1、3、3算法案例(进位制)
10.§1.3.3算法案例—进位制
教师课时教案备课人授课时间课题§1.3.3算法案例—进位制课标要求了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
教学目标知识目标了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
技能目标学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
情感态度价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
重点各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一．复习引入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制二．研探新知探究一: 进位制的概念思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数？思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：)(011knnaaaa-其中各个数位上的数字na ,1-na ,…，1a，a的取值范围如何？教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动思考4:十进制数4528表示的数可以写成123108102105104⨯+⨯+⨯+⨯，依此类比，二进制数)2(110011,八进制数)8(7342分别可以写成什么式子？思考5:一般地，如何将k进制数)(011knnaaaa-写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？探究二: k进制化十进制的算法思考1:【例3】二进制数110011（2）化为十进制数是什么数？思考2:二进制数右数第i位数字ia化为十进制数是什么数？思考3:【例4】运用循环结构，把二进制数)2(011aaaaann-=化为十进制数b的算法步骤如何设计？算法分析：从例3的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如右图：思考6:该程序框图对应的程序如何表述？教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动探究三：除k取余法思考1:二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？【例5】十进制数89化为二进制数是什么数？解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法。
1.3.3进位制课件8
进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数 系统。 比如： 满二进一，就是二进制；
满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
基数：
“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
11011 234 89=324（5） 156
（8）
思考：把
化为四,八，十六进制
（2）
数表示
思路一:利用十进制作为中间桥梁转化
思路二:利用4,8,16与2的次方关系直接 转化
小结
一、进位制
anan1L a1a0(k)(0 an k,0 an1,L , a1, a0 k).
二、各进制数之间的转化（只限整数） 1、其它进制数化成十进制数公式 anan1L a1a0(k ) an k n an1 k n1 L a1 k1 a0 k 0 2、十进制数化成k进制数
古巴比仑的记数法虽有位值制的意义，但它采用的是六十进 位的，计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符 号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形 的，如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达，因而轻视计 算，记数方法落后，是用全部希腊字母来表示一到一万的数字， 字母不够就用加符号“‘”等的方法来补充。古罗马采用的是 累积法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累 积法，到公元七世纪时方采用十进位值制，很可能受到中国的 影响。现通用的印度——阿拉伯数码和记数法，大约在十世纪 时才传到欧洲。
解例：5
把89化为二进制数。
除2取余法
余数
Байду номын сангаас
人教版数学必修三1.3.3算法案例(三)——进位制 课件
（2）已知k进制的数132(k)与十进制的数30相等， 求k的值. 拓展：若已知 132 =30 呢？
(k) (7)
解： 132(k) =30
2
1 k 3 k 2=30 2 即k 3k 28=0
1
Hale Waihona Puke k=4或k= 7(舍去) 故，k的值为4.
如 何 例2、把89化为三进制数 将 89 余数 3 解： 89＝3×29＋2 解： 2 29 十 3 29＝ 3×9＋2 2 9 3 进 9＝ 3× 3＋ 0 3 0 3 制 3＝ 3 × 1＋ 0 1 0 3 数 0 1 1＝ 3× 0＋ 1 转 所以，89=10022（3） 则 89＝ 3×29＋2 化 ＝3×（ 3×9＋2 ）＋2 为 注意： 2×（ 3×3＋0 ）＋2 × 3 ＋2 ＝ 3 三 1.最后一步商为0， ＝将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 33×（ 3× 1 ＋0 ）＋ 0 × 32 ＋ 2 × 3＋2 进 2. 4 ＋ 0 × 3 3＋ 0 × 3 2＋ 2 × 3 ＋ 2 × 3 0 89=10022 制 ＝1×（ 33 ） 所以，89=10022（3） k进制数的方法：除k取余法 数 小结：将十进制数转化为 ?
1.3 算法案例
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.
“满二进一”就是二进制， “满十进一”就是十进制， “满k进一”就是k进制（k叫做基数）. 一小时有六十分 用的是六十进制 一个星期有七天 用的是七进制 一年有十二个月 用的是十二进制 电子计算机 用的是二进制
半斤=八两？
【学习目标】 1、了解进位制的概念，理解各种进位制与十进制 之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联 系进行各种进位制之间的转换. 2、根据对进位制的理解,体会计算机的计数原理； 3、了解进位制的程序框图及程序.
