量空间的性质在这个小弟的世界里，距离不仅要“准确”，还得满足一些条件。
比如说，距离不能为负，距离相同的两点才算是同一个地方，听起来是不是有点儿科学怪人？而且，从A 到B的距离和从B到A的距离是一样的，这让整个空间显得有条不紊，跟那些随意的聚会比起来，更像是一场正式的宴会。
度量空间
例，设 ρ：R×R→R 为ρ(x, y)=│x－y│，x、y、ρ(x, y)∈R，
则ρ是“R上”的一个度量， 为R上的常用度量， 称度量空间(R, ρ)为实数空间或实直线。 “实数空间”度量了数轴上任意二点间的绝对距离。
-1-
例，设n∈N(自然数集合)，ρi：Rn×Rn→R（i=0，1，2，3） ，对
∀x=(x1，…，xn)、y=(y1，…，yn)∈R ，有： （1） 设(X, ρ)为度量空间，如果对于∀x∈X， “存在”一个实数εx＞0， 使得对任意y∈X，x≠y，有ρ(x,y)＞εx， 则称ρ是X上离散度量， 称(X, ρ)是离散(度量)空间
[２]
n
。
例，定义ρ0为： ρ0(x,y)=0，当x＝y； ρ0(x,y)=1，当x≠y； 证明：ρ0是一个离散度量。
[１]
度量空间是一类特殊的拓扑空间。
一、度量空间
定义 设 X 为非空集合，∃ρ：X×X→R，使∀x、y、z∈X 满足：
（1） 正定性：ρ(x,y)≥0，并且ρ(x,y)=0当且仅当 x=y； （2） 对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）三角不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)＋ρ(y,z) 则ρ(x,y)称为度量空间(X, ρ)从点x到点y的距离， ρ是X的一个度量(metric)， 偶对(X, ρ)为度量空间(metric space)。
-7-
例，度量空间的开集由距离/度量导出，同一集合上的不同度量可能
导出相同的开集，即某一集合对某一度量/距离是开集，则对另一度量/ 距离也是开集，从而导出的拓扑是相同的。 在Rn中给出如下三种距离/度量：
ρ1(x, y) = (∑(xi − yi ) ) ，ρ2 ( x, y) = max | xi − yi | ，ρ3 ( x, y) = ∑| xi − yi | 1≤ i ≤ n i =1 i =1
度量空间定义
度量空间定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊度量空间呀！这玩意儿听起来好像挺玄乎，其实啊，就跟咱生活里的好多事儿差不多呢！你想想看，度量空间就像是一个大舞台，上面有各种各样的点在那蹦跶。
这些点之间的距离，那就是它们的关系呀！就好比咱人和人之间，关系有远有近，这距离不就跟度量空间里的概念很像嘛！比如说吧，你和你最好的朋友，那距离就近呀，天天黏在一起，有啥事儿都一起分享。
可要是个不太熟的人呢，那距离就远喽。
这在度量空间里也是一样的道理呀！不同的点之间的距离是不一样的。
再打个比方，你家到学校的距离，和你家到超市的距离，能一样吗？肯定不一样呀！这就是度量空间里说的不同点之间的距离差异。
而且度量空间里还有好多有趣的性质呢！就好像一个人有各种性格特点一样。
有的度量空间很规整，有的就奇奇怪怪的。
这多有意思呀！咱平时生活中也经常会用到类似的概念呀。
比如说你要去一个地方，你得考虑距离远近吧，得选择最合适的路线吧，这其实就是在不自觉地运用度量空间的思想呢！你说这度量空间是不是无处不在呀？它可不只是存在于那些高深的数学书里，就在咱身边呢！咱们每天走的路、见的人、经历的事儿，都可以和度量空间联系起来呢。
想想看，你和朋友闹别扭了，是不是就像两个点之间的距离突然变远了？等和好了，距离又近了。
度量空间真的很神奇呀，它能帮我们理解好多生活中的现象呢。
我们可以通过它来更好地认识这个世界，认识我们自己和周围人的关系。
所以啊，别小看这度量空间，它可有着大用处呢！它就像一把钥匙，能打开我们对世界更深层次理解的大门。
让我们能更清楚地看到事物之间的联系和区别。
怎么样，是不是很厉害？反正我是这么觉得的！。
浅谈度量空间
度 量 空 间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.关键词: 度量空间 导集 闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令()⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及() ,,,,21n y ηηη=，令()ii ii i i y x d ηεηε-+-=∑∞=121,1，易知()y x d ,满足距离条件0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =. (2.1)下验证()y x d ,满足距离条件),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立. (2.2)为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式.111bb aa ba b a +++≤+++事实上，考察[)∞,0上的函数()tt t f +=1 由于在[)∞,0上，()()0112'>+=t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式b a b a +≤+，我们得到bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++1111.11.令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得ii ii i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+-+-≤-+-111. 由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.例2.3 有界函数空间()A B设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义()()()t y t x y x d At -=∈sup ,.下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x At At -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .所以()()()()()()t y t z t z t x t y t x At At At -+-≤-∈∈∈sup sup sup .即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..例2.4 可测函数空间)(X M设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于1)()(1)()(<-+-t g t f t g t f所以这是X 上的可积函数，令⎰-+-=Xdt t g t f t g t f g f d )()(1)()(),(如果把)(X M 中的两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中的同一个元，那么利用不等式.111bb aa ba b a +++≤+++及积分性质很容易验证),(g f d 是距离. 因此)(X M 按上述距离),(g f d 成为度量间.例2.5 []b a C ,空间令[]b a C ,表示闭区间[]b a ,上的实值（或复值）连续函数全体，对[]b a C ,中任意两点,,y x 定义)()(max ),(t y t x y x d bt a -=≤≤容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6 2l记{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<==∑∞=122k kk x x x l .设{}{}22,l y y l x x k k ∈=∈=定义 2112)(),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∞=k k k x y y x d .则d 是2l 的距离。
