数学：4.3《向量与实数相乘》课件(湘教必修二)
向量的乘法详细版.ppt
1
2
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
ax bx 2 ay by 2 az bz 2
axbx ayby azbz
.精品课件.
4
于是
a b ax, ay, az bx,by,bz axbx ayby azbz
运算律:
a b
由此得
|
b | Pr jba
Pr jab
|a
a b a
| Pr
ea
jab
b
.
.精品课件.
3
推导数量积的坐标表达式
b
a b
如右图,由余弦定理得:
a
b
cos
1 2
a
2
b
2
a
b
2
a
设 a ax, ay , az ,b bx,by,bz , 则上式可写成
a b cos
| b |
0,
cos 0,
,
ab .
()
ab,
a
b
|
a || b
, 2
| cos
2
cos
0.
0,
.精品课件.
7
定理的坐标形式为
若
a ax, ay , az ,b bx,by,bz ,
则
a
b
a x bx
ayby
azbz
0
.精品课件.
8
例a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，；b （ {31）,a2,在2}b，上求的（投1）影.
14
向量积 符合下列运算规律： 如果 a,b , c 是任意向量, λ,μ是任意实数,
那么
高二数学实数与向量的积4精选教学PPT课件
(2) | a || || a |
(3)a(a 0)的方向： 0, 与a同向； 0, 与a反向； 特别的 0或a 0, 则a 0
几何意义：把向量 a沿着a的方向或a的反方向 放大或缩小。
(1)根据定义，求作向量 （ 3 2a )和(6a )(a为非零向量), 引例： 并进行比较 . (2)已知向量a, b , 求作向量2(a b )和2a 2b , 并进行
比较。
a
b
3(2a )
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
a
2b
2a
2(a b ) 2a 2b
设a , b 为任意向量， ，为任意实数，则有：
（ 1）（a ) ( )a (2)( )a a a (3) (a b ) a b
向量数乘
a
记作
a
a
a
a a a
(a ) (a ) (a ) 3a
B
a a a 3a
A
P Q
1 则 AP ___ 3 AB
2 BP ___ 3 AB
实数和向量a的乘积是一个向量，记作a。
例1 计算下列各式：
1 a （1）( 2) 2
（2） 2(a b ) 3(a b ) （3） ( )(a b ) ( )(a b ) (4) 4(2a 3b ) 5(3a 2b )
例2 设x 是未知向量，解方程 （ 5 x a ) 3( x b ) 0
《向量数乘运算》课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
实数与向量相乘PPT教学课件
细胞周期 22 h 22 h
分裂次数 存活时间
50~60 45.8~55 d
∞
1951年至今
②无限增殖与恶性增殖 能无限增殖和恶性增殖这两种表述虽然不一样,但都体现了 癌细胞增殖失控的特点,这是癌细胞的最主要特征｡恶性增殖 主要指癌细胞在体内的表现,能无限增殖则主要是指癌细胞 在体外培养的情况｡
除示意图｡
凋亡诱 导因子
结①合
膜受体
凋亡 信号
激活
凋亡相 关基因
执行
细胞 凋亡
吞噬②细胞
清除凋 亡细胞
据图分析,不正确的是( )
A.①过程表明细胞凋亡是特异性的,体现了生 物膜的信息传递功能 B. 细胞凋亡过程中有新蛋白质合成,体现了基 因的选择性表达 C. ②过程中凋亡细胞被吞噬,表明细胞凋亡是 细胞被动死亡过程
考点3 细胞的癌变 1. 癌细胞的概念 有的细胞受到致癌因子的作用,细胞中遗传物质发生变化,就 变成不受机体控制的､连续进行分裂的恶性增殖细胞｡
2. 癌细胞的主要特征
(1)在适宜条件下可以无限增殖(适宜条件如温度､pH､营养物 质等)
(2)恶性增殖的“不死细胞”
①癌细胞与正常细胞的比较
细胞来源 正常人肝细胞 海拉宫颈癌细胞
结果:形成不同组织和器官 特点:稳定性､持久性､__不_可__逆__性_______ 意义 ①细胞分化是生物_个__体__发__育_________的基础 ②细胞分化使多细胞生物体中的细胞趋向专门化､有利于提 高各种生理功能的效率 实质:基因的_选__择__性___表达 全能性 含义:已经分化的细胞仍然具有发育成完整个体的潜能
四、巩固练习
如设图，AB矩 a形, DAABCb试D中用，向E量、Ma、, b表F、示N向是量ABAE、, ADD，C 并的写三出等图分中点与，
湘教版高中数学必修2课件 4.3 向量与实数相乘课件2
课前探究学习
课堂讲练互动
纠错心得 解答数学问题讲究逻辑性，要肯定一个结论成 立，需要经过严密的推理证明，而指出一个结论不成立， 则只须举一反例即可．我们在作图求向量的加法与减法 时，确实碰到过a与b共线时，画出来的a＋b与a－b共线， 但这不能代替证明．错解中的“反之，a＋b与a－b共线 时，不能保证a与b共线”，即使是对的，由于没有举出反 例，难以令人信服，何况这个论断是错的．
E、F，试问，E→F与A→B＋D→C共线吗？ 提示 表面看来，好像不共线，但眼见不
一定为实，还得要让计算来说明问题． 因为E→F＝E→D＋D→C＋C→F，E→F＝E→A＋A→B＋ B→F，两式相加得，2E→F＝(E→D＋E→A)＋A→B＋D→C＋(C→F＋B→F)， 而E→A，E→D是一对相反向量，C→F，B→F也是一对相反向量， 所以 2E→F＝A→B＋D→C，即E→F＝12(A→B＋D→C)，故E→F与A→B＋D→C 共线．
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3. 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1＋3e2，B→C＝ 6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共线． 证明 ∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B， ∴向量A→D与向量A→B共线．
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1．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； (2)1312（2a＋8b）－（4a－2b）； (3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)． 解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b.
2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.3 向量与实数相乘
