平方差公式优质课课件
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《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
平方差公式上课课件
04
平方差公式的常见应用
整数幂次方计算
总结词
高效、准确
详细描述
平方差公式可以用于计算整数的幂次方，通过拆分幂次方为两个因式相乘，可以快速得到结果，例如 计算4的3次方，可以拆分为4乘以4乘以4，即4^3 = 4 * 4 * 4 = 64。
分数的平方计算
总结词
简单、方便
VS
详细描述
平方差公式可以用于分数的平方计算，通 过将分数拆分为两个数相乘，可以快速得 到分数的平方值，例如计算2/3的平方， 可以拆分为(2/3)乘以(2/3)，即(2/3)^2 = (2/3) * (2/3) = 4/9。
式，例如微积分中的泰勒级数展开等。
06
总结与回顾
重点回顾
平方差公式的定义和公式 平方差公式的应用范围和条件
平方差公式的证明方法
学生互动环节
学生自我介绍和分享学习心得 学生提问和回答问题
学生小组讨论和展示成果
下课预告
下节课的主题和时间安排 提醒学生做好预习和准备
鼓励学生在课后继续学习和探索
感谢您的观看
完全平方公式
完全平方公式概述
完全平方公式是一个基本的数学公式，它描 述了一个数的平方与另外两个数的平方和的 关系。这个公式在代数、几何和三角函数等 领域都有广泛的应用。
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用于解决一些涉及到平方 的数学问题，例如求解一元二次方程、计算 三角形的面积等。它还可以用于进行一些复 杂的数学运算，例如简化分式的分子和分母 等。
幂的运算法则
幂的运算法则概述
幂的运算法则是数学中的一个基本法则，它 描述了幂的一些运算性质。这个法则可以用 于进行一些复杂的数学运算，例如求解高次 方程、计算阶乘等。
《平方差公式》优质课件
培养学生的数学思维和问题解决能力。
课件目标
能够熟练运用平方差公式解决各种问题 。
理解平方差公式的概念和基本性质。
平方差公式的定义和应用领域
平方差公式的定义
平方差公式是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项 互为相反数。相乘的结果为：右边是乘式中两项中相同项的平方减去相反项的 平方。
步骤四
合并同类项，即 $-ab$ 和 $ab$ 相消，得 到 $a^2 - b^2$。
综合以上步骤，得出 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，即为平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的应用实例
在代数运算中的应用
01
02
03
简化计算
利用平方差公式，可以将 一些复杂的代数式简化， 从而更容易进行计算，提 高效率。
乘法分配律
$(a+b)(c)=ac+bc$，乘法分配律是 平方差公式的基础，平方差公式可 看作乘法分配律的特例。
平方差公式的深入拓展与研究
高次幂的差分
通过反复利用平方差公式，可以求出 高次幂的差分，例如 $a^n-b^n$ 的 形式。
在解析几何中的应用
平方差公式在解析几何中求解两点间 距离等问题时有着广泛应用。
综合应用题
设计一些涉及平方差公式的综合应用题，引导学 生在实际问题中运用所学知识。
思考题
提出一些有关平方差公式的思考题，供学有余力 的学生深入探究。
自主学习与拓展阅读建议
01
自主学习建议
鼓励学生通过查找资料、观看视频等方式，自主学习与平方差公式相关
的拓展知识。
02
拓展阅读材料
推荐一些与平方差公式相关的优秀教材、论文或网络资源，供学生自主
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式》公开课一等奖课件
=x4-y4
（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 解：原式= (x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)
=(x4－y4) (x4+y4)(x8+y8) =(x8－y8 )(x8+y8) =x16－y16
（3） (3a＋b＋c)(3a＋b－c) 解：原式=[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c] =(3a＋b)2－c2 =9a2＋6ab＋b2－c2
（1）解：原式=(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996
例2：计算 （1）102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)解：原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1
运用平方差公式计算：P108 (1) (a+3b)(a-3b） (2) (3+2a)(-3+2a）
( a+b) ( a − b) = a2 − b2 解：(1) (3x+2)(3x − 2）=(3x)2−22
= 9x2 − 4
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x − 2）
(2) (b+2a)(2a − b） (3) (− x+2y)(− x − 2y） 分析：在（2）中，可以把（ 2a）看成a, （ b ）看成b 解：(2) (b+2a)(2a − b）=(2a+b)(2a − b）
(相同项)2 （相反项）2
判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 解：原式= (x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)
=(x4－y4) (x4+y4)(x8+y8) =(x8－y8 )(x8+y8) =x16－y16
（3） (3a＋b＋c)(3a＋b－c) 解：原式=[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c] =(3a＋b)2－c2 =9a2＋6ab＋b2－c2
（1）解：原式=(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996
例2：计算 （1）102×98 (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2)解：原式=y2-4-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1
