卓越教育2014小联盟数学试题、答案
2011-2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案(精校版+完整版)
2011年卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )6π(B )3π(C )23π (D )56π(2)已知sin2(?+?)=n sin2?，则tan()tan()αβγαβγ++-+(A )11n n -+(B )1n n +(C )1n n - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成(A (4)i(A(5)BC (A )y 2=16x(6)在三棱锥(A(7)若关于x (A )(0，1)D )(1，+∞)(8)如图，△O 于G 、F ，交⊙O 在(A(C(D (9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为() (A )100(B )120(C )140 (D )160(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，?表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k表示连续k 次的变换，则???2??3??4是() (A )?4(B )?5(C )?2?(D )??2(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ． (Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列；(Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．(12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ． (Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值． (14)(Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P (X n =(Ⅲ)证明：(15)(Ⅰ)设f (Ⅱ)设0<a <b (Ⅲ)记(Ⅱ)） （1（A ）f (C)(3)f -（2为2π（A 32(B)先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(C)先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变(D)先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21(B)24(C)30(D)48(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞(B)(,1]-∞(C)(,2]-∞(D)[2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线221x y -=的一个焦点，则双曲线的渐 （621OD DE +=， 则23OA OB OC +=．（7入区域(8)D ，割线=（用,α步骤）（9）（（10）1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值；（3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-． （11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112xe x x >++；（2）若2112x ye x x e =++，证明：0y x <<． （12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．（1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---． 一.选择题1．把圆x 2+((A )线段(B )2．等比数列(A )π9(B )π113．存在整数(A )不存在(B (C )多于一个4．设x ∈((A )α3<α2<5．() (A )4++(B )4(C )1－+(D )6．高为8放入半径为3(A )1(B )2(C )3(D )4 二.填空题1．集合{x |－1≤log10<－，x ∈N *}的真子集的个数是．2．复平面上，非零复数z 1，z 2在以i 为圆心，1为半径的圆上，·z 2的实部为零，z 1的辐角主值为，则z 2=_______． 3．曲线C 的极坐标方程是ρ=1+cos θ，点A 的极坐标是(2,0)，曲线C 在它所在的平面内绕A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．5．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
2014年华约自主招生数学试题(精校word版,有答案)-历年自主招生考试数学试题大全
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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。
2014卓越大学自主招生数学真题答案
2
（15 分）
法二：令 h( x) x ax a ，其图像的对称轴为 x
a . 2
1 当 0
a 1 ，即 0 a 2 时，存在 x1 , x2 (0,1) ，且 x1 x2 ，使 h( x1 ) h( x2 ) ， 2
三、解答题 9.【解析】 ： （1） f ( x)
2 sin(2 x ) 2 cos(2 x ) cos 2sin(2 x ) cos . 4 因为 x [0, ] ，所以 2 x [0, ] ， 2 x [ , ] . 4 2 4 4 4 又 [ , ] ，所以 [ , ] .因此 f ( x) 的最大值为 2 cos . （7 分） 4 2 2 4 4 （2）若 f ( x) 2sin(2 x ) cos 3 ，则 cos 1 且 sin(2 x ) 1 ， 4 4
余弦值为
2 7 4 7 3 7 ，在 OME 中再次运用余弦定理，求得 ME ，故而 AM . 7 7 7
4.【解析】选 D. 由已知 可得 a
2sin 2 x ， 由 于 1 sin x 1 ， 求 a 右 边 关 系 式 的 取 值 范 围 即 可 。 令 sin x 2
2014 年卓越联盟自主选拔录取
文科数学参考答案
1.【解析】选 A. 法一：直接分 x 0, x 0 两种情况讨论，分别解出答案，在合并即可得到答案 A; 法二：将 x 2 看成 x ，这样就得到一个关于 x 的不等式，解之即可得到 A 答案。
2
2.【解析】选 A. 法一：已知 f x f x 1 和 f x 是 R 上的奇函数，令 x ， 得 f f = f ，所以 f f 。 4 4 4 4 4 同理 f f 。由于函数在 0, 上为增函数， 5 5 2 所以有 f f f ，即 a b c . 3 4 5 法二，结合奇函数函数图像及周期性（此函数周期为 2） ，也可直观的得出答案。
安徽省皖豫联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2023—2024学年大联考安徽高一（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“20,320x x x ∀>-->”的否定是（）A.20000,320x x x ∃>--≤ B.20,320x x x ∀≤-->C.20000,320x x x ∃>--< D.20000,320x x x ∃≤--≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得答案.【详解】命题“20,320x x x ∀>-->”的否定是“20000,320x x x ∃>--≤”.故选：A .2.已知集合{}{}216,560M x x N x x x =<<=-+<，则M N ⋂=（）A.{}12x x <<B.{}13x x <<C.{}23x x << D.{}26x x <<【答案】C 【解析】【分析】由集合的交集运算可得.【详解】{}{}256023N x x x x x =-+<=<<，{}16M x x =<<，所以{}23M N x x ⋂=<<.故选：C.3.函数()121x f x =+-的定义域为（）A.{}2xx ∣ B.{0}x x <∣C.{2xx ∣ 且0}x ≠ D.{02}xx <∣ 【答案】C 【解析】【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可.【详解】由题意可知()f x 的定义域需要满足20,210,x x -≥⎧⎨-≠⎩解得2x ≤且0x ≠.故选：C.4.已知0a b c d >>>>，则（）A.a d b c +>+B.ad bc <C.ab cd >D.ac bd<【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质计算可以判断B 选项，赋值法可以判断A,C,D 选项.【详解】0,a b c d >>>>令2,1,1,2,0,0,,a b c d a d b c a d b c ===-=-+=+=+=+A 选项错误；0,0a b d c >>->->，根据不等式的性质可得ad bc ->-，所以ad bc <，B 选项正确,0,2,1,1,2,2,2,,a b c d a b c d ab cd ab cd >>>>===-=-===C 选项错误；0,2,1,1,2,2,2,a b c d a b c d ac bd ac bd >>>>===-=-=-=-=,D 选项错误.故选：B.5.已知()()25mf x m m x =--为幂函数，则（）A.()f x 在(),0∞-上单调递增B.()f x 在(),0∞-上单调递减C.()f x 在()0,∞+上单调递增D.()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数m 的值，即可得出解析式，再分析其性质即可得出答案.【详解】()()25mf x m m x =-- 是幂函数，251m m ∴--=，解得2m =-或3m =，()3f x x ∴=或()2f x x -=.对于()3f x x =，函数在R 上单调递增；对于()2f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增.故只有A 选项“()f x 在(),0∞-上单调递增”符合这两个函数的性质.故选：A.6.设 1.40.70.539,27,8a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小关系.【详解】0.7 1.40.5 1.593,273,a b a b ====∴< ，又 1.41.41.4383,83c a c a b -⎛⎫⎛⎫==<=∴<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t 年后，碳14所剩质量()573012tC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0C 为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知 2.1210.232⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）A.金（公元11151234-年）B.元（公元12061368-年）C.明（公元13681644-年）D.清（公元1616-1911年）【答案】B 【解析】【分析】设活体生物组织内碳14的质量01C =，由题意建立方程求解即可.【详解】设活体生物组织内碳14的质量01C =，由题意知：573010.922t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又 2.1220.121110.920.234222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯≈⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，57300.12687.6t ∴≈⨯=，2023687.61335.41335-=≈，所以该生物死亡的朝代为元.故选：B.8.已知函数()f x 为偶函数，当12x x ≠且(]12,,0x x ∈-∞时，()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，若()()21f ax f x x <++对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.( B.()2,2- C.()3,3- D.()4,4-【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数性质可得()()21fax f xx <++，结合单调性可得21ax x x <++，分0x =和0x ≠两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.【详解】由题意知()f x 在(],0-∞上单调递减，且()f x 是偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()()()f x f x f x -==，因为()()21f ax f x x <++恒成立，所以()()21fax f xx <++，所以21ax x x <++恒成立，当0x =时，01<，符合题意，a ∈R ；当0x ≠时，可得11a x x<++，又因为1113x x ++≥=，当且仅当1x x =，即1x =±时，等号成立，所以3a <，即33a -<<；综上所述：实数a 的取值范围为()3,3-.故选：C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.1,12xx ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭R B.x ∀∈R ，都有32x x>C.设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D.设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】AD 【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要不充分条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，0x =满足112x⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当0x ≤时，32x x ≤，故B 错误；对于C ，由“2x ≥且2y ≥”，可以得出“224x y +≥”，故C 错误；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则由0a ≠无法得到0ab ≠，但是由0ab ≠可以得到0a ≠，故D 正确.故选：AD10.十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若01a <<，则3a a <B.若22ac bc >，则33a b >C.若110a b <<，则2b a a b+<-D.若c b a <<且0a b c ++=，则0ac <【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质一一判断即可.【详解】对于A ：3201,1a a a a<<∴=< ，3a a ∴<，故A 正确；对于B ：222,0,ac bc c a b >∴>∴> ，又函数3y x =在R 上单调递增，33a b ∴>，故B 正确；对于C ：由110a b<<可得0b a <<，所以0b a >，0a b >，故C 错误；对于D ：c b a <<Q 且0,0,0,0a b c a c ac ++=∴><∴<，故D 正确.故选：ABD11.已知不等式20ax bx c ++≤的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，则（）A.0c <B.0a b c -+>C.不等式1202ax cx ->-的解集为{12}xx -<<∣D.不等式2230bx ax c b +--≤的解集为{}35xx -≤≤∣【答案】BCD 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为不等式20ax bx c ++≤的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，则0a <，且关于x 的方程20ax bx c ++=的两根分别为3,4-，由根与系数的关系可得34,34b ca a-+=--⨯=，所以,12b a c a =-=-.对于A ，120c a =->，A 错误；对于B ，1-不在不等式20ax bx c ++≤的解集内，令=1x -，则有0a b c -+>，B 正确；对于C ，1212121000222ax c ax a x x x x -++>⇒>⇒<---，该不等式的解集为{12}xx -<<∣，C 正确；对于D ，不等式2230bx ax c b +--≤即为22150ax ax a -++≤，化简可得()()2215530x x x x --=-+≤，解得35x -≤≤，因此，不等式2230bx ax c b +--≤的解集为{}35xx -≤≤∣，D 正确.故选：BCD12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y -=，且()46f =，当1x >时，()0f x >，则（）A.()10f =B.()23f =C.()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增D.不等式()313f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是()0,2【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，令1x y ==，可得()10f =，A 正确；对于B ，令2x y ==，可得()23f =，B 正确；对于C ，利用函数单调性定义可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断.