平面弯曲1 梁的内力
梁的内力
2l 3
0
FRA
1 3 q0l
校核：
FRA
FRB
1 2
q0l
1 3
q0l
1 6
q0l
1 2
q0l
0
反力无误。
§4-3 梁的内力及其求法
已知：如图，F，a，l。 求：距A端 x 处截面上内力。
m
a
F
解：①求外力（支座反力）
A
m
x l
B
Fx 0 , FAX 0
mAF 0 , FBYl Fa 0
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用 点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。
q
x l
q
FS
M x
解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
F S (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
F S (x) qx (0 x l)
M (x) 1 qx2 (0 x l) 2
剪力图为一斜直线
F S (0) 0
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
平面弯曲的概念弯曲的内力及符号规定弯曲内力图本节小结新版15
续例1
1-1截面：
L qL FQ1 FA q 4 4
L L L 3 2 M1 FA q qL 4 4 8 32
符号均为正
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例1
2-2截面：
FQ 2
L FA q 0 2
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
M、FQ与q的关系
取x处一小段dx长度梁 由平衡方程得： ∑Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 ∑MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后， 得
A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0
B点：x=L，FQB=-qL/2
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
弯矩图画法
弯矩方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
A点：x=0，MA=0
M B (F) 0， FAy 3a M 3qa a / 2 0
FAy=3.5kN；
Fy 0, FBy FAy 3qa 0
FBy=14.5KN
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例2—剪力图
如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN
工程力学第八章 梁的平面弯曲
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
平面弯曲1(内力及内力图)
ΙΙ. ΙΙ. 梁的计算简图
一、载荷和约束力的类 型
1.集中力 2.集中力偶 3.分布力
F
m
q
二、梁的支座类型
1.固定铰支座
2.活动铰支座
3.固定端
三、梁的类型
1.简支梁
2.外伸梁 3.悬臂梁
约束力不超过三个， 以上三种梁统称为 : 静定梁（约束力不超过三个， 可由平衡方程求解。） 可由平衡方程求解。） 2
11
由外力写内力
力引起正剪力； 1.相对于横截面来说，左 段向上、右段向下的外 力引起正剪力； 相对于横截面来说， 段向上、 反之则反。 反之则反。
2.相对于横截面来说，左 、右段向上的外力引起 正弯矩； 相对于横截面来说， 正弯矩； 反之则反。 反之则反。
3.相对于横截面来说，外 力矩或外力偶，左段顺 时针转， 相对于横截面来说， 力矩或外力偶， 时针转， 反之则反。 右段逆时针转引起正弯 矩；反之则反。
3 .根据方程作图
Pa (a<x<l) l Pa (a ≤ x ≤ l ) M = FB ( l − x ) = (l − x ) l
Pa l
x
0
+
M
Pab l
8
例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 解：
FA = FB = ql 2
18
例. 作图示梁的Fs、M图 作图示梁的F
y
解：
Fa Fa FA = (↓),FB = + F（↑） l l
x1
A
B
x2
C
FxBiblioteka axlAB段
Fa Fs = − l Fa M=− x l
平面弯曲梁求内力的方法
平面弯曲梁求内力的方法平面弯曲梁是一种常见的结构形式，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在设计和使用过程中，需要对其内力进行分析和计算，以保证结构的安全性和稳定性。
本文将介绍平面弯曲梁求内力的方法。
