二阶常系数线性齐次微分方程.ppt
二阶常系数线性微分方程的解法.ppt
设 y2 / y1 u( x) , 即 y2 u( x)e1x ,
代入方程(2),并约去 e1x ,得
u (21 a)u (12 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
故有 12 a1 b 0 , 21 a 0 ,
u 0 , 取特解 u x , 即得 y2 x e1x ,
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x)erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
1
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
故所求通解为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)
9
例3
求微分
方
程
d2 dt
s
2
2
ds dt
而 ex 0 ,于是有
2 a b 0 (3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法PPT课件
y 1 ex C . xx
第12页/共41页
返回
退出
例2-6 求一阶线性微分方程 y 2xy 2x 满足初始条件 y |x0 0
的特解。
解
y 2xy 2x,
dy 2xydx 2xdx,
dy yd( x2 ) d(x2 )；
ex2dy ex2 yd(x2 ) ex2d(x2 )；
Q( x)dx
;
x
u
x
u
d ( yea P(t )dt ) d (
x
e a
P ( t )dt
Q(u)du)
;
d ( yea P(t )dt
x
e a
P (t )dt
Q(u)du)
0
;
a
a
故方程的通解为
x
u
yea P(t )dt
x
e a
P
(t
)dt
Q(u)du
C
.
a
x
u
y
e a
P ( t )dt
x)
0,
d( y ) 0;
cos x
故方程的通解为 y C
cos x
即 y x cos x C cos x.
即
y C cos x.
第14页/共41页
返回
退出
**例2-8 求一阶线性微分方程 y P( x) y Q( x) 的通解，其中P，Q 都是
x 的连续函数。
解
y P( x) y Q( x) , dy p( x) ydx Q( x)dx ,
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f (x)dx g( y)dy,
则 d
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖特征方程的根与通解的关系
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
二阶常系数齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。
二阶常系数齐次线性微分方程
就必定是方程的通解.
定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间 内的两个函数, 如果存在不为零的常数k
(或存在不全为零的常数k1, k2), 使得对于 该区间内的一切x, 有
y2(x) k y1 ( x)
(或k1y1(x) k2 y2 (x) 0)
定理.(叠加原理) 若函数 y1( x), y2( x) 是方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1( x) C2 y2( x)也是该方程 的解.
证:将 y C1 y1( x) C2 y2( x) 代入方程左边, 得
[C1 y1 C2 y2 ] P( x)[C1 y1 C2 y2 ]
成立, 则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线
性相关, 否则称y1(x)与y2(x)线性无关.
思考:
中有一个恒为0, 则
必线性相关
定理. (二阶齐次线性方程通解的结构) 是二阶线性齐次方程的两个
线性无关的特解, 则 y C1 y1( x) C2 y2( x)
数) 是该方程的通解.
例于书上, 1(5), 2(5)交作业.
(2) 当 p2 4q 0 时, 特征方程有两相等实根 则微分方程有一个特解
设另一特解为 , ( u(x) 待定).
代入原微分方程 y py qy 0得:
er1 x [( u 2r1u r12u ) p(u r1u )q u 0
u ( 2r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解.
二阶常系数线性微分方程
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
要求：能根据方程①熟练写出其特征方程并求出特征根.
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(1)当������2 − 4������ > 0时, 特征方程有两个不等的实根������1, ������2 则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为：y (C1 C2 x)e2 x
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(2)当������2 − 4������ < 0时, 特征方程有一对共轭复数根：
代入初始条件������′ ������=0 = 1, 解得������2 = 1,
(1) 写出相应的特征方程: 2 p q 0;
(2) 求出特征方程的两个根: 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 ，2 两个相等的实根 1 =2
y C1e1x C2e2x y (C1 C2 x)e1x
若 ������(������) 0, 即������′′ + ������������′ + ������ = ������(������) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
对应的 齐次方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
例如，例1中 y1(x) ex与y2 (x) 2ex是线性相关的， 是线y性3(无x)关 的xe.x与y1(x) ex
定理6.2 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐 次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1(x) C2 y2 (x) (C1, C2为任意常数) 就是方程(3)的通解,其中C1, C2为两个任意常数.
