平面弯曲1 梁的内力
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实际支承 →理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
F Ay
FAx A
B
FB
MA
A
F Ax
F Az
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
梁的内力
INTERNAL FORCES IN THE BEAM
1 工程实际中的弯曲问题 2 梁的荷载和支座反力 3 梁的内力及其求法 4 内力图 5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 6 叠加法作剪力图和弯矩图
1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水Biblioteka Baidu作用下的水 槽壁等。
火车轴
桥式吊梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
例2 试利用上述结论写出图示梁 1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
FQ ? F1 ? ql ? F2 ?sin ? ? FRB
M
?
? F1 ?e
? ql??e ? c ? ?
l ?? 2?
? Me
? F2 sin ? ??f ? b?? FRB ? f
FR A ? 15kN FR B ? 29kN
(2)求1-1截面的剪力 FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得 ：
FQ1 ? FRA ? F ? 15 ? 8 ? 7kN
M1 ? FRA ? 2 ? F ? ?2 ? 1.5?? 26kN ?m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 ? ?q ? 3?? FRB ? 7kN
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx
FRy
FR
MR
FRx FRy
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
F2=10kN，试计算指定截面 1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
? MB ? 0 F1 ? 2.5 ? F2 ? 1.5 ? FRA ? 3 ? 0 ? Fy ? 0 FRA ? FRB ? F1 ? F2 ? 0
FRA ? 15kN FRB ? 7kN
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面 (荷载作用面 )内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
2 梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力 。
例3 求图示简支梁 1-1与2-2截面的剪力和弯矩 。
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
FRB
3m
1.5m
解：(1)求支座反力
? MB ? 0 FR A ? 6 ? 8? 4.5 ? ?12? 3?? 1.5 ? M A ? 0 FRB ? 6 ? 8? 1.5 ? ?12? 3?? 4.5
M2 ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5 ? 0 ?
M2 ? 7kN ?m
M2 ? ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5
FQ2 ? ? FRA ? F1 ? F2
FQ
F1
M2 ? ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5
结论：
M1 ? ? ?q ? 3?? 2.5 ? FRB ? 4 ? 26kN?m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
A FRA 1
2
B F RB
1m
1.5m
3m
F1
A
F RA
F2 M2
FQ2
? Fy ? 0 ? FQ2 ? FRA ? F1 ? F2 ? 0 ? FQ2 ? ? 7kN
FQ2 ? ? FRA ? F1 ? F2
FQ2 ? ? FRB
? M ?0 O
●内力的求法
A
F RA
a
? Fy ? 0
M
FRA ? FQ ? 0 ? FQ ? FRA
FQ
?
M O
?0
M ? FRA ?a ? 0 ? M ? FRA ?a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
顺时针转为正
⑵弯矩
M
M
上压下拉为正
FQ
FQ
逆时针转为负
M
M
上拉下压为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知 F1=12kN，
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
3 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法 ——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A 1
FRA a
l
F RB
A
F RA
a
M
FQ
? Fy ? 0
?
M O
?
0
? FQ
?M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（ 或右侧 ）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（ 右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（ 或右侧 ）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针 ）的力矩使截面产生正号的弯矩。
(2)求1-1截面上的内力
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B F RB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
F Q1 FRA 1m
? Fy ? 0 FRA ? F1 ? FQ1 ? 0 ? FQ1 ? 3kN
?
M O
?
0
M1 ? FRA ? 1 ? F1 ? 0.5 ? 0 ?
M1 ? 9kN ?m
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
F Ay
FAx A
B
FB
MA
A
F Ax
F Az
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
梁的内力
INTERNAL FORCES IN THE BEAM
1 工程实际中的弯曲问题 2 梁的荷载和支座反力 3 梁的内力及其求法 4 内力图 5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 6 叠加法作剪力图和弯矩图
1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水Biblioteka Baidu作用下的水 槽壁等。
火车轴
桥式吊梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
例2 试利用上述结论写出图示梁 1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
FQ ? F1 ? ql ? F2 ?sin ? ? FRB
M
?
? F1 ?e
? ql??e ? c ? ?
l ?? 2?
? Me
? F2 sin ? ??f ? b?? FRB ? f
FR A ? 15kN FR B ? 29kN
(2)求1-1截面的剪力 FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得 ：
FQ1 ? FRA ? F ? 15 ? 8 ? 7kN
M1 ? FRA ? 2 ? F ? ?2 ? 1.5?? 26kN ?m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 ? ?q ? 3?? FRB ? 7kN
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx
FRy
FR
MR
FRx FRy
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
F2=10kN，试计算指定截面 1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
? MB ? 0 F1 ? 2.5 ? F2 ? 1.5 ? FRA ? 3 ? 0 ? Fy ? 0 FRA ? FRB ? F1 ? F2 ? 0
FRA ? 15kN FRB ? 7kN
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面 (荷载作用面 )内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
2 梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力 。
例3 求图示简支梁 1-1与2-2截面的剪力和弯矩 。
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
FRB
3m
1.5m
解：(1)求支座反力
? MB ? 0 FR A ? 6 ? 8? 4.5 ? ?12? 3?? 1.5 ? M A ? 0 FRB ? 6 ? 8? 1.5 ? ?12? 3?? 4.5
M2 ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5 ? 0 ?
M2 ? 7kN ?m
M2 ? ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5
FQ2 ? ? FRA ? F1 ? F2
FQ
F1
M2 ? ? FRA ? 2 ? F1 ? 1.5 ? F2 ? 0.5
结论：
M1 ? ? ?q ? 3?? 2.5 ? FRB ? 4 ? 26kN?m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
A FRA 1
2
B F RB
1m
1.5m
3m
F1
A
F RA
F2 M2
FQ2
? Fy ? 0 ? FQ2 ? FRA ? F1 ? F2 ? 0 ? FQ2 ? ? 7kN
FQ2 ? ? FRA ? F1 ? F2
FQ2 ? ? FRB
? M ?0 O
●内力的求法
A
F RA
a
? Fy ? 0
M
FRA ? FQ ? 0 ? FQ ? FRA
FQ
?
M O
?0
M ? FRA ?a ? 0 ? M ? FRA ?a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
顺时针转为正
⑵弯矩
M
M
上压下拉为正
FQ
FQ
逆时针转为负
M
M
上拉下压为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知 F1=12kN，
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
3 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法 ——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A 1
FRA a
l
F RB
A
F RA
a
M
FQ
? Fy ? 0
?
M O
?
0
? FQ
?M
剪力 弯矩
N或kN N·m或kN·m
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（ 或右侧 ）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（ 右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（ 或右侧 ）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针 ）的力矩使截面产生正号的弯矩。
(2)求1-1截面上的内力
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B F RB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
F Q1 FRA 1m
? Fy ? 0 FRA ? F1 ? FQ1 ? 0 ? FQ1 ? 3kN
?
M O
?
0
M1 ? FRA ? 1 ? F1 ? 0.5 ? 0 ?
M1 ? 9kN ?m