一、平面弯曲梁的基本概念平面弯曲梁是指在平面内受到弯曲作用的梁，其截面形状可以是任意形状，但要求在弯曲过程中截面形状不变。
平面弯曲梁的内力主要包括弯矩、剪力和轴力。
弯矩是指在梁的截面上由于弯曲作用而产生的力矩，其大小与梁的曲率半径和截面惯性矩有关。
剪力是指在梁的截面上由于剪切作用而产生的力，其大小与梁的截面形状和受力情况有关。
轴力是指在梁的轴线方向上由于拉伸或压缩作用而产生的力，其大小与梁的受力情况有关。
二、平面弯曲梁的内力分析方法平面弯曲梁的内力分析方法主要有两种，即弯矩法和剪力法。
下面将分别介绍这两种方法的基本原理和计算步骤。
1. 弯矩法弯矩法是指通过计算梁的弯矩分布来求解梁的内力。
其基本原理是根据梁的受力情况和截面形状，计算出梁的弯矩分布，并根据弯矩方程求解出梁的内力。
计算步骤如下：（1）确定梁的受力情况，包括支座反力和外载荷。
（2）根据梁的几何形状和受力情况，计算出梁的弯矩分布。
（3）根据弯矩方程求解出梁的内力。
弯矩方程是指在梁的任意一点处，弯矩与该点处的曲率半径和截面惯性矩之间的关系式。
对于一般的平面弯曲梁，弯矩方程可以表示为：M = EIκ其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩，κ为曲率。
2. 剪力法剪力法是指通过计算梁的剪力分布来求解梁的内力。
其基本原理是根据梁的受力情况和截面形状，计算出梁的剪力分布，并根据剪力方程求解出梁的内力。
计算步骤如下：（1）确定梁的受力情况，包括支座反力和外载荷。
（2）根据梁的几何形状和受力情况，计算出梁的剪力分布。
（3）根据剪力方程求解出梁的内力。
剪力方程是指在梁的任意一点处，剪力与该点处的截面形状和受力情况之间的关系式。
对于一般的平面弯曲梁，剪力方程可以表示为：V = dM/dx其中，V为剪力，M为弯矩，x为梁的坐标。
平面弯曲—梁的内力(建筑力学)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
5.1.2平面弯曲的内力和内力图
平面弯曲的内力图绘制和弯矩图。
解：任选一截面 x ，截面法求出剪力和弯矩 x()()l x q x x M <≤02/2＝l剪力方程弯矩方程q xF s (x )M (x )0,yF=∑0,CM=∑()()s 0F x qx x l ≤<＝8/2q l 和弯矩图。
解：任选一截面 x ，截面法求出剪力和弯矩x()()l x q x x M <≤02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图。
F sxMxql2/2q l l由内力图可见最大剪力和弯矩分别为剪力方程弯矩方程()()s 0F x qxx l ≤<＝2smax max /2F ql M ql ＝，＝例2：简支梁在C 截面处受集中力作用。
试作出其剪力图和弯矩图。
BAlF AyF Byx 2F sxMxl F b /lF a /lF a b /x 1C Fab解：由梁的平衡方程确定约束反力由截面法可以写出剪力和弯矩方程依方程画出剪力图和弯矩图。
AC :()()a x l F b x x M ≤≤1110/＝()()s 11/0F x Fb lx a <<＝00ABM M ∑∑＝，＝CB : ()()()l x alx l F a x M ≤≤-222/＝()()s 22/F x Fa l a x l -<<＝//Ay By F Fb l F Fa l＝，＝()-()+()+ BAlF A yF B yx 2lM a /x 1lM /lM b / CMab例3：简支梁在C 截面处受集中力偶作用。
试作出其剪力图和弯矩图。
0＝，＝∑∑B A M M 依方程画出剪力图和弯矩图。
解：由梁的平衡方程确定约束反力由截面法可以写出剪力和弯矩方程AC :()()a x lM x x M <≤1110/＝()()s 11/0F x M lx a <≤＝CB :()()bx lM x x M <≤-2220/＝()()s 22/0F x M lx b <≤＝/-/Ay By F M l F M l＝，＝。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
第九章 梁的平面弯曲
x
左顺右逆，M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动 向上凹
内力图
剪力图—以杆件轴线为基线,Q为纵坐标,作出的反映Q沿
杆件轴线的变化规律的曲线
弯矩图—以杆件轴线为基线,M为纵坐标,作出的反映M 沿杆件轴线的变化规律的曲线
内力图作法:
以坐标x表示横截面的位置,通过平衡方程求出内力与x 的关系,称为内力方程,根据内力方程作图
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截 面上内力按相同的规律变化；
控制截面的概念： 外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分 布载荷的起点和终点处的横截面,支座
。
截面法，确定各段Q、M 分布规律，以此列出各 段的内力方程（剪力方程、弯矩方程）。以此 作出剪力图和弯矩图。