度量空间例子
度量空间例子
嘿，朋友们！今天咱就来唠唠度量空间的例子。
咱就说生活中不就有很多度量空间的例子嘛！比如说你和朋友约好去一个地方见面，这个地方就是一个特定的“点”，你们约定的时间就是一种“度量”呀。
你想想，要是没有具体的时间和地点，那可咋见面，那不就乱套啦？这就好像玩游戏没有规则一样，那还怎么玩得下去呀！
再比如，我们度量温度。
夏天的时候，那个热呀，气温蹭蹭往上涨，咱们会说“哇，今天好热呀，都快 40 度啦！”这 40 度不就是对温度这个度量的具体数值嘛。
冬天呢，会喊“哎呀，冷死啦，都零下好几度了！”这不就是用具体的数字来表达温度这个度量嘛。
还有啊，我们每天走路，走的路程也是一种度量呀！你和朋友说“我今天走了好多路，累死啦！”那走了多少路其实就是一个度量的结果。
就好像在一个大地图上，你从一个地方走到另一个地方，这个距离就是一种特殊的度量呀。
咱再想想，去超市买东西的时候，那些商品的价格不也是一种度量嘛。
你看这个苹果 5 块钱一斤，那个香蕉 3 块钱一斤，价格就是对商品价值的度量呢。
度量空间真的无处不在呀，它就像我们生活的小助手，帮我们更好地理解和把握周围的一切呢。
总之，度量空间就在我们身边，时刻影响着我们的生活呢，是不是很神奇呀？！大家可得好好留意哦！。
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度 量 空 间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.关键词: 度量空间 导集 闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令()⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及() ,,,,21n y ηηη=，令()ii ii i iy x d ηεηε-+-=∑∞=121,1， 易知()y x d ,满足距离条件0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =. (2.1)下验证()y x d ,满足距离条件),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立. (2.2)为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式.111bb aa ba b a +++≤+++事实上，考察[)∞,0上的函数()t tt f +=1 由于在[)∞,0上，()()0112'>+=t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式b a b a +≤+，我们得到bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++1111.11.令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得ii ii i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+-+-≤-+-111.由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.例2.3 有界函数空间()A B设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义()()()t y t x y x d At -=∈sup ,.下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x At At -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .所以()()()()()()t y t z t z t x t y t x At At At -+-≤-∈∈∈sup sup sup .即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..例2.4 可测函数空间)(X M设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于1)()(1)()(<-+-t g t f t g t f所以这是X 上的可积函数，令⎰-+-=Xdt t g t f t g t f g f d )()(1)()(),(如果把)(X M 中的两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中的同一个元，那么利用不等式.111bb aa ba b a +++≤+++及积分性质很容易验证),(g f d 是距离. 因此)(X M 按上述距离),(g f d 成为度量间.例2.5 []b a C ,空间令[]b a C ,表示闭区间[]b a ,上的实值（或复值）连续函数全体，对[]b a C ,中任意两点,,y x 定义)()(max ),(t y t x y x d bt a -=≤≤容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6 2l记{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<==∑∞=122k k k x x x l .设{}{}22,l y y l x x k k ∈=∈=定义2112)(),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∞=k k k x y y x d .则d 是2l 的距离。