数学《1.3.3 进位制》
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知识探究(一):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什 么数？十进制数89化为二进制数是什么数？
101101(2)=25+23+22+1=45. 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21 +1×20=1011001(2).
2.通过k进制数与十进制数的转化，我 们也可以将一个k进制数转化为另一个 不同基数的k进制数.
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5 5 5 5 1Hale Waihona Puke 13871
3
2
1
0
191=1231(5)
1
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思考4:若十进制数 a除以2所得的商是q0，余数是r0， 即a=2· q0+ r0； q0除以2所得的商是q1，余数是r1， 即q0=2· q1+ r1； …… qn-1除以2所得的商是0，余数是rn， 即qn-1= rn， 那么十进制数a化为二进制数是什么数？
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知识探究(二):k进制化十进制的算法
思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十 进制数是什么数？
a i× 2 i－ 1
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理论迁移
例1 将下列各进制数化为十进制数. (1)10303(4) ； (2)1234(5). 10303(4)=1×44+3×42+3×40=307.
1
0
1.3.3算法案例ppt
其它进位制的数又是如何的呢？
二、 二进制
二进制的表示方法 二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001
区分的写法：11001（2） 11 (2 1 0 )2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 0 2 1 1 2 0
a n k n a n 1 k n 1 a 1 k 1 a 0 k 0
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数 解：根据进位制的定义可知
11 ( 2 ) 1 0 2 5 1 0 2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 1 2 1 1 2 0
89=1011001（2）
练习 将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10
（2）20
3、十进制转换为其它进制
例3 把89化为五进制数
解： 根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
余数
4 2 3
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）= （5）213（4）= （6）1010111（2）=
3、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？
十进制由两个部分构成 十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3 个千即3个10的立方
1.3.3算法案例 精品教案
【 课 前 准 备 】 电脑，计算器，图形计算器
四、教学过程：
教学 环节
教学内容
师生互 设计意图 动
创设 情景 ，揭 示课
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每 一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位 制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位 制之间又又什么联系呢?
【 教 学 重 点 】 各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
【 教 学 难 点 】 除 k 去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
【 学 法 】在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，
熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除 k 去余法。
本节的重 点。
练习与测试： 1、4511.完成下列进位制之间的转化：
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数. 电子计算机一般都使用二进制,
历史
步认识到 计算机与 数学的联
系
概念 深化 及 应用 举例
例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20
小结: (1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序
教材 P48 习题 1-3 A 3 补充：设计程序框图把一个八进制数 23456 转换成十进
制数，并写出算法语句。
通过学 生思考、 解答交 加 强 学 生 流，教 对 于 概 念 师巡视， 的理解，培 注意个 养 学 生 独 别指导， 立 解 决 问 发 现 普 题的能力， 遍性问 并 加 强 学 题，应 生 的 相 互 及 时 提 纠错能力。 到全体 使 学 生 深 学生面 入 了 解 课 前 供 大 堂内容。 家讨论 学生先 自觉回 通 过 师 生 忆 本 节 合作总结， 收获并 使 学 生 对 交流， 本 节 课 所 教师板 学 的 知 识 书，并 结 构 有 一 加强归 个 明 确 的 纳整理 认识，抓住
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。
如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。
高中数学 132 进位制课件 新人教A版必修3
最大公约数是( )
A．57
B．3
C．19
D．34
[答案] C
第十一页，共69页。
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3 ＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3时的值时，令v0＝a6；v1＝v0x＋ a5；…；v6＝v5x＋a0时，v3的值为( )
A．－9.8205 B．14.25 C．－22.445 D．30.9785 [答案] C
24005(7)＝2×74＋4×73＋0×72＋0×71＋5＝2401， 故七进制数24005(7)化成十进制数为2401.
第三十六页，共69页。
把十进制数化为k进制数 学法指导 十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
第三十七页，共69页。
(1)把十进制数89化为二进制数． (2)将十进制数21化为五进制数．
[答案] 111111(2)
第四十九页，共69页。
[解析] 将题中四个数化为十进制数． 85(9)＝8×91＋6×90＝72＋6＝78； 211(6)＝2×62＋1×6＋1＝72＋7＝79； 1000(4)＝1×43＝64； 111111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63.