【详解】对于A ，令1x y ==，得()()()111f f f -=，即()10f =，A 正确；对于B ，令2x y ==，得()()422f f =，因为()46f =，所以()23f =，B 正确；对于C ，对任意120x x >>，则121x x >，所以()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于()23D,13x x f x f f x ⎛⎫+⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()23f =，所以原不等式等价于()223x x f f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以2103023x x x x⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪⎪+<⎪⎩，解得02,D x <<正确.故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}{}21,2,,1,2,2A a B a ==-，若A B =，则=a __________.【答案】1-【解析】【分析】根据集合相等求参再检验即可.【详解】因为A B =，所以22a a =-，解得1a =-或2a =，当2a =时，与集合中元素的互异性矛盾，故2a =不符合题意.经检验可知1a =-符合.故答案为：-1.14.已知函数()224,1,,1x x ax x f x a x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是__________.【答案】(]1,5【解析】【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，所以211124a a a a >⎧⎪≥⎨⎪-+-≤⎩，即115a a a >⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，解得15a <≤则a 的取值范围是(]1,5a ∈.故答案为：(]1,5.15.若()f x 为定义在R 上的偶函数，函数()()()e e2xxg x f x -=-+，则()()20242024g g -+=__________.【答案】4【解析】【分析】利用奇偶函数性质得()()4g x g x +-=，从而得到答案.【详解】由题意可得()()f x f x -=，所以()()()()()ee 2e e 2xx x x g x f x f x ---=--+=-+()()()e e 244x xf xg x -⎡⎤=--++=-+⎣⎦，故()()4g x g x +-=，所以()()202420244g g -+=.故答案为：4.16.已知奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，且()20f =，则不等式()()220f x f x x--<的解集为__________.【答案】()()1,00,1-U 【解析】【分析】根据奇函数的定义简化不等式得出()020x f x >⎧⎨<⎩或()20x f x <⎧⎨>⎩，再根据已知画出函数草图，即可根据草图得出不等式，解出答案.【详解】()f x 为奇函数，()()()()()2222220f x f x f x f x f x xxx--+∴==<，即()20f x x<，则()020x f x >⎧⎨<⎩或()020x f x <⎧⎨>⎩，()20f =Q ，且()f x 为奇函数，()20f ∴-=，函数()f x 在(),0∞-上是增函数，∴函数()f x 在()0,∞+上也为增函数，画出函数单调性示意图如下，结合函数()f x 的单调性示意图可得022x <<或220x -<<.解得()()1,00,1x ∈-U 故答案为：()()1,00,1-U .四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）已知2102,105a b ==，求210ab 的值；（2）已知1a >，且3xxa a-+=，求33x xxxa a a a ----的值.【答案】（1）5；（2）8【解析】【分析】（1）利用指数幂运算法则进行运算即可；（2）把3x x a a -+=两边平方得227x x a a -+=，化简表达式，代入即可求值.【详解】（1）因为2102,105a b ==，所以()1222101010105ab ab -=÷==.（2）由题可知()29x xa a -+=，故227x x a a -+=，()()223322118x x x x x xx x x x x xa a a a a a a a a a a a-------++-==++=--.18.已知函数()(0xf x m m =>且1)m ≠的图象过点()3,8，()12xg x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求m 的值；（2）记()(),f x g x 在区间[)1,2上的值域分别为集合,A B ，若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2（2）77,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）代入点()3,8，求出2m =；（2）求出()2x f x =的值域和()g x 的值域，根据题目条件得到B A ⊆，得到不等式，求出实数k 的取值范围.【小问1详解】()x f x m = 的图象过点()3,8，38m ∴=，解得2m =.【小问2详解】由（1）得()2x f x =，当[)1,2x ∈时，()f x 的值域为[)2,4，即[)2,4A =，当[)1,2x ∈时，()g x 的值域为11,42k k ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，即11,42B k k ⎛⎤=-- ⎥⎝⎦，x A ∈ 是x B ∈的必要条件，B A ∴⊆，∴124142k k ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得7724k -<≤-，k ∴的取值范围是77,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.19.已知函数()()2212f x x a x =+--.（1）若关于x 的方程()30f x +=有两个不等的正实数根，求实数a 的取值范围；（2）当[]1,2x ∈时，设()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.【答案】（1）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）()234,,2931,,422122,.2a a g a a a a a a ⎧≤-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩【解析】【分析】（1）根据一元二次函数与方程之间的关系，结合韦达定理即可求解；（2）利用一元二次函数图像，分类讨论给定区间与对称轴之间的关系，求出各种情况下函数()f x 的最小值.【小问1详解】方程()30f x +=即()22110x a x +-+=，设方程两根为12,x x ，要使方程有两个不等的正实数根，则21212Δ(21)40,210210a a x x x x ⎧=-->⎪⎪-⎛⎫+=->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=>⎩解得12a <-，即a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【小问2详解】当[]1,2x ∈时，①若1222a -≥，即32a ≤-，则()f x 在[]1,2上单调递减，()min ()24f x f a ∴==；②若1212a -≤，即12a ≥-，则()f x 在[]1,2上单调递增，()min ()122f x f a ∴==-；③若12122a -<<，即3122a -<<-，则2min 129()24a f x f a a -⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.综上，()234,,2931,,422122,.2a a g a a a a a a ⎧≤-⎪⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩20.一艘运送化工原料的船只在江面上发生故障导致化学品泄漏，发现时已有21000m 的水面被污染，且污染面积以每小时220m 的速度扩大，经测算，水面被污染造成的直接经济损失约为每平方米300元.有关部门在发现的同时立即安排清污船清理被污染的水面，该部门需要支付一次性租金为每条清污船1600元，劳务费和耗材费合计为每条清污船每小时200元.若安排()*2,x x x >∈N 条清污船清理水面，假设每条清污船每小时可以清理210m 的水面，需要k 小时完成污染水面的清理（污染面积减小到20m ）.（1）写出k 关于x 的函数表达式；（2）应安排多少条清污船清理水面才能使总损失最小？（总损失=水面被污染造成的直接经济损失+清污工作的各项支出）【答案】（1）*100,2,2k x x x =>∈-N ；（2）安排22条.【解析】【分析】（1）根据给定信息列等式，再变形即得.（2）根据给定的函数模型，结合（1）求出总损失关于x 的函数关系，再利用基本不等式求解即得.【小问1详解】依题意，10100020kx k =+，所以*100,2,2k x x x =>∈-N .【小问2详解】设总损失为y 元，则()300100020160020032000064001600y k x kx k x=+++=++64000032000016002x x =++-()640000323200160022x x =++--323200232000387200≥+⨯=，当且仅当()640000160022x x =--，即22x =时取等号，所以应安排22条清污船清理水面才能使总损失最小.21.（1）已知函数()f x 满足()23f x x --为奇函数，函数()2f x x +为偶函数，求()f x 的解析式；（2）已知函数()g x 满足()1121562g x g x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，判断()g x 在()2,+∞上的单调性并用定义证明.【答案】（1）()223x x x f =-+；（2）单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用奇偶性得到(),()f x f x -的方程组，求解可得；（2）以1x替换x ，构造另一个等式()1115262g g x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立解方程组可得.【详解】（1）()23f x x -- 为奇函数，()()22()33f x x f x x ∴----=-++.()()226f x f x x ∴+-=+①.()2f x x + 为偶函数，()()22f x x f x x ∴--=+.()()4f x f x x ∴--=-②①+②，得()22246f x x x =-+，()223f x x x ∴=-+.（2）()1121562g x g x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，①把x 用1x 替换，得()1115262g g x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②由①+②4⨯得()156015302g x x x-=+-，()824g x x x∴=--+.判断：()g x 在()2,+∞上单调递减.证明：设任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()211221************ x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，1121222,0,4x x x x x x <<∴->> ，则()()222111240x x x x x x -->，()()11220,()()g x g x g x g x ∴->>，()g x ∴在()2,+∞上单调递减.22.已知函数()()233x f x a a a =-+为指数函数，函数()()()1f x bg x f x -=+为奇函数.（1）求()(),f x g x 的解析式；（2）设函数()()0h x x ≠满足()()222x x g x h x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若不等式()()218h x kh x - 恒成立，求实数k 的最大值.【答案】（1）()2xf x =，()2121x xg x -=+（2）8【解析】【分析】（1）根据指数函数解析式即可求得a ，再利用奇函数的定义求出b 即可；（2）由（1）求出()2h x ，不等式()()22222218--+-≥+-x x x x k 恒成立，令22x x t -=+，可得16≤+k t t在2t >时恒成立，利用基本不等式可得答案.【小问1详解】因为()()233x f x a a a =-+为指数函数，所以2331a a -+=，解得1a =（舍去）或2a =，所以()2xf x =，所以()()()2121x x f x bb g x f x --==++，因为()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即222121x x x x b b ----=-++，得到()()1210x b -+=，解得1b =，可得()2121x x g x -=+，且()()21212121-----==-=-++x x x x g x g x ，()g x 为奇函数所以()2121x x g x -=+；【小问2详解】因为()()222x x g x h x -⎡⎤+=-⎣⎦，所以()()()()()()()2222212121212222212221x x x x x x x x x x x x h x ---+-+++====++--，所以()()220x x h x x -=+≠，所以()()222222222x x x x h x --=+=+-，不等式()()218≥-h x kh x 恒成立，即()()22222218--+-≥+-x x x x k 恒成立，令22x x t -=+，则222x x t -=+>=，由2218-≥-t kt ，可得16≤+k t t 在2t >时恒成立，因为2t >，由基本不等式可得168t t +≥，当且仅当4t =时，等号成立，。
2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义(教师版含答案)
2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义（一）平面解析几何讲义一、平面几何背景下的解析几何问题 （一）解法思想：充分利用平面几何中的几何性质,合理而恰当地把几何特征表示为代数形式,以几何直观为导向,运用代数工具和相应的方法进行推理或论证,达到解题目的．（二）例题选讲：例1．在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cos C 有最小值为257. （I ）建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.（II ）过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点,求||||BN BM ⋅的最小值.解析（I ）设||,||CA m CB n ==,则222236()236()36cos 1222m n m n mn m n C mn mn mn+-+--+-===-．设定值m n d +=,则222222363627272cos 111122()2d d d C m n mn d d ---=-≥-=-=-+,所以2727125d -=,解得10d =． 把,A B 两点放在x 轴上（点A 在左）,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系．则据椭圆定义可得顶点C 的轨迹方程为2212516x y +=． （II ）设点,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则22121212||||()()()BM BN a ex a ex a c x x e x x ⋅=--=-++．当直线MN 的斜率不存在时,12x x c ==-,此时22221156||||225BM BN a c c e ⋅=++=； 当直线MN 的斜率存在时,设其方程为()y k x c =+,代入椭圆方程中得 22222222222()20b a k x ca k x a k c a b +++-=可得222222212122222222,ca k a k c a b x x x x b a k b a k-+=-=++,所以 22224222222422222222222()||||c a k k c c b k a c b BM BN a b a k b a k b a k -++⋅=++=+++令222b a k t +=,则2222222242()()||||a c t b a c a b BM BN a t+-++⋅= 222222222222()()34167562525a c b a b a c a a t t+-+=+⋅=-⋅．因为2222162516t b a k k =+=+≥,所以2341675640016252525t -⋅≥=,即得||||BN BM ⋅的最小值为16,此时0k =．例2．设F 是椭圆2212516x y +=的一个焦点,A 是椭圆上距离点F 最远的一个顶点,在椭圆的短轴BC 上取互异的2013个点(1,2,,2013)i P i =,设直线i FP 交线段或于点M ,直线AP 交线段或于点i N ．试问：直线(1,2,,2013)i i M N i =解析：如图示,设点m P 的坐标为(0,)m y ,||||||1||||||m m m m BP AM OF P O FA M B ⋅⋅=,可得||8||3(4)m mm m AM y M B y =-,坐标为15(4)32(,)512512m mm m y y y y -++．同理可得点m N 的坐标为15(4)32(,)320320m m m m y y y y --++,所以直线m M m N 的斜率为815(4)mm y y -+,可得其直线方程为32815(4)()32015(4)320m m m m m m y y y y x y y y ---=++++．