4．3向量与实数相乘以下是生活中我们常见的实例．1．在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．2．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式v t＝gt可知，它在1 s末和2 s 末的速度，大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．以上两个问题反映了向量的何种运算呢？实数与向量相乘的法则1．将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．2．将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．3．向量v乘以0得到的0v是零向量．1．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题有()①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2个B．3个C．4个D．5个[提示]由λa方向的规定易知，命题①②③正确；对于命题④与⑤，当λμ＞0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确；当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，因而λa 与μa 反向，故命题⑤正确．故选D.2．化简：4(a －b )－3(a ＋b )－b . [提示] a －8b .1．当非零向量a ，b 方向相同或相反时，我们既称a ，b 共线，也称a ，b 平行． 2．零向量与所有的向量平行．3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．由向量AB ―→＝λAC ―→可否得出A ，B ，C 三点共线？反过来成立吗？[提示] 由AB ―→＝λAC ―→，又AB ―→，AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，反之也成立，这是证明三点共线的常用方法．1．向量与实数的乘法满足以下运算律 (1)设a 是任意向量，x ，y 是任意两个实数，则 (x ＋y )a ＝xa ＋ya ，x (ya )＝(xy )a .(2)设a ，b 是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量．[例1] 计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简．[边听边记] (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[](a ＋4b )－(4a －2b )＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .1．(1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )； (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ， 求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )． 解：(1)原式＝23⎣⎡⎦⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝⎛⎭⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎫－103－53j ＝－53i －5j .[例2] 两个不共线的向量e 1，e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[思路点拨] 根据向量共线定理，若存在实数k ，使d ＝kc ，则d ，c 共线．反之，则不共线．[边听边记] d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2.要使d 与c 共线，则存在实数k ，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝2ke 1－9ke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，3μ－3λ＝－9k . 解得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d 与c 共线.2．如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC上，且BN ＝13BC .求证：M ，N ，D 三点共线．证明：设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，则BC ―→＝AD ―→＝e 2. ∵BN ―→＝13BC ―→＝13e 2，BM ―→＝12AB ―→＝12e 1，∴MN ―→＝BN ―→－BM ―→＝13e 2－12e 1.又∵MD ―→＝AD ―→－AM ―→＝e 2－32e 1＝3⎝⎛⎭⎫13e 2－12e 1＝3MN ―→， ∴向量MN ―→与MD ―→共线．又M 是公共点，∴M ，N ，D 三点共线．[例3] 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AG ―→.[思路点拨] 在△ABG 中用a ，b 表示AG ―→在△AGC 中用a ，b 表示AG ―→的两个表达式相等→参数值→AG ―→的表达式．[边听边记] 在△ABG 中，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ2(BA ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋λ2(－AB ―→＋AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λ2AC ―→＝(1－λ)a ＋λ2b ，在△AGC 中，AG ―→＝AC ―→＋CG ―→＝AC ―→＋m CF ―→＝AC ―→＋m 2(CA ―→＋CB ―→)＝AC ―→＋m 2(－AC ―→＋AB ―→－AC ―→)＝(1－m )AC ―→＋m 2AB ―→＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG ―→＝13a ＋13b .3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ―→＝13AB ―→＋25AC ―→，BQ ―→＝15AB ―→＋25AC ―→. 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BQ ―→＝－13AB ―→－25AC ―→＋AB ―→＋15AB ―→＋25AC ―→＝1315AB ―→，所以PQ ―→∥AB ―→.又|AB ―→|＝15，所以|PQ ―→|＝13，故|PQ ―→|≠|AB ―→|，于是四边形APQB 为梯形．1．已知m ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．若ma ＝0，则必有a ＝0B ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 方向相同C ．若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝m |a |D ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 共线解析：若ma ＝0，则a ＝0或m ＝0，故A 错误；若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝|m ||a |，ma 与a 共线，方向相同或相反，故B ，C 错误，D 正确．答案：D2．已知a ，b 是不共线的非零向量，实数x ，y 满足(xa ＋2b )－(a －yb )＝0，则( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2解析：∵a ，b 为不共线的非零向量，(xa ＋2b )－(a －yb )＝(x －1)a ＋(2＋y )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.