电动力学三三(磁多极矩)

则有
(1) μ0 I ' R ' A x 3 dl 4π R ' ' ' ' 1 ' ' (x R)dl 2 [(x R)dl (dl R)x ]
c a b c b a c a b
4
第一项
(0) 0 ' ' A ( x) J ( x ) dV 4R 由恒定电流的连续性，可把电 J 0 流分为许多闭合的流管，则 ' ' J ( x ) dV I d l I d l 0
I为在该流管内流过的电流。
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因此
������
前面讨论的都是通过求解微分方程，来
得到磁场的分布;
如果电流分布在一个有限的小区域内，
而感兴趣的是远离源区的磁场分布情况，
则将磁场作多极展开而获得。
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本节研究空间局部范围内的电流分 布所激发的磁场在远处的展开式。与电 多极矩对应，引入磁多极概念，并讨论 这种电流分布在外磁场中的能量问题。
2．磁偶极矩的场和磁标势
由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
μ0 (1) R B A (m 3 ) 4π R μ0 R R R R m 3 m m 3 m 3 3 4π R R R R
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1、 矢势的多级展开
给定电流分布激发的磁场矢势为
0 A( x ) 4

' ' J ( x )dV r
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如果电流分布于小区域V内，而场点x又比较远， 可以把A(x)作多极展开
取区域内某点O为坐标原点， 由1/r的展开式得
0 ' 1 ' 1 A( x ) J ( x )[ x 4 R R 2 1 1 ' ' ' xi x j ]dV 2! i , j xi x j R
' 1 ' (x dl ) R 2
A(1)可写为
(1) A
0 I ' ' 0 m R ( x d l ) R 3 3 4R 2 4R
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I ' ' 电流线圈的磁矩 m x dl 2
因
' ' Idl JdV
(0) A 0
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此式表示磁场展开式不含磁单极项， 即不含与点电荷对应的项
第二项为
(1) 0 A 4
(1) A
' ' 1 ' J ( x ) x dV R
先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流 为I，有
0 I ' 1 ' 0 I ' R ' x dl x 3 dl 4 R 4 R
是对x作用， m为常矢量。
μ0 R R ( 3 )m (m ) 3 4π R R
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B (1)
μ0 R R ( 3 )m (m ) 3 4π R R
因为
R 1 2 1 3 0, R R R
一个任意电流线圈可以看作 由它所围的一个曲面S上许 多小电流线圈组合而成,因此 它的总磁偶极矩为
m I dS
S
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式中S是线圈所围的某一个曲面, 且不唯一确定。 为使上式有意义，m应不依赖于曲面的选取。设 S1和S2为两个以该线圈为边界的曲面则S1和－ S2（与法线方向相反）合起来的成为闭合曲面。 因而有
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磁矩的磁势
(1) m
mR 4R 3
电偶极子的电势

(1) e
p R 4π 0 R 3
也正是根据这一点，我们把一个载流线圈比作 一对正负磁荷组成的磁偶极子。
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一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组 成的磁偶极子,磁偶极矩m=IS由决定。 电流分布区域以外的空间用磁标势m 来描述磁场
(R 0)
所以
(1) B
0 R (m ) 3 4 R
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在电流分布以外的空间中，磁场应可以 用标势描述，因此再把上式化为磁标势 的梯度形式。m为常矢量。
(f g) f ( g) (f ຫໍສະໝຸດ Baidug g f (g )f (1) 0 R B (m ) 3 m为常矢量 4 R
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(1) μ0 I ' R ' A x 3 dl 4π R
在被积式中，R/R3为固定矢量，与积分变量无关。
x’为线圈上各点的坐标，因此
' dx dl
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利用全微分绕闭合回路的线积分等于零
' ' ' ' ' ' 0 d[( x R)x ] (x R)d l (d l R)x
x R
P
1 ' ' 得磁矩 m x J ( x' )dV 2
对于一个小线圈，设它 所围的面元为△S ，有
dl x’
O
1 ' ' S x dl 2
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特例：圆面积
S=R2
P
因此
x R
m IS
dl x’
O
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f g g f g f f g f g
R R R (m 3 ) m ( 3 ) (m ) 3 R R R R 1 3 ( ) 0 R R R (m ) 3 R mR 得 ( 1) ( 1) (1) B 0 m m 4R 3 磁偶极势形式上和电偶极势相似。