2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案

2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|110}A x x =-<…，集合{|1}B x lgx =…，则(A B = )A ．{|110}x x -<…B ．{|110}x x -剟C ．{|010}x x <<D ．{|010}x x <…2．若非零向量a ，b 满足||||a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒3．已知 1.22a =，0.21()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺5．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若1sin()42πα-=，则cos(2)(2πα+= )A ．34-B ．23-C ．12-D ．13-7．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．1()sin 1xxe f x x e -=+ B ．1()sin 1xx e f x x e -=+C ．1()cos 1x xe f x x e -=+ D ．1()cos 1xxe f x x e -=+8．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，BC AC =．根据这些信息，可得sin 234(︒= )AB． C． D． 9．若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，目标函数z ax y =+仅在点(2,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(2,)2-B ．11(,0)(0,)32- C ．1(0,)2D ．11(,)32-10．已知平面向量PA ，PB 满足||||1PA PB ==，12PA PB =-，若||1BC =，则||AC 的最大值为() A 1-B 1-C1D 111．已知函数21()cos (0)22xf x x ωωω=->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，5]12B ．(0，55][126，11)12C ．(0，5]6D ．(0，55][126，11]1212．设函数2()()x f x ax e a R =+∈有且仅有两个极值点1x ，212()x x x <，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,)2ee --B ．[,]2ee --C ．(,)e -+∞D ．(,)2e-∞-二、填空题：每小题5分，共20分. 13．边界在直线x e =，y x =及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为 ． 14．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现在已知23a =，34b =，则ab = ．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足212n n S S n n ++=+，若对*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立，则首项1a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)6A π+的值．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2(2)1n n S n a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*21()4n nb n N a =∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．19．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+． （1）求角B 的大小； （2）若2A π=，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值．20．已知数列{}n a 满足：12121222n n n n a a a a n ---++⋯++=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n n n b b a +-=，求数列{}n b 的通项公式．21．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =+++，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为M ，证明：1315M <．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<…，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设(1,2)P ，求22||||PA PB +的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…．2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|110}A x x =-<…，集合{|1}B x lgx =…，则(A B = )A ．{|110}x x -<…B ．{|110}x x -剟C ．{|010}x x <<D ．{|010}x x <…【解答】解：集合{|110}A x x =-<…， 集合{|1}{|010}B x lgx x x ==<剟， {|010}AB x x ∴=<<．故选：C ．2．若非零向量a ，b 满足||||a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：设a 与b 的夹角为θ．(2)a b b +⊥，||||0a b =≠，∴222(2)22||||cos ||||(2cos 1)0a b b a b b a b b b θθ+=+=+=+=，∴1cos 2θ=-，又[0θ∈︒，180]︒，120θ∴=︒． 故选：B ．3．已知 1.22a =，0.21()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：0.20.2 1.21()222b a -==<=，1a b ∴>>．552log 2log 41c ==<， a b c ∴>>．故选：C ．4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【解答】解：设此等差数列{}n a 的公差为d ， 则14713931.5a a a a d ++=+=，198985.52a d ⨯+=， 解得：1d =-，113.5a =． 则1213.511 2.5a =-=． 故选：B ．5．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立， 例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，⋯，此时2(1)10+-=>，111()0244+-=>； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件， 故选：C ．6．若1sin()42πα-=，则cos(2)(2πα+= )A ．34-B ．23-C ．12-D ．13-【解答】解：1sin()42πα-=，则211cos(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)12sin ()122222442πππππαπαααα+=--+=--=--=-+-=-+⨯=-，故选：C ．7．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．1()sin 1x xe f x x e -=+ B ．1()sin 1xx e f x x e -=+C ．1()cos 1x xe f x x e -=+ D ．