答案：C3．已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心． 设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3. 答案：B4．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0. 答案：05.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝14CA ―→－12CB ―→＝12BC ―→－14AC ―→＝12AD ―→－14(AB ―→＋AD ―→)＝14AD ―→－14AB ―→＝14(b －a )． 答案：14(b －a )6．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.通过这节课的学习，谈谈你对向量共线定理的认识？由a ＝λb ⇒a ∥b 中，若λ＝0，则a ＝0，零向量与任一向量都平行；若λ>0，则a 与b 同向；若λ<0，则a 与b 反向．由a ∥b ⇒a ＝λb 中，由λ的唯一性，得b ≠0.该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判定图形的形状等；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是坐标轴上向量坐标化的依据．一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：A2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫12OA ―→＋12 OB ―→＋2OC ―→ ，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．BC 边中线的中点D ．AB 边的中点解析：∵O 是△ABC 的重心，∴OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫－12 OC ―→＋2OC ―→ ＝12OC ―→，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B. 答案：B3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，则BN ―→＝( )A.14a －34b B ．34a －14bC.14b －34a D ．34b －14a解析：BN ―→＝BA ―→＋AN ―→＝BA ―→＋34AC ―→＝－AB ―→＋34(AB ―→＋AD ―→)＝－14AB ―→＋34AD ―→＝－14a ＋34b .答案：D4．在△ABC 中，点P 是BC 上的一点，BP ―→＝2PC ―→，AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则( ) A ．λ＝2，μ＝1 B ．λ＝1，μ＝2 C ．λ＝13，μ＝23D ．λ＝23，μ＝13解析：∵BP ―→＝2PC ―→，∴AP ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AP ―→)， ∴AP ―→＝13AB ―→＋23AC ―→，∴λ＝13，μ＝23.答案：C二、填空题5．已知AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：根据AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→可知，M 是BC 边上的一点．设BM ∶CM ＝λ，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λλ＋1BC ―→＝AB ―→＋λλ＋1(AC ―→－AB ―→)＝1λ＋1AB ―→＋λλ＋1AC ―→，∴⎩⎨⎧14＝1λ＋1，34＝λλ＋1，解得λ＝3，∴BM ∶CM ＝3，即BM ∶BC ＝3∶4.∵两个三角形等高，∴两个三角形面积比为3∶4.答案：3∶46.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD上移动时，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则t ＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE ―→＝k AD ―→,0≤k ≤1，则AE ―→＝k (AC ―→＋2CB ―→)＝k [AC ―→＋2(AB ―→－AC ―→)]＝2k AB ―→－k AC ―→，∵AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 答案：3 三、解答题7．已知向量e 1，e 2不共线，判断下列向量a ，b 是否共线． (1)a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；(2)a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1－2e 2.解：(1)设a ＝λb ，则12e 1－13e 2＝λ(3e 1－2e 2)＝3λe 1－2λe 2，∴⎩⎨⎧12＝3λ，－13＝－2λ，解得λ＝16，故a 与b 共线．(2)设a ＝λb ，则2e 1－e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，－1＝－2λ，λ无解，故a 与b 不共线． 8.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m 的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→(0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.。
4.3向量与实数相乘_课件-湘教版必修2PPT
自主探究
如图，四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为
E、F，试问，E→F与A→B＋D→C共线吗？ 提示 表面看来，好像不共线，但眼见不
一定为实，还得要让计算来说明问题． 因为E→F＝E→D＋D→C＋C→F，E→F＝E→A＋A→B＋ B→F，两式相加得，2E→F＝(E→D＋E→A)＋A→B＋D→C＋(C→F＋B→F)， 而E→A，E→D是一对相反向量，C→F，B→F也是一对相反向量， 所以 2E→F＝A→B＋D→C，即E→F＝12(A→B＋D→C)，故E→F与A→B＋D→C 共线．
2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角 线相交于点 M，且A→B＝a，A→D＝b.试用 a， b 表示M→A、M→B、M→C和M→D. 解 在▱ABCD 中， ∵A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，D→B＝A→B－A→D＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴M→A＝－12A→C＝－12(a＋b)＝－12a－12b， M→B＝12D→B＝12(a－b)＝12a－12b， M→C＝12A→C＝12a＋12b， M→D＝－M→B＝－12D→B＝－12a＋12b.
