留数定理及应用
留数及应用
(2) 无论 f (z) 在 z 0 是否有定义, 补充定义 f(z0)c0,则函数 f (z) 在 z 0 解析.
f(z0)lz iz0m f(z) f(z)Fc(0z,),zzz0z0
2) 可去奇点的判定 定理 若z0是f(z)的孤立奇, 则点以下三个条件等价：
1 1)(z
1)2
,
所以 : z1是函数的一,级极点
z 1是函数的二级极. 点
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那么孤立奇点 z 0 称为 f (z) 的本性奇点.
例如， e1 z1z 11z 2 1z n ,
2 !
n !
含有无穷多个z的负幂项 (0z)
1
所以z 0为本性奇点 同时，lim e z 不存在. z 0
思考
z0是 z
sin z5
z 的几阶极点? （二阶极点）
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z)在无穷远点 z的去心
邻域 Rz内解析, 则称点 为 f (z) 的孤
立奇点.
y
R
o
x
令变换t
1 z
: 则f(z)
f1t (t),规定此变换将:
(2)(3) 根据函数极限的性质，是显然的．
(3)(1)
由 (3 )设 , z 0 的 在 去 0 z 心 z 0内 邻 ,f(z) 域 M ．
f(z)在 z0点 的 洛 f(z) 朗 cn级 (zz0)数 n,
n
cn2 1iC ( f(z 0) )n 1d ,(n 0 , 1 , 2 , )
第5章-留数及其应用02-留数
3 留数的计算方法
例1： 解： 因为
z 1, z 2,
f (z)dz
z 3
Re s[
f
( z ), 1]
lim
z1
( ห้องสมุดไป่ตู้
1)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z1
ez z
2
e
Re s[
f
( z ),
2]
lim
z2
( z
2)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z2
ez z
1
e
2
解:
注： 当极点的级数高（三级或者三级以上），则计算繁杂.
第五章 留数及其应用
第二讲 留数与留数定理
主要内容
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算方法 4. 函数在无穷远点的留数
1 留数的定义
回顾：复变函数的积分 柯西-古萨基本定理： 柯西积分公式： 高阶导数公式： 闭路变形原理：
明星公式：
2 留数定理
如果函数 f(z) 在某区域 D 内除有限个孤立奇点外处处解析， 则利用复合闭路定理可以得到留数的一个基本定理. 定理: 设 f(z) 在区域内 D 除有限个孤立奇点z1, z2,…,zn外处处解 析, C 是 D 内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向曲线, 则
f (z)dz
z 3
f (z)dz
z 2
4 函数在无穷远点处的留数
N 1
Res f (z), zk Res f (z), 0
k 1
留数定理在考研中应用
留数定理在考研中应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在考研中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 计算复积分：留数定理可以用于计算复积分，特别是围道积分。
通过找到被积函数在围道内的奇点，并计算出这些奇点的留数，可以将复积分转化为留数的求和，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：留数定理可以用于求解一些特殊的微分方程，如常微分方程的初值问题、线性微分方程的特解等。
通过将微分方程转化为复变函数的问题，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到微分方程的解析解。
3. 求解极限：留数定理可以用于求解一些复变函数的极限。
通过将复变函数转化为有理函数，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到复变函数在某些点处的极限值。
4. 解析函数的性质研究：留数定理可以用于研究解析函数的性质，如奇点的分类、奇点的留数与函数的性质之间的关系等。
通过计算奇点的留数，可以得到解析函数在奇点处的性质，进而推导出整个函数的性质。
总之，留数定理在考研中的应用非常广泛，涉及到复积分、微分方程、极限和解析函数的性质等多个方面。
掌握留数定理的应用，可以帮助我们更好地理解和应用复变函数理论。
数学物理方法-留数
2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz
Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk
e2 ki/4
i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数
f
因此
留数定理
留数定理编辑讨论3 上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。
它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
[1]中文名留数定理外文名Residue theorem别称柯西留数定理应用学科工程学、数学适用领域范围工学相关术语解析函数目录1 定律定义2 推导过程3 相关术语定律定义编辑假设U是复平面上的一个单连通开子集，，是复平面上有限个点，是定义在U\{ }的全纯函数。