第五十页，共69页。
[破疑点] 教材中的算法案例进一步体现了编写程序的 基本过程：
①算法分析，将解决实际问题的过程以步骤的形式用文 字语言表述出来．
②画程序框图，把算法分析用程序框和流程线的形式表 达出来．
③编写程序，将程序框图转化为算法语句即程序．
第二十四页，共69页。
以下各数有可能是五进制数的是( ) A．15 B．106 C．731 D．21340 [答案] D
第七页，共69页。
1.3.3进位制
(1)10231(4)＝________(10)；
[ 解析 ] 301(10)， ∴10231(4)＝301(10)． (1)10231(4) ＝ 1×44 ＋ 0×43 ＋ 2×42 ＋ 3×4 ＋ 1 ＝
(2)235(7)＝________(10)；
(2)235(7)＝2×72＋3×7＋5＝124(10)，
∴1010111(2）＝1113(4）．
[点评] 1.k进制之间相互转化可以借助十进制作跳板来 进行． 2．将十进制与k进制相互转换的算法结合在一块，就能 实现非十进制数之间的转换了．
小结作业
1. k进制数使用0～（k-1）共k个数 字，但左侧第一个数位上的数字（首位 数字）不为0.
L a12a a0(k) anna ann„a 2.用 a 表示k进制数，其 -1 1( k ) 中k称为基数，十进制数一般不标注基数.
理论迁移
例1 将十进制数458分别转化为四进 制数和六进制数.
4 458 余数
4
4 4 4
114
28 7
2 2 0 3
1
6 6 6 6
458 76 12 2 0
余数
2 4
0 2
1 0
458=13022（4）=2042（6）
例2 将五进制数30241（5）转化为七 进制数. 30241（5） =3×54+2×52+4×5+1=1946.
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
思考2:上述化十进制数为二进制数的算 法叫做除2取余法，转化过程有些复杂， 观察下面的算式你有什么发现吗？
2 89 44 2 2 22 2 11 2 5 2 2 2 1 0 余数 1 0
1、3进位制
例题： 1、把二进制数110011（2）化为十进制数。 2、把89化为二进制数。（除二取余法）
除k取余法
3、把89化为五进制数。
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）= （5）213（4）= （6）1010111（2）=
1、3 算法案例 —进位制
案例4：进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的 计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进 一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制； 等等。也就是说，“满几进一”就是几进制，几 进制的基数就是几。
十进制使用0～9十个数字。十进制的数可表 示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形 式。如：
（10）； （10）； （6）； （7）； （3）；
（4）。
Hale Waihona Puke 3712=3×103+7×102+1×101+2×100
二进制用0和1两个数字，七进制用0～6七个 数字。等等。
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k 为基数的进制数可以表示为一串数字连写在一 起的形式
anan1 a1a0k 0 an k,0 an1, a0 k
其他进制的数也可表示成不同位上数字与基 数的幂的乘积之和的形式。如：
1.3.3进位制
an k an1k
n
n1
a1k a0k
1
0
三、二进制与十进制的转换 1、二进制数转化为十进制数 例1 将二进制数110011(2)化成十进制数
5 4 3 2 1 0
解：根据进位制的定义可知
110011( 2) 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2
INPUT
“a,k=” ;a,k
b=0
i=0 DO q=a\k r=a MOD k
b=b+r*10^i
i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b
END
小结
1．进位制是一种记数方式，用有限的数字 在不同的位置表示不同的数值。可使用数字 符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进 位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字； 2．十进制与二进制之间转换的方法； 先把这个k进制数写成用各位上的数字与k 的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的 运算规则计算出结果。
3.我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构 成的？ 十进制由两个部分构成 十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
(用10个数字来记数，称基数为10) 第二、它有“数位”，即从右往左为个位、 十位、百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百（即7个10的 平方），3个千即3个10的立方
在商代的甲骨文中，已经有了一、二、三、四、 五、六、七、八、九、十、百、千、万的数字， 而有了这些记数字，就可以记录十万以内的任 何自然数了
算筹
按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为： 个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用 横式，万位再用纵式……这样从右到左，纵横相间， 以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。
高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习(含解析)新人教A版必修3