令0y =,则4530015(320)15320320m m m m y y x y y ++===++,这说明直线m M m N 经过定点(15,0),而定点(15,0)在椭圆外部,可见任意两条直线(1,2,,2013)i i M N i =都相交,且交点均为(15,0),说明这2013条直线任两条直线在椭圆内部均不可能相交,于是它们把椭圆可分成2014块．例3．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于,A B 两点（如图所示）,且)2,23(P 在直线l 的上方．（I ）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（II ）若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解析（I ）分析：易计算出以点P 为切点的椭圆的切线的斜率为13-,由此可知以点P 关于x 轴的对称点为切点的椭圆的切线的斜率为13．可见斜率为13的直线l 在平移过程中与椭圆相切时恰好是上面的切线,由此可猜想直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数,下面给予验证：设直线l 的方程为13y x b =+,点,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把直线方程代入椭圆方程中可得22269360x bx b++-=,即得212129363,2bx x b x x-+=-=．因为PAk=PBk=两式相加=因为11221133y x b y x b=+=+,所以12121((3y x x b x-=+-12121(3x x b x b=+-,21211((3y x x b x-=+-12211(3x x b x b=+-,于是122112122((()3y x y x x x b x x b-+--=+-+-23123(0b b b b=----=．所以0PA PBk k+=．于是PAB∆的内切圆的圆心一定在直线x=（II）因为︒=∠60APB,所以直线PA,可得直线PA的方程为y x=-+代入椭圆方程中得2142340x x-+-=,由韦达定理可得点A．故由弦长公式可得|||1477PA-+=-==．同理可求得1)||7PB=．所以,△PAB的面积为111826||||sin602249PA PB⋅⋅︒=⋅=例4．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>,12,A A分别为椭圆的左、右顶点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11221122,,,QA PA QA PA RF PF RF PF ⊥⊥⊥⊥,试确定线段QR 的长度与b 的大小关系,并给予证明．解析：如右图示,据题意可知12,,,P A Q A 四点共圆,又原点O 为该圆的弦12A A 的中点,则据圆的性质可得该圆的圆心在y 轴上；又PQ 为该圆的直径,所以线段PQ 的中点在y 轴上．同理,线段PR 的中点也在y 轴上．所以,点,Q R 的横坐标相等,且为点P 的横坐标的相反数．设点P 的坐标为00(,)x y ,则可设点,Q R 的坐标分别为01(,)x y -和02(,)x y -,且12||||QR y y =-． 据题设,1212tan tan A PA AQA ∠=-∠,则据直线的到角公式有001100000011000011y y y yx a x a x a x ay y y y x a x a x a x a---+-+=+⋅+⋅-+-+,即012222220001y y x y a x y a =+-+-,整理得22010x a y y -=．同理可推得22020x c y y -=．于是222220021000||||||x c x a b y y y y y ---=-=．由于00||y b <≤,所以20||b b y ≥,即得线段QR 的长度不小于b ．又解：设点P 的坐标为00(,)x y ,则可得直线1A Q 的方程为00()x ay x a y +=-+；同理可得直线2A Q 的方程为00()x a y x a y -=--,两方程联立可得点Q 的坐标为22000(,)x a x y --． 同理可得点R 的坐标为22000(,)x c x y --．于是得20||||b QR y =． 因为00||y b <≤,所以20||||b QR b y =≥,可得线段QR 的长度不小于b ．二、向量条件下的曲线的弦问题 （一）题型特点及解法思想：当直线与曲线相交但不相切,此时将产生曲线的一条弦,围绕着这条线弦展开的问题,我们把它称为曲线的“弦问题”．解决这类问题的基本思想是联立方程组,运用二次方程的有关知识加以解决．在曲线的“弦问题”中,时常把题中的条件通过向量的形式给出,或以向量为背景来设置问题．解决这种问题时,可以从两个方面来考虑向量知识的运用,一是运用向量的坐标表示形式解题,这与解析法一脉相承；二是运用向量的几何意义解题,即通过向量来揭示所研几何图像的几何性质,再运用数形结合的思想解题．（二）例题选讲：例5．点A 在直线y kx =上,点B 在直线y kx =-上(0)k >,且A 、B 两点在y 轴同侧,并满足2||||1OA OB k ⋅=+．（I ）求AB 中点M 的轨迹C ；（II ）若曲线C 与抛物线22(0)x py p =>相切于两点,求证这两个切点分别在定直线上,并求切线方程． 解（I ）设点A 的坐标为11(,)t kt ,点B 的坐标为22(,)t kt -,则1||||OA t →=2||||OB t →=所以有12||1t t =,由于A 、B 两点在y 轴同侧,所以121t t =．设AB 的中点M 的坐标为(,)x y ,则12122()2t t x k t t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,整理得22122y x t t k -=,即得2221y x k -=．所以点M 的轨迹C 的方程为2221y x k-=,可知轨迹C 是以直线y kx =和y kx =-为渐近线的双曲线．（II ）联立22x py =与2221y x k -=,得2221y py k-=,即22220y pk y k -+=,可知该关于y 的二次方程有两个相同的正根,即得242440p k k -=,即221p k =,即得1pk =．此时切点的纵坐标为2pk ,可得两切点坐标为2(,)pk ,即()k．由此可知两个切点分别在定直线x =x =当切点坐标为)k 时,切线的斜率为p,切线方程为y k x p -=,10py --=；当切点坐标为()k 时,切线的斜率为p -,切线方程为(y k x p-=-+,10py ++=． 例6．设直线:l y kx m =+（其中,k m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点,A B ,与双曲线221412x y -=交于不同两点,C D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由．解析 设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,,C D 两点的坐标分别为33(,)x y 和44(,)x y ,则由0AC BD +=可得1234x x x x +=+．把直线l 的方程代入椭圆方程中可得222(34)84480k x kmx m +++-=,于是122834kmx x k+=-+,且2212160k m +->． 把直线l 的方程代入双曲线方程中可得222(3)2120k x kmx m ----=．因为k 为整数,所以230k -≠,于是34223km x x k+=-,且221240m k +->． 由1234x x x x +=+可得2282343km kmk k -=+-,于是当0k =时,需2120m ->且2120m +>,即m -<<,这样的有序整数对(,)k m 共有7个,此时,共有7条满足题设的直线；当0m =,0k ≠时,需212160k +>,且21240k ->,即k <<这样的直线共有2条；当0m ≠且0k ≠时,2282343km kmk k -=+-即123-=,不能成立,此时没有满足题设的直线．综上,存在直线l ,这样的直线有9条．例7．已知椭圆1222=+y x ,过定点(1,0)C 两条互相垂直的动直线分别交椭圆于Q P ,两点．21,F F 分别为左右焦点,O 为坐标原点．（I ）求||21PF PF +的最小值；（II ）当向量21PF PF +与21QF QF +互相垂直时,求Q P ,两点所在直线的斜率．解析（I ）因为122PF PF PO +=,所以只需求||PO 的最小值．显然min ||1PO b ==,所以||21PF PF +的最小值为2．（II ）由21PF PF +与21QF QF +互相垂直可知OP OQ ⊥．又CP CQ ⊥,所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PCQ 的公共斜边,即得线段PQ 的中点到,O C 两点的距离相等,即线段PQ 中点的横坐标为12． 法1：设Q P ,两点所在直线的斜率k ,线段PQ 的中点坐标为01(,)2y ,则有2020014b x k a y y =-=-．故可设直线PQ 的方程为01()2y y k x -=-,即11()42y k x k +=-,代入椭圆方程中可得2212()2024k x kx k+---=,即2222213(12)(21)()0282k k x k x k +-+++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则42122241218(12)k k x x k k -+=+,而121x x +=,所以424221212122211412114()()()24248(12)16k k k k k y y k x x k x x k k k k-+-=-++++=++ 4222284116(12)k k k k -++=+． 因为12120x x y y +=,所以424222224121284108(12)16(12)k k k k k k k k -+-+++=++,可得42202030k k --+=,即得2510k -+=,即k =法2：设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入椭圆方程中得222(12)4220k x kbx b +++-=． 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122412kb x x k+=-+．而121x x +=,所以2124k kb +=-——（1） 另一方面,21222212b x x k -=+,于是222222121212222()12k b k y y k x x kb x x b kb b k -=+++=+++． 因为12120x x y y +=,所以2222222222201212b k b k kb b k k--+++=++,即得 22322422320k b k b k b kb +-++-=——（2）由（1）（2）消去b 可得42202030k k --+=,于是k =法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入椭圆方程中得222(12)4220k x kbx b +++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122412kbx x k+=-+,21222212b x x k -=+． 一方面,由12120x x y y +=,因222212121222()12k b y y k x x kb x x b k -+=+++=+,故得2222222201212b k b k k--++=++即223220b k --=——（1） 另一方面,由1122(1,)(1,)0x y x y -⋅-=可得121212()10x x x x y y -+++=,因此有222222224210121212b kb k b k k k--++++=+++即23410b kb +-=——（2）由（1）（2）消去b 可得42202030k k --+=,于是k =法4：设||,||OP m OQ n ==,则有2222111132m n a b +=+=,即得222232m n m n +=,可知原点O 到直线PO 的距离为3．故设直线PQ 的方程为cos sin 3x y θθ+=,代入椭圆方程可得22224(sin 2cos )cos 2sin 03x θθθθ++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122243sin 2cos x x θθθ+=⋅+,而121x x +=,所以223sin 2cos θθθ=+,即23cos 30θθ-+=,解得cos θ=,于是得cot =,即斜率为k =三、曲线的切线问题（一）题型特点及解法思想：这里的曲线通常是二次曲线,其切线是指与曲线有两个相同的交点的直线,解题的基本思路是联立方程组,运用判别式等于0来体现切线特点．当然,还可以从导数的角度来分析切线,并运用导数工具研究切线．（二）例题选讲：例8．过直线l ：57700x y --=上点P 作椭圆221259x y +=的切线PM 、PN ,切点分别为M 、N ,联结MN ．（I ）当点P 在直线l 上运动时,证明：直线MN 经过定点Q ； （II ）当//MN l 时,证明：定点Q 平分线段MN ．解析（I ）设点P 的坐标为00(,)x y ,切点M 、N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则两条切线的方程分别为111259x x y y +=和221259x x y y +=．因为点P 在这两条切线上,所以有 10101259x x y y +=且20201259x x y y+=． 这说明过切点M 、N 的切点弦所在直线MN 的方程为001259x x y y+=．因为0057700x y --=,即007145x y =+,所以直线MN 的方程为0147()1x y x y ++=． 令709125y x +=,则14125x =,解得2514x =,所以,直线MN 经过定点Q ,其坐标为25(,14（II ）若//MN l ,则直线MN 的方程为y 要证明此时定点Q 平分线段MN ,弦所在直线的方程就是9525()10714y x +=-此时可设,M N 两点的坐标分别为11(,x y 得1212121211()()()()0259x x x x y y y y -++-+=,因为1212,75x x y y +=+=-,所以 121211()()075x x y y ---=,即121257y y x x -=-,所以,此时直线MN 的斜率为57,其方程就是9525()10714y x +=-,这就是说,定点Q 平分线段MN ． 例9．过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,,过Q P ,作椭圆的切线,两切线的交点为M ．（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）设O 为坐标原点,当四边形POQM 的面积为4时,求直线l 的方程．解析（I ）设直线l 的方程为sin (2)cos (3)x y θθ-=-,即sin cos 3cos 2sin 0x y θθθθ-+-=．设交点M 的坐标为00(,)x y ,则直线PQ 的方程为0014x xy y +=,即00440x x y y +-=． 于是有0044sin cos 3cos 2sin x y θθθθ-==--,即得动点M 的参数方程为（II 2(14)k +2sin α=．所以,四边形POQM 的面积为1||||sin 2S PQ OM α=⋅ 22|23|14k k =-+=． 所以,4|23|k =-,解得1k =或11k =,得直线l 的方程为10x y -+=或114100x y --=．例10．已知111222(,),(,),A x y A x y 在的直线与抛物线22(0)x qy q =>证明：对不同的{},1,2,3i j ∈,i y y 证 如图,不妨设边13A A 和23A A相切,切点分别为1T 和2T ．那么切点弦1T 2T 所在直线方程为33()x x q y y =+．设切点1T 和2T 的坐标分别为211(,)2t t q 和222(,)2t t q ,则切线13A A 的斜率为1t q ,于是有31131y y t x x q -=-,即1312t py y q=+．把切点1T 的坐标代入直线方程33()x x q y y =+中,可得21313()2t x t q y q =+,整理即223113()22y t t q y p q=+,再把1312t py y q=+中的1t 代入该式,可得22332313122[]2()y pq p q q y p y y y y ⋅=+++,即2233231312()y p q y y y y y =+++, 即213231312()y y p q y y y y -=++,即得21313()2y y y y p q +=-． 同理,利用切点2T 可以推得22323()2y y y y p q +=-．上面两式相减可得123y y y +=-；上面两式相加可得2222312312()()4y y y y y y p q +++=-,即得 232312123[()2]4y y y y y y p q +--=-,即23233123(2)4y y y y y p q --=-,即得21232y y y p q =． 所以21212123()2y y y y y y y p q +=-=-．综上,对不同的{},1,2,3i j ∈,()i j i j y y y y +为定值,定值为22p q -．四、焦点问题（一）题型特点及解法思想：此类题目总是围绕圆锥曲线的焦点展开,它紧扣圆锥曲线的定义,能更直接地揭示圆锥曲线的本质．解决这类问题时,一要抓住圆锥曲线的定义,包括椭圆、双曲线的第一、第二定义；二要抓住焦点与对应准线之间的关系；三要用好焦半径．（二）例题选讲：例11．如图,MN 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的弦,,A B 分别为椭圆的左、右顶点,直线AM 与BN 交于点P ,求点P 的横坐标.