1()cos 1xxe f x x e -=+ 【解答】解：根据题意，由图象可得：该函数为偶函数，且在y 轴右侧，先为正值，后为负值，据此分析选项：对于A ，1()sin 1x xe f x x e -=+，则11()sin()sin ()11x x x x e e f x x x f x e e -----=-==++，为偶函数，且在(0,)π上，()0f x >，符合题意；对于B ，1()sin 1x x e f x x e -=+，则11()sin()sin ()11x xx x e e f x x x f x e e -----=-==++，为偶函数，但在(0,)π上，()0f x <，不符合题意；对于C ，1()cos 1x xe f x x e -=+，则11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e -----=-=-=-++，为奇函数，不符合题意；对于D ，1()cos 1x x e f x x e -=+，则11()cos()cos ()11x xx x e e f x x x f x e e -----=-=-=-++，为奇函数，不符合题意； 故选：A ．8．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，BC AC =．根据这些信息，可得sin234(︒=)AB．C．D．【解答】解：由图可知，72ACB∠=︒，且12cos72BCAC︒==．2cos1442721cos∴︒=︒-=．则sin234sin(14490)cos144︒=︒+︒=︒=．故选：C．9．若x，y满足约束条件220330240x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，目标函数z ax y=+仅在点(2,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是()A．1(2,)2-B．11(,0)(0,)32-C．1(0,)2D．11(,)32-【解答】解：如图，x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………的可行域为ABC ∆．当0a =时，符合题意；当0a >时，由z ax y =+变形得y ax z =-+，可知12a ->-，得102a <<；当0a <时，由z ax y =+变形得y ax z =-+，可知2a -<，得一20a <<； 综上得122a -<<． 故选：A ．10．已知平面向量PA ，PB 满足||||1PA PB ==，12PA PB =-，若||1BC =，则||AC 的最大值为() A 1-B 1-C 1D 1【解答】解：||||1PA PB ==，12PA PB =-，1cos 2||||PA PB A PA PB ∴==-，23A π∴=，由余弦定理可得2222cos 1113AB PA PB PA PB A =+-=++=， 3AB ∴=，即||3AB =， ||1BC =，当A ，B ，C 在同一直线上时，||AC 有最大值， ||||||31AC AB BC ∴=+=+，故选：D ．11．已知函数21()cos (0)22xf x x ωωω=->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，5]12B ．(0，55][126，11)12C ．(0，5]6D ．(0，55][126，11]12【解答】解：函数211()cos cos sin()2226xf x x x x x ωπωωωω=-=+=+， 可得2T πω=，ππω…，01ω<…，()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：0626πωππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……或6226ππωππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……，解得(0ω∈，55][126，11]12． 故选：D ．12．设函数2()()x f x ax e a R =+∈有且仅有两个极值点1x ，212()x x x <，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,)2e e --B ．[,]2ee --C ．(,)e -+∞D ．(,)2e-∞-【解答】解：函数2()()x f x ax e a R =+∈，()2x f x ax e '=+． 有且仅有两个极值点1x ，212()x x x <，则：20x ax e +=，显然0a ≠，1x ，2x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标， 由1()0xxg x e -'==，得1x =．列表：此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0x ∈，1]及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为[0，1]e 和1(0,)e．于是题设等价于110(,)22ea a e <-<⇒∈-∞-， 故实数a 的取值范围为：(,)2e-∞-故选：D ．二、填空题：每小题5分，共20分.13．边界在直线x e =，y x =及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为 2 ．【解答】解：边界在直线x e =，y x =及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为2211113()()|22eee x dx x lnx x --=-=⎰；故答案为：232e -．14．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现在已知23a =，34b =，则ab = 2 ． 【解答】解：23a =，34b =， 2log 3a ∴=，3log 4b =．32lg a lg ∴=，43lg b lg =． 34223lg lg ab lg lg ∴==．故答案为：2．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为【解答】解：如图所示，BCD ∆中，80CD =，15BDC ∠=︒，BCD ACB DCA ∠=∠+∠ 12015135=︒+︒=︒， 30CBD ∴∠=︒，由正弦定理得，80sin135sin 30BD =︒︒，解得2BD ==，ACD ∆中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 15CAD ∴∠=︒，80AD CD ∴==；ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠22280280cos135805=+-⨯⨯︒=⨯，AB ∴=，即A ，B两点间的距离为．故答案为：．16．已知数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足212n n S S n n ++=+，若对*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立，则首项1a 的取值范围是 13(,)44- ．【解答】解：212n n S S n n ++=+，∴212(1)1,(2)n n S S n n n -+=-+-…， 两式作差得141n n a a n ++=-，2n …，145n n a a n -∴+=-，3n … 两式再作差得114n n a a +--=，3n …， 可得数列{}n a 的偶数项是以4为公差的等差数列，从3a 起奇数项也是以4为公差的等差数列．若对*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立，当且仅当1234a a a a <<<．又123a S +=，2132a a ∴=-，321742a a a ∴=-=+，4311172a a a =-=-， 1111324272a a a a ∴<-<+<-，解得：11344a -<<． 故答案为：13(,)44-．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)6A π+的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）sin B C =，∴由正弦定理可得：b =，2⋯分又a c -=， 2a c ∴=，3⋯分由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc +-==6⋯分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A ==，7⋯分sin 22sin cos A A A ∴==，9⋯分 21cos 22cos 14A A =-=-，11⋯分sin(2)sin 2coscos 2sin666A A A πππ∴+=+=．13⋯分 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2(2)1n n S n a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*21()4n nb n N a =∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <． 