运用平方差公式计算：P108 (1) (a+3b)(a-3b） (2) (3+2a)(-3+2a）
( a+b) ( a − b) = a2 − b2 解：(1) (3x+2)(3x − 2）=(3x)2−22
= 9x2 − 4
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x − 2）
(2) (b+2a)(2a − b） (3) (− x+2y)(− x − 2y） 分析：在（2）中，可以把（ 2a）看成a, （ b ）看成b 解：(2) (b+2a)(2a − b）=(2a+b)(2a − b）
(相同项)2 （相反项）2
判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) 是 (2) (-a+b)(a-b) 否
平方差公式 优质课获奖课件
14．3
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
《平方差公式》优质课一等奖课件
观察这些结 果，你发现 了什么规律 ？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)(a-b) =
相加和为0
(a+b)(a-b)=a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差，这个公式叫做平方差公式.
例1 运用平方差公式计算：
人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
难点：平方差公式的结构特征，能运 用公式进行简单的计算
目录
1 复习导入 3 课堂练习
2 课堂讲解 4 课堂小结
导入
请快速的计算98×102=？
98×102 =（100-2）（100+2） =1002-22 =10000-4 =9996
运算结果（注意符号变化）
=（-3x)2-22=9x2－4 =(-3x)2-(2y)2=9x2 - 4y2 =(-2a)2-b2=4a2－b2 =(-7m)2-(8n)2=49m2－64n2
课后小练
3.用简便方法计算: 20202-2019×2021
课堂小结
043 学而时习之，不亦说乎
一同一反=同方-反方
多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am + an + bm + bn
计算：
探索平方差公式
1）(x+1)(x-1) = 2）(m+2)(m-2) = 3）(2x+1)(2x-1) =
相加和为0 相加和为0 相加和为0
《平方差公式》优质课教学一等奖课件
(1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
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= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
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2．教材例4：运用完全平方公式计算： (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22 ＝10 000＋400＋4 ＝10 404； (2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12 ＝10 000－200＋1 ＝9 801. 此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， 可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差 异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
通过几个这样的运算例子，让学生观察算式与结果间的结 构特征．
平方差公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件
三、归纳概括 计算(a＋b)(a－b)． 让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式． 然后，教师系统总结平方差公式． 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：________________． 教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两 边的结构，教给学生记忆公式的方法．
角形的外角？
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析 例1 如图 ， ∠ BAE ， ∠ CBF ， ∠ ACD 是△ ABC 的三个外角 ， 它们的和是多少？
而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运
用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别 是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字
母，单项式，也可以代表多项式．
11．2
与三角形有关的角
三角形的外角
11．2.2
1．了解三角形的外角． 2 ． 知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和．
出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因 式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平
方差公式计算．
教材例2 计算：
(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
(2)102×98. 此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，
允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简
便计算的目的．
五、巩固练习
教材第108页练习第1，2题．
第1题口述完成； 第 2 题采用大组竞赛的形式进行 ， 其中 (1)(4) 由两个大
平方差公式课件(市一等奖)
平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
平方差公式赛课一等奖ppt课件
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
学习目标：
1、会判断一个式子能否采用平方差公 式计算.