解析 如图,设点,M N 的坐标分别为(cos ,sin )a b αα和(cos ,sin )a b ββ,设点P 的坐标为00(,)x y ,则一方面有00sin sin cos cos 1y b b x a a a a αααα==⋅+++, 00sin sin cos cos 1y b b x a a a a ββββ==⋅---, 两式相除可得00sin cos 1sin cos 1x a x a αββα--=⋅++ ————（1） 另一方面,有sin sin cos cos b b a c a c αβαβ=--,即sin sin cos cos e eαβαβ=-- ————（2）由（1）得0[sin()sin sin ][sin()sin sin ]x a βααββαβα-++=++- ————（3） 由（2）得sin()(sin sin )e αβαβ-=- ————（4） 又（3）式左边为00[sin()sin sin ]2cos(sinsin)222x x βαβααββααβ--+-++=+04cossincos222x βαβα-=．（3）式右边为[sin()sin sin ]2cos(sinsin)222a a αβαββαβαβα++-++-=+4cossincos222a αββα+=．所以有0cos2cos2a x βαβα+=- ————（5）由（4）式可得2sin cos 2cos sin 2222e αβαβαβαβ--+-=,即cos cos22e αβαβ-+=,即cos12cos2e αβαβ+=-,代入（5）式中可得20a x c =．所以,点P 的横坐标为2a c ．例12．如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆的左、右焦点分别为,．已知和都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率．（I ）求椭圆的方程；（II ）设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P ． 求证：是定值．解析（I ）易求得椭圆方程为2212x y +=； （II ）设12||,||AF m BF n ==,则2||||m AP PF n =,1||||nBP PF m=． 因为1212||||||||2AF AF BF BF a +=+=,所以21(1)||(1)||2m nm PF n PF a n m ++=++=, 即得2122||,||an mn am mn PF PF m n m n --==++,于是212||||2mnPF PF a m n+=-+． 设12AF F θ∠=,则2BF x θ∠=,于是,1cos 1cos ep epm n e e θθ==+-,所以 2222222,1cos 1cos e p epmn m n e e θθ=+=--, 可得222mn c b b ep m n a c a==⋅=+．所以221||||22b PF PF a a +=-==,可见是定值． 例13．已知椭圆Γ的方程为),0(12222>>=+b a b y a x 离心率12e =,1F 是椭圆Γ的左焦点,直线l 过点M（)0,2a -交椭圆Γ于A 、B 两点,且,121||1||111=+BF AF 当△1ABF 的面积最大时,求直线l 的方程． 22221(0)x y a b a b+=>>1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e，e ⎛ ⎝⎭,A B x 1AF 2BF 2AF 1BF 12PF PF +12PF PF +解析 如图,因为12e =,所以12c a =,可得2a c =．于是,2222a a a c a==,可知直线2x a =-是该椭圆的左准线,即得点M 落在左准线上．假设,A B 两点在x 轴的上方,并设它们的坐标分别为11221212(,),(,)(,)x y x y x x y y <<． 则1212113(2)()()22ABF S a c y y c y y ∆=--=-． 设直线AB 的方程为4x my c =-,代入椭圆方程2222434120c x c y c +-=中可得222(34)24360m y cmy c +-+=．所以21y y -==． 令234m t +=,则21348m t ==≤+,于是212y y -≤,可知124ABF S c ∆≤,且当23432m +=即2283m =时等号成立． 另一方面,分别过,A B 作左准线的垂线,垂线段长分别为12,d d ,则111211||,||22AF d BF d ==,而1122,y m d y m d ==,可得1212()y y m d d +=+． 因为1222434cmy y m +=+,所以21222434cm d d m +=+．所以211122112||||()234cm AF BF d d m +=+=+． 又因为21223634c y y m =+,即222121223634c m d d m y y m ==+,即221129||||34c m AF BF m =+．而条件有11111||||12AF BF +=,即111112(||||)||||AF BF AF BF +=,即得22222129123434cm c m m m ⋅=++,解得16c =,所以264a =．可得直线l的方程为64)14y x =±+． 例14．在双曲线C ：22145x y -=中,12,F F 分别为双曲线C 的左右两个焦点,P 为双曲线上且在第一象限内的点,12PF F ∆的重心为G ,内心为（I ）是否存在一点P ,使得IG //（II ）已知A 为双曲线C 的左顶点,足1212k k +=-,求直线l 的方程． 解析（I ）设点P 的坐标为00(,)(x y 面积为03y 001(6)2ex a ex a r ++-+,即0(ex +0(2)32x r +,即得00(2)332x ry +=,因为IG //12F F ,所以013r y =,可求得0y =．综上,存在一点P ,其坐标为,使得IG //12F F ．（II ）可设直线l 的方程为3x my =+,设,M N 两点的坐标为分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把直线方程代入双曲线方程中,得22(54)30250m y my -++=．于是有1223045m y y m +=-,1222545y y m=-- ————（1） 另一方面,因为121212,22y y k k x x ==++,而1212k k +=-,所以有12121222y y x x +=-++, 即得12121552y y my my +=-++,整理得21212(4)(105)()250m m y y m y y +++++=——（2）由（1）,（2）可得：2222530(4)(105)2504545m m m m m m -+⋅++⋅+=--,解得12m =-． 所以,直线l 的方程为132x y =-+,即26y x =-+． 五、曲线组问题 （一）题型特点：这是一类典型的曲线性质探究问题,其曲线背景是由两条以上曲线组合而成,它使得问题更为复杂,体现出的综合性更强,更能突出曲线之间的自然联系．求解时,图形复杂,变量多,联系多,式子多,能很好地考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力,更能考查思维素质．（二）例题选讲：例15．如图,曲线C 由上半椭圆1C ：22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C ：21(0)y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为32． （I ）求,a b 的值；（II ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ）,若AP AQ ⊥,求直线l 的方程．解析（I ）易知曲线12,C C 的结合点,A B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0),于是可得1b =,再由1C 的离心率为32可得2a =． 所以,2a =,1b =．（II ）显然直线l 的斜率存在,故设其方程为(1)y k x =-,将其代入曲线2C 的方程中可得210x kx k +--=,知该方程的一个根为1,由韦达定理可得点Q 的横坐标为1k --,于是点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----；把直线l 的方程代入曲线1C 的方程中,可得2222(4)240k x k x k +-+-=,知该方程的一个根为1,由韦达定理可得点P 的横坐标为2244k k -+,于是点P 的坐标为22248(,)44k k k k --++． 由AP AQ ⊥可得：4(2)1k k -⋅+=-,解得83k =-． 所以,直线l 的方程为8(1)3y x =--,即8380x y +-=．例16．如图,设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点．过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线,交直线l ：3y =-于,A B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ,使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．解析（Ⅰ）抛物线1C 的准线方程为14y =-,所以2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离114． （Ⅱ）设点P 的坐标为200(,)x x ,切线方程可设为200()y x k x x -=-,则有2002|3|11kx x k--=+,即2234200000(1)(26)680x k x x k x x--++++=．于是3420000121222002668,11x x x xk k k kx x++++==--————（1）同时可得,A B两点的坐标分别为213(,3)xxk+--和223(,3)xxk+--,那么线段AB的中点坐标为22001233(,3)22x xxk k++---．以点P为切点的抛物线的切线方程为20002()y x x x x-=-,即2002y x x x=-,所以22200000123332()22x xx x xk k++-=---,整理得2120012(3)(1)0k kx xk k++-=,即1212k kxk k=+————（2）由（1）可得420012312006826x xk kk k x x++=++,代入到（2）中可得48x=,解得x=,此时点P的坐标为(,关于k的方程为21)3)160k k±++=,其判别式为23)1)(4640∆=-+=+>,可见这样的切线是存在的．综上,存在点P,其坐标为(．例17．设m R∈,在平面直角坐标系中,(,1)a mx y→=+,(,1)b x y→=-,a b→→⊥,动点(,)M x y的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示的曲线的形状；（II）已知14m=,证明：存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥（O为坐标原点）,并求该圆的方程；（III）已知14m=．设直线l与圆C：222(12)x y R R+=<<相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时,|A1B1|取得最大值？并求最大值．解析（I）由a b→→⊥得221mx y+=,即为轨迹E的方程．当0m<时,方程表示焦点在y轴上的双曲线；当0m=时,方程表示两条互相平行的直线；当01m<<时,方程表示焦点在x轴上的椭圆；当1m=时,方程表示圆心在原点的单位圆；当1m>时,方程表示焦点在y轴上的椭圆．（II）此时方程为2214xy+=,如图．设|OA| = m,|OB| = n,则可设点A、B的坐标分别为(cos ,sin )m m θθ和(cos(),sin())22m m ππθθ++,代入椭圆方程中得 22222222cos sin 14sin cos 14m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即 222222cos 1sin 4sin 1cos 4m n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相加可得221115144n m +=+=．（注：形成公式22221111n m a b+=+）=O 到直线AB 的距离为d ,则据面积法有mn =所以d =．这说明存在圆2245x y +=,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． （III ）设点11,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．由于直线l 与圆O 和椭圆E 均相切,所以直线l 的方程既是211x x y y R +=,也是2214x xy y +=,所以有 211224x y R x y ==,即2212124,x R x y R y == ————（※） 因为222111||||A B OB R =-,而222122||OB x y =+,又 222214x y +=,22211x y R +=,结合（※）有222222116R x R y +=, 可得222216(1)3R x R -=,222243R y R -=．所以2222122216(1)454||33R R R OB R R R---=+=, 得 22221122544||5()1R A B R R R R-=-=-+≤,且当R = 所以,当R =,|A 1B 1|取得最大值,最大值为1．五、综合问题例18．给定整数(2)n ≥,设000(,)M x y 是抛物线21y nx =-与直线y x =的一个交点,试证明：对于任意整数m ,必存在整数2k ≥,使得点00(,)m mx y 为抛物线21y kx =-与直线y x =的一个交点．解析 据题设,有2001x nx =-,2001m mx kx =-,整理得001n x x =+,001mm k x x =+．注意到211000000211000000111111()()()()()m m m m m m m m m m x x x x n x x x x x x x x +++++++=++-+=+-+． 当1m =时,001k x n x =+=显然是存在的；当2m =时,22001()222k x n x =+-=->显然也是存在的；假设,1()m s m s s N +==+∈时,k 存在,即001m mx x +和1101m m x x +++均为不小于2的整数,那么当2m s =+时,101011()()m mm m k n x x x x ++=+-+,其显然也是一个整数,又202012m m k x x ++=+≥,所以此时的k 为不小于2的整数．综上,对任意正整数m ,都存在不小于2的整数k ．若0m =,则2k =,显然存在；若m 为负整数,可令m p =-,那么001,pp k x p N x +=+∈,由上面证明可知依然存在不小于2的整数k ．综上,命题获证． 六、练习题1．已知ABC ∆边上作匀速运动的点,,D E F ,在0t =时分别从,,A B C 出发,各以一定速度向,,B C A 前进,当时刻1t =时,分别到达,,B C A ．（1）证明：运动过程中DEF ∆的重心不变；（2）当DEF ∆面积取得最小值时,其值是ABC ∆面积的多少倍？2．已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和,其中21x x ≠且421=+x x ．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC ∆面积的最大值．3．已知抛物线y 2 = 4px ( p > 0 ),过顶点O 作两条直线分别交抛物线于A 、B 两点,若OA ⊥OB,求O 在弦AB 上的射影M 的轨迹．4．已知梯形ABCD 中,AB = 2CD,点E 分有向线段→AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围． 5．是否存在无穷多条直线(1,2,,,)n l n m =形成的直线族,满足条件：（1）点（1,1）在直线(1,2,,,)n l n m =上；（2）1n n n k a b +=-,这里1n k +表示直线1(1,2,,,)n l n m +=的斜率,n a 、n b 分别表示直线(1,2,,,)n l n m =的横截距和纵截距；（3）10(1,2,,,)n n k k n m +>=．6．对于曲线C 1：3 ( x 2 + 2y 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 4y 2 )上除原点外的每一点P,求证：存在过P 的直线与椭圆C 2：x 2 + 2y 2 = 2相交于两点A 、B,使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形（O 为坐标原点）．七、练习题解答1．解析（1）如图,据题可令||||||||||||AD BE CF k AB BC CA ===, 则 ,,AD k AB BE k BC CF kCA ===．建立平面直角坐标系如图,设点B 的坐标为(,0)m ,点C 的坐标为(,)t s ,则点D 的坐标为(,0)km ,点E 的坐标为(,)m km kt ks -+,点F的坐标为(,)t kt s ks --．所以DEF ∆的重心坐标为(,)33m t s +,而ABC ∆的重心坐标也是(,)33m t s+,所以DEF ∆的重心不变． （2）因为(1)ADF ABC S k k S ∆∆=-,(1)BDE ABC S k k S ∆∆=-,(1)ECF ABC S k k S ∆∆=-,所以2[13(1)](331)DEF ABC ABC S k k S k k S ∆∆∆=--=-+,其最小值为14ABC S ∆,且当12k =时取到． 所以,当DEF ∆面积取得最小值时,其值是ABC ∆面积的14倍． 2．解析：设AB 的中点D 的坐标为0(2,)y ,则由21122266y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得1212126y y x x y y -=-+,即03AB k y =．设点C 的坐标为(,0)t ,则00312y t y ⋅=--,可得5t =,所以点C 的坐标为(5,0)． 设直线AB 的方程为003(2)y y x y -=-,与抛物线x y 62=联立可得220022120y y y y -+-=,于是可得||AB ==而||CD =所以20(9)ABC S y ∆=+．因为20(9)y +=当且仅当22002429y y -=+,即205y =时,20(9)ABC S y ∆=+取到最大,． 