如果γ是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：如果γ是若尔当曲线，那么I(γ,ak)=1, 因此：在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak 的卷绕数[2] 。
卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。
如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。
推导过程编辑以下的积分在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。
我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。
取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。
路径积分为：由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。
由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。
这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
由于f(z)是f(z)在z = i的留数是：根据留数定理，我们有：路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：因此如果t> 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：因此，如果t> 0，那么：类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t< 0，则因此我们有：（如果t= 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。
留数定理及其应用
a
对f(z)的假设：与第二,第三种类型积分相同,除了在实轴上有 一阶极点b外。 积分回路: 原积分路径上增加半圆CR ( R → ∞)及半圆 Cε (ε → 0) 已证明: lim f ( z )dz = 0
0 k =1
15
∞
n
若 f(x)为奇函数，则
0 + 2i ∫ f ( x) sin mxdx = 2π i ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
⇒ ∫ f ( x) sin mxdx = π ∑ ResF (bk )
0 k =1
∞
n
16
例：求 I = ∫
解：作函数
∞
0
cos mx dx (m > 0, a > 0) 2 2 x +a
第4章 留数定理及其应用
柯西公式: 设f(z)在单通区域D内解析，a为 1 f ( z) 则 f (a) = dz
2π i
的内点，
∫
L
z−a
注意：a为内一点，z在L上取值. 表明：解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿 边界线的积分确定。
1
4.1
留数定理
residue 一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
R 半圆 C R ( R → ∞)。 → ∞ 的原因：
10
∞
∞
(1) R → ∞ 时，z f(z)一致地趋于零； (2)可把f(z)在上半平面所有的奇点(只有有限个)都包围在L内。 留数定理：
数学物理方法 留数定理及其应用
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
第四章留数定理及其应用
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
第四章 留数定理及其应用
类型II 设积分 类型
∫
∞
−∞
存在， f ( x) dx存在，复变函数 f (z) 在
实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点， 实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点，且
lim z f ( z ) = 0,(0 ≤ arg z ≤ π )
z →∞
则
∫
∞
−∞
f ( x) dx = 2π i
Im z > 0
2.另一个定义 在无穷远点的去心邻域 R < | z | < ∞ , 另一个定义:在无穷远点的去心邻域 另一个定义 的洛朗展式为： 若 f (z) 的洛朗展式为：
f ( z) =
n=−∞
an z n , ∑
∞
( R < | z | < ∞)
则无穷远点的留数值为： 则无穷远点的留数值为：
Res f (∞) = −a−1
∑ Res f ( z)
C
(*)
证明： 证明：
∫
∞
−∞
f ( x) dx = lim ∫ f ( z ) dz − lim ∫
R→∞
R→∞ CR
f ( z ) dz
引理4.1) 引理 = lim ∫ f ( z ) dz − 0 (引理
R→∞ C
= 2π i
Im z > 0
∑ Res f ( z)
(留数定理 留数定理) 留数定理
留数：负一次幂的系数. 留数：负一次幂的系数 适用于所有的孤立奇点类型; 适用于所有的孤立奇点类型 特别是本性奇点或性质不明的奇点 特别是本性奇点或性质不明的奇点. 本性奇点
例4.4 例4.5
f ( z) = e 求 Res f (0)
留数的定义,性质以及应用
P( z ) ( z − z0 ) f ( z ) = Q ( z ) − Q ( z0 ) 因为 z − z0
令 z→z0 即得(5.2.6)
9
ze dz 2 ∫ 例 1 计算积分 C z − 1 , C 为正向圆周|z|=2.