q
A
FA
FQ qa
2a
B
2L
FB
qa
q(L-a) q(L-a)
M
qLa-qL2/2
q(L-a)2/2
根据给定的剪力图和弯矩图能否确定梁的受
力，能否确定梁的支承性质与支承位置？由给
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算弯曲力学梁是结构工程中常见的构件，用于承受横向力和弯矩。
在设计和分析梁的弯曲变形和内力时，了解梁的性质和力学行为至关重要。
本文将介绍弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算的相关知识。
1. 梁的基本概念在讨论弯曲变形和内力计算之前，我们首先需要了解梁的基本概念。
梁是一种长条形结构，由材料制成，其主要作用是承受横向力和弯矩。
梁通常用于支撑和传递载荷，使得荷载能够安全地传递到地基或其他支撑结构。
2. 弯曲变形弯曲力学梁在受到横向力作用时会发生弯曲变形。
弯曲变形可分为弯曲线的形状变化和截面各点的位移变化两个方面。
2.1 弯曲线的形状变化当横向力作用于梁上时，梁会呈现出一条弯曲线。
这条弯曲线称为弯曲曲线，弯曲曲线的形状取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
常见的弯曲曲线形状包括凸曲线和悬臂曲线。
2.2 截面各点的位移变化在梁的弯曲过程中，截面上的各点将发生位移变化。
位移变化可分为纵向位移和横向位移两个方向。
纵向位移是指垂直于弯曲平面的位移，即梁的弯曲垂直方向的变形。
横向位移是指沿弯曲平面的位移，即梁的弯曲平面内的变形。
这些位移变化会导致梁的轴线发生曲率，截面上的各点相对于轴线发生旋转。
3. 内力计算在弯曲过程中，梁内部发生了一系列力的变化，包括弯矩、剪力和轴力。
这些内力是用来描述梁材料内部应力状态的。
内力计算是分析和设计梁结构的重要一步。
3.1 弯矩弯矩是梁内部发生的一对等大反向的力矩。
在弯曲力学中，弯矩是描述梁抵抗弯曲变形的重要参数。
弯矩的大小和分布取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
3.2 剪力剪力是梁内部横向力的一种表现形式。
在弯曲力学梁中，剪力是垂直于梁轴线的力，用来描述梁材料负责承受横向力的能力。
3.3 轴力轴力是梁内部沿轴线方向的力。
当梁受到纵向拉力或压力时，轴力将发生变化。
轴力的大小和分布取决于梁的受力情况。
4. 弯曲梁的弯曲变形和内力计算方法在实际工程中，我们可以通过解析法或数值计算法来计算弯曲梁的弯曲变形和内力。
第六章：梁弯曲时的内力和应力
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
第7章 平面弯曲《建筑力学》教学课件
坐标系。
列
方
当梁上同时作用着多个荷载时，剪力和弯矩 程
与截面位置间的关系发生变化，需分段列方程。
作 图
剪力图和弯矩图
将剪力方程和弯矩方程在直角坐标系中画成图 像，观察内力变化规律既唯一又直观。
1. 作 FS , M 图步骤 建立坐标系；
列 FS ，M 方程；
作 FS , M 图。
7.3.1 列 方 程 作 图
1）剪力
Fiy 0 YAFS 0 得： FS YA
大小：等于截面一侧所有横向外力的代数和。
7.2.1 梁
FS (左或)右Fi侧
弯 曲
正负号：对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正。
变 形
外力的正负号规定同剪力符号规定一致，仍是
的 内
顺正逆负。
力-
剪
力
和
弯
矩
2）弯矩
M0 YAxM 0
得： M YAx
图7-8
7.3.1 列 方 程 作 图
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
图7-2
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
如图7-3所示的建筑物楼面梁和阳台挑梁,它们都因受 到楼面荷载和梁自重的作用而发生平面弯曲。
图7-3
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
常见梁的分类
（1） 悬臂梁：梁的 一端固定,另 一端自由,如 图7-4(a)所示
。
平面弯曲梁求内力的方法
平面弯曲梁求内力的方法一、概述平面弯曲梁是工程中常见的结构形式，其内力计算是结构设计的重要内容之一。
本文将介绍平面弯曲梁求解内力的方法，包括静力学方法和力学分析法两种。
二、静力学方法1.受力分析首先需要对平面弯曲梁进行受力分析，确定其支座反力、弯矩和剪力等重要参数。
在进行受力分析时，需要考虑到荷载类型、荷载作用位置以及结构自重等因素。
2.截面切割法通过截面切割法可以求解平面弯曲梁各截面处的内力。
具体步骤如下：（1）选择一个截面，在该截面处做图并标注出该处的受力情况；（2）将该截面切割成两部分，并考虑到作用在每个部分上的荷载和支座反力；（3）根据平衡条件，求解出该截面处的剪力和弯矩。
3.图解法通过图解法也可以求解平面弯曲梁各截面处的内力。