(2)原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)] ＝13(－3a＋6b)＝2b－a. (3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b ＝－2(m＋n)b.
题型二 用图形中指定向量表示其他向量 【例2】 如图所示，在△ABC 中，C→A＝a，C→B＝b，
M 为A→B的中点，用 a、b 表示： (1)A→M；(2)B→A；(3)C→M. 解 (1)A→M＝12A→B＝12(C→B－C→A)
正解 若 a 与 b 共线，则存在不为零的实数 m，使 a＝mb， 从而aa＋－bb＝＝（（mm＋－11））bb，，得 a＋b＝mm＋－11(a－b)，此时 a＋b 与 a－b 共线；若 a＋b 与 a－b 共线，则存在不为零的实数 p， 使 a＋b＝p(a－b)，即 a＝pp＋－11b，此时 a 与 b 共线． 因此若a与b共线，则a＋b与a－b共线，反之，若a＋b与a －b共线，则a与b共线．
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
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向 量 (课件)必修第二册湘教版数学
(2)有向线段的长度：位移的大小就是 A 到 B 的直线距离，记作__|A__B_|_，也就是
有向线段A→B的_长__度__，也记作|A→B|.
(3)向量：像位移这样既有_大__小__又有_方__向__的量，在数学中称为向量. 向量 a 的大小，也就是向量 a 的长度，称为 a 的__模__，记作__|a_|_.
1.思考辨析，判断正误 (1)如果|A→B|>|C→D|，那么A→B>C→D.( × )
提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. (2)若a＝b且a与b的起点相同，则终点也相同.( √ ) (3)零向量的大小为0，没有方向.( × ) 提示 零向量的方向是任意的. (4)向量a与b方向相反，则a与b为相反向量.( × ) 提示 方向相反，长度相等的向量称为相反向量.
解 (1)如图所示. (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反. 又|A→B|＝|C→D|，
∴在四边形 ABCD 中，AB 綉 CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. ∴|A→D|＝|B→C|＝200(公里).
思维升华
准确画出向量的方法是首先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向 量的大小确定向量的终点.
则四边形ABCD为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
题型三 相等向量的应用
【例 3】 如图所示，在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，N，M 分别是 AD，BC 上 的点，且C→N＝M→A. 求证：D→N＝M→B. 证明 ∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且 AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴|D→A|＝|C→B|，且 DA∥CB. 又∵D→A与C→B的方向相同，∴C→B＝D→A. ∵C→N＝M→A，∴|C→N|＝|M→A|，且 CN∥MA，∴四边形 CNAM 是平行四边形，
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn 的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
【数学课件】高二数学实数与向量的积课件4
DA EB 2
A E
D
B
C
变式练习2:
已知OA
a,
OB
b,
对任意点M
,
关于点A的
对称点为S，点S关于点B的对称点为N，试用
向量a,
b 表示MN
。
N
简析：MN 2AB
（2 OB OA)
M
B
b
2(b a)
O a A
S
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
A).( AB AD) B).( AB BC) C).( AB AD) D).( AB BC)
(0,1) (0, 2 )
2
(0,1) (0, 2 )
2
D
C
P
A
B
思考与作业 ：
1.平行四边形ABCD中，AB
a,
AD
b,
AN
3NC,
长度是OB的3倍。
例4：
在ABC 中，设 D为边BC的中点，求证：
AD 1 ( AB AC)
2
A
A
A
M
N
B
D
C
B
D
C
B
D
C
M
变式练习2:
2.如图示，四边形ABCD对角线AC与BD的中点M ,
N.且M , N的中点为G, P为该平面内的任意一点.