所以,ABC ∆此时直线AB的斜率为．3．解析 设OA 直线方程为y = kx ,与抛物线方程y 2 = 4px 联立后得点A 的坐标为)442k pk p ，（．进而由OA ⊥OB 容易得到点B 的坐标（4pk 2,– 4pk ）． 所以,直线AB 的方程为( 1 – k 2 ) y = k ( x – 4p ) -------- ( 1 )由此易得直线OM 的方程为)0(12≠-=k x kk y ------ ( 2 )由（1）（2）消参数k 后得：( x – 2p ) 2 + y 2 = 4p 2．经检验点M 不可能在原点,故x ≠0．所以,点M 的轨迹是以（2p ,0）为圆心,2 p 为半径的圆,还需除去原点．4．解析 据双曲线的对称性可知梯形ABCD 为等腰梯形,且AD = BC ．以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,如图． 则可设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>．由AB = 2CD可得|CD| = c ,可知点C 的横坐标为2c,代入双曲线方程中可得点C的纵坐标为2a ,即得C点坐标为(,22c a． 由1AE AC λλ→→=+得点E的坐标为2(,12(1)cc a λλλλ-++,而E 点在双曲线上,所以有222222222(2)(4)14(1)4(1)c c a a a λλλλ---=++, 整理得 2222(2)a c c a λ+=-,同除2a 可得22(2)1e e λ+=-,即得2212e eλ-=+． 因为4332≤≤λ,所以22213324e e -≤≤+,解得双曲线离心率e的取值范围是． 5．解析 据题设可设直线(1,2,,,)n l n m =的方程为1(1)n y k x -=-,则11n n a k =-,1n n b k =-,可得11n n nk k k +=-． 由于10(1,2,,,)n n k k n m +>=,所以所有的直线的斜率同号,不妨设0(1,2,,,)n k n m >=,则有110n n nk k k +-=-<,可知数列{}n k 是递减数列． XYOABM因为1112111()n n k k k k k +-=-+++,即1112111()n n k k k k k +=-+++,又因为121111n nk k k k +++>,所以111121111()n n n k k k k k k k +=-+++<-． 令110n k k -<,得21n k >,故取21[]1N k >+,则1110N Nk k k +<-<,可知从第N+1项开始,数列{}n k 的每一项都是负值,与题设矛盾．同理,若0(1,2,,,)n k n m <=也矛盾．综上,不存在这样无穷多条直线．6．先分析：逆着思考这个问题,曲线C 1应该是点P 走出的轨迹,那么这样的点应该满足题中“使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形”的条件．可以判断曲线C 1上的所有点都在椭圆的内部,所以点P 一定在椭圆的内部,如图．因此猜想当OA ⊥OB,且点P是弦AB 的中点时,可以使条件“使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形”解析：变形方程3 ( x 2 + 2y 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 4y 2 )得 22222223(2)6(2)4()0x y x y x y +-+++= 因为点P 不是坐标原点,所以x ,y 不可能同时为零,即得224()0x y +>,则有 222223(2)6(2)0x y x y +-+<,可得 22022x y <+<,即点P 在椭圆2222x y +=的内部．若OA ⊥OB,且点P 是弦AB 的中点,现求点P 的轨迹方程： 如果直线AB 垂直于x 轴,则易求得点P 的坐标为(,0)3±,显然满足方程 222223(2)2(4)x y x y +=+； 如果直线AB 不垂直于x 轴,可设其斜率为k ,A 、B 两点的坐标为11(,)x y 和22(,)x y ,线段AB 的中点P 的坐标为00(,)x y ．由点差法可得2002002b x xk a y y =-=- ————（1）设直线AB 的方程为00()y y k x x -=-,又设|OA| = m ,|OB| = n ,则2222111113122m n a b +=+=+=． 因为点O 到直线AB ,故据直角三角形的等面积法有mn =,即222200111()k m n y kx ++=-．所以有220013()2ky kx+=-————（2）把（1）代入（2）中得22221432()2xyxyy+=+,整理得2200222002(4)3(2)x yx y+=+,即得 2222200003(2)2(4)x y x y+=+．综上,点P的轨迹方程为 222223(2)2(4)x y x y+=+．由于点P的轨迹方程 222223(2)2(4)x y x y+=+与点P满足的几何条件是充分必要的,所以满足方程 222223(2)2(4)x y x y+=+的点P,也一定能使“OA⊥OB,且点P是弦AB的中点”成立．那么,∆AOP与∆BOP 均为等腰三角形．2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义（二）函数与导数江苏南菁高级中学【知识要点概述】一、函数值域与最值问题：(1) 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,定义域含三种：①自然型：②限制型：③实际型：(2) 求函数的值域是比较困难的数学问题,求函数值域方法一般有：①配方法（将函数转化为二次函数）； ②判别式法（将函数转化为二次方程）； ③不等式法（运用不等式的各种性质）； ④函数法（运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等）；⑤换元法； ⑥反解法； ⑦几何法； ⑧导数法.(3) 恒成立问题：①不等式f (x )＞k 恒成立⇔f (x )min ＞k ；②不等式f (x )＜k 恒成立⇔f (x )max ＜k③f (x )≥g (x )恒成立⇔ f (x )−g (x )≥0恒成立⇔[f (x )−g (x )]min ≥0 (典型错误min max ()()f x g x ⇔≥) (4) 有解问题：①方程f (x )＝k 有解⇔k 的取值范围即为f (x )的值域；②不等式f (x )＞k 有解⇔f (x )max ＞k ；③不等式f (x )＜k 有解⇔f (x )min ＜k .(5) 最值存在定理：f (x )在闭区间[a , b ]内连续, 则f (x )必有最大值与最小值.二、函数基本性质：1．奇偶性定义：定义域关于原点对称, 且对∨−x ∈D ,f (−x )=f (x ) (偶函数) 或f (−x )=－f (x ) (奇函数) ①奇函数的图象关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数的定义域包含0,则f (0)=0. 2．单调性定义：对∨−x 1, x 2∈I 且x 1＜x 2⇒ f (x 1)＜f (x 2) (增函数) 或f (x )＞f (x 2) (减函数). 3．研究函数的单调性,常用以下方法：（1）定义法：利用定义严格判断. 步骤为：①取值；②作差；③判断符号；④下结论.（2）直接利用已知基本初等函数的单调性. 例如若f (x )、g (x )为增函数,则 ①f (x )＋g (x )为 函数；②1f (x )为 函数（f (x )＞0）；③f (x )为 函数（f (x )≥0）；④－f (x )为 函数. （3）利用复合函数y = f [g (x )]的单调性(其中y =f (u ), u =g (x ))：判断的法则是“同增异减”具体步骤为：①求定义域；②找分界点,确定单调区间；③分析函数在每个区间上的单调性得出结论. （4）图象法：若一个函数的图象可画出来,则由图象可得单调区间.（5）利用奇偶函数的性质：①奇函数在对称区间上的单调性相同；②偶函数在对称区间上的单调性相反.（6）单调函数必存在反函数,且反函数的单调性与原函数的单调性相同.4．周期函数定义：若存在常数T (T ≠0),使得f (x +T )＝f (x )对定义域内任意x 恒成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,f (x+T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2), 周期函数的定义域一定是无限集.①若T 是y =f (x )的周期,那么kT (k ∈N *)也是它的周期.②若y =f (x )是周期为T 的函数,则y =f (ax +b )(a ≠0)是周期为Ta的周期函数.③若u ＝g (x )是周期函数, f (u )是任意函数, 则f [g (x )]也是周期函数. 5．周期的常用结论：设a 为非零常数,若对f (x )定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立, 则f (x )的周期为2a①()()f x a f x a +=-；②()()f x a f x +=-；③1()()f x a f x +=；④1()()f x a f x +=-；⑤()1()()1f x f x a f x ++=-；⑥1()()1()f x f x a f x -+=+. 上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.另外：()1()()1f x f x a f x -+=+或1()()1()f x f x a f x ++=-,则f (x )的周期为4a .证明：由已知f (x ＋2a )＝()11()11()1()1()1()1()1f x f x a f x f x f x a f x f x --+-+===--++++, 于是f (x ＋4a )＝－1(2)f x a +＝f (x ) 6．周期性与对称性有如下关系：①若函数f (x )图象关于直线x =a 与x =b 对称,则它一定是周期函数,且2|a −b |是它的周期. ②若函数f (x )图象关于点(a , 0)和(b , 0)对称,则它一定是周期函数,且2|a −b |是它的周期. ③若函数f (x )图象关于直线x =a 及点(b , 0)对称,则它一定是周期函数,且4|a −b |是它的周期.证明①：不妨设a ＞b ,于是f [x ＋2(a －b )]＝f [2a －(2b －x )]＝f (2b －x )＝f (x ), ∴ 2(a －b )是f (x )的一个周期.已知函数f (x )对任意实数x , 都有f (m ＋x )＝f (m －x ),且f (x )是偶函数, 则f (x )的周期为_________ 已知函数f (x )对任意实数x , 都有f (m ＋x )＝f (m －x ),且f (x )是奇函数, 则f (x )的周期为_________ 三、基本初等函数：1. 指数函数及其性质：形如y =a x (a ＞0, a ≠1)的函数叫做指数函数,其性质有：①定义域为R ,值域为(0,+∞)； ②当0＜a ＜1时为减函数,当a ＞1时为增函数；③图象有两个特殊点：定点(0,1),不变点(1,a )； ④非奇非偶,但xy a =与xy a -=的图象关于y 轴对称；xy a =与xy a =-的图象关于x 轴对称；x y a =与log a y x =的图象关于直线y =x 对称；⑤对应关系为一一映射,从而存在反函数－－对数函数；⑥抽象性质：()(01)xf x a a a =>≠且⇒()()()(),()()f x f x y f x f y f x y f y +=⋅-=2. 对数函数及其性质：形如y =log a x (a ＞0, a ≠1)的函数叫做对数函数,其性质：①定义域为(0, +∞), 值域为R ；②图象有两个特殊点：定点(1,0), 不变点(a , 1)；③当0＜a ＜1时为减函数,当a ＞1时为增函数； ④非奇非偶,但-1log log a a y x y x ==与关于x 轴对称,log log ()a a y x y x ==-与图象关于y 轴对称,log x a y x y a ==与图象关于直线y x =对称；⑤对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数.3. 幂函数：形如y =x α的函数叫做幂函数,幂函数有如下性质：⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R 或(−∞, 0)∪(0, +∞)的幂函数都具有奇偶性,定义域为(0, +∞)或[0, +∞)的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数y =x α都是无界函数；在第一象限中,当α＜0时为减函数,当α＞0时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点；4. 画幂函数y ＝x α(α＝mn , m 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是：(1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图： (2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况：①m , n 均为奇数时,y =x α为奇函数,图象在一、三象限内关于原点中心对称. ②m 为偶数,n 为奇数时y =x α为偶函数,图象在一、二象限内关于y 轴对称. ③m 为奇数,n 为偶数时,y =x α既不是奇函数也不是偶函数,函数只在第一象限有图像.5．二次函数的图像和性质：二次函数是初等数学中遇到比较多的函数之一,它的图象简单,性质易于掌握,又与二次方程、二次不等式有联系,与之相关的理论如判别式,韦达定理,求根公式等又是中学教材的重点内容,因此有必要进一步认识二次函数的性质,研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．(1) 二次函数的解析式：①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()f x a x h k =-+,顶点为(,)h k ③两根式：12()()()f x a x x x x =-- ④三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------（2）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是抛物线,顶点坐标24(,)24b ac b a a --,对称轴方程为2bx a=-,开口与。
2014卓越联盟预测试卷8
2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)姓名 成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____.6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= .7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4;10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ解:因A ⊆A ∩B ⇔A ⊆B;①当A=∅时,2a+1>3a-5⇔a<6;②当A ≠∅时,A ⊆B ⇔2a+1≣3, 3a-5≢22,且3a-5≣2a+1⇔6≢a ≢9.故选(C).2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 解:因sin2θ+cos2θ=a ⇒1+sin θ=a 2⇒θsin 1+=|a|⇒/甲;θsin 1+=a ⇒|sin2θ+cos2θ|=a ⇒/乙.故选(D).3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个解:设AB =a ,AC =b ,AD =c ,则|a |=3,|a -b |=7,|c -b |=11,|c |=9⇒a 2=9,a 2-2ab +b 2=49,c 2-2bc +b 2=121,c 2=81⇒b 2-2ab = 40,b 2-2bc =40⇒ab =bc ,BD AC ⋅=b (c -a )=bc -ab =0,选(A).4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43解:设事件A 为“取到的数能被6整除”,事件B 为“取到的数能被4整除”.由333<62000<334,知P(A)=2000333.而6与4的最小公倍数为12,166<122000<167,所以,恰有166个数既能被6整除又能被4整除,即P(AB)=2000166.因此所求概率为P(A)-P(AB)=1000167.故选(C). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____. 解:在BC 上取点D,使得AD=BD=x ⇒CD=4-x,在△ACD 中,(4-x)2=9+x 2-6xcos(A −B)⇒x=2⇒cosC=43⇒sinC=47⇒ △ABC 的面积=273. 6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= . 解:令x 2+x=50⇒x=22011+-⇒x 2-3x+2=(x 2+x)-4x+2=50-2(-1+201)+2=54-2201,40(x 2+5x)-68=40[(x 2+x)+4x]- 68=40(48+2201)-68⇒2f(50)-f(54-2201)=40(48+2201)-68⇒f(54-2201)=2f(50)-40(48+2201)+68; 令x 2-3x+2=50⇒x=22013-⇒x 2+x=4x+48=54-2201,40(x 2+5x)-68=40(60-4201)-68⇒2f(54-2201)- 2f(50)=40(60-4201)-68⇒4f(50)-80(48+2201)+136-2f(50)=40(60-4201)-68⇒f(50)=2012. 7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.解:记球半径为R,圆锥的半径为r,圆锥的高=h ⇒r 2=h(2R-h)⇒圆锥的体积=31πr 2h=31πh 2(2R-h)⇒比为8:27.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.解:{1,3,5,9,15,25,41,67}不满足条件⇒k ≣9.