具体步骤如下：（1）选择一个截面，在该截面处做图并标注出该处的受力情况；（2）根据平衡条件，求解出该截面处的剪力和弯矩；（3）将求解出的剪力和弯矩分别画在该截面上，并标注出其方向和大小。
4.应力函数法应力函数法是一种比较复杂的方法，需要具备一定的数学基础。
其基本思想是通过构造应力函数来求解平面弯曲梁各截面处的内力。
具体步骤如下：（1）构造应力函数，使其满足平衡条件和边界条件；（2）根据应力函数求解出各截面处的应力分布；（3）利用静平衡方程求解出各截面处的剪力和弯矩。
三、力学分析法1.杆件模型法杆件模型法是一种简单有效的方法，适用于对平面弯曲梁进行初步计算。
其基本思想是将曲线梁离散化为若干个杆件，并在每个节点处考虑节点反力。
具体步骤如下：（1）将曲线梁离散化为若干个杆件，并在每个节点处考虑节点反力；（2）根据杆件受力分析，求解出各节点处的剪力和弯矩。
2.有限元法有限元法是一种精确的方法，适用于对复杂结构进行详细计算。
其基本思想是将结构离散化为若干个小单元，并在每个节点处考虑节点位移。
具体步骤如下：（1）将结构离散化为若干个小单元，并在每个节点处考虑节点位移；（2）根据有限元理论，建立结构的刚度矩阵和载荷向量；（3）利用数值计算方法求解出各节点处的位移和内力。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D
l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
梁的内力
mC
m
M
P/2
m
Q
Q
右半段亦然。
三、剪力、弯矩正负号（规定）
剪力
Q dx Q Q Q Q Q
弯矩
M dx M M M M M
四、求指定截面上的剪力和弯矩 运用截面法，利用平衡条件，建立平衡方程。 求解时可先假设该截面剪力和弯矩的方向（一般设为正 向），然后用平衡方程求出该截面上的剪力和弯矩。 若得出的剪力和弯矩为正值，说明假设方向正确。如果 得出的结果为负，则说明假设方向错误。
Q (x) = - VA = - M/l （a<x<l） M (x) = -VA x +M = - M x / l +M
l
1 x 1 VA Q M(x) Q(x) VA x Q图 M
Q(x) x
M/l
Ma/l x M图
（a≤x≤l）
3、画剪力图 4、画弯矩图
M
Mb/l
剪力、弯矩和分布荷载集度之间的关系
平面弯曲的梁： （1）梁具有纵向对称轴面； （2）外力（包括荷载和反力）均作用在纵向轴面内， 与杆轴垂直；
（3）杆轴线在纵向轴面内弯成一条平面曲线。
y
P q M 纵向对称面
x A VA y A l 挠曲线 P q B VB
M
B
x
单跨静定梁的类型 梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定 的梁，称为静定梁。根据约束情况的不同， 单跨静定梁可分为以下三种常见形式： (1)简支梁。梁的一端为固定铰支座，另 一端为可动铰支座。 (2) 悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。 (3) 外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支 座之外。
M
M图
例5 简支梁AB，受均布荷载作用，作Q、M图。
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FR A ? 15kN FR B ? 29kN
(2)求1-1截面的剪力 FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得 ：
FQ1 ? FRA ? F ? 15 ? 8 ? 7kN
M1 ? FRA ? 2 ? F ? ?2 ? 1.5?? 26kN ?m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 ? ?q ? 3?? FRB ? 7kN
F2 M
F1
A
B
The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
桥式吊梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx
FRy
FR
MR
FRx FRy
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
例3 求图示简支梁 1-1与2-2截面的剪力和弯矩 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
FRB
3m
1.5m
解：(1)求支座反力
? MB ? 0 FR A ? 6 ? 8? 4.5 ? ?12? 3?? 1.5 ? M A ? 0 FRB ? 6 ? 8? 1.5 ? ?12? 3?? 4.5
实际支承 →理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
F Ay
FAx A
B
FB
MA
A
F Ax
F Az