将y C1y1(x) C2 y2(x)代入方程(3)的左端，得
C1 y1(x) C2 y2 (x)'' pC1 y1(x) C2 y2 (x)' qC1 y1(x) C2 y2 (x)
C1y1''(x) py1'(x) qy1(x) C2 y2''(x) py2'(x) qy2 (x)
定义6.1 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，
如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 ,
k2)，使得对于该区间内的一切x ，有
y2(x) k y1 ( x)
(或k1y1(x) k2 y2 (x) 0)
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时， y C1 y1(x) C2 y2 (x) (C1，C2为任意常数)
才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的两个特解y1(x)，
y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得 到的解
y C1 y1(x) C2 y2 (x) (C1，C2为任意常数) 就必定是方程(3)的通解.
例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程 y'' 2 y' y 0,
容易验证： y1(x) ex , y2 (x) 2ex 都是它的解. 由定理11.1 知
y C1y1(x) C2 y2 (x) C1e x 2C2e x (C1 2C2 )e x Ce x
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
设y2 er1xu(x)，
将y2，y'2及y''2代入方程(3)，整理都得
er1x[u'' (2r1 p)u' (r12 pr1 q)u] 0，
由于er1x 0，故得
u'' (2r1 p)u' (r12 pr1 q)u 0.
r1
r2
( 2)
称为二阶线性齐次微分方程，当 f (x) / 0 时，方程(1)
称为二阶线性非齐次微分方程.
当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程
y'' py' qy 0
(3)
为二阶常系数y' qy f (x) ( f (x) / 0)
( 4)
为二阶常系数线性非齐次微分方程.
即 y1 er1x与y2 er2 x线性无关.因此方程(3)的
通解为
y C1er1x C2er2x (C1, C2为任意常数). (6)
(2)当p2 4q 0时，r1与r2是两相等实根
r1
r2
p 2
于是得到方程(3)的一个特解 y1 er1x，须找出方
程(3)的另一个特解y2，且 y2 常数， y1
把它们分别代入所给方程左端，得
ex ex 2ex 0, 4e2x 2e2x 2e2x 0， 故y1(x) e x与y2 (x) e2x都是原方程的解.
y2 (x) y1 ( x)
ex e2x
e3x
常数，
y1(x) ex与y2 (x) e2x是线性无关的两个特解，
由定理7.2可写出所给方程的通解为 y C1ex C2e2x，
特征方程(5)的根为 r1,2 p
p2 4q . 2
(1) p 2 4q 0, r1与r2是两不相等的实根
r1 p
p2 4q , 2
r2 p
p2 4q， 2
于是 y1 er1x与y2 er2 x都是方程(3)的解，且 y2 er2 x e(r2 r1 )x 常数， y1 er1 x
例2 验证y1(x) ex与y2 (x) e2x都是微分方程 y'' y' 2 y 0
的解，并写出它的通解 . 解 所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程
对y1(x) ex及y2 (x) e2x分别求导，得
y'1(x) ex , y''1(x) ex
及
y'2 (x) 2e2x , y''2 (x) 4e2x，
0，
即 y C1y1(x) C2 y2 (x)满足方程(3)， 所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1(x) C2 y2 (x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1(x) C2 y2 (x) 是不是方程 (3)的通解呢？
第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
一、二阶常系数线性齐次微分
方程解的性质与通解结构
二、二阶常系数线性齐次微分
方程的解法
形如 y'' P(x) y' Q(x) y f (x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f (x) 0 时，
方程(1)成为
y'' P(x) y' Q(x) y 0
其中C1, C2为任意常数.
二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法
y erx (r为常数) 是方程(3)的解， 把 y，y'及y'' 代入方程(3)，整理后得
(r 2 pr q)erx 0，
因erx 0，故得
r 2 pr q 0，
(5)
称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程 (3)的特征方程.
一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与 通解结构
定理11.1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分 方程(3)的两个解，则 y C1 y1(x) C2 y2 (x)也是方程 (3)的解，其中C1, C2是任意常数.
证 因为y1(x), y2 (x)都是方程(3)的解，所以 y1''(x) py1'(x) qy1(x) 0， y2''(x) py2'(x) qy2 (x) 0，