z ez f ( z) = 2 [解] 由于 z − 1 有两个一级极点+1,−1, 而
z
[解] z=0 为被积函数的一级极点, z=1 为二级 极点, 而 z z e e Res[ f ( z ),0] = lim z ⋅ = lim = 1. 2 2 z →0 z → 0 ( z − 1) z ( z − 1)
15
⎤ 1 d ⎡ e 2 Res[ f ( z ),1] = lim ( z − 1) ⎢ 2⎥ (2 − 1)! z →1 d z ⎣ z ( z − 1) ⎦
6
2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z → z0
m −1
(5.2.4)
规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则
d 1 m Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z (5.2.5)
例1 例2 例3 例4 计算积分 计算积分 计算积分
| z | =1
∫
dz (0 < ε < 1) 2 ε z + 2z + ε
ze z dz 2 z −1 z dz 4 z −1
| z|= 2
∫
| z| = 2
∫
数学物理方法留数定理例题
数学物理方法留数定理例题一、留数定理简介留数定理是数学物理方法中的一个重要定理，起源于复分析领域。
它指出，在一定条件下，一个函数在某个区域的边界上的取值与在该区域内部某一点的取值相同。
这个定理由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Carl Wiener）于1880年首次提出，后来被法国数学家让·卡当（Jean Coulomb）命名为“留数”。
留数定理在复分析、实分析、偏微分方程等领域具有广泛的应用。
二、留数定理的应用1.解析延拓留数定理可以用于解析延拓问题。
当一个函数在某个区域内具有奇偶性时，可以通过留数定理将该函数在边界上的取值延拓到内部点。
这种方法在解决复杂区域的积分问题时非常有用。
2.计算积分利用留数定理可以计算复杂区域的积分。
通过将积分区域分解为简单区域，并在每个简单区域内部选择一个代表点，计算代表点处的函数值，最后将各个代表点处的函数值相加，即可得到积分结果。
这种方法称为“分部积分法”。
3.求解微分方程留数定理还可以应用于求解微分方程。
通过在边界上设置适当的边界条件，可以将微分方程转化为一个或多个积分方程。
利用留数定理计算积分，可以得到微分方程的解。
三、留数定理的推广留数定理在复分析领域有多种推广形式。
例如，在多元函数中，留数定理可以推广为多重留数定理；在无穷级数中，留数定理可以用来计算级数的和；在偏微分方程中，留数定理可以用于求解边界值问题。
四、留数定理与其他数学物理方法的联系与区别留数定理与其他数学物理方法，如解析延拓、residue 计算、积分方程方法等有密切联系。
它们都用于解决复分析和实分析中的问题，但具体应用场景和解决问题的手段不同。
留数定理侧重于研究函数在边界与内部点之间的关系，而其他方法则关注如何利用这种关系求解问题。
五、留数定理在实际问题中的应用案例留数定理在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在电路分析中，留数定理可以用于计算复杂电路中的电流、电压等物理量；在经济学中，留数定理可以用于研究货币供应量、利率等经济变量之间的关系；在生物学中，留数定理可以用于研究生物种群的数量动态等。
第4章留数定理及其应用
4.1
留数定理
residue
f ( z ) dz = 2π i ∑ Re sf (bk )
k =1 m
一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
∫
L
( Re s f (bk ) = a−k ) 1
D L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re s f (bk ) ：f(z)在 D
8
式中 ϕ ( z ) ，ψ ( z ) 均在 b 点解析， ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为ψ ( z ) 的一阶零点 (即ψ (b) = 0, ψ ' (b) ≠ 0 )
ϕ ( z) a−1 = lim( z − b) f ( z ) = lim( z − b) z →b z →b ψ ( z)
1 = 2i
(3)计算 Resf(0)