如果存在{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9}(a i <a i+1)不满足条件⇒a 3≣a 1+a 2≣5⇒a 4≣a 2+a 3≣9⇒a 5≣a 3+a 4≣15⇒a 6≣a 4+a 5≣25⇒a 7≣a 5+a 6≣41⇒a 8≣a 6+a 7≣67⇒a 9≣a 3+a 8≣109,矛盾,故k=9.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4; 解:由f(x)=ax 2+(b+1)x+c ⇒c=f(x)-ax 2-(b+1)x,所以,f(f(x))=x ⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+c-x=0⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+ f(x)-ax 2-(b+1)x-x=0⇔a[f 2(x)-x 2]+(b+2)[f(x)-x]=0⇔[f(x)-x][af(x)+ax+b+2]=0⇔(ax 2+bx+c)[a 2x 2+a(b+2)x+ac+b +2]=0⇔ax 2+bx+c=0,或a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0,其判别式=a 2(b+2)2-4a 2(ac+b+2)=a 2(b 2-4ac-4);若方程ax 2+bx+c=0与a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0有公共根x 0,则ax 02+bx 0+c=0,a 2x 02+a(b+2)x 0+ac+b+2=0⇒a(ax 02+bx 0)+2ax 0 +ac+b+2=0⇒x 0=-a b 22+⇒a(-a b 22+)2+b(-ab 22+)+c=0⇒b 2-4ac=4,矛盾. 10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值. 解:设A(a,a 2),B(b,b 2),C(c,c 2),k AB =a+b=k,由AB ⊥BC ⇒k BC =c+b=-k1;由|AB|=|BC|⇒(a-b)2+(a 2-b 2)2=(c-b)2+(c 2-b 2)2⇒ (a-b)2[1+(a+b)2]=(c-b)2[1+(c+b)2]⇒(a-b)2(1+k 2)=(c-b)2(1+21k)(不妨设a>b>c ⇒k>0)⇒21k +(a-b)=211k +(b-c)(a=k-b,c=-k1-b)⇒21k +(k-2b)=211k +(2b+k 1)⇒b=)1(213+-k k k ⇒a=)1(21223+++k k k k ⇒a-b=)1(12++k k k 正方形ABCD 的面积=|AB|2=(a-b)2+(a 2-b 2)2=(a-b)2[1+(a+b)2]=(a-b)2(1+k 2)=2222)1()1(++k k k (1+k 2)≣222)1(4+k k k ×21(k+1)2=2. 当且仅当k=1时,等号成立.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立. 解:(Ⅰ)由S 1=1,且2S n =a n a n+1⇒a 1=1,a 2=2,a n ≠0,2S n+1=a n+1a n+2⇒2a n+1=2S n+1-2S n =a n+1a n+2-a n a n+1⇒a n+2-a n =2;①当n 为奇数时,设n=2k-1(k ∈N +),则a 2k+1-a 2k-1=2⇒a 2k-1=1+2(k-1)=2k-1;②当n 为偶数时,设n=2k(k ∈N +),则a 2k+2-a 2k =2⇒a 2k =2+2(k-1)= 2k.综上,a n =n;(Ⅱ)当n ≣2时,b n =∑-=---nk k k n k a C 1111)1(=∑-=---n k k n k k C 1111)1(=1111)1(--=-⋅∑-k n n k k C k n n =k nn k k C n ⋅∑-=-11)1(=-n 1∑-=n k k n k C 1)1(=-n 1(∑-=n k k n k C 0)1(-1)= -n 1[(1-1)n-1]=n 1,且b 1=1适合该式,所以b n =n 1(n ≣1);由x>ln(1+x)⇒n 1>ln(1+n1)⇒b n >ln(n+1)-lnn ⇒b 1+b 2+…+b n > ln(n+1)>M ⇒n>e M-1,令m=[e M]即有b 1+b 2+…+b m >M.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).解:因2012=4×503,所以2012|(m ×232n+26n)⇔4|(m ×232n+26n),且503|(m ×232n+26n)⇔m ×232n+26n≡0(mod4),且m ×232n+26n≡0(mod503)⇔m ×232n≡0(mod4),且m(503+26)n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且m ×26n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)≡0(mod503)⇔m=4k,且m+1=503t(k,t ∈N +)⇔4k+1=503t ⇔ k=41503-t ,验算知t 的最小值为3⇒最小的正整数m=503×3-1=1508.。
2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案.pdf
2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为(A )6π(B )3π(C )23π (D )56π (2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于 (A )11n n -+ (B )1n n + (C )1n n - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )153 (B )155 (C )53 (D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为 (A )2-1 (B )2-2 (C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x (B )y 2=8x (C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A )3 (B )2 (C )32 (D )22(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1) (B )(14，1) (C )(14，+∞) (D )(1，+∞) (8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为(A )5 (B )6(C )7(D )22 (9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A )100 (B )120 (C )140 (D )160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk 表示连续k 次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A )σ4 (B )σ5 (C )σ2τ(D )τσ2 (11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．(Ⅱ)若limn1）考察数列定义2）a1+a2+a3+...+a n=a n-a n-1+2(a n-1-a n-2)+3(a n-2-a n-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1=b n+2b n-1+3b n-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值)(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1．(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得1|ln|bax C dxb a--⎰取得最小值；(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．。
西藏自治区2014年内地西藏初中班招生统一考试试卷 数学 小学数学A卷答案(翻译卷)
2014典敌︽侧爸邦︽底爸邦︽宝︽稗爸︽邦敌︽捶拜︽侧爸邦︽蝶搬︽伴淳爸︽吵︽蝶搬︽扳︽搬城︽搬敌︽旦邦︽地罢︽柄罢邦︽佃罢编︽撤︽办稗﹀（A卷答案）罢财罢敞爸︽柏︽霸︽鼻爸︽编︽撤︽罢得﹀（泵半1×26﹦26）扳柏稗﹀撤︽罢得︽残爸︽搬17办︽伴百办︽颁拜︽淳邦︽粹拜︽稗︽泵半︽脆︽伴超搬﹀罢册邦﹀搬郴半︽绊︽罢采拜︽撤︽罢得﹀（伴标罢︽斑半“√”拜爸︽惩半︽搬半“×”）（泵半1×6＝6）罢碉扳﹀罢拜扳︽罢叼邦︽撤︽罢得﹀（瓣爸︽拜罢︽斑敌︽撤邦︽办稗︽地扳︽斑︽昌半︽贬罢︽缠罢邦︽稗爸︽伴淳︽拜便邦）（泵半1×7＝7）搬得︽斑﹀旦邦︽兵罢︽拜便邦﹀（壁稗︽泵半27）1．败拜︽坝半︽超搬︽遍爸邦︽伴淳︽拜便邦﹀（泵半0.5×8＝4）扳柏稗﹀伴床拜︽罢的爸︽编︽便︽地扳︽昌半﹀2．扳摆扳︽锤︽拜爸︽城半床爸︽伴表办︽拜便邦﹀（泵半2×3＝6）3．长搬邦︽搬炒敌︽旦邦︽兵罢︽编︽搬柄拜︽地扳︽得搬︽疮︽淳邦︽柴︽旦邦︽兵罢︽拜便邦﹀（泵半2×3＝6）4．旦邦︽床爸︽班搬︽厂︽旦邦︽兵罢︽拜便邦﹀（泵半2.5×2＝5）15 4.95．旦邦︽床爸︽搬凳邦︽柴︽旦邦︽兵罢︽拜便邦﹀（泵半3×2＝6）布︽斑﹀地邦︽拜垂搬邦︽兵︽壁稗︽卞︽撤︽罢得﹀（泵半4）伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀（255÷15+7）×15÷2 …(2泵半) 255÷15=17（滇︽呆︽) …(1泵半) =24×15÷2 …(0.5泵半) 17+7=24（滇︽呆︽）…(1泵半) =360÷2 …(0.5泵半) 24×15=360（滇︽呆︽彪︽搬得）…(1泵半)=180(滇︽呆︽彪︽搬得) …(1泵半) 360÷2=180（滇︽呆︽彪︽搬得）…(1泵半)掣罢︽斑﹀ 伴档︽搬敌︽罢稗拜︽车稗︽败罢︽罢采拜︽撤︽罢得﹀ （泵半26）罢绊扳︽卞︽撤︽搬半︽办稗︽吵︽蹬邦︽斑︽淳邦︽稗︽泵半0.5超搬﹀ 罢绊扳︽卞︽撤︽罢得︽拜罢︽搬柄拜︽地扳︽昌半︽办稗︽搬佰搬︽稗︽泵半︽超搬﹀ 办稗︽瓣爸︽扳︽拜罢︽斑伴扳︽伴表办︽败搬邦︽瓣爸︽拜罢︽粹拜︽稗﹀ 罢稗邦︽党办︽办︽罢得俺︽稗邦︽泵半︽础拜︽拜便邦﹀ 1.伴表办︽败搬邦︽罢绊扳︽罢邦办﹀伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀ 伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀54-54×31 …（泵半2） 54×（1-31） …（泵半2）=54-18 …（泵半0.5） =54×32…（泵半0.5）=36（脆） …（1泵半） =36（脆） …（泵半1） 2.伴表办︽败搬邦︽罢绊扳︽罢邦办﹀伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀ 伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀3.14×（20÷2）2×2.5…（泵半2） 20÷2=10（滇︽呆） …（泵半1.5） =3.14×100×2.5 …（泵半0.5） 3.14×102=314（滇︽呆︽彪︽搬得）（泵半1） =314×2.5 …（泵半0.5） 314×2.5=785（滇︽呆︽兵︽拜斑爸邦︽彪︽搬得）（泵半1）=785（滇︽呆︽兵︽拜斑爸邦︽彪︽搬得）（泵半0.5） 3.伴表办︽败搬邦︽罢绊扳︽罢邦办﹀伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀ 伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀伴表办﹀ 颁爸︽扳︽伴标罢︽斑半︽柏︽搬扮罢︽稗﹀（泵半0.5） 伴表办﹀ x 伴标罢︽斑半︽柏︽搬扮罢︽稗﹀…（泵半0.5）20×8=100（泵半）…（泵半0.5） 5x -2×（20-x ）=72 …（泵半2） 100-72=28（泵半）…（泵半0.5） x =16 …（泵半1） 5+2=7（泵半） …（泵半0.5） 28÷7=4（撤︽搬） …（泵半0.5） 20-4=16（撤︽搬） …（1泵半） 4.伴表办︽败搬邦︽罢绊扳︽罢邦办﹀伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀ 伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀（73-50）×1.1+50×0.6 …（2泵半） 73-50=23（拆笛︽） …（1泵半） =23×1.1+50×0.6 …（0.5泵半） 23×1.1=25.3（波半）…（1泵半） =55.3（波半） …（1泵半） 50×0.6=30（波半） …（0.5泵半） 30+25.3=55.3（波半）…（1泵半）5.伴表办︽败搬邦︽罢绊扳︽罢邦办﹀伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀伴表办︽搬﹀ 弟爸邦︽伴闭半︽坝︽斑敌︽扳辫罢邦︽颁拜︽残︽档拜︽第半︽敞爸︽呆x 翟稗︽斑半︽柏︽搬扮罢︽稗﹀ 办稗︽吵﹀ 弟爸邦︽伴闭半︽霸︽斑敌︽扳辫罢邦︽颁拜︽残︽档拜︽第半︽敞爸︽呆74x 翟稗﹀（0.5泵半）伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀伴表办︽搬﹀ 弟爸邦︽伴闭半︽霸︽斑敌︽扳辫罢邦︽颁拜︽残︽档拜︽第半︽敞爸︽呆x 翟稗︽斑半︽柏︽搬扮罢︽稗﹀ 办稗︽吵﹀ 弟爸邦︽ 伴闭半︽坝︽斑敌︽扳辫罢邦︽颁拜︽残︽档拜︽第半︽敞爸︽呆47x 翟稗﹀（0.5泵半）6×（x +74x ）=1320 …（2分） 6x +6×47x =1320 …（2分）711x =220 …（1分） x =80 …（1分）x =140 …（1分） 80×47=140（千米/小时）…（1分）6.伴表办︽败搬邦︽罢绊扳︽罢邦办﹀伴表办︽败搬邦︽拜爸︽冲﹀ 伴表办︽败搬邦︽罢册邦︽斑﹀7.7÷（1+10%）÷（1-30%）（2泵半） 7.7÷〔(1-30%〕×（1+10%）〕（2泵半） =7.7÷110%÷70% …（1泵半） =7.7÷(70%×110%) …（1泵半） =7÷70% …（0.5泵半） =7.7÷77% …（0.5泵半） = 10（元） …（1泵半） =10（波半） …（1泵半）伴表办︽败搬邦︽罢碉扳︽斑﹀伴表办︽搬﹀ 代︽贬︽炒敌︽︽便爸︽颁拜︽波半︽翟稗︽斑半︽柏︽搬扮罢︽稗﹀ …（0.5泵半）x ×（1-30%）×（1+10%）=7.7 …（2泵半） 70%x ×110%=7.7 …（1泵半） x =10 …（1泵半）搬吵稗︽斑﹀ 成扳︽旦邦︽地︽淬敌︽撤︽罢得﹀ （壁稗︽泵半4）。
2013年“卓越联盟”自主招生数学试卷评析
２ ０ １ ４ 年第 １ 、 ２ 期
福建 中学数 学
９
坐标变为原来的去 倍， 纵坐标不变
Ｃ．先 向左平 移 个单 位长 度 ，再 将所 得 点 的横
参考 ．
１
解 析 由 １ ＋ 壶 …老 ＜ ２ （ 一
１
，
＋ ＋ … ＋
及 对 数 函数 性 质 ，易 得 ｌ ｏ ｇ ６＞１ ，
．
０＜ ｌ ｏ ｇ ６ ＜ １，ｌ ｏ ｇ ａ ＜ ０
Ｄ
故有 ｌ ０ ｇ ａ＜ｌ ｏ ｇ 臼 ＜ｌ ｏ ｇ ｂ，
Ｄ
行， 这意味着考试时间将与两大联盟“ 北约” 、 “ 华约” 再 一次 撞车 ． 对于 占据“ 半壁江 山” 的数学学科而言 ， 三大联盟 的考查方式则显得颇有些耐人寻味 ． “ 华约” 不分文理 科， “ 北约” 文理 仅 一题 不 同 ，而“ 卓越 ” 则相 当于 文理 分科 ，同题一 般不 超过 四题 ． 本 文将 就 ２ ０ １ ３年“ 卓越 联 盟” 自主 招 生数 学试 卷作 相 关评析 ，仅 供 广大 师 生
答 案为 Ａ． 评 析 本 题 主 要 考 查 考 生对 于 函 数 基 本 性 质 的 灵 活 运 用 ，突 出数 形 结合 思 想 ．此类 题 型 是 考 生平
题 １（ 理科） 已 知Ｓ （ ｘ ） 是定义在 Ｒ上的偶函数，
且在 区间 （ ０ ， ＋ ｏ 。 ） 上是增 函数，则 （ ）
．
的 图 象 经 过 点 Ｂ ｃ 一 詈 ， 。 ） ， 且 ， （ ｘ ） 的 相 邻 两 个 零 点 的
象 上所 有 的点 （ ） Ａ．先 向右平 移 个 单位 长 度 ，再 将 所得 点 的横
2014八年级第一学期学科竞赛数学试卷附答案
2014八年级第一学期学科竞赛数学试卷附答案八年级第一学期学科竞赛数学试卷请同学们注意:1、本试卷分试题卷和答题卷两部分,满分为120分,考试时间为100分钟。
2、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上,务必注意试题序号和答题序号相对应。
3、考试结束后,只需上交答题卷,试卷请同学们妥然保管。
一、选择题(每小题3分,共3 6分)1.在平面直角坐标系中,点P(-1,2)的位置在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列语句是命题的是( ) A.作直线AB的平行线 B.在线段AB上取一点CC.同角的余角相等D.垂线段最短是吗?3.满足不等式的最小整数是( ) A.-1 B.1C.2 D.34.如图所示,在Rt△ABC中,∠A90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB4,BD5,则点D到BC的距离是 A.3 B.4 C.5 D.65.下列判断正确的是( )A 、顶角相等的两个等腰三角形全等; B、有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等;C、腰相等的两个等腰三角形全等;D、顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等。