【解答】解：（1）因为2(2)1n n S n a =+-，① 所以当1n =时，1112231a S a ==-，得11a =，当2n …时，112(1)1n n S n a --=+-，② ①-②得，12(2)(1)n n n a n a n a -=+-+， 即11n n a n a n-+=， 32112134111232n n n a a a n n a a a a a n -++∴=⋯=⋯=， 11a =符合上式．故12n n a +=； （2）证明：22111114(1)(1)1n n b a n n n n n ==<=-+++， 可得前n 项和11111111122311n T n n n <-+-+⋯+-=-<++． 19．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )ab C C =+． （1）求角B 的大小； （2）若2A π=，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，(sin cos )a b C C =+． ∴有sin sin (sin cos )A B C C =+，sin()sin (sin cos )B C B C C ∴+=+， cos sin sin sin B C B C ∴=，sin 0C >，则cos sin B B =，即tan 1B =， (0,)B π∈， ∴则4B π=．（2）在BCD ∆中，2BD =，1DC =， 22212212cos 54cos BC D D ∴=+-⨯⨯⨯=-，又2A π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==-， 又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯=，∴55cos sin )444ABCD S D D D π=-+=+-，当34D π=时，四边形ABCD 的面积最大值，最大值为54+20．已知数列{}n a 满足：12121222n n n n a a a a n ---++⋯++=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n n n b b a +-=，求数列{}n b 的通项公式． 【解答】解：（1）1n =时11a =，12121222n n n n a a a a n ---++⋯++=① 23121221(2)n n n a a a n n ---++⋯+=-…②①2-⨯②2(2)n a n n ⇒=-…， 11a =满足上式，故2n a n =-．（2）1(2)2n n n b b n +-=-，有121232111202(3)2(2)n n n b b b b b b n n --⎧-=⨯⎪-=⨯⎪⎨⋯⎪⎪-=-⨯⎩…累加整理，12111202(3)2n n b n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯，(2)n …①()()2322120232,2n n b n n =+⨯+⨯+⋯+-⨯②…②-①得22121212(3)2(4)2512n n n n b n n --=-+⨯+-=---， 11b = 满足上式，故(4)25n n b n =--．21．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =+++，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为M ，证明：1315M <． 【解答】解：（1）已知函数21()(1)2f x x a x alnx =+++，a R ∈，的定义域为(0,)+∞， (1)()()(1)a x x a f x x a x x++'=+++=， 所以当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a < 时，若0x a <<-时，()0f x '<，()f x 在(0,)a -上单调递减， 若x a >-时，()0f x '>，()f x 在(,)a -+∞上单调递增，综上：当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a < 时，若0x a <<-时，()0f x '<，()f x 在(0,)a -上单调递减， 若x a >-时，()0f x '>，()f x 在(,)a -+∞上单调递增．（2）当0a < 时，由（1）知，由（1）知，21()()()2min f x f a a a aln a =-=--+-，令21()()2g x x x xln x =--+-，且0x <，则()()g x x ln x '=-+-，令()()h x x ln x =-+-，0x <，则11()10xh x x x-'=-+=<， 所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，又1(02h =->，11()10h e e -=-<，所以存在0(x ∈1)e -， 使得0()0h x =，且00()0x ln x -+-=，所以当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0(x x ∈，0)时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以当0x x =时，()g x 取得最大值，因为222220000000000011111()()(1)22222g x x x x ln x x x x x x x =--+-=--+=-=--，令211()(1)22k x x =--，(x ∈1)e -，则()k x 在(x∈1)e -上单调递减，所以2111213()(225315k x e <⨯=+<+=， 所以013()15g x <， 因此当0a < 时，13()15min f x <，即记()f x 的最小值为M ，1315M <． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<…，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设(1,2)P ，求22||||PA PB +的取值范围．【解答】解：（1）直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=．⋯⋯⋯⋯（2分） 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程：24(sin cos )40t t αα-++=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为1t ，2t ， 则124(sin cos )t t αα+=+，124t t =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）并且△216(sin cos )1632sin cos 0αααα=+-=>， 注意到0απ<…，解得02πα<<．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有222222121212||||()216(sin cos )816sin 28PA PB t t t t t t ααα+=+=+-=+-=+， 因为02πα<<，所以sin 2(0α∈，1]，16sin 28(8α+∈，24]．因此22||||PA PB +的取值范围是(8，24]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…． 【解答】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 （Ⅰ）解：()1f x x +…，即|1||3|1x x x -+-+…．①当1x <时，不等式可化为421x x -+…，1x …． 又1x <，x ∴∈∅；②当13x 剟时，不等式可化为21x +…，1x …． 又13x 剟，13x ∴剟． ③当3x >时，不等式可化为241x x -+…，5x …． 又3x >，35x ∴<…．综上所得，13x 剟，或35x <…，即15x 剟． ∴原不等式的解集为[1，5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+--+-=…， 2c ∴=，即2a b +=．令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，22222(1)(1)11444111()2a b m n m n m n a b m n m n mn --+=+=+++-==+++…， 原不等式得证．。