求证: 4PG PA PB PC PD 证明： M，N是AC, BD中点
(2)
|
a
||
||
a
向量的数乘 (课件)必修第二册湘教版数学
【训练 1】 化简下列各式： (1)25(a－b)－31(2a＋4b)＋125(2a＋13b)； (2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n 为实数). 解 (1)原式＝25－23＋145a＋－52－43＋2165b＝0. (2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.
B.a－b
C.2a＋3b
D.2a－3b
解析 A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
4.已知A→B＝a＋4b，B→C＝2b－a，C→D＝2(a＋b)，则( B )
Hale Waihona Puke A.A，B，C 三点共线B.A，B，D 三点共线
C.A，C，D 三点共线
D.B，C，D 三点共线
解析 ∵B→C＋C→D＝a＋4b，即B→C＋C→D＝A→B，∴B→D＝A→B，即存在 λ＝1 使B→D＝
1.思考辨析，判断正误
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( × ) 提示 当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ. (2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).( √ ) 提示 由共线向量定理可知其正确. (3)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).( × ) 提示 若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
点睛
根据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点， 这样两向量所成的角才是两向量的夹角. 例如，如图，在△ABC 中，∠BAC 不是C→A与A→B的夹角，∠BAD 才是C→A与A→B 的夹角.其中，A→D是C→A平移所得.
4.单位向量 长度为__1__的向量称为单位向量.对于任一非零向量 a，都可得到与它方向相同的
向量的数乘运算 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
知识清单
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 . (2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ；
【跟踪训练 1】
1、设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)． 2、已知 a 与 b，且 5x＋2y＝a,3x－y＝b，求 x，y.
解：1、原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a
＝13－1－1a＋－1＋23＋2b
＝－53a＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)
特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb .
[点睛] (1)λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实 数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有 意义． (2)对于非零向量 a，当 λ＝|a1|时，λa 表示 a 方向上的单位向 量． (3)注意向量数乘的特殊情况： ①若 λ＝0，则 λa＝0； ②若 a＝0，则 λa＝0. 应该特别注意的是结果是零向量，而非实数 0.
数学学科素养
1.数学抽象：向量数乘概念； 2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用； 3.数学运算：向量的线性运算； 4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象 出数学模型,数形结合,运用向量加法解决实际问题.
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
高中数学 4.3相量与实数相乖课件 湘教版必修2
第二十七页，共30页。
当堂(dānɡ tánɡ) 检测
解 因为E→F＝E→D＋D→C＋C→F，E→F＝E→A＋A→B＋B→F，两式相加 得，2E→F＝(E→D＋E→A)＋A→B＋D→C＋(C→F＋B→F)，而E→A，E→D是一对 相反向量， C→F ， B→F 也是一对相反向量，所以2 E→F ＝ A→B ＋ D→C ， 即E→F＝12(A→B＋D→C)，故E→F与A→B＋D→C平行．
＝－131(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋434j－5i－4j
＝－16i＋332j.
第十一页，共30页。
课堂(kètáng)讲 义
要点二 用已知向量表示未知向量 例2 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，
L，且A→K＝e1，A→L＝e2，试用e1，e2表示B→C，C→D.
第三页，共30页。
预习(yùxí)导学
O′→C′＝O′→A′＋A′→B′＋B′→C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝ －3a，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的 方向相反．
第四页，共30页。
预习(yùxí)导学
• 2．已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘 积λa的几何意义吗？
向
量叫做平行向量，也叫做共线向量．
• (2)平行向量的条件：两个向量平行⇔其中
(qízhōn实g)数一个向量是另一个向量的
倍．
• 3．零向量的方向
• 零向量的方任向意的是 的向量 ．
，零向量平行与所有
第七页，共30页。
预习(yùxí)导学
4．向量与实数的乘法运算律 (1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa＋ ya，x(ya)＝(xy)a. (2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa＋ λb.