高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习（含解析）新人教A版必修3知识点一进位制的概念1．关于进制的说法，正确的个数为( )①“几进制”的数，其基数就是几，就“满几进一”；②计算机采用的进制一般都是二进制；③各种进制的数之间可以相互转化；④任何进制的数都必须在右下角标明基数．A．2 B．3 C．4 D．1答案 B解析①②③都是正确的，④中说法不对，因为十进制数一般省略基数．2．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( )A．312 B．10110 C．82 D．7457答案 C解析八进制数只用到数字0，1，2，…，7，不会出现数字8．知识点二不同进位制间的转化3．将数30012(4)转化为十进制数为( )A．524 B．774 C．256 D．260答案 B解析30012(4)＝3×44＋0×43＋0×42＋1×41＋2×40＝774．4．已知10b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为________．答案 2解析10b1(2)＝1×20＋b×21＋0×22＋1×23＝9＋2b．a02(3)＝2×30＋0×31＋a×32＝9a＋2，因为10b1(2)＝a02(3)，b∈{0，1}，a∈{0，1，2}，且9＋2b＝9a＋2，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2．5．把下列各数转换成十进制数．(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)．解(1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45．(2)2102(3)＝2×33＋1×32＋2＝65．(3)4301(6)＝4×63＋3×62＋1＝973．易错点对进位制转换的方法掌握不牢致错6．把十进制数48化为二进制数．易错分析由于基础知识，基本方法掌握不牢而错将结果写成11(2)．正解如下图所示，得48＝110000(2)．一、选择题1．将二进制数110101(2)转换成十进制数是( )A．105 B．54 C．53 D．29答案 C解析按照二进制数转换成十进制数的方法，可得十进制数是53．2．已知k进制数132与十进制数30相等，则k的值为( )A．－7或4 B．－7C．4 D．以上都不对答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，所以k2＋3k＋2＝30，解得k＝4或k＝－7(舍去)，所以k＝4．3．如图是把二进制的数11111(2)化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i≤4? B．i≤5? C．i＞4? D．i＞5?答案 A解析11111(2)＝1×20＋1×21＋1×22＋1×23＋1×24＝2×(2×(2×(2×1＋1)＋1)＋1)＋1．(秦九韶算法)11111(2)＝31＝2×15＋1＝2×(2×7＋1)＋1＝2×(2×(2×3＋1)＋1)＋1＝2×(2×(2×(2×1＋1)＋1)＋1)＋1．故选A．4．下列各数中最小的数是( )A．101010(2) B．210(8)C．1001(16) D．81答案 A解析101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4097，故选A．5．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，与十进制的对应关系如下表：例如用十六进制表示D＋E＝1B，则(2×F＋1)×4＝( )A．6E B．7C C．5F D．B0答案B解析(2×F＋1)×4用十进制可以表示为(2×15＋1)×4＝124，而124＝16×7＋12，所以用十六进制表示为7C，故选B．二、填空题6．若六进制数13m502(6)化为十进制数为12710，则m＝________．答案 4解析 根据将k 进制数转化为十进制数的方法有13m502(6)＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2＝12710，解得m ＝4．7．(1)三位四进制数中的最大数等于十进制数的是________；(2)把389化为四进制数，则该数的末位是________．答案 (1)63 (2)1解析 (1)本题主要考查算法案例中进位制的原理．三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)＝3×42＋3×41＋3＝63．(2)解法一：由389＝4×97＋1，97＝4×24＋1，24＝4×6＋0，6＝4×1＋2，1＝4×0＋1，389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1．解法二：以4作为除数，相应的除法算式如图所示，所以389＝12011(4)．显然该数的末位是1．8．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，则它们按由小到大的顺序排列为________．答案 33(4)<12(16)<25(7)解析 将三个数都化为十进制数，则12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．三、解答题9．若二进制数100y011(2)(y ＝0或1)和八进制数x03(8)(0≤x≤8，x ∈N )相等，求x ＋y 的值．解 ∵100y 011(2)＝1×26＋y ×23＋1×21＋1＝67＋8y ，x 03(8)＝x ×82＋3＝64x ＋3，∴8y ＋67＝64x ＋3， y 可取0或1，x 可取1，2，3，4，5，6，7，当y ＝0时，x ＝1；当y ＝1时，64x ＋3＝75，x ＝98，不符合题意，∴x ＋y ＝1． 10．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如下图所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11011(2)，它表示的十进制数为1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是1000，所以入侵的敌人的数目为27×1000＝27000．。
1.3.3进位制
商
余数
0 a0 1
an 2n1 an-1 2n-2 a2 21 a1
对上式再除以2可得商数为
an 2n2 an-1 2n-3 a3 2 a2
此时余数为 a1 重复上面步骤，则依次可得a2,a3,a4,….an 最终89把转化为二进制数anan-1….a2a1a0
1.3.3 案例3. 进位制
1.进位制概念的引入：
进位制是人们为了计数与运算的方便而 约定的记数系统. “满几进一”就是几进制, 几进制的基数就是几.