1 1 方法一： Resf (0) = lim( z − 0) f ( z ) = lim z ( z − 2i ) z = − 2i z →0 z →0
方法二： a2 = 0 是 f(z)的一阶极点，且 f ( z ) = ( z − 2i) z ⇒ ψ ( z )
⇒ 2π i Re s f (∞ ) + 2π i ∑ Re s f (bk ) = 0 ⇒
∑ Re s f (b ) + Re s f (∞) = 0
k k
k
——求 z = ∞处留数的另一种方法；可将求许多有限远点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。
19
2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。 例：求
n
n = −∞
( a nk ) 2π i δ n , −1 ∑
第5章留数定理及其应用
2 1 2 πi 2π = ∫ dz = = 2 2 i | z|=1 2 z + ε ( z + 1) i 1− ε 1− ε 2
例2：
∫
2π
0
1 dθ 3 − 2 cos θ + sin θ
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
∫
+∞
−∞
f (x )dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(- , ) 无穷积分的收敛性 柯西主值
∫
∞
0
F(x) cos mxdx π i = G(x)sin mxdx =π
∑Re s[F(b )e
k=1 n k k
n
imb k
] Imz>0 ] Imz>0
∫
∞
0
∑Re s[G(b )e
k=1
imb k
证明： 证明： ∞
∫
0
F(x) cos mxdx = ∫ F(x) 0
∞
e
imx
∞ 1 ∞ −imx imx = [∫ F(x)e dx + ∫ F(x)e dx] 0 2 0 1 ∞ imx = ∫ F(x)e dx 2 −∞
−∞
cos x dx 3 cosh x
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
(x )eimx dx ∫−∞ f
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； 积分区间为(- , ),m > 0 -R O R
+∞
CR
∫
∞
−∞
f ( x)eimx dx = 2π i × { f ( z )eimz 在上半平面内所有奇点处的留数和}
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一
《数学物理方法》3留数定理及其应用
1）
z0 1 是f（z）的单极点
Re s f（1） lim（ z 1）f（z） 1
z1
n
[解2]
Re
s
f（1）
lzim1（ zn
1 1）
lzim1
1 nz n1
1 n
[例3] 求 f（z） 1 的极点及其留数
sin z
[解] z n（n 0， 1， 2， ）
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
lim
z0
1 2！（z
2 2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
f（z）
z n 是f（z）的单极点
Re
s
f（n）
zlimn（ z
n） 1
sin
z
lim
zn
（ z n）
（sin z）
lim
zn
1 cos
z
（
1）n
[例] 求
f（z）（szin
2z 1）3
ez 的极点及其留数
z1
[解] z0 1是f（z）的单极点
z0 1 是f（z）的三阶极点
zkdz （re i）kd（re i）
C
C
ir
k
1
2
e
6.2留数定理及其应用
R e s [ f ( z ), ] C 1 0 .
R es[ f (z ), ] R es[ f ( 1 ) 1
2
, 0]
z z
R es[
1 (1 -3 z)(1 -z )
4
,0] 0
四.利用留数计算某些实积分
(1)
2
0
R (cos , sin ) d 型 , 其中 R (cos , sin ) 为
由留数定理一： I 2 i(R es [ f ( z ), 1] R es [ f ( z ), i ])
1 2 2 i lim [( z 1) f ( z )] lim [( z i ) f ( z ) z1 z i (2 1)!
2 i(
6 ( 1 )( 4 )( 6 )
1
.
