教育科研中的统计方法——Z检验和t检验
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教育科研中的统计方法——Z检验和t检验
乌海市海勃湾区教研室王根运
通常我们用平均分比较两个班的成绩的优劣是不妥的。即某次考试中初二、二班数学成绩平均分低于初二、五班的平均分,不一定说明初二、二班数学真实成绩比初二、五班的差。这是因为一个班的的平均成绩具有统计意义,存在抽样误差,其平均成绩在一定范围内波动,假如再进行一次考试也许初二、二班数学成绩平均分高于初二、五班的平均分。所以比较成绩时应用平均数差异的显著性检验更科学。
统计学中平均数差异的显著性检验时规定一个显著性水平,经过检验所得差异超过这个显著性水平,表明这个差异不属于抽样误差,确实存在差异,反之属于抽样误差。这个平均数差异的显著性检验在教育科研统计中总结为Z检验或t 检验。一般地样本容量大于30时,用Z检验;样本容量小于30时,用t检验。当问题所给的条件用t检验方便时,样本容量虽然大于30,也可以用t检验。
下面是样本容量大于30时的Z检验和样本容量小于30时的t检验案例。
一、样本容量大于30时的Z检验
案例:比较初三第一学期期末实验班和对比班的化学成绩
表1、初三、八班(实验班)第一学期期末化学成绩表
表2、初三、七7班(对比班)第一学期期末化学成绩表
时间:2010年1月
实验班和对比班学生人数均为52,样本容量大于30,用Z 检验看实验班和对比班成绩有无显著性差异(用计算机处理)。
实验班:初三、八班,据表1,样本容量:n 1=52,平均分:1X =
1
1
n X
∑=69.84
每个学生分数与平均分离差的平方和:∑21d ==-∑211)(X X 13243.86 标准差:S 1=
1
2
1n d ∑
=15.96
对比班:初三、七班,据表2,样本容量:n 2=52, 平均分 :2
X =
2
2
n X ∑=66.92
每个学生分数与平均分离差的平方和:∑2
2d ==-∑222)(X X 7967.19
标准差:S 2=
2
2
2
n d ∑
=12.38, Z=
2
22
121
21n S n S X X +-=1.043
Z 检验的判断方法: 0<Z <1.96时,两个班的成绩无显著性差异;1.96<Z <2.58时,两个班的成绩成绩有显著性差异。
本题0<Z=1.043<1.96,所以:实验班和对比班化学成绩无显著性差异。 点评:初三、八班(实验班)第一学期期末化学成绩表平均分
1
X =
1
1
n X ∑=69.84,初三、七班(对比班)第一学期期末化学成绩表平均分
2
X =
2
2
n X ∑=66.92。虽然X —1〉X —
2,但不能说明初三、八班(实验班)比初三、七
班(对比班)的化学成绩好,这是抽样误差导致的结果。事实上根据上面平均数
差异的显著性检验得出结论:两个班第一学期期末化学成绩无显著性差异。
二、相关样本,容量小于30的t 检验
同一批学生在实验前后进行两次测试得到两次成绩,若把这两次成绩看成两个样本的话,则这两个样本之间相互不是独立的,称为相关样本。
案例:王老师在初二、三班进行《语文口头作文对语文成绩影响的实验研究》,他每节课用10分钟的时间让学生进行口头小作文比赛,实验前进行一次语文成绩测试,随机抽取10名学生语文成绩(实验前成绩)记录如表,一个学期后用同样难度的试题又进行测试记录这10名学生的语文成绩(实验后成绩)记录如表。
该案例是相关样本,样本容量为10,小于30,用相关样本的t 检验看实验前和实验后初二、三班随机抽取10名学生语文成绩有无显著性差异(用计算机处理)。
样本1(实验前)成绩总和∑X 1=710 样本2(实验后)成绩总和∑X 2=795
d =∣2X -1
X ∣=∣n X X 2
1
∑∑-∣=∣10
795710-∣=8.5
样本1(实验前)和样本2(实验后)第i 个学生成绩差:d=X 2-X 1
∑d 2=∑-)(X X 122
=1267
(∑d )2=85
t=
)
1()
(0
2
2
--
-∑∑n n n d d
d =
()
110101085126705.82
---=3.456
若显著性水平α定为0.05,根据df=n-1=10-1=9查t 表:t α/2=2.262。 因为t=3.456> t α/2说明实验后学生的成绩有显著的提高。 点评:初二、三班实验前语文成绩表平均分1X =
1
1
n X
∑=71,初二、三班实
验后语文成绩表平均分2
X =
2
2
n X ∑=79.5。虽然X —1 2,但不能说明初二、三班实 验后比实验前的语文成绩好,上面平均数差异的显著性检验具有科学依据,得出的结论(两次成绩存在显著性差异)才符合事实。即初二、三班实验后比实验前的语文成绩好。 三、不同样本,容量小于30的t 检验 案例:比较初二、一班和初二、二班第二学期期末物理成绩 表1、初二、一班第二学期期末物理物理成绩表 表2、初二、二班第二学期期末物理成绩表 初二、一班和初二、二班学生人数分别为27和29,样本容量小于30,用t