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
●内力的求法
A
F RA
a
? Fy ? 0
M
FRA ? FQ ? 0 ? FQ ? FRA
FQ
?
M O
?0
M ? FRA ?a ? 0 ? M ? FRA ?a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
顺时针转为正
⑵弯矩
M
M
上压下拉为正
FQ
FQ
逆时针转为负
M
M
上拉下压为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知 F1=12kN，
F2=10kN，试计算指定截面 1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
? MB ? 0 F1 ? 2.5 ? F2 ? 1.5 ? FRA ? 3 ? 0 ? Fy ? 0 FRA ? FRB ? F1 ? F2 ? 0
FRA ? 15kN FRB ? 7kN
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
A FRA 1
2
B F RB
1m
1.5m
3m
F1
A
F RA
F2 M2
FQ2
? Fy ? 0 ? FQ2 ? FRA ? F1 ? F2 ? 0 ? FQ2 ? ? 7kN
FQ2 ? ? FRA ? F1 ? F2
FQ2 ? ? FRB
? M ?0 O
例2 试利用上述结论写出图示梁 1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
FQ ? F1 ? ql ? F2 ?sin ? ? FRB
M
?
? F1 ?e
? ql??e ? c ? ?
l ?? 2?
? Me
? F2 sin ? ??f ? b?? FRB ? f
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
3 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法 ——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A 1
FRA a
l
F RB
A
F RA
a
M
FQ
? Fy ? 0
?
M O
?
0
? FQ
?M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
M1 ? ? ?q ? 3?? 2.5 ? FRB ? 4 ? 26kN?m
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面 (荷载作用面 )内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
2 梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力 。
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（ 或右侧 ）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（ 右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（ 或右侧 ）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针 ）的力矩使截面产生正号的弯矩。
(2)求1-1截面上的内力
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B F RB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
F Q1 FRA 1m
? Fy ? 0 FRA ? F1 ? FQ1 ? 0 ? FQ1 ? 3kN
?
M O
?
0
M1 ? FRA ? 1 ? F1 ? 0.5 ? 0 ?
M1 ? 9kN ?m
梁的内力
INTERNAL FORCES IN THE BEAM
1 工程实际中的弯曲问题 2 梁的荷载和支座反力 3 梁的内力及其求法 4 内力图 5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 6 叠加法作剪力图和弯矩图
1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
M2 ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5 ? 0 ?
M2 ? 7kN ?m
M2 ? ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5
FQ2 ? ? FRA ? F1 ? F2
FQ
F1
M2 ? ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5
结论：