6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( )A. 20°B. 120°C. 20°或120°D. 36°7..根据下列条件判断,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是A.a3,b4,c5B.a30, b60, c90C.a1, b, cD.a:b:c5:12:138. 已知点P1(a-1,4)和P2(2,b)关于x轴对称,则(a+b)2013 的值为( )A.72013B. -1C.1D.(-3)20139.下列判断正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则一定不等于D.若,且,则10..已知点E,F,A,B在直线上,正方形EFGH从如图所示的位置出发,沿直线向右匀速运动,直到EH与BC重合.运动过程中正方形EFGH与正方形ABCD重合部分的面积随时间变化的图像大致是() A B C D11.一次函数y1kx+b与y2x+a的图象如图,则下列结论:①k<0;②a>0;③当x<3时,y1<y2中,正确的个数是A.0 B.1C.2D.3如图,将一个等腰直角三角形ABC按图示方式依次翻折,若DE=,第11题则下列结论正确的有( )个。
小联盟数学答案2014
10、 （1）一种新的运算，已知 2*3 = 2 + 3 + 4 = 9 ， 4*2 = 4 + 5 = 9 ， 3*4 = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 ， 则 7*6 = ___57__． （2）“ lg ”是一种新运算，已知 lg1 = 0 ， lg10 = 1 ，则 lg1000 = ___3____． （2）直接找规律即可． 【解析】 （1）这种运算 a*b 的意思即是从 a 开始的连续 b 个数的和． 三、选择题： （本题共 6 小题，每小题 1 分，共 6 分） 1、图 3 中直角的个数为（ C ）个． A．4 B．8 C．10 D．12 【解析】每个十字交叉即 4 个直角，再加中间正方形的左下角和右上角，共 10 个：
1 1 ；当冰融成水后，体积减少___ ___（请填写几分之几） ． 10 11 1 ，意思就是水为 10 份， 10 1 ．答案写 11
ห้องสมุดไป่ตู้
9、水结成冰时，体积增加了
【解析】考察“分数同时表示了一个比例关系”．水结冰体积增加
冰比水增加了 1 份、为 11 份，当冰融化成水时，从 11 份变回 10 份，减少的就是 汉字也可以．
价为__5670__元．
5670 ． 【解析】理解“降低 10% ”即是“打九折”： 7000 × (1 − 0.1) × (1 − 0.1) =
6、小明统计了自己装有 125 个硬币的储蓄罐的情况如图 1，则储蓄罐内共有__67.5__元钱． 【解析】先把总个数按图中的比例分配，可得每种硬币个数，再各自乘面值即可． 7、如图 2， ABCD 是一个长方形， AB = 10 厘米， AD = 4 厘米， E 、 F 分别是 BC 、 AD 的 中点， G 是线段 CD 上任一点，则图中阴影部分面积为__10____平方厘米． 【解析】经典一半模型，外加等高模型：注意如图：
2014年美国“数学大联盟杯赛”(中国赛区)初赛三、四年级详解
2013-2014年度美国“数学大联盟杯赛”(中国赛区)初赛答案(三、四年级)一、选择题1. A.Since 0 is a factor, 2 × 0 × 1 × 4 = 0.A) 0B) 7C) 8D) 20142. B.If 2 years ago I was 3 years old, I am now 3 + 2 = 5.A) 4B) 5C) 6D) 233. D.8 + (60 ÷ 4) = 8 + (15) = 23.A) 15B) 17C) 22D) 234. B.(1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5) = 3 × 8 = 24 = 4 + 20.A) 4B) 20C) 24D) 285. C.The prime numbers less than 10 are 2, 3, 5, and 7.A) 2B) 3C) 4D) 56. B.Caleb the dog dreams he has 12 dozen bones. Since 12 dozen = 12 × 12 = 144, there are 144 ÷ 2 = 72 pairs. Caleb will have to dig 72 holes.A) 24B) 72C) 144D) 2887. C.From 9:45 PM to 10:45 PM is 60 mins. From 10:45 PM to 11 PM is 15 mins. From 11 PM to 11:10 PM is 10 mins. That’s (60 + 15 + 10) mins.A) 65B) 75C) 85D) 958. D.From January 1st to January 31st, there are 16 odd-numbered dates. From February 1st to February 21st, there are 11 odd-numbered dates. That’s 27 × $2 = $54.A) $48B) $50C) $52D) $549. C.9 × 9 + 9 × 8 + 9 × 7 + 9 × 6 = 9 × (9 + 8 + 7 + 6).A) 20B) 24C) 30D) 3610.D.Manny weighs three times as much as Murray. Manny also weighs 8000 kg more than Murray, so 8000 kg is twice Murray’s weight. Thus Murray weighs 4000 kg and Manny weighs 12 000 kg.D) 12 00011.B.I have twice as many shirts as hats, and four times as many hats as scarves. If I have 24 shirts, I have 24÷ 2 = 12 hats and 12 ÷ 4 = 3 scarves.A) 2B) 3C) 6D) 1212.C.My coins have a total value of $6.20. If I have 1 of each coin, I have (1 + 5 + 10 + 25)¢ = 41¢. Subtract 41¢ from $6.20 repeatedly until there is 5¢ left. After 15 subtractions, there is 5¢ left. I have 15 + 5 or20 pennies.A) 10B) 15C) 20D) 2513.D.The diagrams demonstrate choices A, B, and C.A) 14 kmB) 10 kmC) 8 kmD) 1 km14.C.(2014 −1014) + (3014 − 2014) = 1000 + 1000 = 2000.A) 0B) 1000C) 2000D) 201415.A.10 + (9 ×8) − (7 × 6) = 10 + 72 − 42 = 40.A) 40B) 110The prime factorization of 72 is 2 × 2 × 2 × 3 × 3. The largest prime is 3.A) 3B) 7C) 36D) 7217.D.6 × 4 = 24 = 96 ÷ 4.A) 6B) 12C) 24D) 9618.C.If 6 cans contain 96 teaspoons of sugar, 1 can contains 96 ÷ 6 = 16 teaspoons of sugar. Thus 15 cans contain 16 × 15 = 240 teaspoons of sugar.A) 192B) 208C) 240D) 28819.C.The largest possible such sum is 98 + 99 = 197.A) 21B) 99C) 197D) 19820.B.Ann sent Wilson hearts with odd numbers with odd tens digits. The number on each heart he received must be two digits with both digits odd. There are 5 possible tens digits and 5 possible ones digits.That’s a total of 5 × 5 = 25 hearts.A) 23B) 25C) 30D) 4521.B.Since Rich ate his favorite sandwich 8 days ago, today is the 9th day of the month. Since the shortest month has 28 days, it is at least 28 − 9 = 19 days until the last day of the month. He must wait 1 more day.A) 1922.D.The factors of 49 are 1, 7, and 49. Since 49 has 3 factors, it has a prime number of factors.A) 6B) 12C) 36D) 4923.D.Dividing a certain two-digit number by 10 leaves a remainder of 9, so it is 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, or 99. The only number listed with remainder 8 when divided by 9 is 89, so the number is 89 and 8 + 9 = 17.A) 7B) 9C) 13D) 1724.A.The whole numbers less than 1000 that can be written as such a product are 0 × 1 × 2, 1 × 2 × 3, 2 × 3 ×4, 3 × 4 × 5, 4 × 5 × 6, 5 × 6 × 7, 6 × 7 × 8, 7 × 8 × 9, 8 × 9 × 10, and 9 × 10 ×11. In all, that’s 10.A) 10B) 11C) 15D) 2125.B.The only such numbers are 5432, 5431, 5430, 5421, 5420, 5410, 5321, 5320, 5310, and 5210. In all, there are 10 such numbers.A) 3B) 10C) 69D) 12026.C.2014 × 400 = 805 600; the hundreds digit is 6.A) 0B) 5C) 6D) 827.B.Greta was 110 cm tall 2 years ago, when she was 10 cm taller than her brother. Her brother was 100 cmB) 130C) 140D) 15028.B.The number 789 678 567 456 is added to the number 987 876 765 654. Since we carry a 1 when adding the left-most digits, the sum has 12 + 1 digits.A) 12B) 13C) 24D) 2529.D.We must find which number among the choices is two more than a multiple of 5. Divide each choice by5 (or recogniz e that any number that ends in “2”or “7” is 2 more than a multiple of 5).A) 4351B) 5215C) 5616D) 646230.C.Of every 11 people, there are 2 adults and 9 children. Since 99 ÷ 11 = 9, there are 9 groups of 11 people.Of these, 9 × 2 = 18 are adults.A) 9B) 11C) 18D) 22二、填空题31.5.32.22.33.4.34.1.35.617.36.21.37.499.38.765.39.69.40.10.。
2014年2014卓越联盟自主招生数学试题及答案
2014年卓越联盟自主招生试题（数学）一、选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式32210x x -+<的解集为_____________．2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大小为60︒，三棱锥P ABC -的，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________． 3. 当实数m 变化时，不在任何直线()221440mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的图形的面积为_____________．4. 已知函数()()2211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩．()244gx x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．二、填空题（每题6分，共24分）5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为316．则a 的值为_______________．6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02θπ<≤）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，当12OP x y =+e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．7. 若函数sin 4y x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=，则实数ω的值为_____．8. 已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,8A B = ，A B =∅ ．若A 中元素的个数不是A 中的元素，B 中元素的个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________． 三、解答题（共56分）9. （13分）设α∈R ，函数()()cos sin 2cos f x x x x αααα++，x ∈R ．（1）若,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．（2）若()3f x =，求α与x 的值．10. （13分）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线的斜率之积为3-，左右两支上分别由动点A 和B ．（1）设直线AB 的斜率为1，经过点()0,5D a ，且AD DB λ=，求实数λ的值．（2）设点A 关于x 轴的对称点为M ．若直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，证明2OP OQ a ⋅=． 11. （15分）已知()f x 为R 上的可导函数，对任意的0x ∈R ，有()()000''4f x x f x x <+-<，0x >．（1）对任意的0x ∈R ，证明：()()()000'f x x f x f x x+-<（0x >）；（2）若()1f x ≤，x ∈R ，证明()'4f x ≤，x ∈R ．12. （15分）已知实数列{}n a 满足11a =，1n n a q a +=，n +∈N ，常数1q >．对任意的n +∈N ，有114n kn k aa +=≤∑．设C为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合． （1）求q 的值；（2）设{}n a ，{}n b C ∈，m +∈N ，且存在0n m ≤，使00n n a b ≠．证明：11m mk kk k a b ==≠∑∑；（3）设集合{}1m m k n k A a a C =⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∑，m +∈N ，求m A 中所有正数之和．附：2014年卓越联盟自主招生数学参考答案．．。
卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)
卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (5)2012年卓越联盟自主招生数学试题 (11)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (14)2013年卓越联盟自主招生数学试题 (20)2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (23)2014年卓越联盟自主招生数学试题262011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值:分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( )A. B. C. D.2.已知则( )A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )A. B. C. D.9.数列共有11项,且满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( )A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。
2014年自主招生北约联盟数学真题解析
【总结】从以上可以看出，北约的数学题目更多是从思维角度的考查，上述两个题目，其实 从自然语言入手， 如果你可以用很简单的语言解释清楚， 我们需要做到的是把这些语言转化 . 成数学表达，逻辑的阐述明白
三、 备考建议
1. 以基础为主，对于基础概念要重在从直观去理解，对于数论和组合数学问题不要花费太 多时间. 2. 复习要以历届真题为核心，多从思考的层面去刷题. 3. 辅导书要以联盟内部的题型为主,多思考，不要太依赖解析. 4. 避免抱佛脚的情况发生，其实对于数学思维或者技巧的训练，应该边学边练，最晚也要 从高二下学期开始.