解 f (z) 2 3 （1 z )
0
1 2 i
1 （1 x )
2 3
dx
1
2
1
1 （1 x )
2 3
dx
3
2 i Re s [ f ( z ), i ] i 1 12 3 16
( 3 1 )! z i
lim [( z i )
z ai 2
f ( z ) ) lim (( z bi ) f ( z ))]
z bi
2 i[
b
3
2
3a
2
2 2 2
4a i(b
a
2 bi ( b
1
2
)
a
2 2
]
(b 2a )
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复变函数中的一个重要定理，它在求解不同类型积分上有着广泛的应用。
从留数定理的定义和性质出发，我们可以探究留数定理在求解不同类型积分上的具体应用。
本文将从留数定理的基本原理出发，分别探讨留数定理在求解定积分、无穷积分、奇异积分和复积分中的应用，以及其在物理和工程等实际问题中的应用。
一、留数定理的基本原理留数定理是复变函数理论中的一个重要定理，它给出了复变函数在孤立奇点处的留数与该函数在该奇点所作割线积分之间的关系。
设F（z）在孤立奇点z0处解析，即在z0的某个邻域内解析，并且在z0处的留数为R，若C是以z0为内点的简单闭曲线，则有\[\oint _{C} \! F ( z ) \, dz = 2\pi iR\]留数定理的一个重要推论是：如果f(z)在孤立奇点z0的邻域内解析，并且在z0处的留数为R，则有其中Res(f,zk)表示f(z)在zk处的留数。
这个结论为我们在实际问题中利用留数定理求解积分提供了重要的理论基础。
二、留数定理在定积分中的应用留数定理在求解定积分中有着重要的应用。
对于某些定积分，可以通过构造合适的闭合曲线，并利用留数定理来求解。
考虑积分\[\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}\]可以构造复平面上的单位圆上的积分路径，然后利用留数定理来求解这个积分。
在复平面上，积分变量z的标量为e^{i\theta}，则积分可以表示为其中z0和z-1分别是函数f(z)在z=0处和z=∞处的留数。
通过计算这两个留数，我们可以求解出原定积分的值。
留数定理在求解无穷积分中也有重要的应用。
考虑积分可以通过构造合适的积分路径，然后利用留数定理来求解这个无穷积分。
我们可以沿着实轴积分，然后在上半平面做半圆弧积分。
留数定理还可以用来解决奇异积分。
考虑积分六、留数定理在物理和工程实际问题中的应用留数定理在物理和工程实际问题中也有着重要的应用。
留数定理及应用
留数及其应用摘 要数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sin z以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点）2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所围的区域D ，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得()()12Re kn z a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-，则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z af z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在） 为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）.例 1 求函数2()1ize f z z =+在奇点处的留数．解()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e ===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='-- 例 2 求函数3cos ()zf z z =在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
留数及其应用摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）.例 1 求函数2()1ize f z z =+在奇点处的留数．解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e ===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='-- 例 2 求函数3cos ()zf z z =在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =，21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z-++== 得()2221011cos ,sin ,22z z z dzf x x dx f z iz izπ=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎰⎰()12Re knz z k i s f z π===∑．例1 计算2053cos d I πθθ=+⎰．解 令i z e θ=，则()2210253cos 3103z d I dz i z z πθθ===+++⎰⎰ ()()121313z dz iz z ==++⎰()()13212Re 313z i si z z π=-⎡⎤=⋅⎢⎥++⎣⎦32π=．例2计算()222dxI xπ=⎰．解 ()2221021222z dx dzI iz xz zπ===⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎰⎰ ()212443z zdz iz z ==++⎰1244313z zdziz z ==++⎰， 由于分母有两个根12z z ==121,1z z <>， 因此 I =142Re 43z z i s iππ=⋅=．2 . 形如()f x dx +∞-∞⎰型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。
第一：()()()P z f z Q z =，其中()P z ，()Q z 均为关于z 的多项式，且分母()Q z 的次数至少比分子()P z 的次数高两次；第二：()f z 在半平面上的极点为k z （k ＝1，2，3，…，n ），在实轴上的极点为k x （k ＝1，2，3，…，n ）则有()()12Re k n z z k f x dx i s f z π+∞==-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰．例3 计算2421x I dx x x +∞-∞=++⎰． 解 取()()()224222111z z f z z z z z z z ==++-+++，孤立点为12341111,,,22222222z z i z z =+=-+=-=--，其中落在上半平面的为1z ，3z ，故()212Re k z z k I i s f z π====∑。
