教育科研中的统计方法——Z检验和t检验

教育科研中的统计方法——Z检验和t检验

乌海市海勃湾区教研室王根运

通常我们用平均分比较两个班的成绩的优劣是不妥的。即某次考试中初二、二班数学成绩平均分低于初二、五班的平均分，不一定说明初二、二班数学真实成绩比初二、五班的差。这是因为一个班的的平均成绩具有统计意义，存在抽样误差，其平均成绩在一定范围内波动，假如再进行一次考试也许初二、二班数学成绩平均分高于初二、五班的平均分。所以比较成绩时应用平均数差异的显著性检验更科学。

统计学中平均数差异的显著性检验时规定一个显著性水平，经过检验所得差异超过这个显著性水平，表明这个差异不属于抽样误差，确实存在差异，反之属于抽样误差。这个平均数差异的显著性检验在教育科研统计中总结为Z检验或t 检验。一般地样本容量大于30时，用Z检验；样本容量小于30时，用t检验。当问题所给的条件用t检验方便时，样本容量虽然大于30，也可以用t检验。

下面是样本容量大于30时的Z检验和样本容量小于30时的t检验案例。

一、样本容量大于30时的Z检验

案例：比较初三第一学期期末实验班和对比班的化学成绩

表1、初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表

表2、初三、七7班（对比班）第一学期期末化学成绩表

时间：2010年1月

实验班和对比班学生人数均为52，样本容量大于30，用Z 检验看实验班和对比班成绩有无显著性差异（用计算机处理）。

实验班：初三、八班,据表1,样本容量：n 1=52,平均分：1X =

1

1

n X

∑=69.84

每个学生分数与平均分离差的平方和：∑21d ==-∑211)(X X 13243.86 标准差：S 1=

1

2

1n d ∑

=15.96

对比班：初三、七班，据表2，样本容量：n 2=52, 平均分 ：2

X =

2

2

n X ∑=66.92

每个学生分数与平均分离差的平方和：∑2

2d ==-∑222)(X X 7967.19

标准差：S 2=

2

2

2

n d ∑

=12.38, Z=

2

22

121

21n S n S X X +-=1.043

Z 检验的判断方法： 0＜Z ＜1.96时，两个班的成绩无显著性差异；1.96＜Z ＜2.58时，两个班的成绩成绩有显著性差异。

本题0＜Z=1.043＜1.96，所以：实验班和对比班化学成绩无显著性差异。 点评：初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表平均分

1

X =

1

1

n X ∑=69.84，初三、七班（对比班）第一学期期末化学成绩表平均分

2

X =

2

2

n X ∑=66.92。虽然X —1〉X —

2，但不能说明初三、八班（实验班）比初三、七

班（对比班）的化学成绩好，这是抽样误差导致的结果。事实上根据上面平均数

差异的显著性检验得出结论：两个班第一学期期末化学成绩无显著性差异。

二、相关样本，容量小于30的t 检验

同一批学生在实验前后进行两次测试得到两次成绩，若把这两次成绩看成两个样本的话，则这两个样本之间相互不是独立的，称为相关样本。

案例：王老师在初二、三班进行《语文口头作文对语文成绩影响的实验研究》，他每节课用10分钟的时间让学生进行口头小作文比赛，实验前进行一次语文成绩测试，随机抽取10名学生语文成绩（实验前成绩）记录如表，一个学期后用同样难度的试题又进行测试记录这10名学生的语文成绩（实验后成绩）记录如表。

该案例是相关样本，样本容量为10，小于30，用相关样本的t 检验看实验前和实验后初二、三班随机抽取10名学生语文成绩有无显著性差异（用计算机处理）。

样本1（实验前）成绩总和∑X 1=710 样本2（实验后）成绩总和∑X 2=795

d =∣2X -1

X ∣=∣n X X 2

1

∑∑-∣=∣10

795710-∣=8.5

样本1（实验前）和样本2（实验后）第i 个学生成绩差：d=X 2-X 1

∑d 2=∑-）（X X 122

=1267

（∑d ）2=85

t=

)

1()

(0

2

2

--

-∑∑n n n d d

d =

()

110101085126705.82

---=3.456

若显著性水平α定为0.05，根据df=n-1=10-1=9查t 表：t α/2=2.262。 因为t=3.456> t α/2说明实验后学生的成绩有显著的提高。 点评：初二、三班实验前语文成绩表平均分1X =

1

1

n X

∑=71，初二、三班实

验后语文成绩表平均分2

X =

2

2

n X ∑=79.5。虽然X —1

2，但不能说明初二、三班实

验后比实验前的语文成绩好，上面平均数差异的显著性检验具有科学依据，得出的结论（两次成绩存在显著性差异）才符合事实。即初二、三班实验后比实验前的语文成绩好。

三、不同样本，容量小于30的t 检验

案例：比较初二、一班和初二、二班第二学期期末物理成绩

表1、初二、一班第二学期期末物理物理成绩表

表2、初二、二班第二学期期末物理成绩表

初二、一班和初二、二班学生人数分别为27和29，样本容量小于30，用t