2、能说出平方差公式的结构特征. 3、会运用平方差公式进行简单整式乘
法的运算.
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相同
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相反数
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相同项的平方 - 相反项的平方
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式特征：
（1）左边括号中有两项完全相同，两项互为相 反数．
（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方． （3）公式中的a,b可以表示 一个单项式也可
以表示一个多项式.
判断下列各式能否用平方差公式运算
1.(b-8)(b+8)
2.(-x-1)(x+1)
3.(x+3)(x-2) 4.(mn-4k)(-mn-4k)
例1 运用平方差公式计算： ⑴ (3x+2)(3x-2) ;
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖 果9.8千克，小霞同学马上说：“应付99.96元。” 售货员很惊讶：“你真是个神童！”小霞同学说： “过奖了，我只是利用了数学上刚学过的一个 公式而已！”
(2) (-x+2y)(-x-2y).
平方差公式ppt课件
解：(4)
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
平方差公式赛课一等奖课件
平方差公式赛课一等奖课件
目 录
ห้องสมุดไป่ตู้
• 平方差公式简介 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的扩展 • 平方差公式的应用举例 • 总结与反思
01
平方差公式简介
平方差公式的定义
平方差公式是数学中 的一个重要公式，用 于计算两个数的平方 差。
这个公式在代数、几 何和三角学等领域有 广泛的应用。
它表示为：a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
03
平方差公式的扩展
平方差公式的一般形式
总结词
平方差公式的一般形式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，它表示两个二项式的乘积 等于它们的平方差。
详细描述
平方差公式的一般形式是代数中的基础公式之一，它表示两个二项式的乘积等 于它们的平方差。这个公式在数学中有着广泛的应用，是解决代数问题的重要 工具之一。
在数论中的应用
质数判别
平方差公式在质数判别中有所应用。 例如，一个数如果不能被除了1和它 本身以外的数整除，则它是质数。这 个性质可以通过平方差公式进行证明 。
同余方程求解
在数论中，平方差公式用于求解同余 方程。同余方程是模运算下的等式， 通过平方差公式可以找到同余方程的 解或者证明无解。
05
总结与反思
面积计算
平方差公式在几何中常用于计算面积 。例如，在矩形中，如果已知两边长 分别为$a$和$b$，则面积$S = a times b = sqrt{a^2 times b^2} = sqrt{(a+b)^2 - 4ab}$。
勾股定理证明
平方差公式在勾股定理的证明中发挥 了关键作用。勾股定理指出直角三角 形的两条直角边的平方和等于斜边的 平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，可以 通过平方差公式进行证明。
目 录
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• 平方差公式简介 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的扩展 • 平方差公式的应用举例 • 总结与反思
01
平方差公式简介
平方差公式的定义
平方差公式是数学中 的一个重要公式，用 于计算两个数的平方 差。
这个公式在代数、几 何和三角学等领域有 广泛的应用。
它表示为：a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
03
平方差公式的扩展
平方差公式的一般形式
总结词
平方差公式的一般形式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，它表示两个二项式的乘积 等于它们的平方差。
详细描述
平方差公式的一般形式是代数中的基础公式之一，它表示两个二项式的乘积等 于它们的平方差。这个公式在数学中有着广泛的应用，是解决代数问题的重要 工具之一。
在数论中的应用
质数判别
平方差公式在质数判别中有所应用。 例如，一个数如果不能被除了1和它 本身以外的数整除，则它是质数。这 个性质可以通过平方差公式进行证明 。
同余方程求解
在数论中，平方差公式用于求解同余 方程。同余方程是模运算下的等式， 通过平方差公式可以找到同余方程的 解或者证明无解。
05
总结与反思
面积计算
平方差公式在几何中常用于计算面积 。例如，在矩形中，如果已知两边长 分别为$a$和$b$，则面积$S = a times b = sqrt{a^2 times b^2} = sqrt{(a+b)^2 - 4ab}$。
勾股定理证明
平方差公式在勾股定理的证明中发挥 了关键作用。勾股定理指出直角三角 形的两条直角边的平方和等于斜边的 平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，可以 通过平方差公式进行证明。
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2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
平方差公式优质课课件
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
平方差公式优质课课件
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式 平方差公式优质课课件
拓展提升
利用平方差公式计算:
ห้องสมุดไป่ตู้
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
解：（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
=(2000 −8) ×(2000+8 )
=(40 −0.2) ×(40+0.2 )
=20002 −82 =4000 000−64
=402 −0.22 =1600−0.04