则 4 f x 3 f x g x f x g x 0 ，则 4 f x 最多有二等实根， 同理若对于 x R ， 3 f x g x 0 ， f x g x 0 ，也会矛盾。 故二次函数 3 f x g x ， f x g x 具有不同的开口方向. 则若 3 f x g x 0 ， f x g x 0 两个方程具有相同的重根，设其为 x0 则 3 f x g x ， f x g x 对称轴为 x x0 ，
k1 21 k 2 11
其中 k1 , k2 1, 2,3,..., 30 ，且 k1 k2 30 ，
7 16 7 k1d , k2 d ，则 2 3 2
显然不可能. 【评论】本题题号已经靠后，有两个问题，一.理解题目集合的意思，二.等差数列的条件怎 么应用，如果运用的好的话，北约考试的胜利就在眼前了.
3 是无理数，矛盾，故 tan3 是无理数，证毕. 3 【评论】 属于中档题，对于基本的三角公式以及有理数的基本性质有所把握的同学做这道 题问题会比较小。其实在早些年，外省市高考题中，出现过 cos 是有理数，证明 cos n 是
2014届全国自主招生模考卓越数学答案2
卓越模拟题2 答案二、计算题9、 证明：（1）在[0,]2π上，22cos sin tan '()0cos x x x x x f x x x x--==<，所以()f x 是减函数；…………（8分） （2）因为{}n a 是递减的，………………………………………………（2分）根据（1），1()n n n na b f a a +==是递增的。
……………………………（5分） 10、 解：由题意：2346,24,504,a a a ===…，下证：…………………………（2分）当2n ≥时，14,n n a a +≥…………………………（3分）即证：4n a n ≥+…………………………（3分）事实上，2624a ==+；假设4k a k ≥+，则21()41(1)4k k k k k k k a a ka a k a a a k +=-=-≥>+≥++，所以1()4n n n n a a n a a +=-≥（2n ≥）…………………………（3分）所以12111n a a a +++L 11113624504=++++L 1111(+)362496<++++L 11112513639914=+⋅=+=-。
…………………………（4分） 11、 证明：如下图，过E 作//FG AB ，交AD ，BC 于F 、G 。
设ADE θ∠=，并不妨AE = 1，则DE =，DF θ=，AF ==4分）即CG θ=，BG =2分）设ECG EAF α∠=∠=，则tan α= ，………………………（3分） tan EG CG α==2分）于是sin 2tan tan 2cos 2EG EBG BG θθθ∠===。
………………………（2分） 所以22EBG EDF θ∠==∠。
………………………（2分）12. 解：（1）因为12PB AB =，所以1(,)(,)2d P BCE d A BCE =面面。
2014年自招【数学】笔试真题与北京清华园教育讲义比较
2014年自主招生数学真题与《北京清华园自招讲义》相同或相近部分对照比较第一部分：北约联盟第2题：10个人分成3组（3、3、4），共有____种分法。
A.1070B.2014C.2100D.4200.解：43106222100C CA=（种）。
（这里有平均分组问题）。
在今年寒假讲义ppt第十三讲337页重点讲了排列组合中的“平均分组”问题：A.解：设,,1a x b y a b =-=-∴+=，14ab ≤21117)224xy xy ≥+=+≥或直接取12x y ==-又13,.44x y =-=-2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：2013年暑假讲义ppt 第259页：第7题. 证明：0tan3是无理数所以0000tan6,tan12,tan 24,tan30,Q Q Q Q ∈∈∈∈矛盾。
2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：有理数的四则运算仍是有理数，任何一个有理数都可设成qp的形式。
第8题：已知实二次函数()f x 和()g x 满足，()()f x g x =和()3()0f x g x +=都只有一对重根，()0f x =有两个不相等的实根，证明：()0g x =无实根。
证明：设()()22,,f x ax bx c g x dx ex f =++=++由()()2()()()0,f x g x a d x b e x c f =⇒-+-+-=因为上述一元二次方程有相等实数根 2()4()(),b e a d c f ∴-=--①同理有：2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，②⨯①3+②得：223124b e ac fd +=+ 注意到()()22240,4440g x b ac e df b ac ->∆=-=--<所以()0g x =无实根。
2013年暑假讲义PPT 第46、47页：解：没有.解法一：因为2()(1)0f x x ax b x c -=+-+=无实数根， 所以2(1)40b ac ∆=--<； (())0f f x x -=．222()()0a ax bx cb ax bxc c x ++++++-=22222()()0a ax bx c ax ax b ax bx c c x ++-+++++-=．2222()()(1)(1)(1)0a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b ++-++++++-++=．3.（2008上海交大）已知函数2()f x ax bx c =++，(0)a ≠且()f x x = 没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．222(1)(1)(1)(1)0a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++++++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 222(1)(1)10ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦．于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x ac b +++++=．21(1)40b ac ∆=--<； 2222(1)4(1)a b a ac b ∆=+-++222(1)4440a b ac a ⎡⎤=---<<⎣⎦。
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7
6、如图，A 点有一棋子，甲先乙后轮流走棋子，每次必须向上或向右走 1 步或 2 步（走 2 步时可以拐弯） 。最终将棋子走到 B 点者获胜。甲怎样走才能必胜？（本题 8 分） B
A·
4
7、唐老鸭用一个圆锥形容器装满了 2000 克香油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的中间 咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止（如图） 。问：米老鼠共偷得 香油多少克（容器的厚度不计）？（本题 10 分）
四、计算题（共 33 分） 1.直接写出得数： （3 分）
3 （1） +2.25= 4 1 1 （4）3× ÷ 3× = 3 3
（2）
1 ÷ 60%= 2
（5）1.25× 0.7× 8=
1 +2= 5 1 （6） 24× +76÷5 5
（3）0÷
2.求未知数（6 分）
1 2 （1） x ÷ =12 4 3
28cm 或者 26cm
1 11
3、选择题 C C D A A 4、计算题
（1）直接写得数 （2）求未知数 3
5 6
2
1 9
7
20
x
9 x 2
（2）
x 8
4 7
（3)5 （4)180000 （5)1 （6)1098
（3）简算 （1）1.5
5、解答题
1、
7 20
1 10
9 20
2 5
3 20
2、 325×147=48775 3、 多 12 分。
二、填空题：(20 分) 1.
4 7 小时的 是 12 7
分。 。
2.由 5 个十分之一，7 个千分之一组成一个小数，这个小数是
3.毕业考，李想的语文、数学、英语三科的平均成绩是 92 分，其中语文、数学两科的平 均分是 94 分，则英语得____ 分。 、○= 、
4.有三个数：□、○9 和△26，这三个数的平均数为 170，则□= △= 。
。
1Hale Waihona Puke 三、选择题： （6 分） 1.图中直角的个数为（ A.4 B.8 ）个。 C.10 D.12 ） 。 D.40310701 ）秒钟敲完。
2.下列数中，只能读出两个零的数是（ A.5601402 B.601010405
C.29000508
3.时钟 3 点敲 3 下，6 秒钟敲完，那么 7 点钟敲 7 下， （ A.1O B.12 C. 14 D.18
3
4、小方每天 6 点回家吃饭，一天，她妈妈从六点开始等，一直到时针与分针第二次成直 角时，小方才回家。问小方几点回到家的？（本题 5 分）
5、甲、乙、丙三人都要从 A 地到 B 地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可 以行 36 千米，乙、丙步行的速度为每小时 4 千米，已知 A、B 两地相距 36 千米。求三人 同时到达的最短时间为多少小时？（本题 8 分）
8、一条长 99 千米的公路上，每隔 3 千米就设一个销售站。王师傅沿线开车送货，每装 一次货可以送给两个销售站，货物在第一家销售站旁。王师傅按运送货物的最短线路行 驶 360 千米，他送了多少个销售站的货？（本题 10 分）
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2014年小升初小联盟数学真题答案
1、判断题
×√×√×
2、填空题
20 分 5670 元 0.507 67.5 元 57 3 B 88 分 10 平方厘米 □=5 ○＝7 △=4
4、 270÷（6-0.5）=
6
8、16 个。
…… 第一次送货走的路程: 3×2=6 千米；(1,2 站) 第二次送货走的路程: 3×3×2=18 千米； （3,4 站） 第三次送货走的路程: 3×5×2=30 千米； （5,6 站） …… 6+18+30+42+54+66+78=294(km)<360km<6+18+30+42+54+66+78+90=384km 360-294=66.即一共送了 7 次；共送了 7×2=14 个销售站,还剩下 66 千米。 第 15 个销售站距离货场 3×（15-1）=42 千米,第 16 个销售站距离货场 45 千米； 所以,行驶 360 千米最多送货是 16 个销售站。
1 540 (分)，6 点 49 又 分 11 11 7 5 5、 。 接送问题用比例，摩托车在距离 B 点 的地方将人放下去接另外一人。总时间 3 6 30 6 7 + = （小时） 。 36 4 3 6、 甲先走 1 格（向上或向右都可以） ，以后乙走 1 格甲就走 2 格（随意不出格就好） ， 乙走 2 格甲就走 1 格。 1 7 7、R=2r H=2h V=8v 即还剩下部分的圆锥是大圆锥的 ,老鼠偷走了 ；即 8 8 7 2000× =1750g 8
4.在边长是 6 厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的（ A.
） 。
4
B.
2
C.
1 2
D.
1 4
5.马拉松长跑比赛中有 100 个运动员。分别给他们 1~100 的号码布，号码布上有数字 7 的运动员有（ A.19 B.20 ）名。 C.18 D.21 ） 。
6.若○<□、□=△、☆>△，则下面哪个式子正确（ A.△<○ B.○<☆ C.□>☆ D.☆<○
2014 年广州市小升初民校小联盟数学试题
一、判断题： （5 分） ( ( ( ( (
1 4 3 1 4 3 )1. × × =1，所以 、 、 互为倒数。 2 3 2 2 3 2
)2.有 7 本书放入 2 个抽屉，有一个抽屉至少放 4 本书。 )3.生产的 90 个零件中，有 10 个是废品，合格率为 90%。 )4.若自然数 b 是 a 的 2 倍（a≠0） ，则 a，b 的最大公因数为 a，最小公倍数为 b。 )5.一个圆柱的底面直径是 d，高也是 d，它的侧面展开图是正方形。
（6）3762÷ 38+82917÷ 83
五、解答题： （56 分） 1.在图中的“○”里填上适当的数，使每个 正方形的四个角的数之和为 1（本题 5 分） 2.在图中的“□”里填上适当的数字， 使算式完整（本题 5 分） 5 ×
3 10
1 20
1 2 5 0
1 4
1 3
1
3
4
7
7
3、某次比赛中，原定一等奖 10 人，二等奖 20 人，现将一等奖中最后的四人调入二等奖， 这样二等奖的学生的平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 4 分。求原来 一等奖比二等奖平均分多几分？（本题 5 分）
（2） 13 x 5 169
3.用简便方法计算（24 分） （1）8.37-3.25-（1.37+2.25） （2）3.375÷ 5
1 3 4 - × 4 8 21
2
（3）9÷ 13+13÷ 9+11÷ 13+14÷ 9+6÷ 13
（4）9966× 6+6678× 18
（5）
2013 2012 2014 2013 2014 1
5.一种电脑降价了，第一次比原价 7000 元降低 10%，第二 次又降低了 10%，则电脑的现价为 元。
6.小明统计了自己装有 125 个硬币的储蓄罐的情况如图 1， 则储蓄罐内共有 元钱。
7.如图 ABCD 是一个长方形，AB=10 厘米，AD=4 厘米， E、F 分别是 BC、AD 的中点，G 是线段 CD 上任 意一点，则图中阴影部分的面积为 错误!未找到引用源。 。
8.一张长为 10 厘米，宽为 8 厘米的长方形纸片，把它剪开成两张同样的长方形纸片，每 个小长方形纸片的周长为 9.水结成冰时，体积增加了 厘米。
（ 1 ；当冰溶成水后，体积减少 10 （ ） 。 ）
10.（1）一种新的运算，已知 2*3=2+3+4=9,4*2=4+5=9,3*4=3+4+5+6=18，则 7*6= （2） “lg”是一种新运算，已知：lg1=0，lg10=1，则 lg1000= 。