我们常见的数字都是十进制的,除十进制外, 你还能举一些非十进制的记数办法吗?
1小时=60分钟 1周=7天
1年=12个月
2.k进制数的记数形式与意义
P40探究
2）在k进制中，具有k个数字符号，它们是
0，1，2，‥‥‥，（k-1）；
3）为了区分不同的进位制，常在数的右下角标 明基数，十进制数一般不标注基数。
an an1 a1a0(k )
an k n an1 k n1 a1 k 1 a0 k 0
3.不同进制数的相互转化
这种十进制数与k进制数之间转换的方法： 除k取余法
例4 把89化成二进制数.
P453
=51
(2)十进制数化为k进制数 例4 把89化成二进制数.
分析：假如 89=an 2n an-1 2n-1 a2 22 a1 21 a0 20
对上式两端同除以2得:
89 2
=an 2n1 an-1 2n-2 a2 21 a1 a0
(1)k进制数化为十进制数
an an1 a1a0(k ) an k n an1 k n1 a1 k 1 a0 k 0
人教版高中数学必修三1.3.3算法案例(进位制)教学课件(共17张PPT)
二、 二进制
（1）二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 1（120）0为1了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，
十进制一般不标注基数.
区分的写法：11001（2）或者
1(1101001(02)1=)21? 24 1? 23 0? 22 0? 21 1? 20
2＝ 2× 1＋0
1＝ 2× 0＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
五、十进制转换为其它进制 例4：把89化为五进制数。
解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
八进制呢？如7342(8)
k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) = 1? 25 1? 24 0? 23 0? 22 1? 21 1? 20
= 1? 32 1? 16 1? 2 1
• 2．十进制与k进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字 与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进 制数的运算规则计算出结果。
1、3 算法案例
（第三课时）
郾城高中高一数学组
一、教学目标: • 1.了解进位制的定义和常见的进位制。 • 2.理解算法与进位制的关系。 • 3.熟练掌握各种进位制之间的转化。
二、教学重难点: • 重点：算法与进位制的关系和各种进位制之
间的转化。 • 难点：算法与进位制的关系、并熟练会用算
人教A版数学必修三教案：§1.3算法案例(进位制)
1.3第3课时案例3 进位制（一）导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.（三）应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.（四）知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求．解：即34(10)=100 010(2)（五）拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．（六）课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.（七）作业习题1.3A组3、4.。
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
1.3.3进位制学案
1.3.3算法案例-----进位制（1）一.学习引入:阅读课本第40页进位制的概念理解“满几进一”，就是几进制，几进制的基数就是几。
二.学习交流：1. 十进制使用0～9十个数字，类似的二进制使用0和1 两个数，七进制使用0～6七个数字，想一下五进制与八进制分别使用哪些数呢？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2. 十进制3721写成：3721)10(=3×103+7×102+2×101+1×100与十进制类似，二进制11001可以写成：11001)2(= 1×24+1×23+0×22+0×21+1×20试想一下，五进制432132可以写成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3. 把其他进制转化为十进制11001)2(= 1×24+1×23+0×22+0×21+1×20= 1×16+1×8++1= 25用类比的方法，将五进制4321转化为十进制＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿三.随堂训练:1. 10212)3(=＿＿＿)10(2376)8(=＿＿＿)10(2541)6(=＿)10(89)9(=＿＿)10(231)4(=＿＿)10(2. 以下各数可能是五进制的是（）A 55B 106C 732D 2134。
3.二进制111111化为十进制为（）A 63B 21C 36D 54四.能力提升：1. 把四进制数321化为十进制数＿＿＿＿。
2 把四进制3210化为十进制数＿＿＿＿＿＿。
3.把六进制1453324转化为十进制时需转化成＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿形式。
4. 若an a1n···a1a)(0k表示一个k进制数，请你把它写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式。
5. 设计一个算法,把k进制数（共有n位）化为十进制数。
高中数学人教A版必修3第一章-1.3 算法案例3-进位制 课件
具体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算方法如下:
89=2×44+1；44=2×22+0 22=2×11+0；11=2×5+1 5=2×2+1。 所 以 :89=2 × (2 × (2 × (2 × (2
×2+1)+1)+0)+0)+1
这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除 法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到 89=1011001(2)
【小结】