=3 999 936
=1599.96
平方差公式优质课课件
=( 2 x)2 – y2 3
=
4 9
x2 -
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
平方差公式优质课课件
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
平方差公式优质课课件
助学解疑
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做一做
计算下列各题 :(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ;
(2) (1+2a)(1−2a) ；=1−2−4(a22a;)2 ; (3) (x+4y)(x−4y) ；==xx2−2−(41y6)y22 ;; (4) (y+5z)(y−5z) =；=yy22−−(255zz)2 ;.
(5)(a+b)(-a-b)= ____________不___能_
(6)(a-b)(-a+b)=平方差公_式_优__质_课_课_件______不___能
纠错.互教
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小明的计算正确吗？如果不正确应怎样改正？ 解：(1) (-3a-2)(3a-2) 改正：解：(1) (-3a-2)(3a-2)
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寄语
如果你智慧的双眼善于观察，善 于发现，那你一定会觉得数学就在我 们的身边。
老师相信：你辛勤的汗水一定会 浇灌出智慧的花朵！
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原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
a2 相等吗？a2－25 平方差公式优质课课件
2 利用平方差公式计算：[]
= 9a2 - 4 ( )
(2) ( 2 x-y)( 2 x+y)
3
3
=
2 x2 – 3
y2
(
)
(3) (2a-3b)(3b+2a)
= (-2-3a)(-2+3a) = (-2)2 - (3a)2 = 4 - 9a2
(2) ( 2 x-y)( 2 x+y)
3
3
= (2a-3b)(2a+3b) = 4a2 - 3b ( )
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16
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1.计算 20042 － 2解0：032×0024020－5; 2003×2005
= 20042 － (2004－1)(2004+1) = 20042 － （20042－12 )
= 20042 － 20042+12 =1 2.计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
通过计算，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
2猜想：(a + b)(a － b)=—a—2—－—b—2—.
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(a + b)(a － b)=a2－b2.
证明：
(a+b)(a－b)
a2a ba bb2 （多项式乘法法则）
a2b2
（合并同类项）
∴(a + b)(a － b)=a2－b2.
给我最大快乐的，不是已懂的知识， 而是不断的学习.----
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王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
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你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？
a+b
a
a-b a
b
b
b
b
(ab)a (b) a2b2
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平方差公式 两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方差.
相同为a
相同项平方减去相反项 的平方
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b 相同项的平方 相反项的平方
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
注：这里的两数可以是两个数字，也可以是两
个整式等等．
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运用新知:
能否运用公式，若能直接说出结果
(l)(-a+b)(a+b)= ____b__2-_a__2 (2)(a-b)(b+a)= ______a_2_-_b_2 (3)(-a-b)(-a+b)= _____a_2_-_b2 (4)(a-b)(-a-b)= ______b_2_-_a2
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14.2.1 平方差公式
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1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算 ．
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【预习导学】
自学指导:
自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌握平方差 公式，完成 P108页的练习1，2两题
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【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
点拨精讲：可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方
差公式结构。
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解:10.2×9.8 = (1 0 0.2)(1 0 0.2) =1020.22 =100-0.04 =99.96(元).