距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) . 对任何正整数n ，()()n n x x x ,,1 =和()()n n y y y ,,1 = 都R 中的元素，由Cauchy 不等式∑∑∑===⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k n k k k y x y x 121221再令右端 ∞→n ，即得∑∑∑∞=∞==⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121221k kk k n k k k y x y x再令左端的∞→n ，即得∞<⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∞=∞=∞=121221k kk k k k k y x y x 由此可得∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=++=+1211212)(k k k k k k k k k ky y x x y x∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+⋅+≤1221121212)(2k k k kk kk ky y x x221122112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=k k k k y x令取{}{}{}.,,k k k ζζηηξξ===以 k k k k k k y x ζηξζ-=-=,代入上式，即可得ζηξ,,的三点不等式),(),(),(ηζζξηξd d d +≤由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 n R 之外，还包括其他的空间.3 度量空间的一些简单性质定理3.1 设()p X ,是一个度量空间，则拓扑空间X 是一个离散空间当且仅当p 是一个离散的度量.证 充分性 若p 是一个离散的度量，则对于任意的∈x X ，存在实数0>x δ，使得对于任意的∈y X ,x y ≠ ,有()x y x p δ>,.于是x 的球形邻域(){}x x B x =δ,,所以，{}x 为开集.由x 的任意性以及开集的性质，故X 为离散空间.必要性 若X 为离散空间，则对于任意的∈x X ,单点集{}x 为开集，于是存在x 的球形邻域(){}x x B =ε, ,令2εδ=x ，则对于任意的X y ∈并且x y ≠,有()y x p ,x δ>.所以, p 为离散的度量.定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证 设()ρ,X 为一个度量空间，A 是X 的任意一个子集.欲证A 的导集()A d 为闭集，只需证()()()A d A d d ⊂.如果()()φ=A d d ,显然()()()A d A d d ⊂.如果()()φ≠A d d ,由于()()()A d A A d d ⊂,所以对于任意∈x ()()A d d ,有∈x A 或∈x ()A d .若∈x A ，则对于x 的任意一个球形邻域()ε,x B ,有()ε,x B (){}()φ≠-x A d .于是，对于任意的∈y ()ε,x B (){}()φ≠-x A d ,则x y ≠，取()(){}y x p y x p ,,,m in -=εδ则()()εδ,,x B y B ⊂,并且(){}()φδ≠-y A y B ,又由于(){}()y A y B - δ,(){}()x A y B - δ,⊂(){}()x A x B - ε,,所以(){}()x A x B - ε,φ≠，因此∈x ()A d .综上，对于任意∈x ()()A d d ,有∈x ()A d .所以，()()()A d A d d ⊂. 定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.证 ()ρ,X 为一个度量空间，∈x X ,对于任意X y ∈,x y ≠,令()2,y x p =ε，于是0>ε,并且(){}φε=x y B ,,所以,y ∉{}x ,于是{}x ={}x ,因此，单点集{}x 为闭集.由x 的任意性，度量空间X 中的每一个单点集都是闭集.定理3.4 X 是一个度量空间，如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为只含有有限多个点的离散空间.证 假设X 是无限集.由于X 是一个度量空间，由定理3.1可知，X 中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意∈x X ，集合X -{}x 都是开集.因此，拓扑空间X 中有无穷多个不同的开集.又由已知X 有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以X 中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，X 只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，X 是一个离散空间.定理3.5 度量空间X 中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限. 证 设()ρ,X 是一个度量空间，{}+∈z i i x 是X 中的一个收敛序列.假若序列{}+∈zi i x 至少有两个极限x 和y .由于x y ≠,则()0,>y x p .设ε=()0,>y x p ,于是对于x 的球形邻域()ε,x B ,存在1M ∈+Z ,使得当>i 1M 时，有i x ∈()ε,x B ;对于y 的球形邻域()ε,y B ,存在2M ∈+Z ,使得当>j 2M 时，有i x ∈()ε,y B .则一方面()ε,x B ()ε,y B φ=. （3.1）另一方面，令max =M {1M ,2M },于是当>i M 时，有i x ∈()ε,x B ()ε,y B ，这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间X 只有一个极限.定理3.6 设X 是一个度量空间，A ⊂X ,x ⊂X 有一个序列{}+∈z i i x 在{}x X -中并且收敛于x 当且当x 是集合X 的一个凝聚点.证 必要性 设序列{}+∈z i i x 在{}x X -中并且敛于x .如果U 是x 的一个邻域，则存在∈M +Z 使{21,++M M x x …}U ⊂,因此{21,++M M x x ,…}⊂{}()x A U - ,从而{}()x A U - φ≠.所以x 是A 的一个凝聚点.充分性 如果x 是A 的一个凝聚点，则对于x 任意一个球形邻域()ε,x B 有()ε,x B {}()x A - φ≠,于是对于任给的正实数ε有02>iε,其中∈i +Z .并且⎪⎭⎫⎝⎛i x B 2,ε{}()x A - φ≠. 所以对于每一个∈i +Z ,任取i x ∈⎪⎭⎫⎝⎛i x B 2,ε{}()x A - φ≠,则序列{i x }+∈z i ⊂ {}x A -中并且收敛于x .4 度量空间的紧致性和完备性4.1 度量空间的紧致性定义4.1.1 设A 是度量空间()p X ,中的一个非空子集.集合A 的直径diam ()A 定义为diam ()A ={}⎩⎨⎧∞∈是有界的如果是有界的如果A A A y x y x ,),(sup ρ定义4.1.2 设()p X ,是一个度量空间，A 是X 的一个开覆盖.实数0>λ成为开覆盖A 的一个Lebesgue 数，如果对于X 中的任何一个子集A ，只要diam ()A λ<，则A 包含于开覆盖A 的某一个元素之中.Lebesgue 数不一定存在。