(1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法 及计算机程序
【作业】
教材 P48 习题 1-3 A 3 补充：设计程序框图把一个八进制 数 23456 转换成十进制数，并写出 算法语句。
【应用举例】
例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数.
解:110011=1×25+1×24+0×23+ 1×24+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1 =51
【应用举例】
例 2． 把 89 化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原 则,可以用 2 连续去除 89 或所得 商,然后去余数.
【方法归纳】
上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制 数的算法,这种算法成为除 k 取余法. 当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数 的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比 如 2*103 表示千位数字是 2,所以可以直接求出 各位数字.即把 89 转换为二进制数时,直接观 察得出 89 与 64 最接近故 89=64*1+25 同理:25=16*1+9，9=8*!+1 即 89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20
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3、十进制转换为其它进制 例3 把89化为五进制数 解： 根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17 53 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）。
练习：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2) (2) 10212(3) (3) 2376(3)
练习：完成下列进位制间的转化
2、十进制转换为二进制 例2 把89化为二进制数
2
89 余数
2 48 1
2 22
0
2 11
0
25
1
注意：
22
1
21
0
01
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）
练习 将下面的十进制数化为二进制数？ （1）10 （2）20 （3）128
（4）256
算法案例
（进位制）
一、进位制
1、什么是进位制？ 2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常 见的进位制？请举例说明． 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是人们为了计数和运算便而约定的 记数系统.“满十进一”就是十进制，“满二
进一”就是二进制，“满k进一”就是k进
制，因此k进制需数k个数字.
(1) 154(6)=_____ (7) (2) 412(5) =_____ (7) (3) 119(10)=_____ (6)
INPUT a, k, n i=1 b=0 t=a MOD 10 DO
b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END
判断下列数表达是否正确？
(1) 12(2) (2) 061(7)
(3) 291(8)
1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如 何构成的？
十进制由两个部分构成
第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数字；(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，
结束
INPUT “a,k=” ;a,k b=0 i=0 DO
q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
INPUT a, k, n i=1 b=0 t=a MOD 10 WHILE i<=n
b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 WEND PRINT b END
开始
输入a,k
求a除以k的商q
求a除以k的余数r 输出r a=q 否 q=0? 是 ①
① 将依次输出的r从右到左排列
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋＋21
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
8进制呢？ 如7342(8) k进制呢？ anan-1an-2…a2a1(k)？
二、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) 1 25 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 132 116 12 1 51
3个千即3个10的立方
3721 3103 7102 2101 1100
其它进位制的数又是如何的呢？
2、 二进制
（１）二进制的表示方法 二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等
区分的写法：11001（2）或者（11001）2
11001(2) 1 24 1 23 0 22 0 21 1 20
所以，110011（2）=51。
练习 将下面的二进制数化为十进制数？ （1）11 （2）111 （3）1111
（4）11111
2、十进制转换为二进制
(除2取余法：用2连续去除89或所得的商，然后取余数)
例2 把89化为二进制数
解： 根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
＝ 2× (2×22＋0)+1
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1 5＝ 2× 2＋1
＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1 ＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1