例4 计算()()22220x I dx a x a +∞-∞=>+⎰．解 由于()2222lim 0z z z za→∞⋅=+，且上半平面只有一个极点i a ，因此()2222x I xa+∞-∞=+⎰()22222Re z aiz i szaπ==⋅+()'222z aiz i z ai π=⎡⎤=⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦2aπ=． 3 . 形如()()imxP x e dx Q x +∞-∞⎰型的积分 1) 留数公式 定理2[]1（若尔当引理）设函数()g z 沿半径圆周:Re i R z θΓ=（0θπ≤<）上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．证明 ()00,0R εε∀>∃>，使当0R R >时，有 (),R g z z ε<∈Γ 于是()()Re sin 0ReRe i Rimzi im i mR g z e dz g ed Re d θππθθθθεθ-Γ=≤⎰⎰⎰ （2）这里利用了 ()Re ,Re i i g i R θθε<= 以及Re sin cos sin i im mR imR mR e e e θθθθ-+-==于是由若尔当不等式2sin θθθπ≤≤（02πθ≤≤）将（2）化为()sin 02Rimz mR g z e dz R e d πθεθ-Γ≤⎰⎰()220212mR mRe R e mR m m πθθπθπεπεεπ=--=⎡⎤⎢⎥=-=-<⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 即 ()lim0Rimz R g z e dz Γ→+∞=⎰．2) 举例例5 计算2210ixxe I dx x x +∞-∞=-+⎰．解 不难验证，函数()2210izze f z z z =-+满足若尔当引理条件．这里1m =，()2210zg z z z =-+，函数有两个一阶极点13z i =+及13z i =-， ()()()3'1321313Re 6210i izz iz ii e ze s f z izz -+=+=++==-+于是 2210ixxe I dx x x +∞-∞=-+⎰()31326i i e iiπ-++=()()33cos13sin13cos1sin133e ie ππ--=-++．4. 形如()()cos P x mxdx Q x +∞-∞⎰和()()sin P x mxdx Q x +∞-∞⎰型积分定理3[]1 设()()()P x g z Q x =，其中()P x 和()Q x 是互质多项式，并且符合条件： （1）()Q x 的次数比()P x 的次数高； （2）在实轴上()0Q x ≠； （3）0m >．则有()()2Re kkimx imzz a ima g x e dx i s g z e π+∞=-∞⎡⎤=⎣⎦∑⎰（3） 特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如()()cos P x mxdx Q x +∞-∞⎰及()()sin P x mxdx Q x +∞-∞⎰的积分．例6 计算()()22cos 19xI dx x x +∞-∞=++⎰． 解 利用()()()221019z z z →→∞++以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点z i =和3z i =，得到()()22cos 19xI x x +∞-∞=++⎰ ()()()()22223Re 2Re Re 1919iz izz i z i e e i s s z z z z π==⎛⎫ ⎪=+ ⎪++++⎝⎭ ()()()()''22223Re 21919iz iz z i z i e e i z z z z π==⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭13Re 21648e e i i i π--⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭ ()233124eeπ=-．例7 计算44sin x mxI dx x a +∞=+⎰（0,0m a >>）． 解 被积函数为偶函数，所以440sin x mx I dx x a +∞=+⎰44441sin 122imxx mx xe dx im dx x a x a+∞+∞-∞-∞==++⎰⎰，设函数关系式为()44imzze f z z a =+，它共有四个一阶极点，即24k ik a aeππ+=（0,1,2,3k =）得 ()44Re k kimzz a z a ze s f z z a ===+（0,1,2,3k =），因为0a >，所以()f z 在上半面只有两个一阶极点0a 及1a ，于是444402Re k m k imx imzz a z a xe ze dx i s x a z a π+∞=>-∞=++∑⎰2ie aπ=故 44sin x mxI dx x a +∞=+⎰442122imx xe i im dx ex a a π+∞-∞==+⎰小结:正确的运用留数可以有效的解决一些复杂的定积分问题，留数定理是学习辐角原理的基础，在复变函数的学习中有着重要的作用，是复变函数的基础理论之一.上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系．解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.参 考 文 献［1］钟玉泉.复变函数论［M ］高等教育出版社，2004. ［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M ］科学出版社，2004.［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M ］中国时代经济出版社，2008. ［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J ］菏泽学院学报,2005. ［5］余家荣. 复变函数论［M ］高等教育出版社，2004.［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003.。